1. CAPÍTULO III ECUACIONES DE FLUJO SUBTERRÁNEO
3.1 GRADIENTE DE POTENCIAL
El estudios de Transporte en general, el flujo ocurrente es proporcional
a un gradiente de potencial:
• Corriente eléctrica: de alto a bajo voltaje
• Transmisión de calor : de alta a baja temperatura
• Flujo a superficie y a presión : de mayor a menor nivel
Ej. La Ley de la Hidrostática
1
∇p = F
ρ
El flujo subterráneo obedece al mismo principio. Ocurre desde un nivel
de energía mayor a un menor:
GRADIENTE DE ENERGÍA O GRADIENTE DE POTENCIAL!

2. 3.1 GRADIENTE DE POTENCIAL
La energía en un sistema puede ser expresada por:
Energía total = potencial + cinética + elástica o de deformación
La dinámica de fluidos, en términos de flujo unidimensional y fluido
incompresible presenta:
p v2
E = z+ +
γ 2g
El flujo subterráneo es en general muy lento, tal que el término cinético
puede ser omitido.
Se define el POTENCIAL DE FLUJO como:
p − po
Φ = gz +
ρ

3. 3.1 GRADIENTE DE POTENCIAL
Se representa:
p
De ese modo: φ = superficie
γ
Φ = g h = g z + gφ ψ
punto de control
h
Así, z
h : energía por unidad de peso
Datum z=0
Φ : energía por unidad de masa

4. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
El principio de la conservación de la masa afirma:
El cambio neto en masa durante un tiempo es igual al
volumen almacenado en ese intervalo
Sea el elemento ρq x dydzdt
diferencial de un medio
poroso saturado.
z
y
x
 ∂ρ  ∂q 
ρ + dz  qx + x dz dydzdt
 ∂x  ∂x 

5. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La masa de agua ingresando a él, según el eje X se puede escribir,
ρ q x dy dz dt
Siendo qx el caudal unitario en dirección X
La masa saliendo en ese intervalo:
 ∂ρ  ∂q x 
ρ + dx  q x + dx dy dz dt
 ∂x  ∂x 

6. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La masa neta:
 ∂ 
− ( ρ q x ) dx dy dz dt
 ∂x 
La masa total en las tres direcciones:
 ∂   ∂   ∂ 
 − ( ρ qx )  +  −
 ∂y ( ρ q y )  +  − ∂z ( ρ q z )   dx dy dz dt

 ∂x     

7. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Por otra parte, el volumen de agua inicialmente existente en el
elemento de control era:
dVw = dVv = n dV = θ dV
Como el medio está saturado, n = θ siendo θ el contenido de
humedad (water content)
Entonces, la masa almacenada en el estado inicial,
ρ θ dV
La masa de agua en el instante posterior
 ∂ρ  ∂θ 
ρ + dt θ + dt  dV
 ∂t  ∂t 

8. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La masa almacenada en ese intervalo,
∂
( ρ θ ) dV dt
∂t
Por el Principio de Conservación de la masa,
 ∂   ∂   ∂  ∂
 − ( ρ qx )  +  −
 (ρ qy )  +  −
 ( ρ q z )   dx dy dz dt = ( ρ θ ) dV dt
 ∂x   ∂y   ∂z  ∂t

9. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
En forma condensada,
∂
∇  ( ρ q) + ( ρ θ ) = 0
∂t
Si el fluido es incompresible,
∂θ
∇q + =0
∂t

10. 3.3 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
A partir de la Segunda Ley de Newton, se puede derivar la
ecuación de movimiento para un líquido fluyendo en un medio
poroso (ecuación de Darcy)
∂h
qx = − K
∂x
∂h
qy = − K q = − K ∇h
∂y
∂h
qz = − K
∂z
La ecuación de Darcy, de la forma presentada es únicamente válida para
medios anisotrópicos

11. 3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
La conductividad hidráulica muestra variación espacial.
• Si K es independiente de la posición en la formación
geológica, entonces la formación es homogénea, y
K(x,y,z) = Constante
• Si K es dependiente en su valor de la posición, la formación es
heterogénea, y
K(x,y,z) ≠ Constante

12. 3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
Algunas causas para heterogeneidad:
• Ambiente e historial geológico
• Estratificación (heterogeneidad estratificada)
• Fallas (heterogeneidad por discontinuidad)
• Procesos de sedimentación que ocurren en deltas o pantanales
(heterogeneidad de tendencias)

13. 3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
La heterogeneidad de la conductividad hidráulica puede ser descrita en
términos estadísticos a través de densidades de probabilidad.
Se ha observado que K responde a una distribución log-normal con una
desviación estándar de 0.5 a 1.5
Por ejemplo, en una formación geológica fuera de esperar una variación
de K en el orden del 1 a 2 de orden de magnitud.

14. 3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
Homogeneo, Isotropico Homogeneo, Anisotropico
(x2,z2)
Kz
Z
Kx
(x1,z1)
X
Heterogeneo, Isotropico Heterogeneo, Anisotropico

15. 3.3.2 ANISOTROPÍA DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
Se dice que un medio es isotrópico cuando un observador
arbitrariamente colocado en él, observará la misma estructura
molecular y propiedades en todas direcciones.
Las direcciones en el espacio en las cuales K alcanza sus máximos
valores son denominadas direcciones principales de anisotropía
Si el sistema de referencia coincide con las direcciones principales, las
conductividades hidráulicas serán Kx , Ky , Kz. De ese modo,
• Medio isotrópico : Kx = Ky = Kz
• Medio anisotrópico : Kx ≠ Ky ≠ Kz
• Isotropía transversal : Kx = Ky ≠ Kz

16. 3.3.2 ANISOTROPÍA DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
Algunas causas para la anisotropía:
• Pequeña escala: orientación de las partículas de arcilla H/V
• Gran escala : capas homogéneas en sí, actúan como un medio
anisotrópico único

17. 3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES
∂h
Cuando las coordenadas del qx = − K
∂x
sistema coinciden con las ∂h
qy = − K
direcciones principales de ∂y
∂h
anisotropía : qz = − K
∂z
Pero cuando no coinciden,
∂h ∂h ∂h
q x = − K xx − K xy − K xz
∂x ∂y ∂z  K xx K xy K xz 
∂h ∂h ∂h con,  
q y = − K yx − K yy − K yz K =  K yx K yy K yz 
∂x ∂y ∂z
 K zx K zy K zz 
∂h ∂h ∂h  
q z = − K zx − K zy − K zz
∂x ∂y ∂z

18. 3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES
ELIPSOIDE DE CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
A veces es necesario conocer la conductividad hidráulica en una dirección
arbitraria, pero se dispone de información en las direcciones principales
Sea qs la dirección arbitraria.
∂h
qs = − K s
∂s
En las direcciones principales (sean x,z)
∂h ∂h
qx = − K x = qs cos α ; qz = − K z = qs senα
∂x ∂z
También,
∂h ∂h ∂x ∂h ∂y ∂h ∂h
= + = cos α + senα
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂x ∂y

19. 3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES
Resultando en,
1 cos 2 α sen 2α
= +
Ks Kx Ky
Que en coordenadas rectangulares,
r2 x2 y2
= +
Ks Kx Ky
Ks
Kz
Kx

20. 3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS
De la combinación de la ecuaciones de Continuidad y de Movimiento,
∂θ
= −∇q q = − K ∇h
∂t
Surge la denominada ecuación de Richards
∂θ
= ∇  ( K ∇h )
∂t

21. 3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS
∂θ ∂  ∂h  ∂  ∂h  ∂  ∂h 
=  K (φ )  +  K (φ )  +
  ∂z  K (φ ) ∂z 
∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y   
Que es una ecuación no lineal, y que no es posible resolverla
sin conocer, por ejemplo, el estado inicial de θ
Si h es desdoblada en sus componentes : h = z + φ
∂θ ∂φ ∂  ∂φ  ∂  ∂φ  ∂   ∂h  
=  K (φ )  +  K (φ )  +
  ∂z  K (φ )  ∂z + 1 
∂φ ∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y    

22. 3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS
Si se introduce el concepto de : ∂θ
C (φ ) =
∂φ
Entonces,
∂φ ∂  ∂φ  ∂  ∂φ  ∂   ∂h  
C (φ ) =  K (φ )  +  K (φ )  +
  ∂z  K (φ )  ∂z + 1 
∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y    
Que es la ecuación de Richards, válida para flujo subterráneo, un cualquier
punto, ya sea que el medio esté saturado o parcialmente saturado !
• Para resolverla, es necesario conocer K(φ) y C(φ) ó θ (φ)
• Partiendo de Richards, uno simplifica la ecuación dependiendo del
caso particular que se analice

23. 3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS
Por ejemplo, para medio completamente saturado,
∂  ∂h  ∂  ∂h  ∂  ∂h 
K  + K  +
 ∂y  ∂z  K ∂z  = 0
∂x  ∂x  ∂y    
para medio completamente saturado, homogéneo e isotrópico,
∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h
+ 2 + 2 = ∇2h = 0
∂x 2 ∂y ∂z
La cual es la conocida ecuación de Laplace

24. 3.6 PROBLEMA DE CONDICIONES DE BORDE
Además de conocer las ecuaciones que gobiernan el flujo al interior del
Dominio, es necesario también conocer:
1. El tamaño y la forma del dominio
2. Las ecuaciones de flujo dentro de la región
3. Las condiciones de contorno en los bordes
4. Las condiciones iniciales en la región
5. La distribución espacial de los parámetros hidrogeológicos que
controlan el flujo
6. Un modelo matemático de solución
El punto 4 puede ser obviado si el flujo es considerado como permanente

25. 3.6 PROBLEMA DE CONDICIONES DE BORDE
La resolución de problemas puede ser encarada:
1. Simplificando el problema real de manera que éste pueda ser
tratable, pero manteniendo las características mas importantes
de él
2. Formular las cantidades físicas del problema en términos de
variables y funciones abstractas para ser usadas en el modelo
matemáticos descriptivo del problema
3. Elección y resolución del problema e interpretación de
resultados

26. 3.7 TIPOS DE FLUJO – FLUJO HORIZONTAL
Se considera:
• Flujo ocurre solo en el plano horizontal (qz = 0)
• Flujo confinado entre dos capas o bordes impermeables
• Los bordes son horizontales y suficientemente extensos
• La capa entre los bordes conforman el acuífero
Flujo horizontal puede ser
• Unidimensional
• Bi-dimensional
• Bi-dimensional y radial