Concepto de ecuaciones lineales, resolución de ejercicios y problemas.

1. ECUACIONES LINEALES
O DE PRIMER GRADO

2. Una ecuación es una igualdad entre dos
expresiones algebraicas que sólo se
cumple para el valor de la incógnita. Si el
exponente de la variable es 1, se llama
ecuación lineal o de primer grado con
una incógnita.

3. En una ecuación, la expresión
algebraica del lado izquierdo del signo
igual se llama primer miembro y la
del lado derecho se llama segundo
miembro.
3
4 6 3
x
2
  x 
PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO

4. La resolución de una ecuación lineal
con una incógnita es un procedimiento
que se basa, fundamentalmente, en la
propiedad de la igualdad que
establece que:
Si a los miembros de una igualdad se
realizan las mismas operaciones, se
obtiene una nueva igualdad.

5. Esta propiedad permite dar un enunciado
que simplifica su aplicación:
Cualquier término o factor de un
miembro en una igualdad puede pasar
al otro miembro si se cambia en la
operación contraria a la que realizaba.
Ejemplo:
4 8
3
x
2
x

Lo que divide pasa
a multiplicar
  4x 8  2(x 3)
Lo que suma pasa
a restar
4x 8  2(x 3) 4x  2(x 3) 8

6. 4x  2x68
4x  2x 14
Se multiplica lo
que está en el
paréntesis
4x  2x 14
4x2x  14
2x pasa al otro
miembro a restar
2x  14
14
7
2
x

2 pasa a dividir   
4x  2(x 3) 8
4x  2x68
Se suman los
números
negativos

7. PROBLEMAS

8. Para resolver un problema seguimos el
procedimiento:
a) Comprender el problema
b) Identificar la incógnita
c) Plantear las estrategias de solución
d) Obtener los datos
e) Plantear la ecuación
f) Obtener el valor de la incógnita
g) Comprobar el valor de la incógnita

9. Ejemplo:
Juan nació cuando su mamá tenía 28 años.
Actualmente, la edad de la mamá de Juan es el
triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan?
DATOS
PLANTEAMIENTO
Juan Mamá de Juan
Edad de la mamá
cuando nació Juan
28
Edad actual x 28 + x
Relación actual entre las
28 + x = 3x
edades

10. ECUACIONES CON PARÉNTEIS
Algunos problemas que dan lugar a
ecuaciones con paréntesis; las traducimos
y luego, resolvemos las ecuaciones.
Ejemplo: Encuentra tres números
enteros consecutivos que sumen 108.
x : Primer número
x (x 1) (x  2) 108

11. ECUACIONES CON PARÉNTEIS
Las ecuaciones con paréntesis; lo
resolvemos aplicando la propiedad
distributiva:
Ejemplo:
3x 4(x  2)  75(x 5)
3x  4x 8  7 5x  25)
3x4x5x  7258
6x  24 x  4

12. USO DE GRÁFICOS PARA
RESOLVER PROBLEMAS
Para resolver un problema, a veces es
necesario usar como apoyo los gráficos:
Ejemplo: Un tren salió de una ciudad a una
velocidad de 50 km por hora. Tres horas más
tarde salió otro del mismo punto y en la
misma dirección. Si el segundo tren iba a 75
km por hora, ¿Cuánto tiempo tardó en
alcanzar al primero?

13. Sea “x horas” el tiempo que utiliza el segundo
tren para alcanzar al primer tren
El primer tren habrá utilizado “x + 3” horas
hasta ser alcanzado por el segundo tren
50 km/h
75 km/h
Encuentro
x + 3 : Tiempo utilizado
x : Tiempo utilizado
1er Tren
2do Tren

14. La distancia recorrida será el mismo para
ambos trenes
D1 = 50km . (x + 3) horas
D2 = 75km . x horas
50(x 3)  75x

15. A veces, las ecuaciones son fórmulas con
diferentes variables. Generalmente se les
llama ecuaciones literales. Estas se resuelven
para una de esas variables, despejándola. Todo
el procedimiento que se sigue es el mismo.
Ejemplo: Resuelve para F la siguiente
ecuación.
9 (C + 40) = 5 (F + 40)

16. Encuentra la solución de las siguientes
ecuaciones.
1.- (5x - 6) + x = 2x + 10
2.- 9m – (m – 4) = 3 + (m – 6)
3.- -10x = -6(4 + 3x)
4.- 2x + 3(x – 2) = 18
5.- -(4x – 17) = 6(x – 3)
6.- 4(x -2) = -5(x +12)

17. ECUACIONES CON COEFICIENTES
FRACCIONARIOS
Una ecuación con coeficientes
fraccionarios se resuelve
multiplicando ambos miembros de
ésta por el mínimo común múltiplo de
los denominadores. Quitamos los
denominadores. Luego, procedemos
como ecuaciones enteras

18. Ejemplo: Un problema del papiro
matemático Rhind (1800 A.C.) dice:
“Una cantidad más su sétima parte
es 19”. El enunciado lleva la
intención de preguntar por la
cantidad. Es un enunciado simple
cuya expresión simbólica es:
x
=19
7
x +

19. Ejemplo: La tercera parte de un ángulo
sumada con 9° es igual a la quinta parte
del mismo ángulo sumado en 11°. ¿Cuál
es el valor del ángulo?
El proceso de resolución de una ecuación
de primer grado se basa en aplicar
procedimientos algebraicos que van
transformando la ecuación original en
otras más simples.
x x
  
9 11
3 5

20. Ejercicio: Resuelve las siguientes
ecuaciones con fracciones.
7
+
2
1.- 2.-
2x
3.- 4.-
3
4
= x
2x +7
4
= 6
5
1=12
3
x
= 52
x
6
3x
7

21. ECUACIONES LINEALES POR
TRANSFORMACIÓN ALGEBRAICA
En ocasiones se nos presentan ecuaciones
que pueden ser expresadas como otras
ecuaciones lineales, después de varias
transformaciones algebraicas. Algunas
son las llamadas ecuaciones literales que
se resuelven para una u otras variables.

22. Ejemplo: Resolver para y la ecuación
3x – 6y = 8
Ejemplo: Resolver para C la fórmula
F = 9/5 C + 32
Algunas ecuaciones aparentemente no
son lineales porque la incógnita se
encuentra elevada a un exponente
mayor que 1 o aparece en el
denominador de una fracción.

23. Para resolverlas, es necesario
realizar operaciones que no
alteren la igualdad.
Ejemplo: Resolver la ecuación
2x (x + 5) = -x (10 – 2x) + 100

24. Ejercicio: Resuelve las siguientes
ecuaciones.
1.- x2 – 2x + 15 = x + x2 – 3
2.- -2m2 – 3m = m (-2x – 6) – 930
3.- 5c + 8d = 13 despeja “d”
4.- 5 (x + a) = 10 (x – 2a) despeja “x”
5.- (w – 1) (w + 1) = w2 – 2w + 3
6.- (a + 8)2 + 12 = (-a – 2)2 – 5