Resumen del Capitulo 3 del Libro de Rocha

1. CAPITULO 3
1. Ecuación de Darcy
Consideremos el flujo en un
cilindro de longitud L. Las fuerzas
que actúan son la diferencia de
presiones, la fricción y el peso del
fluido.
La suma de la fuerza debida a la
diferencia de presiones y la
componente del peso es igual a la
resistencia que ofrece el contorno
( 𝑝1 − 𝑝2) 𝐴 +γLsenθ A = 𝜏 𝑜PL
Donde:
A: sección transversal P: perímetro
𝜏 𝑜: corte medio sobre el contorno.
Consideremos que el flujo es turbulento:
𝜏 𝑜 = γRS
𝜏 𝑜 =
𝛾
𝐶2
𝑉2
𝑉 = C√𝑅𝑆
La ecuación de Darcy: ℎ 𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑉2
2𝑔
, 𝑓 =
64
𝑅𝑒
2. Significado del coeficiente 𝒇 de Darcy (en tuberías circulares)
𝑓 es una función del número de Reynolds. En el flujo turbulento, que estudiaremos a
continuación, el significado de 𝑓 es más complejo.
𝑓 = 𝜑(𝑅𝑒,
𝑘
𝐷
)
La rugosidad relativa es la relación de la rugosidad absoluto y el diámetro de tubería.
La rugosidad absoluta depende de la calidad de las paredes expresada por:
 Altura media de las irregularidades de la superficie
 Variación de la altura con respecto a la media
 Forma de las irregularidades del contorno
 Separación entre irregularidades adyacentes
En un tubería hidráulicamente lisa se desarrolla una subcapa laminar cuyo espeso es
bastante mayor que la rugosidad 𝑓 = 𝜑(𝑅)

2. En cambio en una tubería hidráulicamente rugosa: 𝑓 = 𝜑(
𝑘
𝐷
)
3. Tuberías hidráulicamente lisas
Nikuradse estableció la siguiente relación empírica
𝑓 = 0.0032 +
0.221
𝑅𝑒0.237
La fórmula de Konakov que da el valor de 𝑓 en el flujo turbulento
𝑓 =
1
(1.81𝑙𝑜𝑔𝑅𝑒−1.5)2
En el siguiente grafico se muestra la
relación completa entre el coeficiente 𝑓
de Darcy y el número de Reynolds para
tuberías lisas. Abarca el flujo laminar, el
flujo turbulento y la transición entre
ambos escurrimientos.
4. Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Grafico de Nikuradse
El valor de la velocidad y el coeficiente de Darcy dependen exclusivamente de la
rugosidad relativa
1
√ 𝑓
= 2𝑙𝑜𝑔
3.71𝐷
𝑘
Se observa que ahora 𝑓 es función exclusiva de la rugosidad relativa. Es independiente
de número de Reynolds.
El grafico de Nikuradse representa en conjunto el comportamiento de las tuberías lisas,
rugosas y a la transición entre ambos.

3. Analizando el grafico se encuentra:
 La rugosidad de las paredes no tiene ninguna influencia sobre la resistencia.
 A medida que la tubería es relativamente más lisa se requiere un número de
Reynolds mayor para que la tubería se aparte de la curva que corresponde a las
tuberías lisas.
 Para valores altos de número de Reynolds el coeficiente 𝑓 es función exclusiva
de la rugosidad relativa.
 Para tuberías comerciales se utilizara el diagrama de Moody.
5. Introducción del coeficiente 𝒇 de Darcy en las ecuaciones de
distribución de velocidades
Vh − V
V.
= 5.75log
h
R
+ 2
Donde:
Vh : Velocidad a la distancia h del contorno V : Velocidad media
V. : Velocidad de corte R : Radio hidráulico
Nos muestra que la diferencia entre la velocidad puntual y la media depende de la
distancia al contorno. Es independiente de que el contorno sea hidráulicamente liso o
rugoso.
Relación entre la velocidad máxima y la velocidad media. La velocidad máxima que se
desarrolla en el eje corresponde a h=2R.
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝑉
= 1.43√𝑓 + 1
Si en una tubería se miden los valores puntuales de la velocidad a diferentes distancias
del centro, se obtiene experimentalmente, para un caso particular, la ley de
distribución de velocidades.
Si los valores medidos hubieran sido obtenidos con gran precisión, bastaría con tomar
dos de ellos y obtener dos ecuaciones con dos incógnitas y resolver el sistema.

4. Es preferible obtener 𝑓 y V a partir de todos los valores medidos, haciendo un grafico
en papel semilogaritmetico.
𝑉ℎ = 2.15𝑉√𝑓 𝑙𝑜𝑔
ℎ
𝑟
+ 1.43𝑉√𝑓 + 𝑉
Que representa una línea recta cuya
ecuación es de la forma
y = mx + b
Donde:
m = 2.15𝑉√ 𝑓 , y = 𝑉ℎ , x = 𝑙𝑜𝑔
ℎ
𝑟
, b = 1.43𝑉√ 𝑓 + 𝑉
6. Transición entre contornos lisos y rugosos. Formula de Colebrook –
White
No podemos decir que un determinado contorno es en sí liso o rugoso. Depende
también de las características del escurrimiento. Un contorno puedo comportarse como
liso frente a un flujo, ero como rugoso frente a otro flujo. Todo depende de la relación
entre el tamaño en la rugosidad y el espesor de la subcapa laminar que podría
desarrollarse.
En las tuberías de rugosidad natural, el fenómeno de la transición es diferente. Esto se
debe a que en una superficie con rugosidad natural las irregularidades del fondo son
de diferente tamaño.
Los valores de 𝑓 en la zona de transición entre tuberías lisas y rugosas se obtiene por
medio de la formula de Colebrook y White.
Tuberías rugosas
1
√ 𝑓
= 2𝑙𝑜𝑔
3.71𝐷
𝑘
Tuberias lisas
1
√ 𝑓
= 2 log
𝑅𝑒√ 𝑓
2.51
Combinando ambas ecuaciones se obtiene la ecuación Colebrook – White
1
√ 𝑓
= −2log [
𝑘
𝐷
3.71
+
2.51
𝑅𝑒√ 𝑓
]

5. 7. Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales. Errores
Si las paredes no son lisas, sino rugosas, no se forma la subcapa laminar, pero hay
perdidas de energía por rozamiento y formación de vórtices en el contorno.
Además hay pérdida de carga por frotamiento interno entre los fieles fluidos, la misma
que depende del grado de turbulencia.
Las condiciones que debe reunir una ley de pérdida de carga son las siguientes:
 Base racional, compatible con principios de Mecánica de Fluidos.
 Explicación clara del fenómeno de disipación de energía.
 Verificación experimental. Sus parámetros deben ser susceptibles de medida.
 La formula general de Colebrook y White satisfacen estas condiciones.
 La ecuación de Chezy, o la de Darcy
𝑉 =
√2𝑔
𝑓
√𝑅𝑆
El cálculo de una tubería tiene un objetivo preciso: determinar cuál es el diámetro
requerido para transportar un cierto gasto bajo condiciones dadas (perdida de carga,
rugosidad, viscosidad, etc.)
Analizaremos la influencia que tiene el gasto para tuberías lisas y rugosas.
Tuberías Lisas:
La formula de Colebrook y White para paredes lisas es
𝑄 = −2
𝜋𝐷2
4
√2𝑔√𝐷𝑆 log
2.51𝑣
√2𝑔𝐷√ 𝐷𝑆
Tuberías Rugosas:
La formula de Colebrook y White para paredes lisas es
𝑄 = −2
𝜋𝐷2
4
√2𝑔√𝐷𝑆log
𝑘
3.71𝐷
- Una variación del 10% en el diámetro produce una variación del 25% en el gasto
- Una variación del 10% en la pendiente produce una variación del 5% en el gasto
- Una variación del 10% en la rugosidad absoluta produce una variación del 1% en el
gasto.
8. Tuberías de sección no circular
En algunos casos se presentan tuberías (conductos de presión) de sección diferente a
la circular, como por ejemplo cuadradas, rectangulares, ovales, etc.
Ecuación fundamental para determinar el coeficiente 𝑓
𝑓 = 𝜑(𝑅𝑒,
𝑘
𝐷
)
Tendría que ser ampliada de modo de incluir también el factor de forma de sección

6. 𝑓 = 𝜑(𝑅𝑒,
𝑘
𝐷
, 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎)
En tuberías no circulares la perdida de carga puede calcularse con la formula de darcy.
Para esto se debe introducir dentro de la formula el concepto del radio hidráulico, radio
hidráulico de una sección circula es D/4. Y la ecuación de Darcy se transforma:
ℎ 𝑓 = 𝑓
𝐿
4𝑅
𝑉2
2𝑔
9. Ley exponencial de distribución de velocidades
La distribución de velocidades en las proximidades del contorno no depende del
diámetro de la tubería, está determinada por la viscosidad, la densidad y el corte sobre
el contorno.
Las curvas de distribución de velocidades permanecen similares al variarse la
velocidad. Si la velocidad media triplica entonces la velocidad máxima también se
triplica, y en todos los puntos varían en una misma proporción.
𝑉ℎ = 𝑉𝑚𝑎𝑠 (
ℎ
𝑟
)
𝑥
Donde:
r: radio de la tubería
x: valor que debe determinarse.
La velocidad máxima es proporcional a la velocidad media.
𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑉
La distribución exponencial de velocidades en una tubería es:
𝑉ℎ = 𝑉𝑚𝑎𝑠 (
ℎ
𝑟
)
1/7
Para números de Reynolds mayores de 105el exponente x tiende a disminuir. Prandtl
menciona que para un número de Reynolds de 200000, la curva de distribución de
velocidad queda mejor representada por el exponente 1/8 y para un numero de
Reynolds 10 veces mayor, el exponente es 1/10.
10.Concepto de capa limite
El gradiente transversal de velocidades depende del grado de turbulencia. Cuando el
flujo es lamina (cuando no hay turbulencia) el gradiente de velocidades es muy
grande. Al aumentar la velocidad, y por consiguiente el numero de Reynolds y el grado
de turbulencia, el gradiente de velocidades disminuye, tiende a uniformizarse.
En un flujo con turbulencia plenamente desarrollada la distribución de velocidades es
casi uniforme en la sección. La influencia del contorno se limita a una capa, muy
delgada, próxima a las paredes. Allí los esfuerzos viscosos son grandes y el gradiente
de velocidad es intenso. A esta pequeña capa se le denomina capa límite.

7. Si en este flujo colocamos un obstáculo, un cuerpo, se producirá fricción entre el fluido
y la superficie del cuerpo. En las inmediaciones del cuerpo la distribución de
velocidades estará determinada por los esfuerzos viscosos. Aparecerá un gradiente de
velocidades. Al alejarnos del cuerpo la velocidad aumenta desde cero en el contorno
hasta alcanzar, a una distancia δ la velocidad que tendría en ausencia del cuerpo.
La teoría de la capa limite planteada por Prandtl en 1904 es uno de los aportes más
significativos a la Mecánica de Fluidos.
Esta zona de espesor variable δ que se inicia en el borde de ataque y crece hacia
aguas debajo se denomina capa límite.
La esencia de la teoría de Prandtl consiste en separar el escurrimiento en dos regiones:
una interior y otra exterior a la capa limite.
Dentro de la capa limite los esfuerzos viscoso son intensos y determinan un fuerte
gradiente de velocidades. Fuera de la capa limite el fluido se comporta como perfecto e
irrotacional con energía constante.

8. El espeso de esta capa es más pequeño mientras mayor sea el número de Reynolds.
Para un numero de Reynolds finito, que corresponde a un fluido ideal, sin viscosidad,
es evidente que el espesor de la capa limite es nulo.
11.Espesor de la capa limite
Se traza la asíntota y una recta que partiendo del origen intercepta a la asíntota de
modo que las áreas achuradas sean iguales.
En esta imagen se intercepta la asíntota con una tangente a la curva de origen.
Otra definición es la que considera el “espesor de desplazamiento”. El espesor de
desplazamiento es la distancia en la que se considera desplazado el flujo como
consecuencia de la disminución de velocidad en la capa limite.

9. Es espesor de desplazamiento δ.
𝛿.= ∫ (1 −
𝑉ℎ
𝑉
) 𝑑ℎ
ℎ=∞
ℎ=0
12.Desarrollo de la capa limite
En cualquier caso, si es que la placa es suficientemente lisa, la capa limite es laminar
hasta una cierta distancia del borde de ataque. Luego de una transición, se vuelve
turbulenta. Aparece dentro de la capa limite turbulenta una subcapa laminar.
La transición entre el flujo laminar y turbulento dentro de la capa limite se produce
para valores del numero de Reynolds comprendidos entre 2x105 y 106 siendo:
𝑅𝑒 =
𝑉𝑥
𝑣
Donde a x se le denomina la distancia media desde el borde de atraque y a lo largo de
la placan en la dirección del escurrimiento.
El espesor de la capa limite laminar 𝛿 𝐿 viene dador por:
𝛿 𝐿 =
5𝑥
𝑅𝑒1/2 = 5(
𝑣
𝑉
)
1/2
𝑥1/2
El espesor de la capa limite turbulento 𝛿 𝑇 viene dador por:
𝛿 𝐿 =
0.38𝑥
𝑅𝑒1/5 = 0.38 (
𝑣
𝑉
)
1/5
𝑥4/5
13.La separación. Expansión de un conducto
Si la capa limite se desarrolla en una tubería que arranca de un estanque, se
presentaran las fases descritas en la figura. Para un determinado valor de x la capa
limite turbulenta se habrá desarrollado íntegramente en la sección transversal y δ es
igual al radio. Si las paredes de la tubería son suficientemente lisas se desarrollara una
subcapa laminar de espesor δ.
Hasta ahora hemos considerado que el
flujo exterior a la capa limite se
caracteriza por tener energía
constante.
El efecto del gradiente de presiones
del escurrimiento sobre el espesor de
la capa limite se ilustra en el siguiente
esquema.

10. La condición
𝜕𝑝
𝜕𝑥
> 0 corresponde a líneas
de corriente divergentes. Si esta
condición se presenta en el
escurrimiento, su efecto será muy fuerte
en la capa limite puesto que allí se tiene
el efecto de fricción del contorno.
Luego por efecto del gradiente de
presiones positivas se produce dentro de
la capa limite una contracorriente.
Aparece una separación que se inicia en
el punto S.
La separación es el fenómeno del
alejamiento del flujo de la pared.
Siempre por una razón u otra haya
un incremento de presión, las
partículas de la capa limite
perderán velocidad hasta
detenerse y si la diferencia de
presión es muy fuerte las
partículas avanzan en dirección
contraria a la del escurrimiento.
Este problema se presenta en una
expansión, en un flujo de líneas
de corriente divergentes.
Podría ser el caso de un difusor o
un canal de sección creciente.
Si el gradiente de presiones es
muy grande se produce la
separación.