1. CAPÍTULO
CAPÍTULO II. INTRODUCCIÓN
OBJETIVO :
• DINÁMICA DEL FLUJO EN MEDIOS POROSOS
ENFOQUE MATEMÁTICO - SOLUCIÓN
ANALÍTICA
CONTEXTO :
HACIA UN APROVECHAMIENTO DE AGUAS
SUBTERRÁNEAS
2. I.2. PROPIEDADES BÁSICAS
AGUA
FLUJO EN UN MEDIO POROSO
SUELO
Se consideran 6 propiedades básicas del fluido y el
medio poroso como necesarias para describir el flujo en
un medio completamente saturado:
AGUA:
• Densidad del agua (ρ)
• Viscosidad dinámica (µ) o cinemática (ν)
• Compresibilidad (β)
3. I.2. PROPIEDADES BÁSICAS
MEDIO POROSO:
• Porosidad (n) o índice de vacíos (e)
• Permeabilidad (k)
• Compresibilidad (α)
4. I.2.1 ENFOQUE MACROSCÓPICO DE CONTINUO
La Mecánica de Fluido y la Hidráulica en particular
aprovecha el concepto de CONTINUM en líquidos para
estudiar su movimiento
CONTINUM puede ser entendido como la vecindad
(continuidad) existente entre elementos de tal manera
que su interacción mutua domine sobre su movimiento
individual, aunque esto no sea suprimido
5. I.2.2 POROSIDAD
Macroscópicamente, la porosidad puede ser definida
como:
Vv
n=
V
Vv : volumen de vacíos; V volumen total del medio.
También,
ρb
n =1 −
ρd
ρb : densidad volumétrica del material de acuífero
ρd : Densidad de las partículas del acuífero
6. I.2.2 POROSIDAD
También se suele utilizar el índice de vacíos e
Vv
e=
Vs
Con Vs el volumen de sólidos en el medio. Y también,
e
n=
1+ e
7. I.2.2 POROSIDAD
Tanto n como e no son propiedades de un acuífero. En general dependerán
del historial de esfuerzos.
0.35
0.3
Indice de vacíos
0.25
0.2
0.15
0.1
1 10 100 1000
Esfuerzos
8. I.2.2 POROSIDAD
Relación entre textura y porosidad de un suelo
(Textura : proporción relativa de arena, limo y arcilla que contiene)
a) depósito sedimentario bien c) poros en roca formados por
gradado de alta porosidad disolución de minerales.
b) pobremente gradado de d) porosidad en rocas
baja porosidad debido a fracturas
9. I.2.2 POROSIDAD
DESCRIPCIÓN POROSIDAD
Arena o grava bien gradadas 0.25 – 0.50
Arena y grava mezcladas 0.2 - 0.35
Morrenas 0.1 - 0.2
Limos 0.35 - 0.5
Arcillas 0.33 - 0.6
(Fetter, 1988)
11. I.2.2 POROSIDAD
CURVA GRANULOMÉTRICA
100
90
80
70
Porcentaje de finos
60
50
40
30
20
10
0
100 10 1 0.1 0.01 0.001
Diámetro de la muestra mm
12. I.2.2. POROSIDAD
Del análisis granulométrico se pude inferir la calidad de la
uniformidad de diámetros en una muestra de suelo.
2
D60 D30
Cu = Cc =
D10 D60 D10
Siendo D60, D30 y D10 diámetros para los que pasan 60%, 30% y
10% respectivamente. Cu y Cc el coeficiente de uniformidad y
curvatura
Cu ≥ 4 gravas Cu ≥ 6 arenas
BIEN GRADADOS !
1 ≤ Cc ≤ 3
13. I.2.3. COMPRESIBILIDAD
El comportamiento de un medio poroso puede ser asemejado a:
σ σ
σ = σ´ + u
Siendo σ el esfuerzo total, σ’ el esfuerzo efectivo y u la presión de poros
El esfuerzo total es transmitido al
• medio sólido σ ’
• medio líquido u
La proporción absorbida, depende de la compresibilidad relativa de cada uno
14. I.2.3. COMPRESIBILIDAD
CONDICIÓN NO DRENADA:
“Cuando no existe escape o fuga de agua del medio poroso en el corto plazo”
CONDICIÓN DRENADA:
σ = σ’
A semejanza de la Ley de Hooke:
∆L
σ =Eε ó ∆σ = E ∆ε ; ∆ε ≡
l
15. I.2.3. COMPRESIBILIDAD
∆V
= − α ∆σ ´
V
Siendo α el coeficiente de compresibilidad. A partir de:
dV d (Vv + Vs )
= ò
V V
Se concluye que: dn dV
=
1− n V
y si, ∆σ = 0 es decir: ∆σ ´ = − ∆ u
ò
d n = − α (1 − n) γ dh
16. I.2.3. COMPRESIBILIDAD
d n = S s dh
Ss es el coeficiente de almacenamiento específico (specific storage
coefficient) de un acuífero saturado
Si el coeficiente de compresibilidad del aguas es considerado,
∂n ∂h
= γ (α + n β )
∂t ∂t
ó ∂θ ∂h
= γ (α + n β )
∂t ∂t
17. I.2.3. COMPRESIBILIDAD
queda,
Ss = γ (α + n β )
α = 10-6 a 10-11 [m2/N] y β = 4.4 10-10 [m2/N]
MATERIAL α Ss
[m2/N] [m-1]
Arcilla 10-6 - 10-8 10-2 - 10-4
Arena 10-7 - 10-9 10-3 - 10-5
Grava 10-8 - 10-10 10-4 - 10-6
Roca 10-8 - 10-11 10-4 - 10-8
18. I.2.3. COMPRESIBILIDAD
Una aproximación al asentamiento producido por una extracción de
agua subterránea desde un acuífero puede inferirse por la expresión:
∆H = − α H ∆σ ´
MATERIAL COMPRESIBILIDAD (m2/N)
Grava 10-8 - 10-10
Arena 10-7 - 10-9
Arcilla 10-8 - 10-8
Roca dura 10-9 - 10-11
Roca fracturada 10-8 - 10-10
19. I.3 LEY DE DARCY
En 1856 Henry Darcy en la ciudad de Dijon
(Francia) fue quien realizo experimentos para
purificar el agua de suministro a la ciudad.
Con la esquematización siguiente dedujo: ∆x
El caudal colectado era proporcional al
• área de filtros disponible L
• la carga de agua sobre los filtros
e inversamente a:
• la longitud del filtro por el cual se
percolase el agua
20. I.3 LEY DE DARCY
La proporcionalidad tradujo en una constante a la que se
denominó “permeabilidad”
∆h
Q =κ A
L
Siendo h la cota piezométrica o la energía disponible para ocasionar el
flujo. Posteriormente se ha establecido matemáticamente el concepto
asociado de flux.
∂h
q = −K
∂x
El signo negativo indica que el gradiente hidráulico decrece en la
dirección del flujo. (Si el gradiente decrece en sentido negativo de
la coordenada, el signo no es necesario
21. I.3 LEY DE DARCY
En ocasiones se suele escribir,
dh
v = −K
dx
Denominada velocidad darciana pero que no es precisamente la
velocidad con que se mueve el flujo
La velocidad macroscópica: Q
v=
A
Una aproximación a la velocidad del flujo:
Q
v=
nA
22. I.3 LEY DE DARCY
Aplicaciones de Darcy:
• flujo subterráneo
• flujo no saturado
• flujo de lubricantes y petroleos
• flujo a través de filtros en ingeniería química
• biología: flujo a través de membranas en el cuerpo humano
23. I.3.1 LEY DE DARCY - VALIDEZ
La Ley de Darcy está sujeta a que se instale flujo laminar. Ello depende
de:
• tamaño de las partículas de material
• densidad del fluido
• viscosidad del líquido
Un parámetro adimensional que considera y delimita ello, es:
vD QD
Re = =
υ υ A
Se afirma que Darcy es válida para Re< 1
Para el caso del agua puede tomarse ν = 1.14 10-6 [m2/s]
24. I.4 CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
La conductividad hidráulica K es dependiente tanto del fluido como del
medio poroso.
C g d2
K =
ν
ν : viscosidad del fluido. Función de la temperatura
C d2 : una propiedad del medio. C es adimensional y depende de,
• granulometría de la muestra
• esfericidad y angulosidad de los granos
• grado de acomodamiento de las partículas
A veces C d2 se suele interpretar como la permeabilidad intrínseca
del medio poroso. De ese modo,
k d2
K =
ν
25. I.4 CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
PERMEABILIDA CONDUCTIVIDAD
MATERIAL INTRÍNSECA HIDRÁULICA
(darcy) (cm/s)
Arcilla 10-6 - 10-3 10-9 - 10-6
Limo, limo arenoso 10-3 - 10-1 10-6 - 10-4
Arena limosa, arena 10-2 - 1 10-5 - 10-3
fina
Arenas bien gradadas 1 - 102 10-3 - 10-1
Gravas bien gradadas 10 - 103 10-2 - 1
Fetter 1988
!La variación de K es de 13 ordenes de magnitud!
Muy pocos parámetros tienen esa variación.
26. I.4 CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
La temperatura estándar para pruebas de laboratorio para hallar K es de 15.6
Cº.
La presencia de sal en el agua influencia a la densidad y por ende a K
Para depósitos aluviales consistente de arenas se a notado que (Fetter, 1988)
• Conforme se incrementa el diámetro medio, crece K
• K decrece, de una muestra de un diámetro medio dado, conforme la
desviación estándar del diámetro de las partículas se incrementa
(material fino llenara los huecos)
• Material grueso muestra decremento en K cuando se incrementa la
desviación estándar de finos en la muestra
• Muestras de diámetro uniforme tiene una gran conductividad
hidráulica
27. I.4 CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
Allen Hazen, basado en ensayos con permeámetros y curvas
granulometrícas en arenas propuso la siguiente relación:
K = C D10
2
MATERIAL Coeficiente C
Arena fina, mal gradada 40 - 80
Arena fina con muchos finos 40 - 80
Arena mediana, bien gradada 80 - 120
Arena gruesa, pobremente gradada 80 - 120
Arena gruesa, bien gradada y limpia 120 - 150
Fetter, 1988
A la utilización indiscriminada de Hazen puede llevar a resultados errados!
28. I.4 CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA
PERMEABILIDAD EN ROCAS
• permeabilidad primaria
rocas clásticas sedimentarias (similar a no consolidados). La
cementación y compactación en las rocas reduce su
permeabilidad primaria. Roca cristalina tiene baja
permeabilidad con excepción de la roca volcánica
• permeabilidad secundaria
fracturas y fisuras son la causa para la permeabilidad
secundaria. La disolución química e intemperismo pueden
incrementar esta permeabilidad
Notas del editor
Leer de Hirch pag 2-3
Texto de la Tesis y del Hirch aplicando a aguas subterráneas, por ejemplo
