1. RAICES

2. 4
¿Qué es una Raíz?
Una Raíz es una expresión que consta de un
INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.
¿Indice, raíz, cantidad subradical?
2
4
Indice
Cantidad
Subradical
(-5,3)
8






5
4
Símbolo
de Raíz
2

3. Elementos de una Raíz
m
a
n
Exponente del
SubradicalINDICE
SUBRADICAL
Símbolo
de Raíz

4. _
_
¿Qué significa la Raíz?
(-5,3)
3






5
4
=
Ojo: El Indice 2
no se escribe.
Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.
4
2
5
=
5
2
_
4
2
54
3
(-5,3)
_
2
=
3
(-5,3)
6 





5
4 77
6
Raíz Potencia= 3
(-0,6)
2
= (-0,6)
2
3
2
_






7
2
=
6






7
2
77
6

5. Transforma las siguientes Potencia a Raíces
Transforma las siguientes raíces a Potencia
=4
=3
7
=
5
3
=





3
7
4
=3
5
=3 4
7
=




3
2
3
5
=5
m
=m n
d
=2
1
6
( ) =2
5
3,0
=




 2
9
5
2
=3
2
4
=





−
7
1
3
6
5
7
=b
c
a
2
1
4
2
3
7
2
1
5
3






2
3
7
4






3
1
5
3
4
7
3
2
3
5






m
n
d
2
5
m
6
5
3,0
9
5
2






3 2
4
7
3
6
5
7
−
b c
a

6. _
Importante:
Lectura de una Raíz.
-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej.
-Indice 3, Raíz Cúbica. Ej.
-Indice 4, Raíz Cuarta. Ej.
3 7
6
5
6
4 7
6
En General
a
nb =
b
na
nba
0 = 0
ba a
1 = 1b
a ≥ 2

7. Pero es solo una aproximación decimal de la
Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a es como .
Raíz Cuadrada
=4 ya que2 =⋅22 4
=9 ya que3 =⋅33 9
=16 ya que4 =⋅44 16
=25 ya que5 =⋅55 25
=2 ...1688724273095048804142135623,1
2 2
Esto sucede con muchas raíces que no entregan un
resultado exacto

8. Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación
decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a es como .
Raíz Cúbica
=3
8 ya que2 =⋅⋅ 222 8
=3
27 ya que3 =⋅⋅ 333 27
=3
64 ya que4 =⋅⋅ 444 64
=3
125 ya que5 =⋅⋅ 555 125
=3
3 ...6163831077907408382324422495703,1
3
3 3
3

9. 2
2
_
Propiedades:
El Índice Igual al Exponente.
Sabiendo que:
7
2
3
=
3
2
737
¿Cuál será el resultado de?
5
2
5
=
5
2
_
555
=
_a
n =
a
na
naa
En General: = n
2
1
2=2

10. Descomponer una Raíz
a a a
m n m n× =
Resolver lo siguiente:
7
50x
6
225 xx⋅⋅⋅
25
+ 7
32x
+
+
5
6
216 xx⋅⋅⋅
4
16
+
2⋅ x⋅ 6
x⋅
2⋅ x⋅ 3
x⋅ 2⋅ x⋅ 3
x⋅
xx 25 3
+ xx 24 3
Son términos semejantes
xx 29 3
2⋅ x⋅ 6
x⋅
=
=
=
=
=

11. Otro ejemplo
45 + 20
Son términos semejantes
54−
80 125− −
59⋅ 54⋅
59 ⋅
544 ⋅⋅ 255⋅
54 ⋅ 544 ⋅⋅ 255 ⋅
53 52 522 ⋅⋅ 55+
+
+ −
−
−
−
−
−
53 52 54 55+ − −
=
=
=
=

12. Ingresar Coeficiente
• “El coeficiente se eleva al índice de la raíz
y luego multiplica al radicando.
• Ej.
n nn
a b a b= ×
3 33 5 53
2 32 2 2 2= × =

13. 2
Multiplicación de Raíces de Igual Índice.
¿Cuál será el resultado de?
9
=
a
n =nxa
En General:
5
7
• 29 7
•5
• mya a
nx
•m
y

14. Ejemplos: Resuelve usando la Propiedad
a)
b)
c) =•33
16
9
4
3
=•33
366
=• 28
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
=••• 5635 33
=••• 3333
9243
( ) ( ) =−•−
5
2,12,1
=
−
•− 3
2
3
5
4
3
2
3
2
=•3 43 5
mm
=• 57
nn
=••• 3 753 23 nnnn
baba
6
4
4
3
15303
•
6
( )3
2,1
9
4
3
m
6
n
nn
ba 32

15. 7
División de Raíces de Igual Indice.
¿Cuál será el resultado de?
5
=
a
n =nxEn General:
5
7
÷ 7
5 7
5
mya a
nx
m
y
÷
÷ ÷

16. Resuelve:
a)
b)
d)
=
2
8
=3
3
3
81
=
3 4
3 7
5
5
c)
=
•
•
83
281
3
3
e)
f)
h)
=
02,0
08,0
=÷33
81
4
3
256
=
•
•
3 23 2
3 83 5
nm
nm
g)
=•• 3
6
5
3
4
3 2 d
a
b
d
a
b
2
3
5
2
3
2
12
2
mn
b
a
Obs: n
n
a an
bb
=

17. Raíz de una Raíz.
7
¿Cuál será el resultado de?
5
a
=En General:
=
mn b•a
m
n
7
54
7
5
= 7
563
b

18. Resuelve usando la Propiedad Raíz de una Raíz:
a)
b)
c)
e)
d)
f)
=16
=3
7
=3 4
5
=48
nm
=
3 3 18
3 24
x
x
=3
6
12
y
x
2
6
7
12
5
42
nm
y
x2
2
x
3 4 124 3 73 4
2 8 2 2 2= × =g)

19. Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas
e Indice Par
Como, por ejemplo, 24 = ya que 422 =⋅
entonces
y así para todas las Raíces Cuadradas
de Números Positivos
NO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZRAÍZ
CUADRADACUADRADA DE NÚMEROS
NEGATIVOS
Es decir:
4− No Existe
2,0− No Existe
36
25
− No Existe
En General, Esta condición es propia
de todas las Raíces de INDICE PAR.
4 12,0− No Existe
8
36
25
− No Existe

20. Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e
Indice Impar
Las Raíces que tienen INDICE IMPAR
NO tienen restricción
Es decir:
283
−=− ya que =−⋅−⋅− 222 8−
3273
−=− ya que =−⋅−⋅− 333 27−
3
2
27
83 −=− ya que =−⋅−⋅−
3
2
3
2
3
2
27
8
−
21287
−=− ya que =−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅− 2222222 128−

21. Racionalización
Racionalizar es amplificar una fracción donde el
denominador presenta una Raíz, con el fin de
que ésta no aparezca.
Ejemplos:
=
2
1
2
2 =
3
a
a
=
3 2
3n
n
3
93
n
¿Qué es lo que hay que saber?
Amplificar:
2
7
=⋅
4
4
8
28
Multiplicar Raíces =⋅ 82 41682 ==⋅
=⋅ 53
xx 4853
xxxx ==⋅Potencias
Raíz como Potencia
Propiedad de Raíces: xxx n
n
n n
==
a
a

22. i) Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma
aq
p
=
3
7
=⋅
3
3
3
7
=
⋅33
37
=
2
3
37
3
37
=
xm
n
=⋅
x
x
xm
n
=
⋅ xxm
xn
=
2
xm
xn
mx
xn
=
+
7
52 ( ) =⋅
+
7
7
7
52 ( ) =
⋅
+
77
752
=
⋅+
2
7
7572
7
3572 +
=
aq
p
=⋅
a
a
aq
p
=
⋅aaq
ap
=
2
aq
ap
qa
ap
En General
1)
2)
3)
=
5
7
n
=
14
7
nn
=
nn4
7
=⋅
n
n
nn2
7
=
nn
n
2
7
4) =3
7
n
n

23. Ejemplo: Racionaliza las siguientes Expresiones
⋅=
11
7
11
7
⋅=
a
ax
a
ax
52
15
52
15
⋅=
a
ba
a
ba
10
40
10
40 22
⋅=
33
a
aa
a
aa
⋅=
49
7
49
7
=
ab
ab
=
+
2
28
=
−
xyxy
yxxy
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)

24. ii) Racionalizar Raíces de la Forma
n k
aq
p
⋅
=3
4
7
=⋅
3 2
3 2
3
4
4
4
7
=
⋅3 2
3
44
47
=
3 3
3
4
47
4
474
=
4 3
xm
n
=⋅
⋅
4
4
4 3
x
x
xm
n
=
⋅
⋅
4 3
4
xxm
xn
=
⋅
⋅
4 4
4
xm
xn
mx
xn4
=
+
3 2
3
a
aa ( ) =⋅
+
3
3
3 2
3
3 a
a
a
aa ( ) =
⋅+
3 2
33
3 aa
aaa
=
⋅+
3 3
33 2
3 a
aaa
a
aaa
3
33
+
=
⋅n k
aq
p
=⋅
⋅ −
−
n kn
n kn
n k
a
a
aq
p
=
⋅⋅
⋅
−
−
n knk
n kn
aaq
ap
=
⋅
⋅ −
n n
n kn
aq
ap
En General
1)
2)
3)
aq
ap n kn
⋅
⋅ −
=
3 7
4
7
4) =
⋅3 6
44
7
=
⋅33 6
44
7
=
⋅32
44
7
.....
4
4
44
7
3 2
3 2
32
⋅
⋅

25. Racionaliza las siguientes Expresiones
⋅= 33
11
7
11
7
⋅=
3 23 2
52
15
52
15
a
ax
a
ax
⋅=
3 2
2
3 2
2
10
40
10
40
a
ba
a
ba
⋅=
3 2
3
3 2
3
ba
aab
ba
aab
⋅= 33
49
7
49
7
=
3 5
ab
ab
=
+
4 3
4 74 11
2
22
=
−
7 69
7 623
yx
yxx
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)

26. iii) Racionalizar expresiones con binomio en el denominador
( )
6
7 2
=
+ ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )2 2
6 7 2 6 7 26 ( 7 2) 6( 7 2)
2 7 2
7 4 3( 7 2)7 2 7 2
/
− / −− −
× = = = = −
− /−+ −
Ejemplo 1
( )
7
5 2
=
− ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
7 5 2 7 5 27 ( 5 2) 7( 5 2)
5 2 3( 5 2)5 2 5 2
/
− −+ +
× = = =
−+− −
Ejemplo 2
En ambos ejemplos tuvimos que amplificar por uno ( ),
para formar una “suma por diferencia“ :
(a+b)(a-b)= a2
– b2
Resumiendo, podemos generalizar de la siguiente Manera:
( )a b ca
b cb c
=
−±
m
a
b c±

27. Ecuaciones con Irracionales.
Una Ecuación Irracional es determinar el valor de
la incógnita que se encuentra bajo raíces.
Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:
73 =+x
xx 213 −=+
13743 +=−++ xxx
1375123
+=++ xx
Para resolverlas hay que seguir dos
pasos muy sencillos:
i) Si hay más de una raíz, se
debe aislar en uno de los lados
de la ecuación.
ii) Elevar al cuadrado ambos lados
de la ecuación.

28. OJO. En estricto rigor la solución de la
ecuación debe estar en el siguiente
conjunto:
Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
642 =−x
[ [+∞,2
Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada
en uno de los dos lados de la ecuación.
642 =−x Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
lados de la igualdad a 2.
( ) 22
642 =−x El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen.
3642 =−x
Se resuelve como una ecuación de primer
grado con una incógnita.
20=x
2
/

29. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
138 =+−+ xx
Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos
lados de la ecuación.
Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
lados de la igualdad a 2.
El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen y en el otro
lado de la igualdad tengamos que realizar el
cuadrado de un binomio.
xx ++=+ 318
2
/
( ) ( )22
318 xx ++=+
xxx ++++=+ 33218
x+= 324 Debemos volver al paso i), raíz aislada y
elevamos al cuadrado ambos lados de la
igualdad.
2
/
( )22
324 x+=
( )x+= 3416
x41216 +=
x=1
Aquí en adelante la Ecuación Irracional se
transforma en una Ecuación de Primer Grado
con una Incógnita

30. Curiosidades
...2
1
2
1
2
1
2
1
12
+
+
+
+
+=
1)
2) Algoritmo para determinar una raíz.

31. Links
http://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htm
http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.php
http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327

32. RAICES
Harold Leiva Miranda
Harold.leiva@sekmail.com
Colegio Sek – Pacífico