Raíces Cuadradas y Cúbicas

1. RAÍCES

2. Temario
¿Qué es una Raíz?
La Definición de Raíz como Potencia
Raíz Cuadrada
Raíz Cúbica
El Indice Igual al Exponente
Multiplicación de Raíces de Igual Indice
División de Raíces de Igual Indice
Raíz de una Raíz.
Descomponer una Raíz
Racionalización

3. ¿Qué es una Raíz?
Una Raíz es una expresión que consta de un
INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.
4
¿Indice, raíz, cantidad subradical?
24
Indice
Cantidad
Subradical
(-5,3) 8
4
ö çèæ
÷ø
5
Símbolo
de Raíz
2

4. Elementos de una Raíz
m an
Exponente del
INDICE Subradical
SUBRADICAL
Símbolo
de Raíz

5. Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.
Raíz = Potencia 3
_
¿Qué significa la Raíz?
_2
_
4 =
÷øö çè
æ
5
Ojo: El Indice 2
no se escribe.
4 25 =
5
2
_4
25
3
(-5,3)
= 3
(-5,3)
6
77
2
(-0,6)
= 2 3
2
_
2
ö çè
= 6
÷ø
æ
7
77

6. Transforma las siguientes raíces a Potencia
4 =
73 =
3
=
5
æ 3
7
ö çè
ö çè
1
4
2
1
5
ö çè
3
7
ö çè
1
5
4
7
2
3
ö çè
5
m
n
d
2
Transforma las siguientes Potencia a Raíces
1
6
2 =
= ÷ø
4
3 5 =
3 74 =
= ÷ø
æ 3
2
3
5
m5 =
m d n =
5
( 0,3
) 2 =
9
5
ö çè
æ 2
= ÷ø
2
2
4
3 =
ö
1
= ÷ ÷ø
æ
-
ç çè
7
6
5
3
7
c
a
b =
2
3
7
2
3
÷ø
æ
2
4
÷ø
æ
3
3
3
5
÷ø
æ
m
6
0,35
2
9
5
ö çè
÷ø
æ
3 42
7
6
5
3
- 7
b ac

7. _
Importante:
a ≥ 2
Lectura de una Raíz.
-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej.
-Indice 3, Raíz Cúbica. Ej.
-Indice 4, Raíz Cuarta. Ej.
65
3 67
4 67
En General
a nb=
b
nb na
0 = 0 a b a 1b= 1

8. Raíz Cuadrada
4 = 2 ya que 2×2 = 4
9 = 3 ya que 3×3 = 9
16 = 4 ya que 4×4 = 16
25 = 5 ya que 5×5 = 25
2 =1,4142135623730950488016887242...
Pero es solo una aproximación decimal de la
Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a es como .
2 2
Esto sucede con muchas raíces cuadradas que
no entregan un resultado exacto

9. Raíz Cúbica
3 8 = 2 ya que 2× 2× 2 = 8
3 27 =3 ya que 3×3×3 = 27
3 64 = 4 ya que 4× 4× 4 =64
3 125 =5 ya que 5×5×5 = 125
3 3 = 1,4422495703074083823216383107796...
Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación
decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a es como .
3 3 3 3
Esto sucede con muchas raíces Cúbicas que
no entregan un resultado exacto.

10. 1 - Propiedad:
El Indice Igual al Exponente.
Sabiendo que: 7 2
23 =
2
3
_
3 2 7
¿Cuál será el resultado de?
5 25 =
5
_5
2 1 2
= 2
5 =
a
a _ n =
En General: na na
= n

11. 2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
3
2 3 7
1
)2
• 57
• 2
7
5 (5 9
_ _
2
2
_
Sabiendo que: 7 23 =
¿Cuál será el resultado de?
9 =
9
2 2 =
1
_
2 ( ) 2
7 _
• =
9 (2
En General: aa nnx =
_2
)
1
7
• 5
29 7 • 5
• a my a nx•my

12. Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
a)
3 6 · 3 36 =
b)
8 · 2 =
c) · 9
3 3 =
16
3
4
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
3
3 5 · 3 · 3 6 · 5 =
3 3 · 3 4 · 3 2 · 3 9 =
(-1,2) · (-1,2)5 =
2
4
- · 3 - =
3
5
2
3
2
3
3 m5 · 3 m4 =
n7 · n5 =
4
a3n · 3 b2n · a5n · 3 b7n =
6
4
4
3 30 · 15
6
(1,2)3
9
m3
n6
a2nb3n
2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.

13. 3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
3
_
3 2 7
1
=
_ 7 _2
1
Sabiendo que: 7 23 =
¿Cuál será el resultado de?
7
5 =
52
÷ 57
72
_ _
2
7 5 7 ) 2 (5 (7 ÷ 5
=
)
En General: a nnx =
1
57
5 _2
)
75 7 5
a my a nx my
÷
÷
( ÷
÷ ÷

14. 3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
a)
b)
c) 5
d)
8 4
=
2
81
3
3
= 3
=
3 7
5
3 4
=
·
3 8
81 2
3
·
3
m n e)
f)
=
3 5 ·
3 8
m n
3 2 3 2
·
5
4
a
d
· · 3 =
6
3
b
3 2 b
d
a
3
5
3
2
mn3
a
b

15. 3
2 3 7
7 23 =
Sabiendo que:
¿Cuál será el resultado de?
5
4 75
75
53
_ _
=
_
• •1
5 _6
) 2
3
= 7 _(
4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
7
5
52
12
_ _
=
) _25 _4
( 7 7
=
1
= 7
_2
( 7 7
mn b•a mn
En General: a =
=
12
_
5
3 6 75
b
32 )3
= 3
6
2 y

16. Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
16 =
3 7 =
3 4 5 =
m8n4 =
12
y
3 =
=
3 24
x
3 3 18
x
6
x
2
6 7
12 5
m2n4
x2
y
x2

17. Descomponer una Raíz
Sabiendo que: m× n = m × n
Resolver lo siguiente
50x7
25× 2× x × x6
25
+ 32x7
+
+
5
=
=
16× 2× x × x6
× 2× x × x6
16
× 2 × x × x3 +
4
× 2 × x × x3
5x3 2x + 4x3 2x
Son términos semejantes
9x3 2x
× 2× x × x6
=
=
=

18. Descomponer una Raíz
Otro ejemplo
45 + 20
- 80 - 125
-
-
-
Son términos semejantes
+ -
9×5 4×5
9 × 5
-
-
- 4 5
4× 4×5 5× 25
4 × 5 4 × 4 × 5 5 × 25
+
3 5 + 2 5 2× 2× 5 5 5
3 5 + 2 5 - 4 5 - 5 5
=
=
=
=

19. Racionalización
Racionalizar es amplificar una fracción donde el
denominador presenta una Raíz, con el fin de
que ésta no aparezca.
Ejemplos:
1
=
2
a
2 =
2
a3
n
a =
3 3n2
3 9n
3
¿Qué es lo que hay que saber?
7 × =
Amplificar: 2
4
4
28
8
n n = n =
Propiedad de Raíces: x x n x
Multiplicar Raíces 2 × 8 = 2×8 = 16 = 4
Raíz como Potencia
Potencias x3 × x5 = x3 × x5 = x8 = x4

20. Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma
p
q a
7
=
3
3
× =
3
7
3
7 3 =
=
3×3
7 3
32
7 3
3
n x
=
n =
× =
m x
x
m x
n x =
m x × x
n x
m x2
n x
mx
2 5 ( ) + × =
+ =
7
2 5 7
( ) =
7
7
+
7 7
2 5 7 + × =
×
2 7 5 7
72
2 7 + 35
7
7
n
n
2
7 =
4) = 3
p a
=
p × =
=
7
n n
q a
a
q a
7
p a
p a =
q a × a
q a2
p a
qa
En General
1)
2)
3)
=
5
7
n
=
4 1
=
n4 n
× =
n
n2 n
n n
7
n
n

21. Racionaliza las siguientes Expresiones
7
= ×
11
7
11
ax
15
= ×
a
ax
a
2 5
15
2 5
40 2 2
a b
40
= ×
a
a b
a
10
10
a a
= ×
a a
3 a3
a
7
= ×
49
7
49
=
ab
b a
+ =
2
8 2
=
y x x y
-
xy xy
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)

22. p
×
Racionalizar Raíces Cuadradas de la Forma q n ak
3 2
7 × =
= 3 4
7 4 =
7 4
=
3 4
3 2
4
3
4 4
3 × 2
7 4
3
4
3 3
74 4
4
n =
n =
× =
m4 x3
4
4 3 x
× 4
x
m x
n x =
×
×
4
4 3
m x x
n x
×
4 4
×
4
m x
n4 x
mx
a a ( ) + × =
+ =
3 2
1)
2)
3
a
a a ( ) + × =
3
3
3 3 2
3
a
a
a
3 2 3
a a a
a a a + × =
3 3
3 3 a 2
a
3 3
3 a
a a a
3
3 + 3
a
7 =
n n -
k
7 4) =
7
p =
× =
q × n ak
n n k
7
7
p a
=
n k a
n n k
× -
q a
3 2
4
× n n -
k
q n a
n
p ×
a =
× ×
-
-
n k n k
q a a
p a
×
3)
En General
p × n an -
k
q ×
a
=
3 47
3 46 × 4
3 46 × 3 4
=
42 × 3 4
.....
4
4 4
3 2
2 3 ×
×

23. Racionaliza las siguientes Expresiones
7
7
= × 3 11
3 11
ax
15
= ×
ax
15
3 2 23 5 2
2 5
a
a
2
40
a b
= ×
3 2
2
40
a b
3 2
10
10
a
a
ab 3
a
= ×
3 2
ab 3
a
3 2
a b
a b
7
7
= × 3 49
3 49
=
ab
b3 a5
4 11 4 7
+ =
4 3
2 2
2
=
3 7 2 6
x x y
-
7 9 6
x y
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)

24. Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas
e Indice Par
Como, por ejemplo, 4 = 2
- 4
ya que 2×2 = 4
y así para todas las Raíces Cuadradas
de Números Positivos
entonces
NO SE PUEDE OBTENER LA RRAAÍÍZZ
CCUUAADDRRAADDAA DE NÚMEROS
NEGATIVOS
Es decir:
No Existe
- 0,2 No Existe
- 25 No Existe
36
En General, Esta condición es propia
de todas las Raíces de INDICE PAR.
4 - 0,12 No Existe
8
- 25 No Existe
36

25. Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e
Indice Impar
Las Raíces que tienen INDICE IMPAR
NO tienen restricción
Es decir:
3 -8 = -2 ya que - 2×-2×-2 = -8
3 - 27 = -3 ya que - 3×-3×-3 = - 27
2
2
2
- 8 = - 2
3 ya que - ×- ×- =
3
27
3
3
3
- 8
27
7 -128 = -2 ya que - 2×-2×-2×-2×-2×-2×-2 = -128

26. Ecuaciones con Irracionales.
Una Ecuación Irracional es determinar el valor de
la incógnita que se encuentra bajo raíces.
Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:
x + 3 = 7
x + 3 = 1- 2x
x + 3 + 4 - x = 7 3x +1
3 2x +1 + 5 = 7 3x +1
Para resolverlas hay que seguir dos
pasos muy sencillos:
i) Si hay más de una raíz, se
debe aislar en uno de los lados
de la ecuación.
ii) Elevar al cuadrado ambos lados
de la ecuación.

27. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
OJO. En estricto rigor la solución de la
ecuación debe estar en el siguiente
conjunto:
2x - 4 = 6
[2,¥ +[
/2
Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada
en uno de los dos lados de la ecuación.
2x - 4 = 6 Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
lados de la igualdad a 2.
( )2 2 2x - 4 = 6 El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen.
2x - 4 = 36 Se resuelve como una ecuación de primer
grado con una incógnita.
x = 20

28. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
x +8 - 3+ x =1
/2
Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos
lados de la ecuación.
Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
lados de la igualdad a 2.
El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen y en el otro
lado de la igualdad tengamos que realizar el
cuadrado de un binomio.
x + 8 =1+ 3+ x
( )2 ( )2 x + 8 = 1+ 3+ x
x +8 =1+ 2 3+ x + 3+ x
4 = 2 3+ x Debemos volver al paso i), raíz aislada y
elevamos al cuadrado ambos lados de la
igualdad.
/2
42 = (2 3+ x )2
16 = 4(3+ x)
16 =12 + 4x
1 = x
Aquí en adelante la Ecuación Irracional se
transforma en una Ecuación de Primer Grado
con una Incógnita

29. Curiosidades
2 1 1
2 1
2 1
2 ...
2 1
+
+
+
+
1) = +
2) Algoritmo para determinar una raíz.

30. Links
http://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htm
http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.php
http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327