@Teorema de tellegen

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
JOSÉ RICARDO GALLEGO VÁSQUEZ
COD. 10032068
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA,
FÍSICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
PEREIRA
2008

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
JOSÉ RICARDO GALLEGO VÁSQUEZ
COD. 10032068
Monografía
Director
M. Sc. ÁLVARO ÁNGEL OROZCO GUTIÉRREZ
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA,
FÍSICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
PEREIRA
2008

5
Nota de aceptación:
Firma del presidente del jurado
Firma del jurado
Firma del jurado
Pereira, noviembre del 2008

6
AGRADECIMIENTOS
Hay personas de una estatura tal que trascienden los espacios y la historia de los
que comparten a su alrededor, esas personas son escasas y por ende muy
valiosas, es por eso que mis más sinceros agradecimientos y mí mas infinita
gratitud es para el ingeniero Jorge Eduardo Calle Trujillo; quien con su
colaboración, dedicación y esmero hizo posible la realización de este proyecto.

7
CONTENIDO
pág.
INTRODUCCIÓN ….……………………………………………………………… 13
1. GENERALIDADES ……………………………………………………………. 17
1.1 ¿Qué es la teoría de circuitos eléctricos? …………………………………. 17
1.2 ¿Qué es un circuito eléctrico? ……………………………………………… 17
1.3 ¿Cómo se describe un circuito eléctrico? ………………………………… 18
1.4 Teoremas (definición) ……………………………………………………….. 18
1.5 ¿Por qué usar los teoremas para resolver los circuitos eléctricos? ……. 21
2. LOS TEOREMAS BÁSICOS ………………………………………………… 23
2.1 Teorema de sustitución ……………………………………………………... 23
2.1.1 Enunciado ………………………………………………………………….. 24
2.1.2 Demostración ……………………………………………………………… 24
2.1.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………….. 25
2.1.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………….. 31
2.1.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………….. 38

8
2.2 Teorema de superposición ………………………………………………… 40
2.2.1 Enunciado …………………………………………………………………. 40
2.2.2 Por qué no se requiere de una demostración …………………………. 41
2.2.3 Ejemplo de aplicación ………………………………………………........ 42
2.2.4 Ejercicios resueltos ………………………………………………………. 49
2.2.5 Ejercicios propuestos ……………………………………………………. 61
2.3 Teorema de Thèvenin ……………………………………………………… 63
2.3.1 Enunciado ………………………………………………………………… 63
2.3.2 Demostración …………………………………………………………….. 64
2.3.2.1 Teorema unificado de Thévenin ……………………………………… 65
2.3.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………… 68
2.3.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………… 76
2.3.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………… 89
2.4 Teorema de Norton ………………………………………………………… 94
2.4.1 Enunciado ………………………………………………………………… 95
2.4.2 Demostración ……………………………………………………………. 95
2.4.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………… 97
2.4.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………… 99

9
2.5 Teorema de reciprocidad ……………………………………………….. 110
2.5.1 El principio de reciprocidad …………………………………………... 110
2.5.2 El teorema como una consecuencia del principio …………………. 111
2.5.3 Enunciado ……………………………………………………………… 112
2.5.4 Demostración ………………………………………………………….. 113
2.5.5 Ejemplo de aplicación ………………………………………………… 117
2.5.6 Ejercicios resueltos …………………………………………………… 119
2.5.7 Ejercicios propuestos ………………………………………………… 126
3. OTROS TEOREMAS ……………………………………………………. 131
3.1 Teoremas de Tellegen I y II …………………………………………… 131
3.1.1 Enunciados ……………………………………………………………. 131
3.1.2 Demostración …………………………………………………………. 132
3.1.3 Ejemplo de aplicación ……………………………………………….. 136
3.2 Teorema de Millman ……………………………………………………. 153
3.2.1 Enunciado ……………………………………………………………… 153
3.2.2 Demostración …………………………………………………………. 154

10
3.3 Teorema de Kennelly (Rosen) ………………………………………… 163
3.3.1 Enunciado ……………………………………………………………… 164
3.3.2 Demostración ………………………………………………………….. 165
3.4 Teorema de máxima transferencia de potencia …………………….. 180
3.4.1 Enunciado ……………………………………………………………… 181
3.4.2 Demostración ………………………………………………………….. 181
3.4.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………. 187
3.4.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………. 192
3.5 Teorema de Miller ………………………………………………………… 194
3.5.1 Enunciado ………………………………………………………………. 194
3.5.2 Demostración …………………………………………………………… 195
3.5.3 Ejemplo de aplicación ………………………………………………….. 199

11
3.5.4 Ejercicios resueltos …………………………………………………….. 201
3.5.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………. 206
3.6 Teorema de compensación ……………………………………………… 207
3.6.1 Enunciado ……………………………………………………………….. 207
3.6.2 Demostración …………………………………………………………… 208
3.6.3 Ejemplo de aplicación ………………………………………………….. 210
3.6.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………... 211
3.7 Teorema de bisección de Bartlett ………………………………………. 221
3.7.1 Enunciado ………………………………………………………………. 222
3.7.2 Demostración …………………………………………………………… 223
3.7.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………. 226
3.7.4 Ejercicio resuelto ………………………………………………………. 229
3.7.5 Ejercicios propuestos ………………………………………………….. 231
4. CONCLUSIONES …………………………………………………………… 235
BIBLIOGRAFÍA …………………………………………………………… 237
ANEXOS Biografías …………………………………………………………… 241

12
RESUMEN
Este documento se propone dar a conocer las aplicaciones de los diversos
teoremas que se emplean en la teoría de circuitos eléctricos, para así desarrollar
una solución más rápida en el momento de hallar la respuesta del circuito. De esta
forma con la explicación previa de cada teorema se llevará a cabo el
entendimiento y posterior desarrollo de cada uno de estos en el momento que este
se pueda y se deba aplicar.

13
INTRODUCCIÓN
Este trabajo pretende establecer un manual de fácil consulta acerca de los más
conocidos y utilizados teoremas de los circuitos eléctricos.
Para ello se aclararán, primero, conceptos de ¿Qué es la teoría de los circuitos
eléctricos?, ¿Qué es un circuito eléctrico?, ¿Cómo se describe un circuito
eléctrico?, ¿Qué es un teorema1
? y ¿Cómo se usan los teoremas para describir
rápidamente los circuitos eléctricos?
Se presentarán luego uno a uno especificando en qué tipo de circuitos se pueden
usar, cómo se aplican (ejercicios y problemas resueltos) y se propondrán algunos
para la cabal comprensión. En lo posible los problemas cubrirán circuitos en el
dominio del tiempo, en términos de la transformada de Laplace y en régimen
permanente con excitación sinusoidal.
En la literatura existente los teoremas se enuncian, demuestran y usan cuando se
requieren, es decir, aparecen de repente, como una forma de salir de una
dificultad en el proceso del análisis de los circuitos eléctricos, es por esto que su
posterior aplicación, es difícil. Se debe buscar dentro de la literatura en extenso. Si
se hubiera planeado el hacer una presentación sistematizada de todos ellos,
bastaría buscar el apartado de teoremas dentro del conjunto y aplicarlo al caso
particular. Algo así como la forma en que se enseña en la Universidad la teoría de
circuitos eléctricos.
Es posible, pero no se hace así, explicar el funcionamiento de los diferentes
fenómenos físicos asociados con la carga eléctrica y su movimiento estableciendo
el modelo adecuado para su solución (circuito eléctrico) y detenerse luego a
explicar un método para resolver las ecuaciones que resultan (solucionar los
1
Para entender qué es un teorema se transcribirá un texto del libro MAGIA Y BELLEZA DE LAS
MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA del señor IVÁN OBREGÓN el cual está escrito en
primera persona, se respetará la redacción del original

14
circuitos eléctricos que aparecen en este caso particular). Lo mismo se haría con
todos los demás fenómenos. Es decir, se iniciaría explicando que fenómeno o
fenómenos físicos se asocian con una máquina eléctrica, con la generación de la
energía eléctrica, con su transmisión, con su uso, etc. y en cada uno de estos
casos se enseñaría cómo resolver el correspondiente circuito equivalente, tantas
veces cuantas sea necesario.
Más fácil, si se enseña a resolver, de forma genérica, los circuitos eléctricos en
general, de todo tipo. Posteriormente se explica, en cada asignatura, que
fenómeno o fenómenos se estudian, se presenta el modelo correspondiente
(circuito equivalente) y se aplican los conocimientos adquiridos previamente para
resolverlo y continuar con el estudio de los resultados obtenidos.
Con los teoremas ocurre lo primero, cuando lo ideal sería adelantar un estudio de
ellos, en general, habilitando a quien se inicia en el estudio de los fenómenos
eléctricos y magnéticos para su posterior uso, de manera rápida, en cada caso.
Se precisarán, enunciarán y demostrarán los principales teoremas de circuitos, se
hará explícito su significado y su alcance dentro del rango válido para ello.
Los teoremas son de gran utilidad en las investigaciones que se hacen dentro del
campo de la ingeniería eléctrica, como por ejemplo el Teorema de Thévenin en el
análisis de los sistemas eléctricos de potencia.
Para cada uno de los teoremas que se mencionan más abajo, hay una forma de
entenderlos, analizarlos, comprenderlos y aplicarlos debidamente sistematizados:
Enunciado, demostración, ejemplo de aplicación, ejercicios resueltos y ejercicios
propuestos.
Los teoremas que se desarrollarán son: Teorema de sustitución, Teorema de
superposición, Teorema de Thévenin, Teorema de Norton, Principio de
reciprocidad, Teorema de reciprocidad, Teoremas de Tellegen I y II, Teorema de
Millman, Teorema de Rosen (Kennelly), Teorema de la máxima transferencia de

15
potencia, Teorema de Miller, Teorema de compensación y el Teorema de
bisección de Bartlett.
Se recopilará toda la información disponible y se realizará un documento de fácil
consulta y entendimiento que redundará en el beneficio de la academia y será una
herramienta muy útil en el análisis de los sistemas eléctricos de potencia.

17
1. GENERALIDADES
1.1 ¿Qué es la teoría de circuitos eléctricos?
El circuito eléctrico es uno de los modelos empleados para estudiar los fenómenos
físicos asociados con la carga eléctrica y con su movimiento. Es a su vez una
aproximación al otro modelo, la teoría electromagnética, que al basarse en el
estudio de los campos eléctrico y magnético, introduce funciones del tiempo y la
posición.
Esta dependencia del tiempo y la posición (x, y, z en coordenadas rectangulares;
r, z y en cilíndricas; etc.) hace que el manejo matemático sea pesado y exigente
en cuanto a su solución; es cierto que sus resultados son más exactos y que a
través de este tipo de análisis se logran soluciones que están cada vez más
cercanas a lo que realmente ocurre con los fenómenos estudiados, pero las
aproximaciones que se hacen para llegar a la teoría de los circuitos eléctricos
facilitan notablemente el procedimiento al eliminar la posición, y generan
afortunadamente resultados bastante precisos.
1.2 ¿Qué es un circuito eléctrico?
Un circuito eléctrico es la interconexión arbitraria de puertas que contienen al
menos una trayectoria cerrada o una que eventualmente se puede cerrar.
Una puerta es el resultado de concentrar los fenómenos de almacenamiento de
energía en los campos eléctrico y magnético, conversión de energía eléctrica en
calor, conversión de cualquier tipo de energía en energía eléctrica y la
transferencia de energía de un lugar a otro dentro del dispositivo o a su inmediata
vecindad mediante un campo magnético, entre otros.

18
Al concentrar los fenómenos la posición pierde todo interés, desaparecen las
variables que lo definen en dos o tres dimensiones.
1.3 ¿Cómo se describe un circuito eléctrico?
Para describir un circuito eléctrico se han empleado tradicionalmente los voltajes
de nodo y las corrientes de malla, la literatura está llena de ejercicios y
explicaciones de ambos métodos, pero el desarrollo en la sistematización de los
procesos y la computación han generado procedimientos lógicos basados en la
topología.
Aparecen así en la teoría de circuitos conceptos como NODO, GRÁFICO, ÁRBOL,
RAMA, ENLACE, etc. y procedimientos como la descripción de un circuito
arbitrario usando como incógnitas las corrientes de enlace o los voltajes de rama.
Estos dos últimos, unidos a los de mallas y nodos, permiten resolver de forma
sistemática los diferentes circuitos eléctricos.
Este trabajo empleará, al desarrollar los ejercicios, uno u otro, procurando un
equilibrio entre ellos.
1.4 Teoremas (definición)
Para aclarar los términos de teorema, axioma, postulado, demostración, etc. se
transcribe el No
1.01 y el No
1.02 del libro MAGIA Y BELLEZA DE LAS
MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA del señor IVÁN OBREGÓN2
, dice el
ingeniero Obregón:
“Veamos primero unas cuantas definiciones imprescindibles:
2
IVÁN OBREGÓN (Medellín, 1937) es ingeniero, matemático, actuario e investigador operacional. Ha sido
profesor en varias universidades colombianas.

19
Teorema: es una afirmación que debe ser demostrada.
Axioma: es una afirmación que está tan en la base de una ciencia, que
se parte de ella, aceptándola como cierta, sin demostración alguna.
Postulado: es casi sinónimo de axioma. Para nosotros serán
sinónimos.
Definición: es una descripción de un concepto, que incluya todo lo que
se quiere incluir, pero sólo eso.
Demostración: es la serie de pasos mediante los cuales se llega a
establecer la verdad de un teorema. Los matemáticos son muy
exigentes en cuanto que una demostración sólo puede invocar:
axiomas, postulados, definiciones, u otros teoremas previamente
demostrados.
Corolario: es una conclusión que se sigue inmediatamente de un
teorema o definición y, por lo tanto, no requiere demostración, o basta
una demostración mínima.
Lema: es un teorema auxiliar que se enuncia y demuestra, sólo como
preparación para la demostración de otro teorema.
¿CÓMO SE DEMUESTRA Y CÓMO NO SE DEMUESTRA UN
TEOREMA?
Miremos éste (tomado de la llamada Teoría de los Números):
“La suma de dos números impares da un número par.”
Naturalmente este teorema estaría precedido de definiciones: ¿qué es
un número par?, ¿qué es un número impar?. La siguiente es una
supuesta demostración: (3+5) da 8 que es par; (3+7) da 10 que es par;
(5+7) da 12 que es par…

20
La anterior no es una demostración; a lo sumo podemos llamarla una
verificación, pues ¿quién garantiza que (1.235 + 5.679) dé un número
par?
Una demostración debe dejar garantizada su verdad, más allá de
cualquier ejemplo en particular.
Existen las llamadas demostraciones directas, en las cuales se
construye una serie de pasos, que a partir de axiomas, definiciones o
teoremas anteriores, llevan finalmente a concluir la verdad del teorema
en cuestión. Existen otras llamadas demostraciones por reducción al
absurdo, en las cuales se empieza por suponer que lo que se quiere
demostrar es falso; a partir de esa suposición se construyen
conclusiones que de ellas se derivan: si se llega a alguna que
contradice la suposición original o contradice algún teorema ya
demostrado, o alguna definición, se concluye que la suposición era
falsa y por lo tanto el teorema es verdadero.
Voy a darles a continuación dos demostraciones del teorema: “la suma
de dos impares da par”. Supongo que está definido lo que es una suma
y lo que es una multiplicación, y que están demostradas todas las
propiedades que deben recordar de sus primeros años de bachillerato.
Definiciones previas: número par es aquel que resulta de multiplicar a
algún otro número por 2; los demás se llaman números impares.
Teorema previo (que supondremos ya demostrado): todo número impar
es igual a 1 más algún número par (incluyendo el cero como par).
Demostración directa.
Paso 1: Sean m y n dos números impares. Entonces, por el teorema
anterior,

21
donde k y r son otros números.
Paso 2: que por propiedades de la suma
y de la multiplicación es igual a
.
Paso 3: pero es otro número, llamémoslo s: entonces
. Por lo tanto, es par.
Demostración por reducción al absurdo.
Paso 1: Supongamos que es impar.
Paso 2: Repitiendo los pasos 1 a 3 de la demostración directa,
llegamos a que , lo cual implicaría que un número impar
es igual a un número par, contradiciendo las definiciones de par e
impar. Por lo tanto, la suposición es falsa y el teorema queda
demostrado. ” 3
1.5 ¿Por qué usar los teoremas para resolver los circuitos eléctricos?
Puesto que un circuito eléctrico se resuelve empleando las ecuaciones primitivas
de cada uno de los elementos pasivos que lo conforman, las ecuaciones de las
fuentes y las ecuaciones de red (primera y segunda ley de Kirchhoff); su solución
se hará más corta si el número de ellas se reduce, Teorema de Thévenin, o se
sistematiza el procedimiento, Teorema de Millman, para lograr el resultado más
fácil.
Lo anterior llevó a enunciar cada vez un mayor número de teoremas que en la
literatura se encuentran dispersos y algunas veces con enunciados difíciles de
comprender.
3
IVÁN OBREGÓN,”MAGIA Y BELLEZA DE LAS MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA”, págs. 31-34

22
Es por esto que una sistematización y aclaración de los enunciados y usos es
imprescindible para quienes se iniciaron en el campo de la electricidad,
procurando que el tema sea tratado de tal forma que el iniciado pueda usarlo
adecuadamente.

23
2. LOS TEOREMAS BÁSICOS
Se presentan algunos teoremas, los más difundidos y empleados de la teoría de
circuitos. Para cada uno de ellos se da el enunciado (resultado de la adecuación
de los que aparecen en la bibliografía) se explica en qué casos y a qué tipo de
circuitos se aplica, sus ventajas, la demostración y al menos un ejemplo de
aplicación. Se resuelven algunos ejemplos típicos y se proponen otros para el
cabal entendimiento.
2.1 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN
Sus aplicaciones se dan especialmente en la investigación asociada con los
circuitos eléctricos. Se usa bastante en las demostraciones de otros teoremas y en
el análisis de los sistemas de potencia.
Se aplica a cualquier circuito sin limitaciones, lineal o no, variante o invariante con
el tiempo, bilateral o no, cuyo estado energético inicial sea nulo o no. Permite
incluso, convertir un circuito no lineal por la presencia de un solo elemento no
lineal en uno lineal, al sustituirlo por una fuente de corriente o voltaje.
Este teorema es de gran utilidad cuando se analizan circuitos complejos formados
por diversas redes pasivas, puesto que permite simplificar el esquema inicial del
circuito, el uso más común de este teorema es para reemplazar un elemento de
impedancia4
por una fuente de corriente o voltaje, y viceversa.
4
Se llamará elemento tipo impedancia a una resistencia, una inductancia, una capacitancia o cualquier
interconexión de ellos.

24
2.1.1 ENUNCIADO
“Si el n-ésimo elemento de un circuito de una red arbitraria (Figura 1a) no está
mutuamente acoplado, es decir, no es una fuente dependiente ni un inductor
acoplado, se puede reemplazar por una fuente independiente de voltaje
(Figura 1d) igual al que se produce a través de él en el circuito original,
siempre y cuando ambos circuitos tengan solución única. De la misma forma, si a
través del elemento en consideración circula una corriente se puede sustituir
por una fuente independiente de corriente (Figura 2d).” 5
Si en vez de reemplazar un elemento del circuito se sustituye un elemento del
gráfico que no contenga fuentes dependientes, ni inductores acoplados, el
teorema sigue siendo válido.
2.1.2 DEMOSTRACIÓN
Figura 1. Caso de la fuente de voltaje
5
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS”, 1987.

25
Figura 2. Caso de la fuente de corriente
En las figuras 1 y 2 se puede ver paso a paso la justificación del teorema, se
observa que cuando se conectan los nodos b y c en la figura 1c no circula
corriente a través de la fuente, se unen dos nodos a igual potencial, y además por
el elemento continúa circulando la misma corriente que en el circuito original,
puesto que el voltaje entre sus bornes sigue siendo .El n-ésimo
elemento en paralelo con una fuente independiente de voltaje (figura 1c) se
convierte en un elemento redundante6
y por lo tanto se puede retirar del circuito.
De igual forma el voltaje a través de la fuente de independiente de corriente en
cortocircuito (figura 2b) es nulo, la fuente opera en vacío, y el elemento en serie
con esta fuente es también redundante.
2.1.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
En términos de la transformada de Laplace.
6
Un elemento redundante es cualquiera que está conectado en paralelo con una fuente de voltaje o en
serie con una fuente de corriente, dependiente o independiente.

26
Determinar en el circuito1 de la figura 3 e en ambos. El valor de
es el obtenido .
Figura 3. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
Para el circuito 1: Se obtienen las ecuaciones aplicando corrientes de enlace

27
Figura 4. Gráfico orientado para el circuito 1
El unir los nodos inferiores para formar uno solo no altera el resultado y garantiza
que el gráfico está conectado.
Las incógnitas son: e
Las ecuaciones primitivas son:
La ecuación de la fuente de voltaje es:
Aplicando sumatorio de voltajes a los anillos formados por los enlaces 4 y 5 se
tiene:

28
Reemplazando las ecuaciones primitivas en (1) y (2):
Expresando e en función de las corrientes de enlace:
Aplicando sumatorio de corrientes a los cortes 1 y 2 y despejando:
Reemplazando en 3:
se obtendrá del hecho de que :
Despejando :
Reemplazando la ecuación anterior para obtener el valor de :

29
De donde:
La impedancia de se reemplaza por la fuente , como se ve en el circuito
siguiente:
Figura 5. Circuito 2 con el valor de V(s) calculado
Ahora se calcula la corriente para ambos circuitos:
Circuito 1:
Despejando de la siguiente ecuación:

30
Reemplazando en la ecuación que se presenta a continuación:
Circuito 2:
Figura 6. Corrientes de malla aplicadas al circuito 2
Tomando sumatorio de voltajes en las mallas:
Dividiendo por S y despejando de la ecuación 5:

31
Reemplazando en la ecuación 4 y despejando :
Organizando:
Como se ve, las corrientes son iguales en los dos circuitos.
2.1.4 EJERCICIOS RESUELTOS
2.1.4.1 Aplicar el teorema de sustitución a la resistencia de del circuito de la
figura 7.
Figura 7. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:

32
Empleando el teorema de sustitución se reemplaza la resistencia de , por una
fuente de voltaje, que equivale al voltaje en bornes de la resistencia:
, la corriente ha sido calculada
previamente y es un dato del problema.
Ahora se reemplaza la resistencia de por la fuente de voltaje :
Figura 8. Circuito donde se cambio la resistencia de por la fuente
En este nuevo circuito se quiere hallar la corriente :
Malla 1:
Malla 2:

33
Despejando de la ecuación 6:
Reemplazando en la ecuación 7:
Organizando y despejando se tiene:
El valor de es el mismo de la corriente del circuito de la figura 7, como se
puede ver la sustitución de la resistencia de , por la fuente de voltaje no
altera las respuestas del circuito.
2.1.4.2 Mediante el teorema de sustitución hallar el voltaje , de la figura 9.
SOLUCIÓN:

34
La resistencia equivalente: a la derecha de a-b es el
resultado del paralelo de una resistencia de con la serie de 2 resistencias de
.
Se reemplaza el valor de la resistencia equivalente y se obtiene el valor de en el
siguiente circuito:
Figura 10. Circuito equivalente para obtener el valor de
Haciendo de nuevo un paralelo entre las resistencias se obtiene el valor de
y a este circuito se le aplica un divisor de tensión para hallar .
Aplicando el teorema de sustitución se reemplaza la resistencia de del circuito
original por una fuente ideal de voltaje de valor como se muestra en la figura
11:

35
Figura 11. Circuito equivalente para obtener el valor de
Y aplicando de nuevo un divisor de tensión se obtiene el valor de , pedido
inicialmente.
Resultado que podría haberse obtenido usando voltajes de nodo, sin usar el
teorema de sustitución así:
Figura 12. Circuito aplicando voltajes de nodo

36
Nodo 2:
Nodo 3:
Despejando de la ecuación 9: y reemplazando en la ecuación 8:
2.1.4.3 Aplicar el teorema de sustitución en la figura 13 para reemplazar la fuente
de voltaje de .
SOLUCIÓN:
Se reemplaza la fuente de voltaje, por una fuente de corriente aplicando el
teorema de sustitución:
Del circuito se puede ver que:

37
Este valor de , se reemplaza en el circuito original y se hallan los voltajes del
circuito de la figura14:
Figura 14. Circuito con la fuente de voltaje reemplazada por la fuente de corriente
Aplicando voltajes de nodo, al nodo 2:
El valor de es el mismo del circuito de la figura 13, con lo que se demuestra la
validez del teorema de sustitución.

38
2.1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
2.1.5.1 Determine , y para cada uno de los circuitos 1 y 2 de la figura15.
Verifique el cumplimiento del teorema de sustitución7
.
Figura 15. Ejercicio propuesto
7

39
2.1.5.2 a) En el circuito de la figura 16, reemplace la resistencia de por
un generador con una resistencia interna de de tal forma que el
resto del circuito no note el cambio.
b) Repetir el procedimiento anterior, haciendo que la resistencia interna del
generador sea de .
2.1.5.3 En el circuito de la figura 17:
a) Conectar una fuente ideal de voltaje entre los terminales a y b de valor
y hallar la corriente a través de ella
b) Conectar una fuente ideal de corriente en serie con la impedancia de
de valor y hallar el voltaje a través de ella
c) Para el circuito de la figura 17, hallar e

40
2.2 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN
Este teorema se aplica a circuitos lineales, variantes o invariantes con el tiempo y
cuyo estado energético8
inicial es nulo y permite reducir un circuito con varias
fuentes independientes a varios circuitos, cada uno con una sola fuente o con
fuentes del mismo tipo.
2.2.1 ENUNCIADO
“En un circuito lineal arbitrario que contiene dos o más fuentes independientes, el
voltaje a través de cualquier elemento o la corriente que fluye por cualquier
elemento de la red se puede calcular como la suma algebraica de los aportes
individuales de cada fuente independiente actuando por separado. Para encontrar
la respuesta debida a una fuente específica, todas las demás se deben
8
El estado energético es el conjunto de variables que permiten determinar la energía almacenada por el
circuito en un instante determinado. Como
, entonces el estado energético (ee) está conformado por los
voltajes en las capacitancias y las corrientes a través de las inductancias, para capacitancias e inductancias
invariantes con el tiempo.

41
reemplazar por circuitos abiertos si son de corriente o por cortocircuitos si son de
voltaje.”
Cuando se aplica el teorema de superposición a circuitos lineales que contengan
fuentes dependientes se debe tener en cuenta que estas fuentes nunca se
desactivan, a menos que su señal de control valga cero.
El circuito como se dijo, debe ser lineal, puede ser variante o invariante con el
tiempo y su estado energético inicial debe ser nulo9
.
2.2.2 ¿POR QUÉ NO SE REQUIERE DE UNA DEMOSTRACIÓN?
Un sistema lineal es un sistema que obedece las propiedades de escalado
(homogeneidad) y de superposición (aditiva), mientras que un sistema no-lineal es
cualquier sistema que no obedece al menos una de estas propiedades.
Para demostrar que un sistema 10
obedece la propiedad de escalado se debe
demostrar que:
9
Si el estado energético inicial no es nulo, se puede recurrir a desenergizar los elementos almacenadores de
energía reemplazando las inductancias por la misma inductancia desenergizada en paralelo con una fuente
independiente de corriente de valor iL(0+) ó iL(o-) y las capacitancias por la capacitancia desenergizada en
serie con una fuente independiente de voltaje de valor Vc(0+) ó Vc(0-).Para los circuitos en términos de la
Transformada de Laplace, no hay problema, el proceso de transformación los desenergiza.
10
Donde H es un operador.

42
Figura 18. Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de escalado de linealidad
Para demostrar que un sistema H obedece la propiedad de superposición de
linealidad se debe mostrar que:
Figura 19. Diagrama de bloques demostrando la propiedad de superposición de
linealidad
Es posible verificar la linealidad de un sistema en un paso sencillo. Para hacer
esto simplemente se combinan los dos primeros pasos para obtener:
2.2.3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN

43
1. En términos de la transformada de Laplace.
Hallar usando superposición.
SOLUCIÓN:
Donde es el valor del voltaje que se obtiene con la fuente de corriente
independiente desactivada, y es el valor del voltaje con la fuente de voltaje
independiente desactivada.
Figura 21. Circuito con la fuente de corriente desactivada

44
Circuito A: Contribución de la fuente de voltaje, con la fuente de corriente
desactivada11
. Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la trayectoria cerrada a la
izquierda del circuito se obtiene la primera ecuación:
Usando voltajes de nodo en la segunda parte del circuito se obtiene la segunda
ecuación:
Se despeja de (14) y se reemplaza en la ec. (15):
Reemplazando:
Ahora se despeja :
Reemplazando los valores:
11
Obsérvese que las fuentes dependientes o controladas continúan operando.

45
Figura 22. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
Circuito B: Contribución de la fuente de corriente, con la fuente de voltaje
desactivada. Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la primera trayectoria cerrada del
circuito se obtiene la tercera ecuación:
Usando voltajes de nodo en la segunda parte del circuito se obtiene la cuarta
ecuación:
Se despeja de (17) y se reemplaza en (16):
Reemplazando en (16):
Ahora se despeja :

46
Reemplazando por los valores:
Finalmente se suman los dos voltajes para obtener el resultado pedido
inicialmente:
2. Circuito resistivo
En el circuito de la figura 23, calcular el voltaje aplicando el teorema de
superposición.
Figura 23. Circuito resistivo

47
SOLUCIÓN:
Se empieza por encontrar la componente de que resulta de la fuente de , el
circuito de la figura 24 muestra el circuito con la fuente de corriente desactivada,
convirtiendo esta parte en un circuito abierto como se puede ver.
Se deduce del circuito que:
Se obtiene la siguiente ecuación después de aplicar el análisis de mallas al
circuito:
Despejando :
Reemplazando en la ecuación:

48
Ahora se calcula la contribución de la fuente de corriente, para este análisis se
trabaja con el circuito de la figura 25 donde la fuente de voltaje se reemplaza por
un corto circuito.
Del circuito se halla la corriente
Aplicando voltajes de nodo al circuito se obtienen las dos ecuaciones que se
presentan a continuación:
Nodo A:
Organizando:

49
Nodo 2:
Despejando :
Reemplazando en (19):
Finalmente:
2.2.4.1 Aplicando el teorema de superposición hallar el valor de la corriente .

50
SOLUCIÓN:
La solución total será:
Cálculo de la corriente aportada por la fuente de corriente , con la fuente de
voltaje reemplazada por un corto circuito.
El nodo b pasa a ser el que se muestra en la figura 27 por cuanto, al reemplazar la
fuente por un corto la corriente que circula por se hace cero y los voltajes
en ellos también.
Aplicando un divisor de voltaje para hallar se obtiene: (Se reemplaza todo el
resto del circuito por una fuente de voltajes de valor V - Teorema de sustitución-)

51
Aplicando voltajes de nodo en V:
Reemplazando en la ecuación 23:
)
Cálculo de la corriente aportada por la fuente de voltaje, con la fuente de
corriente reemplazada por un circuito abierto.

52
Aplicando voltajes de nodo en V1:
Reemplazando en la anterior ecuación se obtiene :
Entonces la respuesta será la suma de las dos corrientes:
12
Para poder aplicar el divisor de voltajes es necesario usar previamente el teorema de sustitución. Ejemplo:

53
2.2.4.2 Calcular por medio del teorema de superposición la corriente .
SOLUCIÓN:
Se empieza por encontrar la componente de I0 que resulta de la fuente de .El
circuito de la figura 30, muestra el circuito con la fuente de corriente desactivada,
convirtiendo esta parte en un circuito abierto como se puede ver.

54
Se puede ver en el circuito que hay relación entre las corrientes:
Mediante un análisis de mallas se hallan las ecuaciones del circuito:
Malla 1:
Organizando:
Supermalla 2 y 3:
Organizando:
Haciendo sumatorio de corrientes en el nodo A:

55
Entonces:
Reemplazando (29) en (28) se obtiene en términos de :
Ahora se reemplaza este valor de en (27) para encontrar :
Con este valor se obtiene
Ahora se calcula la contribución de la fuente de corriente, para este análisis se
trabaja con el circuito de la figura 31 donde la fuente de voltaje se reemplaza por
un corto circuito.

56
Se puede deducir del circuito de la figura 31 que:
Aplicando voltajes de nodo al circuito de la figura 31 se hallan las siguientes
ecuaciones:
Nodo 1:
Organizando:
Nodo 2:

57
Nodo 3:
Organizando:
Solucionando las tres ecuaciones resultantes se hallan:
Finalmente se calcula :

58
2.2.4.3 El circuito opera en estado estacionario. Determinar .
SOLUCIÓN:
Aporte de la fuente de corriente:

59
El circuito cumple con las cinco condiciones de un circuito equivalente:
- Circuito en estado estacionario
- Resistencia no redundante
- Excitación constante
- No hay trayectorias cerradas, formadas sólo por fuentes de voltaje
independientes e inductancias
- No hay cortes compuestos sólo por fuentes de corriente independientes y
capacitancias
Circuito equivalente:
Capacitancias cambiadas por un circuito abierto y las inductancias por un corto
circuito
Figura 34. Circuito equivalente
En este circuito se puede ver claramente que la corriente es cero:

60
Aporte de la fuente de voltaje:

61
2.2.5.1 Calcular por medio del teorema de superposición, el voltaje de la red
que se muestra a continuación.
2.2.5.2 En el circuito de la figura 37, determine usando el teorema de
superposición.

62
2.2.5.3 Aplicar el principio de superposición, para hallar el valor de .
2.2.5.4 El circuito de la figura 39 opera en estado estacionario
Determinar:

63
2.3 TEOREMA DE THÉVENIN
El conocido teorema de Thévenin 13
fue estudiado a mediados del siglo XIX por
Helmholtz 14
en forma más general, es decir para una red activa con N bornes
externos, dicho teorema permaneció casi que olvidado, hasta que fue
redescubierto por Thévenin en 1.883, dándose a conocer de nuevo bajo este
nombre actual, el famoso teorema de Thévenin.
Se aplica a circuitos lineales con una carga que puede ser lineal o no lineal,
variantes o invariantes con el tiempo y cuyo estado energético sea nulo o no.
Permite reemplazar un circuito de análisis complejo por uno equivalente de menos
tamaño que facilite el cálculo de los efectos externos (circuito equivalente), puede
usarse en sistemas de potencia para analizar partes de él reemplazando el resto
del sistema de esta forma.
2.3.1 ENUNCIADO
“Cualquier red lineal (Na) variante o invariante con el tiempo, compuesta por
elementos pasivos y activos (dependientes e independientes) conectada a otra red
(Nb) o carga que puede ser lineal o no, variante o invariante con el tiempo y su
estado energético nulo o no mediante dos terminales p y q (figura 40a), se puede
sustituir desde el punto de vista de sus terminales por un circuito equivalente que
contenga sólo una fuente de voltaje independiente en serie con una red Nao
(figura 40b) que se obtiene de Na haciendo todas las fuentes independientes
contenidas en ellas y el estado energético inicial iguales a cero, siempre y cuando
13
León Charles Thévenin (Meaux, 30 de marzo de 1857 - 21 de septiembre de 1926), fue un ingeniero en
telegrafía francés, que extendió el análisis de la Ley de Ohm a los circuitos eléctricos complejos. Su aporte
más importante fue el teorema que lleva su nombre.
14
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (Agosto 31, 1821 – Septiembre 8, 1894) físico alemán que
contribuyó con sus conocimientos en múltiples campos de la ciencia.

64
la interconexión entre la carga Nb y la red Na tengan solución única y no haya
ningún acoplamiento entre ellas.” 15
FIGURA 40. Circuito original y circuito equivalente de Thévenin
2.3.2 DEMOSTRACIÓN
FIGURA 41. Demostración del teorema de Thévenin
Aplicando el teorema de superposición al circuito de la figura 41a se puede ver
que la corriente que pasa a través de la red pasiva Nb, se puede
descomponer en la corriente que es generada por la acción de todas las
fuentes de la red Na de la figura 40a y la corriente debida a la fuente de
voltaje de la figura 41b. Por lo tanto:
15

65
Cuando es cero se puede reemplazar la red Nb en la figura 41a por un circuito
abierto (teorema de sustitución) en el cual la diferencia de potencial entre sus
terminales sea nula (la red Nb es pasiva y la corriente que la circula es cero), por
lo tanto al aplicar el teorema de superposición se obtiene que:
Esto indica que para que la corriente a través de la red pasiva Nb sea nula
debe ser igual a como se muestra en la figura 42. Si la polaridad de
, se inyecta una corriente en la red pasiva Nb de la figura 40b.
FIGURA 42. Determinación del voltaje de Thévenin
2.3.2.1 TEOREMA UNIFICADO DE THÉVENIN
Ling-Ming Jin y Shin Park Chan en la revista IEEE TRANSACTIONS ON
EDUCATION de agosto de 1989 (Volumen 32 Número 3) presentaron el artículo
“A unified and Efficient Approach for Determining Thévenin (Norton) Equivalent
Circuits” donde muestran una forma unificada y eficiente de determinar el
equivalente de Thévenin, método que permite obtener simultanea y
sistemáticamente la impedancia ( ) y la fuente de Thévenin ( ).
Se basan en el hecho de que si ambos circuitos (el original y el de Thévenin) son
equivalentes, deben producir los mismos efectos externos, es decir, si se conecta
a ambos el mismo circuito externo, los resultados son idénticos.

66
En la figura 43 se muestran ambos circuitos, a los que se ha conectado una fuente
independiente de corriente como carga.
Figura 43. Teorema unificado de Thévenin
Al ser equivalente, será el mismo en ambos
En la figura 43b, tomando sumatorio de voltajes en el anillo (malla) se tiene:
Si se resuelve el circuito mostrado en la figura 43a y se despeja se tendrá
una expresión de la forma:
Por simple comparación el primer término es y el segundo es
.
Un ejemplo mostrará la facilidad del método, se hará uno de los ejemplos del
artículo como homenaje a los autores:
Determinar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b del circuito de la
figura 44:

67
Figura 44. Ejemplo del teorema unificado de Thévenin
SOLUCIÓN:
Primero se aplica una fuente de corriente de prueba entre los terminales a y b
de la figura 44:
Figura 45. Aplicación de una fuente de corriente de prueba entre a y b

68
Aplicando sumatorio de corrientes en los nodos 1, 2 y a se obtienen las siguientes
ecuaciones:
Resolviendo para se obtiene:
Organizando:
Donde
De este modo se conocen :
En términos de la transformada de Laplace. Determinar el equivalente de
Thévenin entre las terminales a y b del circuito de la figura 46.

69
SOLUCIÓN:
Cálculo de
Figura 47. Cálculo de
Del circuito anterior se puede ver que:
Aplicando voltajes de nodo al circuito:
Nodo 2:

70
Nodo a:
Reemplazando los valores y despejando de ec.(39) se obtiene:
Ahora se reemplaza en la ec.(38):
Despejando :
Reemplazando el valor de se obtiene el
Cálculo de

71
Como se tienen fuentes dependientes es necesario calcular inyectando una
fuente de corriente de prueba 16
y obteniendo , la relación
es la impedancia equivalente , igual procedimiento se debe
hacer cuando se tengan inductancias mutuas, incluso este procedimiento funciona
cuando no se tienen elementos acoplados (fuentes dependientes o inductancias
mutuas) pero en este caso puede resultar más corto usar las equivalencias serie,
paralelo , Y-∆ o viceversa.
Mediante una fuente de corriente de prueba se va a hallar un voltaje de
prueba , para que la relación de ambos arroje el resultado de la
16
También puede aplicarse una fuente de voltaje y calcular para obtener la relación propuesta
.

72
Nodo 1:
Nodo a:
Despejando de (41):
Reemplazando este valor en la ec.(40):
Organizando la ecuación anterior se tiene:
Figura 49. Equivalente de Thévenin

73
Ahora se resuelve el mismo ejercicio usando el teorema unificado de Thévenin:
Figura 50. Ejemplo aplicando el teorema unificado de Thévenin
Usando voltajes de rama: 17
Figura 51. Gráfico orientado
Incógnitas: y
17
No es problema, para describir el circuito usando como incógnitas los voltajes de rama, elegir las fuentes
de corriente como ramas (si la descripción fuera por corrientes de enlace es recomendable elegirlas como
enlace).
La dirección elegida para el elemento 3 es la indicada para determinar .

74
No hay inductancias acopladas
Fuentes de corriente:
Los demás elementos pasivos:
Sumatorio de corrientes en los nodos a los que no llegan fuentes de voltaje:
Ecuación de la fuente de voltaje:
Reemplazando:
Se conoce que:
Expresando Venlace en función de los de rama:
Sumatorio de voltajes en anillos:

75
Reemplazando en las ecuaciones (45) y (46):
Despejando que es :
De la ec.(47):
Reemplazando en la ec.(48):
Despejando :

76
2.3.4.1 Calcular el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b de la
figura 52.

77
SOLUCIÓN:
Primero se empieza por calcular el entre las terminales a y b.
Por medio de un análisis de mallas se obtiene la corriente :

78
Malla 2:
Malla 3:
Reemplazando en la ecuación (49) se puede hallar la corriente que se
necesita para calcular el .
Para el cálculo de se conecta entre las terminales a y b una fuente de prueba
y se reemplaza la fuente de corriente independiente por un circuito abierto.

79
Del circuito anterior se puede ver que:
A continuación se hace un análisis de mallas para obtener el valor de las
corrientes
Malla 1:
Malla 2:
Malla 3:
Resolviendo las ecs.(51), (52) y (53) se obtienen los valores de las corrientes:
Finalmente se halla el :

80
2.3.4.2 Calcular el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b de la
figura 56.
SOLUCIÓN:
Para calcular se determina el voltaje en bornes a y b con los terminales
abiertos

81
Como la corriente , entonces y mediante un análisis de mallas
se obtiene el valor de , necesario para obtener el .
Malla 1:
Reemplazando se halla
Mediante una fuente de prueba se halla la .

82
Malla 1:
Malla 2:
Organizando:

83
Ahora se resuelve por el mismo ejercicio por medio del teorema unificado de
Thévenin:
Figura 60. Ejercicio resuelto por medio de Thévenin unificado
Malla de la izquierda:
Organizando:
Malla de la derecha:
Reemplazando la ec.(57) en (58):

84
2.3.4.3 En el circuito que se muestra a continuación, calcular el equivalente de
Thévenin entre las terminales a y b.
SOLUCIÓN:
Del circuito anterior se obtienen las siguientes ecuaciones.

85
Aplicando voltajes de nodo al circuito se obtiene la ecuación necesaria para hallar
el valor de .
Nodo 1:
Reemplazando :
Para obtener el valor de la se pone una fuente de prueba entre las terminales
a y b del circuito, y se reemplazan la fuente independiente de corriente por un
circuito abierto y la fuente independiente de voltaje por un corto circuito.

86
Nodo 1:
Reemplazando :
Ω
Ω

87
2.3.4.4 Hallar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b de la figura 65.
SOLUCIÓN:
Haciendo una transformación de fuentes se obtiene el siguiente circuito donde se
han puesto en cortocircuito las terminales a y b:

88
Figura 66. Circuito con transformación de fuentes
Aplicando corrientes de malla al circuito anterior:
Donde es la
Cálculo de
En el circuito abierto la corriente es cero:
18
El teorema de Norton se explica en el numeral 2.4

89
Por lo tanto:
Voltaje que se habría podido obtener más fácilmente del circuito original (figura 65)
puesto que si los terminales a y b están abiertos la corriente de valor circula
a través de la resistencia de 10 Ω y por lo tanto
Por lo tanto
Cálculo de
Ω
Más adelante se mostrará que los equivalentes de Thévenin y de Norton son
equivalentes entre sí.
2.3.5.1 En el circuito de la figura 68, hallar el voltaje .

90
2.3.5.2 Calcular el voltaje entre los terminales a y b en el circuito de la figura 69.
2.3.5.3 En términos de la transformada de Laplace, determinar el equivalente de
Thévenin entre las terminales a y b del circuito de la figura 70.

91
2.3.5.4 Determinar el equivalente de Thévenin a la izquierda de a y b, en términos
de la transformada de Laplace
2.3.5.5 a) Transformar el circuito ilustrado y obtener la red equivalente de
Thévenin entre los terminales a y b y

92
b) Repetir el ejercicio usando el teorema unificado de Thévenin
2.3.5.6 Determinar entre a y b para la red de la figura 73

93
2.3.5.7 Para el circuito de la figura 74 hallar
2.3.5.8 Determinar el equivalente de Thévenin a la izquierda de a y b en términos
de la transformada de Laplace

94
2.3.5.9 El circuito de la figura 76 es un cubo de lado 3m, cada lado tiene una
resistencia de . Determinar entre 1 y 1´
2.4 TEOREMA DE NORTON
El teorema de Norton19
se puede considerar el dual del teorema de Thévenin ya
que permite reemplazar parte de la red por un circuito equivalente constituido por
la misma red Nao en paralelo con una fuente independiente de corriente.
Debieron transcurrir casi cuarenta años para que una versión del de Thévenin, que
no es más que el uso de la transformación de una fuente de voltaje en una de
corriente, se enunciara como otro teorema.
19
Edward Lawry Norton (Rockland, Maine, 28 de julio de 1898 - Chatham, Nueva Jersey, 28 de enero de
1983) fue un ingeniero y científico empleado de los Laboratorios Bell. Es conocido principalmente por
enunciar el teorema que lleva su nombre. Sirvió como operador de radio en el U.S Marina entre 1917 y
1919, asistió a la Universidad de Maine durante un año antes y un año después de su servicio durante la
guerra, luego fue trasladado al M.I.T.

95
2.4.1 ENUNCIADO
“Cualquier red lineal (Na) variante o invariante con el tiempo, compuesta por
elementos pasivos y activos (dependientes e independientes) conectada a otra red
(Nb) o carga que puede ser lineal o no, variante o invariante con el tiempo y su
estado energético nulo o no mediante dos terminales p y q (figura 77a) , se puede
sustituir desde el punto de vista de sus terminales por un circuito equivalente que
contenga sólo una fuente de corriente independiente en paralelo con una red Nao
(Figura 77b) que se obtiene de Na haciendo todas las fuentes independientes
contenidas en ella y el estado energético inicial iguales a cero, siempre y cuando
la interconexión entre la carga Nb y la red Na tengan solución única y no haya
ningún acoplamiento entre ellas.” 20
Figura 77. Circuito original y Circuito equivalente de Norton
2.4.2 DEMOSTRACIÓN
20
ELÉCTRICOS” , 1987.

96
Figura 78. Demostración del teorema de Norton
Aplicando el teorema de superposición al circuito de la figura 78a se puede ver
que el voltaje a través de la red pasiva Nb, se compone del voltaje que
es generado por la acción de todas las fuentes en la red Na de la figura 77a y el
voltaje debido a la fuente de corriente de la figura 78b. Por lo tanto:
Cuando es cero se puede reemplazar la red pasiva Nb en la figura 78a por un
corto circuito a través del cual no circula ninguna corriente, por lo tanto al aplicar el
teorema de superposición se obtiene que:
Esto indica que para que el voltaje a través de la red pasiva Nb sea nulo,
debe ser igual a como se muestra en la figura 79. Si la dirección de
, se produce una caída de tensión en la red pasiva Nb de la figura 77b.
Figura 79. Determinación de la corriente de Norton

97
En términos de la transformada de Laplace. Hallar el equivalente de Norton entre
los terminales a y b de la figura 80.
SOLUCIÓN:
Cálculo de

98
Se halla la impedancia equivalente entre y se convierte la fuente de
voltaje en fuente de corriente:
Figura 83. Impedancia equivalente y conversión de las fuentes

99
Figura 84. Equivalente de Norton:
2.4.4.1 Encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la
figura 85

100
SOLUCIÓN:
Primero se determina la , para esto se ponen en cortocircuito las terminales a y
b de la figura 85. Como se ve cuando las terminales están en cortocircuito:
Entonces:
Cálculo de RN:
Haciendo la ecuación de la corriente de malla en la parte izquierda del circuito de
la figura 86:
Ahora se hace la malla del lado derecho del circuito (sin el cortocircuito):

101
Al sustituir en la ecuación (65) se obtiene :
Por lo tanto se procede a obtener la :
Ω
Figura 87. Equivalente de Norton:
2.4.4.2 Hallar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la figura 88,
en régimen permanente sinusoidal (usando fasores).

102
SOLUCIÓN:
Se halla un circuito equivalente y por medio de un divisor de corriente se obtiene el
valor de :
Cálculo de
Se elimina la fuente de corriente y se encuentra la impedancia equivalente del
circuito:

103
Ω
Figura 91. Equivalente de Norton
2.4.4.3 Encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la
figura 92.
SOLUCIÓN:
Cálculo de

104
La fuente de corriente se reemplaza por un circuito abierto y la fuente de voltaje se
reemplaza por un corto circuito:
Ω
Cálculo de
Se pone en cortocircuito las terminales a y b, de esta forma se halla la corriente de
Norton que circula por el circuito:

105
Malla 2:
Organizando y despejando :
Figura 95. Equivalente de Norton
2.4.5.1 Resolver todos los ejemplos de aplicación, ejercicios resueltos y los
propuestos de la parte anterior (teorema de Thévenin) usando el teorema
de Norton.
2.4.5.2 En el circuito de la figura 96, hallar el voltaje empleando el teorema de
Norton.

106
2.4.5.3 Para el circuito de la figura 97, encontrar el voltaje , empleando el
teorema de Norton.
2.4.5.4 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales a y b del circuito
de la figura 98, en términos de la transformada de Laplace.

107
2.4.5.5 Transformar el circuito ilustrado y obtener la red equivalente de Norton
entre los terminales a y b,
2.4.5.6 Determinar el circuito equivalente de Norton, en términos de la
transformada de Laplace

108
2.4.5.7 Determinar la impedancia equivalente entre los terminales p y q
2.4.5.8 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales a y b del circuito
de la figura 102, en términos de la transformada de Laplace

109
2.4.5.9 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales p y q del circuito
de la figura 103, en términos de la transformada de Laplace

110
2.4.5.10 Cuando el circuito ha alcanzado el estado estacionario con el interruptor
en la posición 1, este se pasa a la posición 2. Tomando este instante
como referencia (t=0) determinar la red equivalente de Norton en
términos de la Transformada de Laplace entre los terminales x – y
considerando como carga la inductancia L.
Determine
2.5 TEOREMA DE RECIPROCIDAD
2.5.1 EL PRINCIPIO DE RECIPROCIDAD
Una de las propiedades más útiles para la solución de muchos problemas
prácticos e investigaciones en la teoría de los circuitos eléctricos LINEALES,
PASIVOS e INVARIANTES CON EL TIEMPO, es la de la reciprocidad. Su estudio
se basa en la comparación de dos circuitos constituidos alrededor de la misma red
F0 (que como se dijo debe ser lineal, pasiva e invariante con el tiempo, su estado

111
energético inicial debe ser nulo y no contener fuentes dependientes), una vez
hecho esto se relacionan las corrientes y voltajes ,
definidos como se muestra en la figura 105 de la siguiente forma21
:
Figura 105. Principio de reciprocidad
2.5.2 EL TEOREMA COMO UNA CONSECUENCIA DEL PRINCIPIO
Un caso particular del principio de reciprocidad es el Teorema de reciprocidad:
Figura 106. Teorema de reciprocidad
21
La demostración de este principio se basa en el teorema de Tellegen que se enuncia en el capítulo 3. Se
deja como ejercicio su demostración

112
Utilizando la ecuación (68) del principio de reciprocidad y reemplazando los
valores de la figura 106, se tiene:
La lectura de los amperímetros es la misma, si se intercambian excitación y
medida
2.5.3 ENUNCIADO
“La relación entre la transformada de Laplace de una respuesta ya sea de
corriente o voltaje medida en un nodo de la red, y la excitación aplicada a otro
nodo, permanece invariante a un cambio de posiciones entre el nodo de
observación y el de excitación, siempre y cuando esta transformación no altere la
estructura topológica de la red”.
Es decir, la corriente en cualquier rama de una red, debida a una fuente simple de
tensión en cualquier otro punto de la red, será igual a la corriente que pasa por la
rama en la que se encontraba originalmente la fuente, si ésta se pusiera en la
rama en que se midió originalmente la corriente.” 22
Como se dijo, hay una serie de restricciones bajo las cuales el teorema se puede
aplicar:
- Este teorema sólo es aplicable a redes de una sola fuente independiente; por
lo tanto no es un teorema que se emplee en el análisis de redes con fuentes
múltiples.
- La red es lineal e invariante con el tiempo.
22

113
- La red está inicialmente en reposo (estado energético inicial nulo).
- La red no puede contener fuentes dependientes.
2.5.4 DEMOSTRACIÓN23
Figura 107. Redes auxiliares para demostrar el teorema de reciprocidad
Aplicando el teorema de Tellegen a las redes de la figura 107 se obtiene
Puesto que la matriz de la ecuación primitiva que relaciona los con los
es la misma que relaciona los con los , es decir:
23

114
La ecuación (70) es una clara demostración de que si la red es la misma en
ambos circuitos de la figura 107 entonces:
Igualando las ecuaciones de (69) se obtiene la definición más general de
reciprocidad:
Se pueden considerar los siguientes casos:
Caso 1: Se reemplazan las redes A y D por fuentes de voltaje y , las
redes B y C por cortocircuitos a través de los cuales circulan corrientes
e respectivamente (figura 108). Es decir:

115
Figura 108. Intercambio de posiciones entre fuentes de voltaje y registradores de
corriente
Reemplazando la ec.(72) en (71) se obtiene:
Caso 2: Se sustituyen las redes A y D por fuentes de corriente e y las
redes B y C por circuitos abiertos (figura 109) a través de los cuales
aparecen voltajes y , respectivamente. Es decir:

116
Figura 109. Intercambio de posiciones entre fuente de corriente y registrador o
medidor de voltaje
Reemplazando la ec.(74) en (71) se obtiene:
Debe enfatizarse que una fuente independiente de voltaje se toma como un corto
circuito y una de corriente como un circuito abierto
generalizados. Por esta razón tanto en el punto de observación como en el de
excitación hay implícitas restricciones de corto circuito cuando la respuesta es una
corriente y la excitación una fuente independiente de voltaje. Similarmente, un
voltaje debido a una fuente de corriente implica restricciones de circuito abierto
tanto en el punto de observación como en el de excitación. Así, por ejemplo, la
figura 110 ilustra una situación en la que el teorema de reciprocidad se cumple ya
que en el punto de observación del primer circuito y en el de excitación del
segundo se mantiene la restricción de circuito abierto, mientras que en el punto de
excitación del primer circuito y de observación del segundo se mantiene la
restricción de corto circuito. En este mismo orden de ideas en la figura 111 no se
cumple el teorema de reciprocidad.

117
Figura 110. Situación en la que se aplica el teorema de reciprocidad
Figura 111. Situación en la que no se aplica el teorema de reciprocidad
Demostrar que las corrientes medidas por los amperímetros son iguales en los dos
circuitos.

118
SOLUCIÓN:
Circuito 1:
Se halla el equivalente de Thévenin en el circuito:
La corriente medida por el amperímetro será:
Circuito 2:
Por medio de un divisor de corriente se obtiene :

119
2.5.6.1 Hallar el valor de las corrientes e para los circuitos de la figura 113.
SOLUCIÓN:
Circuito 1:
Se halla la corriente por medio de un divisor de corriente:
Circuito 2:
De la misma forma se obtiene la corriente :
Como se puede ver las corrientes son iguales, con lo que se verifica el teorema de
reciprocidad.

120
2.5.6.2 Aplicar el teorema de reciprocidad para hallar el valor de las corrientes
e para los circuitos de la figura 114.
SOLUCIÓN:
Figura 115. Aplicación del teorema de Reciprocidad

121
Del circuito 1 se conoce que:
Para el circuito 2 se tiene:
Aplicando la ec.(76) se tiene:
Del circuito 1 se obtiene :
Para hallar se realiza un divisor de corriente en el circuito 1 original:
Para hallar :
2.5.6.3 Verificar el cumplimiento del Teorema de reciprocidad.

122
SOLUCIÓN:
El teorema de reciprocidad establece que si se intercambian excitación y medida,
éste no se altera, se resolverán ambos circuitos para comprobar este hecho (
debe ser igual en ambos)
Circuito 1:
Usando voltajes de rama

123
Ecuaciones de inductancias mutuas: NO HAY
Ecuaciones de fuentes de corriente: NO HAY
Fuentes de voltaje: → se elimina una incógnita
Reemplazando los valores de las corrientes en las ecs.(77) y (78):
Expresando los Venlace en función de los de rama:
Reemplazando en las ecs.(79) y (80):

124
Reemplazando (82) en (81):
Circuito 2:
Se respetan las direcciones dadas
Usando voltajes de rama:

125
Fuentes de voltaje: → se elimina una incógnita
Reemplazando los valores de las corrientes en las ecs.(83) y (84):
Expresando los Venlace en función de los de rama:
Reemplazando en las ecs.(85) y (86):
Multiplicando por 50 y reorganizando:
Despejando de la ec.(88) se tiene:

126
Reemplazando la ec.(88) en (87):
El resultado es igual al obtenido en el circuito anterior; con lo que se comprueba el
teorema de reciprocidad.
2.5.7.1 Aplicar el teorema de reciprocidad a los circuitos de la figura 119 que se
presenta a continuación.

127
2.5.7.2 Aplicar el teorema de Reciprocidad a los circuitos de la figura 120 que se
presenta a continuación.
2.5.7.3 La red de la figura 121 está compuesta exclusivamente de resistencias
lineales de valor constante. La tabla corresponde a mediciones de voltaje
y corriente para dos valores definidos de y de la excitación.
Determine en el segundo caso

128
2.5.7.4 Si se sabe que la red F es lineal, pasiva y recíproca. Determine en
régimen permanente sinusoidal
Para los circuitos se tomaron los siguientes datos en el laboratorio:
Tabla 1. Mediciones de laboratorio

129
2.5.7.5 a) La figura 123 muestra una red lineal recíproca excitada por dos fuentes
de voltaje y . Cuando y el circuito
alcanza el estado estacionario, entonces
. Calcular en régimen
permanente sinusoidal si
b) Si la red de la figura 123 contiene únicamente resistencias y si se sabe
que producen corrientes
. Calcular cuando
2.5.7.6 La tabla adjunta muestra mediciones obtenidas en el laboratorio para dos
formas diferentes de excitación de la red mostrada en la figura 124.
a) Calcular el valor de
b) Si , para que valor de
c) Determinar el valor de
d) Determinar el valor de

130

131
3. OTROS TEOREMAS
3.1 TEOREMA DE TELLEGEN I Y II
Estos teoremas, son de gran utilidad en las investigaciones teóricas de los
circuitos eléctricos, no son más que una consecuencia directa del hecho de que
los circuitos eléctricos constituyen un sistema cerrado24
, se aplican a todo tipo de
circuitos eléctricos, lineales o no, variantes o invariantes con el tiempo y cuyo
estado energético puede ser nulo o no.
Los teoremas de Tellegen25
establecen que las sumas de las potencias generadas
y consumidas por los elementos de un circuito deben ser nulas. Este teorema
permite comprobar los resultados obtenidos en el análisis del circuito y a veces es
llamado “balance de potencias”.
3.1.1 ENUNCIADO
TEOREMA I: “En cualquier red de parámetros concentrados en cualquier instante,
la suma algebraica de las potencias absorbidas o generadas por todos
los elementos de circuito es nula. Es decir, cuando todas las corrientes
se definen en el sentido de las caídas de potencial (o todas en el
sentido de las subidas de potencial).
24
Que no intercambia energía con el medio
25
Bernard D.H. Tellegen (Winschoten, 24 Junio de 1900 - Eindhoven, 30 Agosto de 1990) ingeniero
electricista holandés. Ampliamente conocido en el mundo de la teoría de circuitos eléctricos por su gran
aporte el llamado Teorema de Tellegen.

132
TEOREMA II: Si se consideran dos circuitos independientes cuyos gráficos
orientados sean idénticos e denota el vector de corrientes y
el de voltajes en el primer circuito y los del segundo, conocido
también con el nombre de circuito adjunto, se designan mediante
y , respectivamente.” 26
3.1.2 DEMOSTRACIÓN
Para la demostración se hará uso de las matrices de incidencia, la de incidencia
de nodos se recuerda a continuación:
MATRIZ DE INCIDENCIA DE NODOS
donde es el número de nodos menos 1 y el número de
elementos del circuito.
26

133
Figura 125. Matriz de incidencia de nodos
Ejemplo: Hallar la matriz de incidencia del siguiente gráfico
El nodo 6 se elige arbitrariamente como referencia

134
Figura 127. Matriz de incidencia de nodos
Es fácil ver que:
Figura 128. Comprobación de las leyes de Kirchhoff
1ª Ley de Kirchhoff
2ª Ley de Kirchhoff
3.1.2.1 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE TELLEGEN I

135
Cada elemento del gráfico se supone con la siguiente referencia (referencia
normal):
Usando la matriz de incidencia de nodos;
; por lo tanto:
Tellegen I
3.1.2.2 DEMOSTRACIÓN DE TELLEGEN II
CIRCUITO 1 CIRCUITO ADJUNTO
Ambos circuitos poseen el mismo gráfico orientado
Donde es la matriz fundamental de anillos de dimensiones {L X B} siendo L el
número de enlaces (que define, cada uno, un anillo –trayectoria formada por un
enlace y ramas del árbol-). El elemento genérico se define por :

136
CIRCUITO 1 CIRCUITO ADJUNTO
Transponiendo la ecuación (92):
Post multiplicando por :
Por lo tanto:
Tellegen II
Verificar el Teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.

137
SOLUCIÓN:
Circuito 1: Método de corrientes de enlace
Figura 130. Grafico orientado
Incógnitas:
Fuentes de voltaje:

138
Ecuación de la fuente de corriente: elimina una incógnita
Reemplazando los voltajes en función de las corrientes:
Expresar :
Reemplazando en las ecuaciones (95) (96) y (97):
Resolviendo:

139
Por lo tanto los voltajes serán:
Tabla 2. Comprobación de Tellegen
1
2
3
4
5
6
7

140
Incógnitas:
Fuentes de voltaje:
Inductancias mutuas:
Ecuación de la fuente de corriente:

141
Expresar :
Ecuación de la fuente de corriente:
Reemplazando (107) en (104), (105) y (106):
Resolviendo:

142
1
2
3
4
5
6
7
Tellegen II:

143
1
2
3
4
5
6
7
3.1.4.1 Verificar el teorema de Tellegen II, encontrando el voltaje que se produce
entre los terminales a y b del circuito 2 de la figura 132 27
.
27

144
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación del teorema de Tellegen:
Del circuito 2 se nota que:
3.1.4.2 Verificar el teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.

145
SOLUCIÓN:
Circuito 1: Método de voltajes de rama
Incógnitas:
Sumatorio de corrientes en nodos donde no llegan fuentes de voltaje:

146
Ecuación de la fuente de voltaje: elimina una incógnita
Reemplazando las corrientes en función de los voltajes:
Expresar :
Reorganizando:

147
Resolviendo:
Por lo tanto las corrientes serán:
1
2
3
4
5
6
7

148
Incógnitas:
Ecuación de la fuente de corriente: elimina una incógnita

149
Expresar :
Reemplazando en las ecuaciones (114) y (115):
Organizando:
Resolviendo:

150
1
2
3
4
5
6
7
Tellegen II:

151
1
2
3
4
5
6
7
3.1.5.1 Verificar el teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.

152
3.1.5.2 Verificar el teorema de Tellegen I para el circuito de la figura 137.
3.1.5.3 Usando matrices de incidencia determinar las corrientes a través de y los
voltajes en bornes de todos los elementos del circuito dado. Verificar el
cumplimiento del teorema de Tellegen I

153
3.2 TEOREMA DE MILLMAN
El Teorema de Millman se llamó así en honor al electrónico ruso Jacob Millman28
,
y no es más que la aplicación rápida para configuración específica de las leyes de
Kirchhoff. De lo dicho se desprende que este teorema se puede aplicar a todos los
circuitos eléctricos que satisfagan las leyes de Kirchhoff y al ser estas el resultado
de las leyes de conversión de la masa y la energía, no tiene excepción. Se aplica
a cualquier circuito eléctrico, lineal o no, variante o invariante con el tiempo y cuyo
estado energético sea nulo o no, cabe aclarar que no se puede aplicar este
teorema cuando en el circuito existan impedancias acopladas.
3.2.1 ENUNCIADO
Cuando se conocen las impedancias que concurren en el nodo B y los voltajes
entre el nodo A y los extremos de dichas impedancias, se puede calcular el voltaje
que existe entre los nodos A y B .
28
Jacob Millman (nació 1911 en Rusia , murió el 22 de Mayo 1991) fue profesor de Ingeniería Eléctrica
en la universidad de Columbia. Millman obtuvo un Ph.D. del MIT en 1935. Trabajó en la Universidad de
Columbia desde 1951, hasta su retiro en 1975. Desde 1941 hasta 1987, Millman escribió ocho libros
basados en electrónica.

154
Figura 139. Teorema de Millman
3.2.2 DEMOSTRACIÓN
Si se conocen los voltajes aunque se ignore la configuración de la
red entre A y los otros nodos, al aplicar sumatorio de corrientes en el nodo B,
tomando A como el nodo de referencia, se obtiene:
Organizando la ecuación anterior:
Se tiene en cuenta que se deduce que:

155
Fórmula que constituye la expresión del teorema de Millman.29
El nodo A puede ser cualquiera en el circuito y, por lo tanto puede ser alguno de
los nodos 1, 2,…, n. En este caso será nulo el término correspondiente de:
El caso de n fuentes de voltaje en paralelo (figura 140) es un caso particular en el
que se puede aplicar el teorema de Millman.
Figura 140. Caso particular donde se aplica el teorema de Millman
Aplicando el Teorema de Millman:
29
Como se ve, no es más que la aplicación inmediata de las 2 leyes de Kirchhoff para esta configuración.

156
Aplicar el teorema de Millman al circuito de la figura 141, para encontrar la
corriente que pasa por la resistencia de .
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación del teorema de Millman se obtiene:
Este valor se obtiene desconectando la “carga”

157
Por medio de un divisor de corriente, se halla la corriente que pasa por la
resistencia de :
Figura 143. Divisor de corriente

158
3.2.4.1 En el circuito de la figura 144, todas las tensiones están medidas respecto
a tierra.
a) Calcular la tensión del punto 1 respecto a tierra.
b) Si se conecta una resistencia R=5Ω, entre 1 y tierra, determinar el
potencial.
SOLUCIÓN:
a) Aplicando el teorema de Millman
b) Se halla la resistencia equivalente del circuito:

159
Figura 145. Divisor de voltaje
Mediante un divisor de voltaje se calcula
3.2.4.2 Aplicando el teorema de Millman, hallar el y la corriente .
SOLUCIÓN:
Sin la carga:

160
Figura 147. Cálculo de la corriente I
3.2.4.3 En el circuito de la figura 148 determinar la potencia cedida o absorbida
por la fuente de corriente, aplicando el teorema de Millman.

161
SOLUCIÓN:
Para aplicar el teorema de Millman hay que replantear el circuito:
Figura 149. Circuito replanteado
Aplicando el teorema de Millman para hallar se obtiene:

162
3.2.5.1 Hallar el voltaje aplicando el teorema de Millman.
3.2.5.2 Hallar el voltaje aplicando el teorema de Millman.
3.2.5.3 Un generador trifásico a 400c.p.s opera a un voltaje entre líneas de 205 V,
cada fase de una carga conectada en Y tiene una impedancia equivalente
de a 400c.p.s, cada una de las tres líneas que
conectan a la carga con el generador tiene una impedancia

163
a 400c.p.s. Si se llama N el punto neutro del equivalente en Y
del generador, determinar .
Repetir el mismo procedimiento si la impedancia de la línea pasa a valer
3.3 TEOREMA DE ROSEN (KENNELLY)
El teorema de Rosen analiza las diferentes transformaciones de impedancias que
se pueden dar al momento de analizar un circuito, para que su estudio y
respectiva solución se haga más fácil.
El teorema de Kennelly30
es una parte del teorema general de Rosen, más
específicamente la transformación estrella –triángulo y viceversa.
1
Arthur Edwin Kennelly (Colaba, 17 de diciembre de 1861 - Boston, 18 de junio de 1939) fué un ingeniero
eléctrico americano. Desde 1902 hasta 1930 trabajó como profesor de ingeniería eléctrica en la Universidad
de Harvard y como adjunto en el Instituto de Tecnología de Massachusetts desde 1913 hasta 1924. A él se
debe la aplicación de la teoría de los números complejos al análisis de circuitos en alterna, así como las
ecuaciones de transformación de cargas en estrella y en triángulo (teorema que lleva su nombre).

164
De lo dicho se ve que se aplica a circuitos lineales, pasivos, variantes o invariantes
con el tiempo y cuyo estado energético es nulo.
3.3.1 ENUNCIADO
Un circuito pasivo constituido por n impedancias conectadas en
estrella (figura 153), puede ser sustituido por otro circuito equivalente formado por
impedancias conectadas en polígono
(figura 154).
Figura 153. Impedancias conectadas en estrella

165
Figura 154. Impedancias conectadas en polígono
3.3.2 DEMOSTRACIÓN
Sean las conexiones:
Figura 155. Admitancias conectadas en estrella - Admitancias conectadas en
polígono

166
Aplicando el teorema de Millman al circuito en estrella:
Cambiando p por k en el denominador:
En conexión estrella la ecuación será:
Del segundo circuito (Polígono):
En conexión polígono la ecuación será:
Comparando las ecuaciones obtenidas en estrella y polígono, se encuentra la
relación general que representa el teorema de Rosen:

167
Casos particulares como aplicación:
a) Cuando n=2: Admitancias en serie, en este caso el polígono estará formado
por:
Figura 156. Caso admitancias en serie
b) Cuando n=3 (teorema de Kennelly) Estrella – Triángulo.
En este caso se tiene:

168
Figura 157. Transformación Estrella – Triángulo
De la misma forma se obtiene la transformación Triángulo –Estrella:

169
Figura 158. Transformación Triángulo – Estrella
c) Cuando n=4, En este caso se tiene:
Figura 159. Impedancias en polígono

170
Para n=4 se dispone de seis ecuaciones con cuatro incógnitas, por lo que el
sistema no se puede resolver, al menos que se impongan (arbitrariamente) otras
condiciones como, por ejemplo, que que permitirá calcular
los elementos de la estrella equivalente.
Calcular la resistencia equivalente entre los terminales a y b de la figura 160.

171
SOLUCIÓN:
Aplicando la transformación (Triangulo – Estrella) al primer triangulo:
Figura 161. Circuito equivalente 1

172
Figura 163. Circuito equivalente final
3.3.4.1 Calcular la impedancia equivalente entre los terminales a y b de la
figura 164.

173
SOLUCIÓN:
Transformando el triangulo d-c-e en una Y equivalente:

174

175
Figura 167. Circuito equivalente final
3.3.4.2 Convertir en polígono el circuito de la siguiente figura 168, aplicando el
teorema de Rosen.
SOLUCIÓN:
Las admitancias del polígono serán:

176

177
3.3.4.3 Convertir en polígono el circuito de la siguiente figura 170, aplicando el
teorema de Rosen.
SOLUCIÓN:
Las admitancias del polígono serán:

179
3.3.5.1 Encontrar la resistencia equivalente
3.3.5.2 Hallar la resistencia equivalente entre los terminales a y b de la figura 173,
aplicando el teorema de Rosen.

180
3.4 TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA (RÉGIMEN
PERMANENTE SINUSOIDAL)
El análisis de circuitos es muy importante en el estudio de sistemas diseñados
para transferir potencia entre una fuente y una carga, este teorema fue enunciado
por Moritz von Jacobi31
y en el principio fue conocido como la “ley de Jacobi”.
Los elementos que transmiten información mediante señales eléctricas, necesitan
transmitir una máxima cantidad de potencia desde la fuente hasta la carga, hecho
por el cual la aplicación de este teorema llega a ser muy útil en el momento
indicado para esta tarea.
31
Moritz Hermann (Boris Semyonovich) von Jacobi, nació en Rusia el 21 de septiembre de 1801 y murió el
10 de marzo de 1874, ingeniero y físico. Jacobi trabajo en el desarrollo de motores eléctricos y de cables de
comunicación.

181
3.4.1 ENUNCIADO
La potencia máxima entregada por una fuente real de voltaje o de corriente de una
red, representada dicha red por un circuito equivalente de Thévenin, se alcanza
cuando la impedancia de la carga ( ), es igual a la conjugada de la impedancia
equivalente de Thévenin ( )
3.4.2 DEMOSTRACIÓN
El concepto de transferencia máxima de potencia en el contexto de una red en
régimen permanente sinusoidal, se empieza por ver en la siguiente figura 174.
Figura 174. Circuito para describir la transferencia máxima de potencia
Se debe determinar la impedancia de carga que permite entregar una potencia
máxima a los terminales a y b, cualquier red lineal puede ser vista desde los
terminales de la carga en términos de un circuito equivalente de Thévenin, hecho
por el cual la labor se reduce a encontrar el valor de que hace que se suministre
una potencia media máxima a en el circuito que se muestra a continuación:

182
Figura 175. El circuito de la figura anterior, sustituyendo la red por su equivalente
de Thévenin
Para que la transferencia de potencia sea máxima, debe ser igual al conjugado
de la impedancia de Thévenin, es decir:
Para demostrar la ecuación anterior se empieza por expresar y en forma
rectangular:
y
En las dos ecuaciones anteriores, el término de la reactancia lleva su propio signo
algebraico, positivo para la inductancia y negativo para la capacitancia. Puesto
que se está haciendo un cálculo de potencia media, se supone que la amplitud del
voltaje de Thévenin se expresa mediante su valor en rms, también se usa el
voltaje de Thévenin como fasor de referencia. En estas condiciones a partir de la
figura 175 el valor rms de la corriente de carga será:
La potencia media suministrada a la carga es:

183
y son variables independientes. Ahora para maximizar P, se deben
encontrar los valores de y para los que y son ambas
cero
Ahora combinando las dos ecuaciones obtenidas:
Máxima potencia media absorbida
La máxima potencia media que puede suministrarse a cuando esta es igual al
conjugado de se calcula directamente a partir del circuito de la figura 175.
Cuando , la corriente rms de carga es y la máxima potencia
media suministrada a la carga es:
Si el voltaje de Thévenin está expresado en términos de su amplitud máxima, y no
en función de su amplitud rms, la potencia queda como:

184
Máxima transferencia de potencia cuando Z está restringida
Sólo puede suministrarse una potencia media máxima a si esta puede hacerse
igual al conjugado de . Pero hay situaciones donde esto no es posible, en
primer lugar pueden estar restringidas a un rango limitado de valores.
En este caso, la condición óptima para consiste en ajustar lo más
próxima posible a y luego ajustar lo más próxima a
que sea posible.
Un segundo tipo de restricción se produce cuando se puede variar la magnitud de
, pero no su ángulo de fase. Con esta restricción, se transfiere la mayor cantidad
posible de potencia a la carga cuando la magnitud de es igual a la magnitud de
, es decir:
Para redes puramente resistivas, la transferencia máxima de potencia se produce
cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia de Thévenin.
Determinación de la transferencia máxima de potencia sin restricciones de carga.
a) Para el circuito de la figura 176, determinar la impedancia que permite
transferir una potencia media máxima a .
b) ¿Cuál es la máxima potencia media transferida a la impedancia de carga
determinada en el punto (a)?

185
SOLUCIÓN:
a) Se comienza por hallar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b
del circuito de la figura 176, luego después de dos transformaciones de fuente
con la fuente de , la resistencia de y la resistencia de , se simplifica
el circuito para obtener el que se muestra a continuación.
Figura 177. Circuito simplificado

186
Se obtiene la impedancia de Thévenin desactivando la fuente independiente y
calculando la impedancia que se ve al mirar hacia los terminales a y b.
Para obtener una máxima transferencia de potencia media, la impedancia de
carga debe ser el conjugado de , por lo que:
b) Para calcular la máxima potencia media suministrada a se utiliza la siguiente
figura donde se ha sustituido la red original por su equivalente de Thévenin.
Figura 178. Red original sustituida por su equivalente de Thévenin
Analizando la figura 178 se puede ver que la magnitud rms de la corriente de
carga es:

187
La potencia media suministrada a la carga será:
3.4.4.1 Determinación de la transferencia máxima de potencia con restricciones de
la impedancia de carga.
a) Para el circuito de la figura 179, ¿Qué valor de da como resultado
una máxima transferencia de potencia media hacia ? ¿Cuál es la
potencia máxima en miliwatios?
b) Suponer que puede variarse la resistencia de carga entre y
que la reactancia capacitiva de la carga puede variarse entre
. ¿Qué valores de y permiten transferir la mayor
cantidad de potencia media hacia la carga? ¿Cuál es la máxima potencia
media que puede transferirse con estas restricciones?

188
SOLUCIÓN:
a) Si no hay restricciones en lo que se respecta a los valores de y , la
impedancia de carga debe ser igual al conjugado de la impedancia de
Thévenin. Por lo tanto se hace:
, lo que es equivalente a,
Ya que el valor de la fuente de tensión está dada en forma de valor rms, la
potencia media suministrada a será:
b) Puesto que están restringidas, primero se hace lo más próxima a
que sea posible; por lo tanto, . A continuación, se asigna un
valor a lo más próximo a que sea posible. En estas
condiciones:
Ya que se puede variar entre , se asigna a el valor de .
Por lo tanto, la impedancia de la carga se debe ajustar con el valor:
Si se asigna a este valor, el valor de la corriente de carga será:
La potencia media suministrada a la carga es:

189
Este valor es la potencia máxima que se puede suministrar a la carga teniendo en
cuenta las restricciones relativas a y , se puede ver que esta potencia es
inferior a la que podría suministrarse si no hubiera restricciones; en el punto (a) se
pudo observar que podían llegar a suministrarse .
3.4.4.2 Cálculo de la transferencia máxima de potencia con restricciones relativas
al ángulo de impedancia.
Se conecta una impedancia de carga con un ángulo de fase constante de
a los terminales a y b del circuito de la figura, se varía la magnitud de hasta que
la potencia media suministrada sea la máxima posible, teniendo presente la
restricción mencionada.
a) Calcular el valor de en forma rectangular.
b) Calcular la potencia media suministrada a .

190
SOLUCIÓN:
a) Se sabe que la magnitud de es igual a la magnitud de .Por lo tanto:
Ahora, como el ángulo de fase de es , se tiene:
b) Siendo igual a , la corriente de carga tendrá el valor:
La potencia media suministrada a la carga tendrá el valor:
Este valor es la máxima potencia que puede suministrarse mediante este circuito a
una impedancia de carga cuyo ángulo tenga un valor constante de . De
nuevo se puede ver que este valor es inferior a la máxima potencia que podría
suministrarse a si no hubiera ningún tipo de restricción.
3.4.4.3 Calcular la impedancia de carga que absorbería la potencia máxima y
cuanto es esta .

191
SOLUCIÓN:
Cálculo del equivalente de Thévenin
Malla 1 y 2: Desconectando la carga
Despejando las corrientes de las ecs.(128) y (129) se obtiene:
Calculo de :

192
Por lo tanto la potencia máxima será:
3.4.5.1 Calcular la potencia media suministrada a la resistencia de en el
circuito mostrado si

193
3.4.5.2 ¿Cuál es el valor de la resistencia en la figura 184 que maximiza la
potencia promedio entregada a la carga?
3.4.5.3 Determinar los valores para el circuito de la figura 185 que produzcan
la transferencia máxima de potencia a la carga.

194
3.5 TEOREMA DE MILLER
El teorema de Miller32
, es un teorema muy utilizado en electrónica y en circuitos
eléctricos para determinar y facilitar los cálculos en un circuito, al momento de
dividir una impedancia que cumpla con las condiciones para hacerlo.
3.5.1 ENUNCIADO
En un circuito lineal donde exista una impedancia conectada entre dos nodos,
cada uno con voltajes y como se muestra en la figura 186 , se puede
reemplazar dicha impedancia por dos elementos conectadas entre sus
correspondientes nodos y tierra, cada una con sus respectivas impedancias:
y donde .
Figura 186. Teorema de Miller
32
John Milton Miller fué un notable Ingeniero Electricista Estadounidense, ampliamente conocido por
descubrir el Efecto Miller e inventar los circuitos oscilatorios con cuarzos de cristal (Oscilaciones de Miller).
Miller nació en Hanover, Pennsylvania, y en 1915 recibió su Ph.D. en física de la Universidad de Yale.

195
3.5.2 DEMOSTRACIÓN
Figura 187. Teorema de Miller
Convirtiendo a cada lado las fuentes de voltaje en fuentes de corriente y usando el
valor de :

196
Figura 189. Conversión de las fuentes
Aplicando el Teorema de sustitución para cada lado:
Figura 190. Aplicación del teorema de sustitución
Se obtiene el siguiente circuito:

197
Hallando la en ambos lados, se obtiene la expresión que se quería demostrar:
Figura 192. Demostración del teorema de Miller
3.5.2.1 Teorema dual de Miller
En un circuito lineal donde exista una impedancia conectada entre un nodo y
tierra, donde dos corrientes e convergen en el mismo nodo, como se ve en la
figura 193, se puede reemplazar dicha impedancia por dos elementos conectados
entre sus correspondientes nodos y tierra, cada una con sus respectivas
impedancias: y donde .
Figura 193. Teorema dual de Miller

198
Convirtiendo a cada lado las fuentes de corriente en fuentes de voltaje:
Figura 195. Conversión de las fuentes
Siguiendo un procedimiento similar al que se utilizó en el teorema general de Miller
se llega a obtener el mismo circuito previamente mostrado:
Figura 196. Demostración del teorema dual de Miller

199
Determinar la relación de voltaje en el circuito de la figura 197, aplicando el
teorema de Miller.
SOLUCIÓN:
Del circuito se puede deducir directamente el valor de la relación :
Por lo tanto se puede aplicar el teorema de Miller a la resistencia de , tal como
se muestra en la figura 198.
Figura 198. Aplicación del teorema de Miller

200
El valor de la resistencia se calcula de la siguiente forma:
Y el valor de la resistencia se calcula con la siguiente ecuación:
El circuito equivalente se muestra a continuación:
De este circuito se puede deducir que la relación entre el voltaje y el voltaje
se puede determinar aplicando un divisor de voltaje a la red que se encuentra a la
derecha (la resistencia de en paralelo con la fuente de voltaje redunda).
A partir de la red que se encuentra a la izquierda se puede deducir la relación
entre el voltaje y el voltaje de la siguiente forma:

201
Por lo tanto la relación entre el voltaje y el voltaje es la siguiente:
3.5.4.1 Determinar la relación de voltaje y la relación de corriente en
el circuito de la figura 200, aplicando el teorema de Miller.
SOLUCIÓN:
En este circuito se quiere aplicar el teorema de Miller a la resistencia de ,
pero no es posible determinar directamente el valor del parámetro , tal como se
hizo en el ejercicio anterior. Cuando se presenta este tipo de circuitos, el
procedimiento a usar es el siguiente:
Si se considera que el parámetro tiene un valor lo suficientemente elevado como
para suponer que el denominador de la relación que tiene que aplicarse para

202
calcular la resistencia es aproximadamente igual a 1, y por lo tanto se cumple lo
siguiente:
Con esta aproximación se puede obtener el circuito equivalente mostrado a
continuación:
A partir de este circuito se pueden realizar los siguientes cálculos:
Este resultado confirma que la aproximación realizada para determinar el valor de
la resistencia es válida. Una vez conocido valor de se puede determinar el
valor de la resistencia equivalente utilizando la ecuación correspondiente:

203
Para determinar la relación entre el voltaje y el voltaje se aplica un divisor de
voltaje:
Finalmente, de la parte derecha del circuito se puede deducir que:
Pero:
Para calcular la relación entre la corriente de salida y la de entrada se deben
realizar los siguientes cálculos:
A partir de la red que se encuentra a la derecha del circuito mostrado en la figura
se puede calcular la relación entre la corriente y la corriente aplicando un
divisor de corriente:
De la misma forma, la relación entre la corriente y la corriente se puede
calcular aplicando un divisor de corriente a la red que se encuentra a la izquierda
del circuito equivalente:
Por lo tanto:

204
De esta forma quedan determinadas las dos relaciones pedidas en el enunciado
del problema.
3.5.4.2 Determinar la relación de voltaje en el circuito de la figura 202,
aplicando el teorema de Miller.
SOLUCIÓN:
Del circuito anterior se puede deducir directamente el valor de la relación :
Por lo tanto se puede aplicar el teorema de Miller a la resistencia de , tal como
se muestra en la figura 203.

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