1. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 1/311/31
Tema 2
Cinemática de fluidos

2. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 2/312/31
Sólidos, líquidos y gases
La distinción no siempre es clara y nítida. Por ejemplo, el asfalto puede
soportar tensión durante tiempos cortos, pero empieza a fluir a tiempos
largos.

3. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 3/313/31
Concepto generales
Cambia de forma y se adapta al contenedor.
Se deforma de manera continua.
No recupera la forma al cesar la fuerza.
Pueden ser comprimidos pero no traccionados.
Sólido:
F
S
= K
a
h
= Kγ → 0 sólo si γ → 0
Líquido:
F
S
= µ
U
h
= µ ˙γ → 0 sólo si ˙γ → 0

4. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 4/314/31
Aproximación del continuo
Criterio dinámico: Recorrido libre medio (500 Å en aire).

5. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 5/315/31
Partícula fluida
Es una porción del volumen que debe:
1. ser lo suficientemente grande como para que su densidad sea la densidad
promedio del fluido.
2. ser lo suficientemente pequeña como para que sus propiedades físicas
(temperatura, densidad, etc) sean uniformes.
3. ser identificable durante tiempos suficientemente largos.
Flujo
Campo de velocidades asociado al fluido en movimiento: u(r, t). Cuando
u = u(r) se dice que el flujo es estacionario.

6. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 6/316/31
Líneas en un fluido
Trayectoria: Curva recorrida por la partícula fluida.
Marcamos una partícula fluida con tinta y hacemos una foto de muy larga
exposición.
r = r0 +
t
t0
v(r0, t ) dt
Línea de emisión: Curva constituida por las partículas fluidas que van pa-
sando por un mismo punto.
Vamos inyectando tinta en un punto cualquiera pero fijo en el fluido y ha-
cemos una foto instantánea.
Línea de corriente: Curva tangente al campo de velocidades en todo punto
en un cierto instante de tiempo.
u × dl = 0 ⇒
dx
u
=
dy
v
=
dz
w

7. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 7/317/31
En un flujo estacionario todas estas líneas coinciden.

8. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 8/318/31
Viscosidad y ley de Newton
Sir Isaac NEWTON, 1642–1727
F
S
= τ = µ
du
dy
Viscosidad dinámica: µ.
Unidad SI: Poiseuille. 1 Pl = 1 kg/m s.
Unidad CGS: Poise. 1 Po = 0,1 Pl
Viscosidad cinemática: ν = µ
ρ.

9. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 9/319/31
Valores de las viscosidades dinámica y cinemática
µ (g/cm s) ν (cm2
/s)
Aire 0.00018 0.15
Agua 0.011 0.011
Mercurio 0.016 0.0012
Aceite de oliva 0.99 1.08
Glicerina 23.3 18.5
Tensión superficial

10. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 10/3110/31
Explicación microscópica
dW = F dx = 2σL dx = 2σ dS
σ: Tensión superficial.
Unidades SI: N/m.
Agua: 70 × 10−3
N/m.
Mercurio: 480 × 10−3
N/m.

11. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 11/3111/31
Ley de Laplace
Pierre Simon LAPLACE, 1749–1827
Si cambiamos R a R + dR la energía de la su-
perficie aumenta.
dWS = σdS = σd 4πR2
= 8πσR dR
Trabajo de las fuerzas de presión
dWP = −∆P dV = −(P1 − P2) d
4
3
πR3
= −(P1 − P2)4πR2
dR
Luego dWS + dWP = 0 ⇒ P1 − P2 = σ
2
R

12. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 12/3112/31
Ley de Laplace general
P1 − P2 = σ
1
R
+
1
R
Presión en un fluido estático
Fuerza por unidad de área. Como no hay movimiento la viscosidad no
juega ningún papel, por lo que esta fuerza es normal a la superficie.
Patm → 1 atm = 101,3 kPa = 1,013 bar, con 1 bar = 105
Pa

13. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 13/3113/31
La fuerza de presión no depende de la dirección
dm =
1
2
ρ dxdydz
dx = ds cos θ
dy = ds sen θ
0 = P1ds dz sen θ − P3dy dz
0 = P1ds dz cos θ − P2dx dz + g dm
Cuando dV → 0 obtenemos P1 = P2 = P3.

14. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 14/3114/31
Ley de Pascal
Blaise PASCAL, 1623–1662
El balance de fuerzas en las direcciones X y
Z muestra que P no puede depender de x ó
z. En la dirección Y
Pdx dz − (P + dP)dx dz − ρgdx dy dz = 0
⇒
dP
dy
= −ρg (agua ρg ∼ 0,1 atm/m)
P(y) = P0 − ρgy

15. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 15/3115/31
Capilares
∆P = ρgh =
2σ
r
=
2σ cos θ
R
h =
2σ cos θ
ρgR

16. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 16/3116/31
Principio de Arquímedes
ARQUÍMEDES, 287–212 a.C.
Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba que
es igual al peso del volumen de fluido desalojado.

17. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 17/3117/31
Demostración
La fuerza en la dirección vertical es
Fy = − P(y) cos θ dA = − Q · dA
siendo Q ≡ P(y). Aplicando el teorema de
la divergencia [AM18]
Fy = − · Q dV = −
dP
dy
dV = ρgV

18. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 18/3118/31
Descripción lagrangiana
Estudia el movimiento de una partícula fluida
y, en particular, la trayectoria de la misma.
r = r0 +
t
t0
v(r0, t ) dt
por lo que v(r0, t) = dr
dt
Descripción euleriana
Estudia la dinámica del fluido a partir del campo u(r, t).

19. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 19/3119/31
Aceleración de una partícula fluida
Du
Dt
=
∂u
∂t
+ (u · )u
Podemos entonces relacionar la aceleración de la partícula fluida (concepto
lagrangiano) con el campo de velocidades del fluido (concepto euleriano).
Derivada material
Campo escalar H(r, t) Campo vectorial F(r, t)
DH
Dt
=
∂H
∂t
derivada local
+ u · H
derivada advectiva
DF
Dt
=
∂F
∂t
+ (u · )F

20. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 20/3120/31
Demostración
Considereremos una partícula fluida que en el instante t se encuentra en
r1. En t + δt se encontrará en r2 = r1 + u(r1, t)δt + O(δt2
) con velocidad
u(r2, t + δt).

21. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 21/3121/31
δu = u(r2, t + δt) − u(r1, t) = u(r2, t + δt) − u(r2, t)
cambio temporal
+ u(r2, t) − u(r1, t)
cambio espacial
Desarrollando por Taylor hasta primer orden obtenemos
u(r2, t) − u(r1, t) =
∂u
∂x
δx +
∂u
∂y
δy +
∂u
∂z
δz
donde δr = (δx, δy, δz) = r2 − r1 = u(r1, t)δt. Entonces
Du
Dt
≡ l´ım
δt→0
δu
δt
=
∂u
∂t
+ (u · )u

22. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 22/3122/31
Tensor de deformaciones
Cuando pasamos de r a r + dr, el campo de velocidades cambia de u(r, t)
a u(r, t) + du, con
dui =
∂ui
∂xj
dxj ≡ Gij dxj
donde se ha empleado el criterio de suma sobre índices repetidos.
Se define el tensor de deformación como
Gij =
∂ui
∂xj
= eij + ωij
eij =
1
2
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
ωij =
1
2
∂ui
∂xj
−
∂uj
∂xi

23. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 23/3123/31
Deformación pura
Para simplificar consideramos un espacio bidimensional.
Admitiremos ahora que sólo e11 y e22 son no nulas.
ω12 = −ω21 = 0 =⇒
∂u1
∂x2
=
∂u2
∂x1
e12 = e21 = 0 =⇒
∂u1
∂x2
= −
∂u2
∂x1



=⇒
∂u1
∂x2
=
∂u2
∂x1
= 0
Por tanto, las derivadas no nulas en este caso son
e11 =
∂u1
∂x1
= 0 e22 =
∂u2
∂x2
= 0

24. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 24/3124/31
Coordenadas en t y t + dt respecto a los ejes X1 y X2
A (0, 0) → A u1(0, 0)dt, u2(0, 0)dt
B (dx1, 0) → B dx1 + u1(dx1, 0)dt, u2(dx1, 0)dt
C (0, dx2) → C u1(0, dx2)dt, dx2 + u2(0, dx2)dt

25. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 25/3125/31
Como
u1(dx1, 0) u1(0, 0) +
∂u1
∂x1
dx1 u2(dx1, 0) u2(0, 0) +
∂u2
∂x1
=0
dx1
u1(0, dx2) u1(0, 0) +
∂u1
∂x2
=0
dx2 u2(0, dx2) u2(0, 0) +
∂u2
∂x2
dx2
las coordenadas en t + dt respecto a los ejes X1 y X2 son
A (0, 0)
B dx1 +
∂u1
∂x1
dx1dt, 0
C 0, dx2 +
∂u2
∂x2
dx2dt

26. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 26/3126/31
El cambio relativo en las longitudes de las aristas es
A B − AB
AB
=
∂u1
∂x1
dt
A C − AC
AC
=
∂u2
∂x2
dt
Para un paralelepípedo de aristas dx1, dx2 y dx3, el cambio relativo de
volumen V = dx1dx2dx3 por unidad de tiempo es
1
V
DV
Dt
=
1
dx1dx2dx3
D
Dt
dx1dx2dx3 =
1
dxi
D
Dt
dxi =
∂ui
∂xi
1
V
DV
Dt
= · u
Si el fluido es incompresible · u = 0.

27. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 27/3127/31
Efecto de las componentes no diagonales
Consideremos que e11 = e22 = 0 y e12 = e21 = 0.
ω12 = −ω21 = 0 =⇒
∂u1
∂x2
=
∂u2
∂x1
e11 = e22 = 0 =⇒
∂u1
∂x1
=
∂u2
∂x2
= 0



=⇒ e12 = e21 =
∂u1
∂x2
=
∂u2
∂x1
= 0

28. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 28/3128/31
u1(dx1, 0) u1(0, 0) +
∂u1
∂x1
=0
dx1 u2(dx1, 0) u2(0, 0) +
∂u2
∂x1
dx1
u1(0, dx2) u1(0, 0) +
∂u1
∂x2
dx2 u2(0, dx2) u2(0, 0) +
∂u2
∂x2
=0
dx2
las coordenadas en t + dt respecto a los ejes X1 y X2 son
A (0, 0)
B dx1,
∂u2
∂x1
dx1dt
C
∂u1
∂x2
dx2dt, dx2

29. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 29/3129/31
θ = π/2 (ángulo entre segmentos A B y A C ). Sea dφ la variación del
ángulo entre ambos segmentos
dφ ≡ θ −
π
2
=⇒ dφ sen(dφ) = sen θ −
π
2
= − cos θ
Utilizando que hasta primer orden
A B dx1 A C dx2
A B · A C
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
dx1dx2dt = 2e12dx1dx2dt
tenemos
dφ = − cos θ = −
A B · A C
A B A C
= −2e12dt
dφ
dt
= −2e12

30. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 30/3130/31
Rotación pura
ωij = 0, eij = 0 =⇒ ∂u1
∂x2
= −∂u2
∂x1
. dβ −∂u1
∂x2
dt = ∂u2
∂x1
dt = dα
dα
dt
=
∂u2
∂x1
=
1
2
∂u2
∂x1
−
∂u1
∂x2
= ω21

31. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 31/3131/31
Vorticidad
Sea ωk = − ijkωij. Entonces
ωk = −
1
2
ijk
∂ui
∂xj
+
1
2
ijk
∂uj
∂xi
= −
1
2
(− ijk)
∂uj
∂xi
+
1
2
ijk
∂uj
∂xi
= kij
∂uj
∂xi
ω = × u
Ejemplo: rotación uniforme
u = r ×Ω = rΩ r ×z = rΩ φ → uφ = rΩ
ω = ×u
[AM16c]
=
1
r
∂(ruφ)
∂r
z = 2Ω z = 2Ω