1. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
HIDROSTATICA.
La hidrostática estudia el comportamiento de los fluidos en estado de reposo,
en este caso se analizará la fuerza y la presión que un fluido aplica sobre
puntos sumergidos, superficies planas y superficies curvas.
PRESIÓN.
Es la fuerza que ejerce un fluido por unidad de área. La unidad es N/m²
denominada pascal, en sistema ingles se utiliza psi lb/in².
Presión absoluta: valor de presión medido desde el cero absoluto.
Presión manométrica: valor de presión medido a partir del valor de presión
atmosférica local.
Presión atmosférica local: valor de presión de un sitio geográfico medido desde
el cero absoluto.
P absoluta = P atmosférica local + P manométrica.
P vacío = P atmosférica local – P absoluta.
P manométrica
P atmosférica
local
P vacío
P absoluta
P absoluta P atm P atm
Figura 6.
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2. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
PRESIÓN SOBRE UN PUNTO DE UN FLUIDO ESTATICO.
Supongamos un punto de dimensiones infinitesimales sumergido en un fluido
de peso especifico γ constante, como se ve en la figura 7, como el fluido es
esta tico se puede hacer sumatoria de fuerza en x y y. El elemento tiene
espesor 1.
y
Ps
ds
dy
Px
dW
Θ
x
dx
Py
Figura 7.
Siendo:
dy
senθ = ,y
ds
dx
cos θ =
ds
Realizando las ecuaciones de equilibrio:
∑ Fx = 0 = Px(dy ×1) − Ps × senθ (ds ×1)
⎛ dy × dx ⎞
∑ Fy = 0 = Py(dx ×1) − Ps × cosθ (ds ×1) − γ ⎜
⎜ 2
×1⎟
⎟
⎝ ⎠
De la ecuación del eje x se obtiene:
Pxdy = Ps × senθ × ds
De la ecuación del eje y se obtiene:
Pydx = Ps × cosθds + γdydx
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3. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
Reemplazando el valor de sen Θ y de cos Θ, se obtiene:
dy
Pxdy = Ps × × ds
ds
Pxdy = Psdy
Px = Ps
De otro lado:
Pydx = Ps × dx × ds + γdydx
ds
Pydx = Psdx + γdydx
Py = Ps + γdydx
Por ser dy y dx unidades pequeñas el producto dy dx tiende a cero y entonces:
Py = Ps
Y Px = Py = Ps , por lo tanto la presión sobre un punto es la misma en
cualquier dirección.
Analicemos ahora dos puntos separados una longitud infinita L contenidos en
un cilindro.
a b
Pa Pb
δA
δB
L
Figura 8.
Realizando equilibrio en el eje horizontal:
∑ Fx = 0 = PaδA − PbδB
Como el cilindro es recto las áreas δA = δB y entonces
Pa = Pb
De lo anterior concluimos que dos puntos localizados en el mismo plano
horizontal inmersos en un fluido estático tienen el mismo valor de presión.
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4. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA.
Definamos un cuerpo de dimensiones infinitesimales sumergido en un fluido
estático con peso especifico ψ y a una profundidad h. (Figura 9).
y
∂p dy h
P+
∂y 2
dy
dz
dx
x
∂p dy
P−
z ∂y 2
Figura 9.
Realizando las ecuaciones de equilibrio.
⎛ ∂p dy ⎞ ⎛ ∂p dy ⎞
∑ Fy = ⎜ P −
⎜ ⎟dxdz − ⎜ P +
⎟ ⎜ ⎟dxdz − γdxdydz = 0
⎟
⎝ ∂y 2 ⎠ ⎝ ∂y 2 ⎠
∂p dy ∂p dy
Pdxdz − dxdz − Pdxdz − dxdz − γdxdydz = 0
∂y 2 ∂y 2
∂p
− dydxdz − γdxdydz = 0
∂y
Análogamente en los otros planos y quitando el término de peso:
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5. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
∂p
− dydxdz = 0
∂y
∂p
− dydxdz = 0
∂y
Ahora analizando la variación de fuerza para el cuerpo se tiene:
∂F = ∂Fxi + ∂Fy j + ∂Fz k
⎛ ∂p ∧
∂p ∧
∂p ∧
⎞ ∧
= ⎜ dxdydz i + dxdydz j + dxdydz k ⎟ − γdxdydz j = 0 =
⎜ ∂x ⎟
⎝ ∂y ∂z ⎠
Dividiendo entre dVol
⎛ ∂p ∧ ∂p ∧ ∂p ∧ ⎞ ∧
− ⎜ i+
⎜ ∂x ∂y j+ k ⎟ − γ j = 0
⎟
⎝ ∂z ⎠
De donde se obtiene,
∂p ∂p ∂p
− = 0;− − γ = 0;− = 0
∂x ∂y ∂z
Entonces tenemos,
∂p
− −γ = 0
∂y
dp = −γdy
∫ dp = −γ ∫ dy
P = γy = γh
P = γh , el signo menos queda cancelado por que la variación de
presión es negativa.
Reemplazando y por h tenemos,
P = γh Ecuación fundamental de la hidrostática.
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6. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
MANOMETROS (PIEZOMETROS).
La ecuación fundamental de la hidrostática muestra que una altura h de un
fluido puede provocar cambios en la presión, lo que sugiere que una columna
de fluido puede ser utilizada para medir diferencias de presión, un aparato
basado en este principio se denomina manómetro o piezómetro y se usa
comúnmente para medir pequeñas y medianas diferencias de presión. Un
manómetro consiste básicamente d un tubo en U de vidrio o plástico que tiene
en su interior uno o más fluidos, para mantener el manómetro en una escala
manejable se utilizan fluidos pesados como el mercurio si se prevén grandes
diferencias de presión. Existen diferentes configuraciones de acuerdo a las
diferencias de presiones que se desean medir, las cuales son:
1) PA es ligeramente mayor al valor de la presión atmosférica local.
a
h
b
R
A
Figura 10.
Para determinar la presión en el punto A el cual es la presión interna del
tanque, se escoge un punto de referencia y se empieza a utilizar la
ecuación de la hidrostática de la siguiente manera.
Pa = 0 , por ser la atmosférica local
Pb = Pa + γh = γh
PA = Pb + γR = γ (h + R )
2) PA mucho más grande que la presión atmosférica local. Se utiliza un
líquido piezométrico con una valor de peso especifico mucho mayor que
el valor de peso especifico del agua y que no sea misible en la sustancia
ala cual se le medirá la presión.
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7. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
γ1
A c a
h2 h1
b’ b
γ2
Figura 11.
Determinamos la presión en el punto A,
Pa = 0 , manométrica.
Pb = Pa + γ 2 h1 = γ 2 h1
Pb' = Pb = γ 2 h1
Pc = Pb'−γ 1h2 = γ 2 h1 − γ 1h2
PA = Pc = γ 2 h1 − γ 1h
3) PA mucho más pequeña que la presión atmosférica local.
Pa = 0 , manométrica
Pa' = Pa
Pb = Pa'−γ 2 h1 = γ 2 h1
Pc = Pb − γ 1h2 = γ 2 h1 − γ 1h2
PA = Pc = γ 2 h1 − γ 1h2
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8. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
γ1
A
c
h2
b
h1
a’ a
γ2
Figura 12.
4) Utilización de manómetros para medir diferencias de presión entre dos
tanques.
γB
γA d
B
A a h3
c
h1 h2
b b’
γm
Figura 13.
El objetivo es hallar la diferencia de presión entre los taque PA – PB.
Pa = 0 , manométrica
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9. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
Pb = Pa + γ A h1 = PA + γ A h1
Pb' = Pb
Pc = Pb'−γ m h2 = PA + γ A h1 − γ m h2
Pd = Pc − γ B h3 = PA + γ A h1 − γ m h2 − γ B h3
PB = Pd = PA + γ A h1 − γ m h2 − γ B h3
PA − PB = γ m h2 − γ B h3 − γ A h1
VARIACION DE LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA CON RESPECTO A LA
ALTURA.
Se intenta determinar la variación de la presión atmosférica teniendo los datos
iniciales: ρ 0 , P , R, T0 , Y0 . Las condiciones finales serán: ρ , P , R, T , Y
0
realizando una variación en la altura ΔY.
Supongo T0 = T = T constante.
P0
P0 = ρ 0 RT , por lo tanto: RT = .
ρ0
P
P = ρRT , y se tiene: RT = . De estas dos relaciones tenemos:
ρ
P0 P Pρ 0
= ⇒ρ= .
ρ0 ρ P0
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10. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
dp = − γ dy
dp = − ρ gdy
Pρ 0
dp = gdy
P0
dpP0
= − dy
Pρ 0 g
P0 P dp y
∫ = − ∫ dy
ρ0g P P
0 y 0
P0 P
ln = −( y − y0 )
ρ 0 g P0
P y − y0
ln =−
P0 P0
ρ0g
⎛ ⎞
⎛ P⎞ ⎜ y−y ⎟
e ^ ⎜ ln ⎟ = e ^ ⎜ −
⎜ P ⎟
0
⎟
⎝ 0 ⎠ ⎜ P0 ⎟
⎝ ρ0g ⎠
⎛ ⎞
⎜ y−y ⎟
P = P0 e ^ ⎜ − 0
⎟
⎜ P0 ⎟
⎝ ρ0g ⎠
Del este resultado se puede observar que las variación en la presión
atmosférica solo es considerable para diferencias de altura grandes.
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11. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS EN FLUIDO
ESTATICO.
1. PLANO HORIZONTAL.
A
dF
ψ dA
F
A
y’
x’
Figura 14.
Se tiene una placa sumergida en un fluido estático, se necesita encontrar la
fuerza F, que el fluido le aplica y las coordenadas (x’,y’) del punto de
aplicación de dicha fuerza.
∫ dF = ∫ PdA
F = P ∫ dA = PA
Fuerza sobre la placa, recordemos que P = γh .
Ahora encontremos el punto de aplicación.
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12. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
x' F = ∫ xdF
1
x' = ∫ xdF
F
1
x' = ∫ xPdA
PA
P
x' = ∫ xdA
PA
1
x' = ∫ xdA = x
A
Por estática esta expresión es el controide x , de igual manera se procede para
encontrar la coordenada y’, luego las coordenadas de aplicación de la fuerza es
( )
x, y .
2. PLANO INCLINADO.
θ
h dA
h dF y
F
yF
y
x
xF
y x
Figura 15.
Encontraremos la fuerza F que el fluido le aplica a la placa y su punto de
aplicación.
El ángulo Θ relaciona la profundidad h con la coordenada y de la siguiente
manera:
h h
senθ = = .
y y
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13. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
Donde x, y , h representan las coordenadas y la profundidad respectivamente
del centro de gravedad de la placa.
Ahora hallemos la fuerza F.
dF = PdA
∫ dF =γhdA → h = senθy
∫ dF = ∫ γysenθdA
F = γsenθ ∫ ydA
F = γsenθ y A → senθ y = h
F = γ hA
Si definimos Pcg = γ h .
Tenemos que:
F = Pcg A .
Encontremos ahora el punto de aplicación de la fuerza.
y F F = ∫ ydF
1
y F = ∫ yPdA
F
1
yF = ∫ yysenθγA
γsenθ y A
γsenθ
yF = ∫ y dA
2
γsenθ y A
1
yF = ∫ y dA → ∫ y dA = I X
2 2
yA
I
yF = X
yA
Por ejes paralelos I X = I CG + y 2 A .
I CG
yF = + y.
yA
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14. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
EJEMPLO 1.
γ = 54 lbf
ft 3 6 ft
2 ft
γ = 54 lbf
F1 ft 3
6 ft
Compuerta 6 ft de
ancho F
F2
W
8 ft
a) Encontrar la magnitud y línea de acción de la fuerza hidrostática en
cada lado de la compuerta F1 y F2.
b) Hallar la fuerza resultante de F1 y F2 sobre la compuerta.
c) Determinar la magnitud de F para abrir la compuerta si esta tiene una
masa de 2000 Kg-m.
Sol/
Primero hallamos la fuerza F1 que aplica la parte izquierda del tanque sobre la
compuerta.
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15. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
θ
6 ft
y1
y
rF 1
F1
yF 1
Empezamos definiendo como ya se sabe que:
F1 = γ hA = γsenθ y A .
Gráficamente se obtiene,
6 6
senθ = = .
10 y1
Despejando obtenemos que y1 = 10 .
6 ft
PIVOTE
10 ft
COMPUERTA
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16. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
y = y1 + yCG , donde yCG es el centro de gravedad de la compuerta, que en
este caso es 5, entonces,
y = 10 + 5 = 15.
F1 = 54 x 6/10 x 15 x (6 x 10) = 29160 lb-f.
Ahora hallamos el punto de aplicación de F1.
I CG
yF 1 = y + .
yA
y F 1 = 15 + ((6 x 10³)/12)/(15 x 60).
y F 1 = 15.55 ft.
De aquí obtenemos que:
rF 1 = 15.55 – 10 = 5.55 ft.
De igual manera obtenemos la fuerza F2 y su aplicación que el lado derecho
del tanque le aplica a la compuerta.
θ
yF 2
y2
y
rF 2
F2
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17. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
F2 = γ 2 h2 A2 = γ 2 senθ y A2 .
Gráficamente tenemos
6 2
senθ = = , de donde
10 y2
y2 = 10/3 = 3.33 ft.
Hallamos y,
y = 3.33 + 5 = 8.33 ft.
Y podemos hallar la fuerza F2.
F2 = 54 x 6/10 x 8.33 x (6 x 10) = 16193.52 lb-f.
Hallamos el punto de aplicación.
I CG
yF 2 = y + .
yA
y F 2 = 8.33 + ((6 x 10³)/12)/(8.33 x 60).
y F 2 = 9.33 ft.
De este resultado obtenemos,
rF 2 = 9.33 – 3.33 = 6 ft.
Otra fuerza actuante sobre la compuerta es el peso de esta y es:
W = ma = (2000 x 2.2) x 32.17 = 141548 lb-f.
Si aplicamos equilibrio sobre la compuerta y realizamos sumatoria de
momentos alrededor del pivote podemos encontrar la fuerza F necesaria para
abrirla. Y así tenemos:
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18. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
PIVOTE
rF 1
F1
rF 2
F
W
F2
rW
rF
∑M PIVOTE
= (F1 × rF 1 ) + (W × rW ) − (F2 × rF 2 ) − (F × rF ) = 0
F=
(F × r ) + (W × r ) − (F
1 F1 W 2
× rF 2 )
rF
rF = 8 ft
rW = 4 ft
Y encontramos el valor mínimo de F para abrir la compuerta.
F = 78858.6 lb-f.
EJEMPLO 2.
Encontrar el valor de P necesario para mantener la compuerta cerrada, la
compuerta tiene 4m de ancho el γ del agua es 9806 N/m³.
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19. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
4m
3m
A2
A1
1.5m
2m
hF 1
h2
F1
3m
F2
P
1.5m
Primero hallamos el valor de F2 de la siguiente manera:
F2 = PA2 = γh2 A2 = 9806 N × 5m × (1.5 × 4 )
m2
F2 = 294180 N
Hallamos ahora F1 teniendo en cuenta que h1 = 2 + 1.5 = 3.5m tenemos
entonces:
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20. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
F1 = γ h1 A1 = 9806 N × 3.5m × (4 × 3)
m2
F1 = 411852 N
4 × 33
I CG 12 = 3.71m
hF 1 = h1 + = 3.5 +
h1 A1 3.5 × 4 × 3
Ubicando las fuerzas para aplicar ecuación de equilibrio y despreciando el peso
de la compuerta tenemos:
0
rF 1
F1
rP
F2
P
rF 2
∑ M = (F × r ) + (F × r ) − (P × r ) = 0
0 1 F1 2 F2 P
P=
(F × r ) + (F × r )
1 F1 2 F2
rP
rF 2 = 0.75m
rF 1 = hF 1 − 2 = 1.71m
rP = 3m
P = 308300.64 N
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21. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS EN FLUIDO
ESTATICO.
Fv
F
FH
Para determinar el valor de F debemos encontrar sus componentes en un
sistema de coordenadas determinado, como por ejemplo horizontal y
vertical (x,y).
COMPONENTE HORIZONTAL.
Θ
dF
dFH
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22. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
dF = PdA
dFH = dF cos θ
dFH = PdA cos θ
dFH = γhdA cos θ
∫ dF = ∫ γhdA cos θ
A
H
A
FH = ∫ γhdA cos θ
A
FH = γ h Aproyectada
h : distancia desde la superficie del fluido hasta el plano donde esta el
centro de gravedad del área proyectada.
Aproyectada : Proyección de la superficie A sobre un plano vertical.
hFH : Línea de acción de FH sobre A.
I
hFH = h +
hAPROYECTADA
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23. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
COMPONENTE VERTICAL.
dF = PdA
dF = γhdA
dFV = γhdA cos θ
∫ dF = ∫ γhdA cos θ
A
V
A
FV = ∫ γhdA cos θ
A
FV = γ ∫ hdA cos θ
A
FV = γ ∫ dV
A
FV = γV
Donde V es el volumen del fluido generado por encima de la superficie
curva hasta la superficie del fluido.
La línea de acción se determina de la siguiente manera:
1
FV x' = ∫ dFV x ⇒ x' = ∫ dFV x
A FV A
1 1
x' = ∫ xdFV ⇒ x' = ∫ xγdV
γV A γV A
x' = 1 ∫ xdV ⇒ x' = xV
VA
La ubicación es en el centroíde del volumen.
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24. RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE
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