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Consulta de intervalos de confianza

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Consulta de intervalos de confianza

  1. 1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN IRIS RUMUALDA CARREÓN RANGEL LIC. EDGAR GERARDO MATA MATERIA: ESTADÍSTICA INVESTIGACIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA 2 ¨B¨ PROCESOS INDUSTRIALES EN EL ÁREA DE MANUFACTURA 18/ABRIL/2012 Intervalo de confianzaLas líneas verticales representan 50 construcciones diferentes de intervalos de confianza para la estimación delvalor μ.
  2. 2. En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima queestará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estosnúmeros determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valordesconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1- α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel designificación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo másamplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalomás pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocerla distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el parámetro presenteuna distribución normal. También pueden construirse intervalos de confianza con la desigualdad deChebyshov.En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un parámetropoblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2]tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.Intervalo de confianza para la media de una poblaciónDe una población de media y desviación típica se pueden tomar muestras de elementos.Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede demostrar que la media detodas las medias muéstrales coincide con la media poblacional: 3Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, la distribución demedias muéstrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y unadesviación típica dada por la siguiente expresión: .Esto se representa comosigue: Si estandarizamos, se sigue que:En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan undeterminado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en unadistribución normal).Se desea obtener una expresión tal queEn esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde seencontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral ( ), con una confianza
  3. 3. determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A estevalor se le llamará (debido a que es el error que se cometerá, un término opuesto).Para ello se necesita calcular el punto —o, mejor dicho, su versión estandarizadao valor crítico junto con su "opuesto en la distribución". . Estos puntos delimitan laprobabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:Dicho punto es el número tal que:Y en la versión estandarizada se cumple que:Así:Haciendo operaciones es posible despejar para obtener el intervalo:De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral ± el productodel valor crítico por el error estándar .
  4. 4. Si no se conoce y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30): , donde s es la desviación típica de una muestra.Aproximaciones para el valor para los niveles de confianza estándar son 1,96para y 2,576 para .FORMULAS PARA ESTIMAR LOS INTERVALOS DE CONFIANZA: Descripción Intervalo de confianzaEstimación de  con sigma conocida, muestra   X  Z / 2 / ngrande n>30Estimación de  con sigma desconocida,   X  Z / 2 s / nmuestra grande n>30, se toma la desv. Est. de lamuestra SEstimación de  con muestras pequeñas, n < 30   X  t / 2 s / ny sigma desconocidaEstimación de la  (n  1) s 2 (n  1) s 2 2     , n 1 1 , n 1 2 2Estimación de la proporción  p (1  p ) sp  n   p  Z / 2 s p Tamaño de muestraPara estimar n en base a un error máximo n  Z / 2  2 /( X   ) 2 2( X  )
  5. 5. Para estimar n en base a un error máximo n  Z / 2  (1   ) /( p   ) 2 2Si se especifica un intervalo total de error, el error Utilizar   0.5 que es peor caso( p   ) máximo es la mitad del intervaloIntervalo de confianza para una proporciónEl intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn deuna muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del Límite y laaproximación de una binomial por una normal.

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