Este documento presenta tres problemas de álgebra lineal. El primero involucra determinar la inversa de una aplicación lineal dada por una matriz y verificar su biyectividad. El segundo implica hallar una matriz dada sus valores y vectores propios, y representar otra aplicación en dicha base. El tercero trata de encontrar un valor para que una aplicación sea biyectiva y determinar bases para su núcleo e imagen.

1. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
EXAMEN DE ALGEBRA LINEAL
1.- Sea:
 
0 0 1
0 1 0
1 0 0
C
C
f
 
 
  
 
 
C es la base canónica de 3
R
a) Determinar:
1
f 
Hallamos la aplicación lineal
           
           
           
   
   
   
       
     
1, 0, 0 1, 0, 0 1, 0, 0 0,1, 0 0, 0,1 0, 0,1
0,1, 0 0,1, 0 1, 0, 0 0,1, 0 0, 0,1 0,1, 0
0, 0,1 0, 0,1 1, 0, 0 0,1, 0 0, 0,1 1, 0, 0
1, 0, 0 0, 0,1
0,1, 0 0,1, 0
0, 0,1 1, 0, 0
, , 1, 0
0 0 1
, 0
0 1 0
1 0
0,1, 0 0, 0,1
, , , 0, 0 0, , 0 0, 0
0
f
f
f
f
f
f
x y z
x y z
  
 
    
    
    



  
    
          
       
       
   
     
3 3
,
, , 1, 0, 0 0,1, 0 0, 0,1
, , 0, 0,1 0,1, 0 1, 0, 0
, , 0, 0, 0, , 0 , 0, 0
, , , ,
:
, , , , , ,
f x y z f f f
f x y z
f x
x
y z
f x y z
y z
x y z
z y
f
x y z f
x
x y z z y x

    
  




 


R R
PD. Biyectividad
    
      
  
  
, , , , 0
, , , , 0,0,0
0
0
0
, , 0; 0; 0
0,0,0
VNf x y z f x y z
Nf x y z z y x
z
y
z
Nf x y z z y x
Nf
 
 



   

ii) Sobreyectividad
0 0
0 0
0 0
x
y
z
x
y
z






 
 


 




14

2. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
3
3
Im
3 0 Im
3 Im
f es sobreyectiva
Dim DimNf Dim gf
Dim gf
Dim gf Dim
 
 
 

R
R
      
      
1 3
Im , , , , , ,
Im , , , , , ,
0 0 1 1 0 0
0
Calculo de la
1 0 0 1 0
1 0 0 0 0 1
A.
f f
L
a c
b b
c
gf a b c f x y z a b c
gf a b c z y x a b c
a
  
  
 
  
 
 


  

     
1 3 3
, , , ,
:
, ,
f
a b c f a b c c b a


 
R R

3. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
2.- Sea 2 2xA M tal que los valores propios de A son -3 y 3, y los vectores
propios (1,1) y (1,-5) respectivamente.
a) Hallar A.
b)Hallar  
B
B
f donde B es una base de 2
R formada con vectores propios.
1
1
1 1
1
2 1
5 2
D P AP
PD PP AP
PD IAP
PDP APP
P P A
A
D


 





 



 
 
    
         
         
     
     
1
3 0
0 3
1 1
1 5
5 6 1 6
1 6 1 6
1,1 , 1, 5
1,1 1,1 2 1,1 5 1, 5 7,23
1, 5 1, 5 1 1,1 2 1, 5 1, 11
7, 23 1,1 1, 5
1, 11 1,1 1, 5
1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 0
1 5 23 11 0 6 30 12 0 1 5 2
D
P
P
B
f
f
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

  
    
 
  
      




   
 

    
     
 

 
 

 


 
 
2 2 1 2 2 1 1 2
2 1
0 1 5 2
f f f f f 1 6 f f f
2 1
5 2
B
B
f
  
 
 


    


 
 
 

4. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
3.- Sea
3 3
:
( , , ) ( , , ) ( ,2 2 , ( 1) 2 )
f
x y z f x y z x y z x y z x y z 

        
R R
a) Hallar  para que f sea Biyectiva.
b) Para el caso en que f no sea Biyectiva, hallar una Base del fN y de la Im fg
  
  
  
    
    
   ''
''
''
Im , , 2 0
Im , , 2
Im ,2 ,
Im ,2 ,0 0,0,
Im 1,2,0 0,0,1
1,2,0 0,0,1
Im 3 numero de restric.
3 1 2 numero de vectores de
es base de
gf a b c b a
gf a b c b a
gf a a c a c
gf a a c a c
gf a c a c
S
Dim gf
S
S
  
 
  
  
  
 
  




R
R
R
la Imgf
 
0 1 1 1 1
1 2 0
2 2 0 2 1 2 0 1 2 0 1
1 1
1 2 0 1 1 2 0 1 1
1 2 0
x y z
x y z
x y z
  


 




 
  


    
    

    
    
      
    
11 -
2 2
1
2
, , , , 0
1 1, , , 2 2 , 2 0,0,0
2 2
Im , , , , , ,
1 1Im , , , 2 2 , 2 , ,
2 2
1 1
V
Si
Nf x y z f x y z
Nf x y z x y z x y z x y z
gf a b c f x y z a b c
gf a b c x y z x y z x y z a b c
 

  

 
 
 
       

      
 


R
2 2 1 2 3
2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 0 3 2 0 2 2
2 1 2 0 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 1 1 0
1 1 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2
f f 2f f f
a a a a c
b b a c a c a
c c a b a b a
   
   
   
      
       
      
 
       
  

  
  
  
  
1 1 2
3 3 1
1
f f f
2
f f f
3 3
0
2 2
0
3, ,
2
3 , ,
2
3 ,1,1
2
3 ,1,1 S genera a Nf
2
dim 3-numero de restrc.
3 2 1 numero de vectores de S
S e
x z x z
y z y z
Nf x y z x z y z
Nf z z z z
Nf z z
S

 
 
 
   
    

 
 

 




 

 
R
R
s base del Nf

5. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
4.- Sea:
 
 
3
2
2
1
2
2
: ( )
( , , ) ( , , ) ( ) ( )
(1,1,0)(1,0,1)(0,1,1)
1 , ,
f P t
a b c f a b c b a b c t a b c t
B
B t t t t

       

  
R
a) Hallar  
C
C
f
b) Hallar   1
2
B
B
f Utilizando matrices de cambio de Base.
         
         
         
 
       
  
1 1
2 2
2
22
2
1 1 1
2
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
1,0,0 1,0,0 1 0 0 0 0 0 0
0,1,0 0,1,0 1 0 0 0 0 0 0
0,0,1 0,0,1 1 0 0 0
0
1
0
)
0 0 0
0 1 0
1 1 1
1 1 1
C
C
B C BC
CB B C
B
C
f t t t t t t
f t t t t t t
f t t t t
t t
t t
t t
b f
t t
f
f Id Id
Id
  
  
  
     
     
     
 
 
 
 
      
      
      


 
 
 
2
2
1
2 2 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
f f f
C
B
B
C
Id
Id

     
     
       
        

   

  

  
 
    1
2
2 2 3
3 3
f f f
f f 1
1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 1
0 0 1 0 1 1
C B
B C
Id Id

   
   
   
     


 
 
 
 
1
2
1
2
0 1 0
1
1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 01 1
1 1 1
1
0 0 1 0 1 1
1 0 1
1 2 1
0 0 2
B
B
B
B
f
f
 
 
  
   
   
   
   
    
 
 
 
 
 
 
