Tensiones y ko

Tensiones. Concepto de
K0. Aplicación a los
túneles
Luis Ortuño
Universidad Politécnica de Madrid
Uriel & Asociados, S.A.
lortuno@urielyasociados.es

Master AETOS. Tensiones y K0 lortuno@urielyasociados.es Prof. Luis Ortuño Abad
Índice de huecos (poros)
Partículas sólidas: γγγγs=Gγγγγw
Pesos específicos
Seco: γγγγd
Saturado: γγγγsat
Aparente: γγγγap
Humedad:
Grado de saturación:
Aire
Agua
Sólido
(Volumen=1)
PROPIEDADES ELEMENTALES. DEFINICIÓN DE
ESTADO (RECORDATORIO)

Ejemplo: Deducir γap a partir de γd y w
)1()1(
111
ww
ee
w
e
e
d
ssswws
ap +=+
+
=
+
+
=
+
+
= γ
γγγγγ
γ
⇒=⇒=
w
s
w
s
ww w
e
e
w
γ
γ
γ
γ
Ejemplo: Sr en función de w
G
e
w
e
w
e
e
S
w
sw
r ===
γ
γ
A partir del modelo se pueden obtener fácilmente unas variables en función otras
sww
s
ww
we
e
w γγ
γ
γ
=⇒=
EJERCICIO A RESOLVER POR LOS ALUMNOS

El terreno, bajo la acción de su propio peso y de los esfuerzos que le transmiten las estructuras, se encuentra en
un cierto estado tensional. En cada punto P del terreno hay un cierto estado de tensiones. Si en dicho punto se
considera un pequeño volumen paralelepipédico, en cada cara del paralelepípedo, de área δA, actuará una
cierta fuerza, δF, proveniente del suelo que le circunda.
TENSIONES Y CÍRCULO DE MOHR (RECORDATORIO)
Se define como tensión sobre el plano π en
el punto P al valor límite de δF/δA (cuando
el área δA tiende a 0):
dA
dFF
limtensión
0A
=
Αδ
δ
=
→δ
En Mecánica del Suelo y de las Rocas se suelen tomar como positivas las compresiones (tensiones o deformaciones). Por ello, la definición de
la ecuación anterior suele realizarse introduciendo un signo (-):
dA
dFF
limtensión
0A
−=
Αδ
δ
−=
→δ
dA
dNN
lim
0A
=
Αδ
δ
=σ
→δ
dA
dTT
lim
0A
=
Αδ
δ
=τ
→δ
En general, el vector δF presentará una cierta inclinación al plano π, pudiendo descomponerse en una
componente normal δN y una componente tangencial δT al mismo. Aplicando la definición de tensión anterior
para las componentes de la fuerza δF, se obtiene la definición clásica de tensión normal (σ) y tensión
tangencial (τ):

CONVENIO DE SIGNOS PARA EMPLEO ANALÍTICO (“2D para simplificar”)
En la figura se muestra cómo se nombran las tensiones normales y tangenciales. En cuanto a su
signo (para cálculo analítico), el convenio es el siguiente:
Tensiones normales: Se consideran positivas
cuando son de compresión
Tensiones tangenciales. “Mirando desde el
origen de coordenadas”, sólo se ven las que
actúan sobre las caras del elemento más
próximas a dicho origen. Se consideran
positivas si las vemos “alejarse” de él
Para que el elemento se encuentre en equilibrio es necesario que se cumpla el equilibrio de
fuerzas y de momentos. Del equilibrio de momentos alrededor de los ejes x ó y se deduce:
yxxy τ=τ
El estado tensional queda representado por un tensor simétrico de dos dimensiones








στ
τσ
=σ
yxy
xyx

EL CÍRCULO DE MOHR
En la figura se representan las tensiones de un elemento en un diagrama cartesiano (σ, τ). Por un lado σa y τab,
representativas de planos perpendiculares al eje (a), y por otro σb y τab representativas de tensiones en planos
perpendiculares al eje (b). Tendremos así dos puntos, situados uno a cada lado y a la misma distancia del eje
horizontal, ya que las tensiones tangenciales en dos caras perpendiculares entre sí son iguales y de signo
contrario
Si ahora giramos las caras del elemento, es decir, si elegimos otras
orientaciones de caras perpendiculares entre sí y hacemos lo mismo,
tendremos en el gráfico otros dos puntos. Y si lo hacemos para
muchas orientaciones tendremos muchos puntos, pero no dispersos
de cualquier manera por el gráfico.
Todos los puntos representativos de las tensiones normales y
tangenciales en los distintos planos que pasan por un punto del
terreno se sitúan en un círculo, llamado CÍRCULO DE MOHR

CÍRCULO DE MOHR. CRITERIOS DE REPRESENTACIÓN (válido sólo para el dibujo)
Tensiones normales: Se dibujarán en el sentido positivo del eje σ si son de compresión.
Tensiones tangenciales: Se dibujarán positivas (sentido positivo del eje τ) si la pareja de tensiones τ que
actúan sobre dos planos paralelos del elemento define un par de fuerza cuyo sentido de giro resulta
antihorario.

EJEMPLO: Representar mediante círculos de Mohr los estados tensionales siguientes:

EL POLO DE PLANOS:
Sea un estado tensional definido según
un círculo de Mohr y sean (σ,τ) las
tensiones correspondientes a un plano π,
representadas por un punto A en el
círculo. Si se traza desde A una recta
paralela al plano π, ésta intersectará al
círculo de Mohr en un punto P. El punto P
así obtenido es único (es siempre el
mismo cualquiera que sea el plano
considerado), y se denomina Polo.
Corolario: si conocemos el polo (P) de un
círculo de Mohr de tensiones y deseamos
conocer las componentes (σ,τ) de la tensión
que actúa sobre un plano determinado de
orientación conocida, basta con trazar una
paralela a dicho plano desde P. El punto de
intersección de la recta anterior con el
círculo de Mohr será el punto representativo
de las componentes buscadas.

TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALES
Una simple mirada al círculo de Mohr permite darse cuenta de que hay dos puntos del mismo para
los que la tensión tangencial es nula (τ=0). Son los dos puntos en los que el círculo de Mohr corta
al eje σ .
Corresponden, como los demás, a ciertas orientaciones de planos, pero en este caso tienen la
particularidad de que sobre ellos la tensión tangencial es nula (τ=0). Sólo presentan tensiones
normales (σ), que además son la máxima y la mínima para el estado tensional dado.
Esas dos orientaciones privilegiadas de planos se conocen como planos principales. Las
tensiones normales que actúan sobre ellos se denominan "tensiones principales".

EJEMPLO: Determinar, dado el estado tensional de la figura, las magnitudes y
orientaciones de las tensiones principales

EJEMPLO: Determinar en el caso anterior las tensiones tangenciales máximas y los
planos sobre los que actúan

Una superficie natural o de una excavación, ya sea un talud o un túnel, no tiene tensiones
tangenciales, de forma que es plano principal.
TENSIONES Y CÍRCULO DE MOHR

Una discontinuidad “abierta” no tiene tensiones tangenciales, de forma que es plano principal.
TENSIONES Y CÍRCULO DE MOHR

LOS SUELOS SATURADOS Y LAS TENSIONES.
POSTULADO DE TERZAGHI (1936). (RECORDATORIO)
“Las tensiones en cualquier punto de un plano que atraviesa una masa de suelo pueden ser
calculadas a partir de las tensiones principales totales σσσσ1, σσσσ2,σσσσ3 que actúan en ese punto. Si
los poros del suelo se encuentran rellenos de agua bajo una presión u, las tensiones
principales totales se componen de dos partes. Una parte, u, llamada presión neutra o
presión intersticial, actúa sobre el agua y sobre las partículas sólidas en todas direcciones
y con igual intensidad. Las diferencias :
σσσσ’1 = σσσσ1–u, σσσσ’2 = σσσσ2–u, σσσσ’3 = σσσσ3–u
representan un exceso de presión sobre la presión neutra u, y actúan exclusivamente en la
fase sólida del suelo. Estas fracciones de las tensiones principales totales se denominan
tensiones efectivas.
Cualquier efecto medible debido a un cambio de tensiones, tal como la compresión, la
distorsión o la modificación de la resistencia al corte de un suelo, es debido exclusivamente
a cambios en las tensiones efectivas”.
DEFINICIÓN DE PRESIÓN (TENSIÓN) EFECTIVA (SUELOS SATURADOS).

COROLARIOS:
1.- Si no hay cambio de volumen ni distorsión, no existe cambio en las
tensiones efectivas
2.- Un aumento de σ’ causa compresión y aumento de resistencia
3.- Una reducción de σ’ origina entumecimiento (hinchamiento) y
pérdida de resistencia
COMENTARIOS:
1.- El postulado no tiene en cuenta fenómenos dependientes del tiempo (fluencia, etc).
2.- Sirve sólo para suelos saturados.
3.- Es un concepto establecido empíricamente (una hipótesis de trabajo). No entra en la forma de
transmisión de las tensiones entre las partículas de suelo.
4.- Tampoco indica cómo se distribuye u en las inmediaciones de las partículas. La presión intersticial u
es la que mediría un piezómetro, mucho más grande que una partícula de suelo.

Sin nivel freático
Nivel freático en superficie
Nivel freático intermedio
·zσ apv γγγγ====
0u ====
z·' apv γγγγ====σσσσ
·zσ satv γγγγ====
z·u wγγγγ====
'·z)·z-(σ' wsatv γγγγ====γγγγγγγγ====
2sat1apv z··zσ γγγγ++++γγγγ====
2w z·u γγγγ====
21apv z'··zσ' γγγγ++++γγγγ====

TENSIONES TOTALES Y EFECTIVAS
Las tensiones totales y las tensiones efectivas pueden representarse mediante sus correspondientes círculos de
Mohr. Ambos círculos tienen el mismo diámetro y están desplazados uno de otro el valor de la presión intersticial
u.
Como puede observarse, las tensiones tangenciales son las mismas en puntos correspondientes de ambos
círculos, lo que resulta lógico habida cuenta que el agua no soporta esfuerzos cortantes, y que por lo tanto es el
esqueleto sólido del suelo el que ha de absorberlos íntegramente
22
)u()u(
2
'' 313131
máx
σ−σ
=
−σ−−σ
=
σ−σ
=τ

¿CÓMO SE DEFORMA EL SUELO SATURADO?
INTRODUCCIÓN A LA CONSOLIDACIÓN. (RECORDATORIO)
Por su historia geológica el suelo tiene una estructura
A efectos prácticos, tanto las partículas del suelo como
el agua son indeformables, de forma que los cambios
de volumen o las distorsiones del suelo se deben a una
reordenación de sus partículas, que giran y/o deslizan
unas sobre otras:
Tomadas de González Vallejo, L. et al (2000)
MATERIAL
Compresibilidad
volumétrica C
(m2/MN)
C/Cw
Partículas de suelo 1,5 - 3,0.10-5 0,03 – 0,06
Agua 0,0005 1
Esqueleto sólido
del suelo
Baja compresibilidad 0,05 100
Alta compresibilidad 1,5 300
Si el suelo está saturado:
Compresión: No es más que una reducción de huecos y un reordenamiento de las
partículas hacia una estructura más densa
Hinchamiento: Aumento de huecos, con reordenamiento de partículas hacia una
estructura más abierta (menos densa)
'C∆
V
∆V
σ=

En definitiva:
Para que el SUELO SATURADO REDUZCA SU VOLUMEN se han de reducir los
huecos, es decir, SE HA DE EXPULSAR AGUA. Las partículas se reordenan en una
estructura más densa (más resistente)
Para que el SUELO SATURADO AUMENTE SU VOLUMEN han de aumentar los
huecos, es decir, HA DE ENTRAR AGUA. Las partículas se reordenan en una
estructura más abierta (menos resistente)
PERO…..EL AGUA SÓLO SE MUEVE
POR DIFERENCIAS EN ALTURA
PIEZOMÉTRICA ….. wγ
u
zh +=
¿CÓMO SE DEFORMA EL SUELO SATURADO?
INTRODUCCIÓN A LA CONSOLIDACIÓN. (RECORDATORIO)

Ejercicio a resolver por los alumnos
La columna estratigráfica bajo la superficie horizontal de un ancho valle está formada por 3 m
de gravas gruesas situadas sobre un depósito de 12 m de arcilla. Bajo las arcillas surge un
estrato de areniscas fisuradas de permeabilidad elevada. Las condiciones hidrogeológicas
resultan hidrostáticas, con un nivel freático situado a 0,60 m bajo la superficie del terreno. Las
densidades aparentes de los distintos estratos de suelo son:
Gravas (por encima del N.F.): γg
1 = 16,8 kN/m3
Gravas saturadas (por debajo del N.F.): γg
2 = 20,8 kN/m3
Arcilla (saturada): γa = 21,6 kN/m3
Se pide dibujar las leyes de tensiones verticales totales, presiones intersticiales y tensiones
verticales efectivas en las capas de suelo (γw = 10 kN/m3).
Solución:

Para el mismo perfil geológico del ejercicio anterior,
suponer que en el sustrato de areniscas el agua se
encuentra en condiciones artesianas, con una altura
piezométrica de 6 m por encima de la superficie del
terreno.
Admitiendo que en la capa de gravas, por su elevada
permeabilidad, las condiciones son hidrostáticas, se pide
determinar en la capa de arcillas las leyes de presión total
vertical, presión intersticial y presión efectiva vertical.
EJERCICIO A RESOLVER POR LOS ALUMNOS*
(*) Requiere conocimientos básicos de Mecánica del Suelo (tensiones, altura piezométrica,
permeabilidad, gradiente, etc).

v0h '·K' σ=σ
Las tensiones verticales, totales o efectivas, se pueden calcular con facilidad a partir de los pesos
específicos aparentes de los diferentes estratos existentes y de las condiciones hidrogeológicas de
contorno.
Sin embargo, las tensiones horizontales constituyen un problema especial ya que, al igual que el
índice de poros, dependen muy directamente de la historia tensional del terreno
La tensión “efectiva” horizontal in situ suele expresarse de forma proporcional a la vertical.
Cuando el terreno está “en su estado natural original”, al coeficiente de proporcionalidad se le
denomina coeficiente de empuje al reposo (K0):
TENSIONES HORIZONTALES EN EL TERRENO (K0)

Un ejemplo sencillo es la historia tensional de un suelo en condiciones unidimensionales o edométricas, que a
medida que se sedimenta o se erosiona va pasando de estados normalmente consolidados a sobreconsolidados,
y viceversa (una arcilla marina, por ejemplo).
0v00h '·K' σ=σ
'sen1KNC
0 φ−=
'senNC
0
oc
0 OCR·KK φ
= 0v
máximav
'
'
OCR
σ
σ
=
EL CASO CLÁSICO DE UN SUELO SEDIMENTARIO. SUELOS
NORMALMENTE CONSOLIDADOS Y SUELOS
SOBRECONSOLIDADOS

En los suelos normalmente consolidados:
'sen1KNC
0 φ−=
En los suelos sobreconsolidados:
[ ] 'senoc
0 OCR)·'sen1(K
φ
φ−≈ 0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
OCR
Ko
15º
20º
25º
30º
35º
40º
45º
v0h '·K' σ=σ
UN CASO SIMPLE. EL SUELO SEDIMENTARIO
EL CASO CLÁSICO DE UN SUELO SEDIMENTARIO. SUELOS
NORMALMENTE CONSOLIDADOS Y SUELOS
SOBRECONSOLIDADOS

En los dos ejercicios anteriores, suponiendo que el ángulo de rozamiento interno de la arcilla
es de 28º y que se encuentra ligeramente sobreconsolidada con OCR=1.5, calcular las
presiones horizontales, totales y efectivas.
EJERCICIO A RESOLVER POR LOS ALUMNOS*

Las tensiones naturales dependen del peso del material (gravedad),
y también del resto de las tensiones a las que ha sido sometido.
Si las acciones fueran sólo las gravitatorias, la presión vertical
vendría dada por:
Siendo γγγγ la densidad del macizo y z la profundidad.
TENSIONES NATURALES EN MACIZO ROCOSOS (K0)

Si se supone además que el macizo es elástico e isótropo, y que se
cumplen condiciones de deformación lateral nula:
ν
ν
σ
σ
−
==
1
0
V
H
K
Para valores de νννν del orden de 0,2 a 0,25, K0 oscilaría entre 0,25 y 0,33
(G&C, III)
Esta hipótesis, sin embargo, rara vez se cumple en las rocas.
Por ejemplo, νννν tiende a aumentar con la presión (profundidad),
especialmente en rocas blandas sedimentarias, acercando K0 a la unidad
(G&C, III)

Una segunda alternativa podría ser asumir que para profundidades
muy grandes, las tensiones son hidrostáticas :
σv= σh
En estas condiciones el coeficiente de Poisson se aproxima a 0,5, y podría
interpretarse como una plastificación de la roca sometida a grandes presiones (Heim,
1878. Postulado de regresión a un estado de flujo viscoplástico)

Las medidas indican que
la presión vertical oscila
en torno a
σv=0,027z (MPa)
Dado que un peso específico
razonable para una roca es
del orden de 27 kN/m3,
parece razonable pensar en
una correspondencia entre la
presión vertical y “el peso”.
LAS PRESIONES
VERTICALES
MEDIDAS REALES

A profundidad “somera” la dispersión es muy grande,
con presiones horizontales frecuentemente muy
superiores a las verticales.
A gran profundidad, K0 reduce su dispersión y se
aproxima al rango 0,5-1 (hidrostático).
El asunto es complicado, y HAY QUE MEDIR (al menos
para proyectos “grandes”)
Algunos factores a tener en cuenta:
Topografía
Erosión
Tensiones residuales
Inclusiones (diques, diapiros, batolitos)
Tensiones tectónicas,
Fracturas y discontinuidades
Tomada de González Vallejo, L. et al (2000)
En cualquier punto del terreno (por ejemplo un macizo rocoso), existe un determinado estado tensional
“inicial”, producto de su historia geológica. Las actuaciones sobre el terreno suponen una modificación
de esas tensiones (que da lugar a las correspondientes deformaciones, plastificaciones, etc). Resulta
evidente por tanto la necesidad de estimar las tensiones iniciales. Son el “punto de partida”.

FACTORES QUE INFLUYEN EN EL ESTADO TENSIONAL IN SITU
TOPOGRAFÍA
Tomado de González
de Vallejo, L. et al.
G&C, III
Valles, colinas, etc. Se
pueden analizar con
métodos elásticos
Relajación de
tensiones horizontales
Concentración de
tensiones horizontales

Erosión: Unidimensional. Reduce σv, pero menos σh dando lugar a K0 elevados
especialmente a profundidades someras. El efecto se reduce en profundidad.
(como en un suelo)
Tensiones residuales: Cambios físicos o químicos, recristalizaciones
locales, enfriamiento diferencial, conductividades térmicas diferentes en
materiales en contacto, etc. Muy difíciles de analizar.
Inclusiones: Diques,
diapiros, batolitos, etc.
G&C, III

Inclusiones: Diques, diapiros, batolitos, etc.
G&C, III
Tomado de González

Tensiones tectónicas: Actúan a nivel regional . Diversas fuentes bibliográficas
(www.world-stress-map.org)
www.world-stress-map.org

Tensiones tectónicas
Tomado de González
Variación de tensiones verticales en
un sinclinal y en un anticlinal.
Goodman, 1989 (tomada de
Perucho, A. (2007)

Fracturas y discontinuidades:
Tomado de González

MEDIDA DEL ESTADO TENSIONAL IN SITU
OVERCORING: Permite medir las 6 tensiones
Tomado de González de
Vallejo, L. et al.
ISRM Suggested Methods for Rock Stress Estimation. 1987, 2003

FRACTURACIÓN HIDRÁULICA:
Tomado de González de
Vallejo, L. et al.

GATOS PLANOS: Miden la tensión normal a un plano determinado. Se
requieren varias orientaciones. También proporciona módulo de deformación.
Tomado de González

Suponiendo medio elástico e isótropo y σv=p y σh=Kp
LA INFLUENCIA DE K0 EN LOS TÚNELES
Solución de Kirsch, 1898. Tomada de Brady & Brown, 1985

Primera observación: Las tensiones no dependen de los
parámetros del terreno E y νννν.
Ese resultado no parece razonable en la realidad (se sabe que
no lo es), pero sin embargo sugiere que la geometría del túnel
controla en gran medida las tensiones. Eso es interesante.
Segunda observación: Para r = a, se obtienen las tensiones en
la superficie de la excavación, que es un “plano” principal”

Tercera observación: Lejos del túnel se restituye en estado
inicial. Para θθθθ =0 y r muy grande:

Cuarta observación: Las tensiones circunferenciales extremas
se producen en hastiales (θθθθ =0, 180º) y en la clave y en el fondo
( 90, 270º)
K<1/3: tracciones en clave y fondo
K>3: Tracción en hastiales
K=0: σA=3p; σB=-p
K=0,33: σA=p; σB=0
K=0,5: σA=2,5p; σB=0,5p
K=1 (hidrostático): σA=σB= 2p
K=3: σA=0; σB=8p

Ejemplo para K=0,5
Mayores tensiones en los
hastiales del túnel. En ellos se
concentran las tensiones
Hoek & Brown. Tomada de UPC
“Tensiones en torno a excavaciones”.
Ingeniería Geológica. Excavaciones
subterráneas

Ejemplo para K=0
“Tensiones en torno a excavaciones”. Ingeniería
Geológica. Excavaciones subterráneas
Las tensiones dependen de la
disposición de los semiejes.
Primer caso. Mejor la forma
elíptica que la circular (menor
tensión en hastiales
Tercer caso: Situación más
desfavorable. Se incrementa
mucho la presión en hastiales,
con un gradiente desde la clave
muy alto

Ejemplo otras formas de túnel
Arriba. Sección de alcantarilla
para K 0,5 y 1. Las tensiones se
concentran en los vértices
inferiores y la bóveda
Abajo: Sección carretera o
ferrocarril. Concentración de
tensiones en confluencia de
hastiales y contrabóveda

Tensión circunferencial en función de geometría y K
Tomada de UPC
La combinación de
ambos gráficos
podría proporcionar
la sección óptima
para un K dado.

Obviamente se pueden analizar muchas otros factores:
• Túnel cercano a la superficie (semiespacio).
•Proximidad entre túneles.
•Etc.
•El siguiente paso sería incorporar la resistencia de la roca, la
plasticidad , analizar la relajación, los sostenimientos, etc.

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