Calculo

1. Ejercicio 1. Completar las siguiemtes tablas y usar el resultado obtenido
para estimar el límite correspondiente, en caso que exista.
1.f(x) = 1
x 2
x 1; 9 1; 99 1; 999
f(x)
x 2; 001 2; 01 2; 1
f(x)
lim
x!2
f(x) lim
x!2+
f(x)
2. f(x) = 2x2
4x 6
x 3
x 2; 99 2:99 2; 999
f(x)
x 3; 001 3; 01 3; 1
f(x)
lim
x!3
f(x) lim
x!3+
f(x)
3. (Optativo) f(x) = x 1
x 0:1 0; 01 0:001
f(x)
x 0; 01 0; 01 0; 001
f(x)
lim
x!0
f(x) lim
x!0+
f(x)
4:(Optativo) f(x) =
x2
+ 1 si x < 1
1 si x > 1
x 0 0; 5 0; 9 0; 99
f(x)
x 2 1; 5 1; 1 1; 001
f(x)
lim
x!1
f(x) lim
x!1+
f(x)
Ejercicio 2. A través de las siguientes grá…cas, encontrar el límite si existe.
1. Para x tendiendo a 1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2. Para x tendiendo a 3
1

2. 0.1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
3.Para x tendiendo a por derecha, a 0 por izquierda, y a +1
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Ejercicio 3 Dadas las siguientes funciones
2

3. (a) f(x) =
x2
3x + 3 si x < 1
2 + x si x 1
(b) g(x) =
8
<
:
x + 2 si x < 0
x2
+ 2 si 0 x < 1
3x 2 si 1 < x
Se pide:
1) Gra…car f 2) lim
x!1
f(x) 3) lim
x!1+
f(x) 4)¿Existe lim
x!1
f(x)?
5) Gra…car g 6) lim
x!0
g(x) 7) lim
x!0+
g(x) 8) lim
x!1
g(x)
9) lim
x!1+
g(x) 10) ¿Existe lim
x!0
g(x)? 11)¿Existe lim
x!1
g(x)?
Ejercicio 4 Expresar según la de…nición de límite de una función que:
lim
x!1
(2x 5) = 3
Comprobar, por de…nción, que el : lim
x!4
f(x) es L = 3:
Determinar = (") para " = 1
2 y " = 1:
Sobre la grá…ca de y = f(x) marcar el punto (6; f(6)) y para los valores
de "en el apartado 3), marcar los enfornos E(f(6); ")y los entornos E(6; )
correspondientes.
Ejercicio 5 veri…car por de…nicón que:
a) lim
x!1
(5x 1) = 4 b) lim
x! 1
(3x2
2x + 1) = 6 c) lim
x!1
( 4
4x2 2 ) = 2
d) lim
x!7
8
x 3 = 2
Ejercicio 6 Calcular los siguientes límites:
a) lim
x!8
(jx 1j
x 1 ) = 1 b)lim
x!3
(x2
6x+9
9 x2 ) = 0 c) lim
x!3
(
p
x+7 3
x 2 ) =
p
10 3 d)lim
x!3
(x2
x
x+2 )
e) lim
x!4
(x2
16
x 4 ) = 8 f)lim
x!1
(3x2
4x+1
2x 2 ) = 1 g) lim
x!+1
(3x2
2x
x+3 ) = 1 h) lim
x!1
( 3x
x 1
i)lim
x!0
(
sin( x
2 )
2x ) = 1
4 j)lim
x!0
( 2x
tan(3x) ) = 2
3 k)lim
x!0
x2
sin( 1
x2 ) = 0 l)lim
x!0
(sin x cos
x x2
m) lim
x!1
(x+14
2 x )(x+7)
= unde ned n) lim
x!1
(2x+1
2x )4x
= e2
o)lim
x!0
(ln(1+x)
x ) = 1 p)lim
x!0
(
( 1
x+2
x
q) lim
x!1
(ln(1+ex
)
x ) = 1 r) lim
x!1
(
p
x + 1
p
x) = 0 s) lim
x!2
(x 1)(
(x+1)
(x 2)
)
= e3
t) lim
x!3
(tan(x
p
x
p
Ejercicio 7 Qué valor debe tomar la constanre k‘para que sea continua en
x = 2?
f(x) =
x2
k si x < 2
kx + 5 si x 2
Ejercicio 8 Estudiar analítica y grá…camente la continuidad de las sigu-
ientes funciones:
3

4. a) f(x) = 1
x en x = 2 b) f(x) = 1
x en x = 0
c) f(x) =
8
<
:
3x + 1 si 2 < x < 0
ex
+ 2 si 0 < x < 2
(x 4)3
si x 2
d) f(x) =
8
>><
>>:
1
4 x si x < 2
(x + 2)2
si 2 x 0
ln x si 0 < x < 1
jxj si x > 1
e) f(x) =
(x 1)3
si x 1
jx 1j si x < 1
f) f(x) =
8
<
:
2x + 3 si x < 1
3x 2 si 1 < x < 2
2 + x si x < 1
g) f(x) =
8
<
:
jxj + 2 si x > 1
ln(x) + 3 si x 1
2 < 1
2
1
x 1 si x 0
h) f(x) =
2 sin(x) si x 2 ER(0; 2 )
1 si x = 0
i) f(x) =
8
<
:
x + 5 si x < 3p
9 x2 si 3 x < 3
jx 3j si x < 3
4