1) El documento describe conceptos básicos de aplicaciones lineales, incluyendo inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. 2) Explica el teorema de la dimensión para aplicaciones lineales y que si una aplicación es inyectiva o sobreyectiva, también lo es la otra. 3) Detalla los pasos para encontrar la aplicación lineal inversa y provee un ejemplo resuelto.

1. 1.1. APLICACIÓN LINEALES
INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS
Y BIYECTIVAS
Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo K y una transformación lineal
Entonces:
1.
2.
3.
Sea

2. 1.2. TEOREMA DE LA DIMENCION
Si es una aplicación lineal de una e.v. V de dim(V)=n en un e.v. W de
dim(W)=m, entonces:
Dim(V) =Dim(Nf) +Dim(Imgf)
TEOREMA:
Si es una aplicación lineal de una e.v. V de dim(V)=n en un e.v. W de
dim(W)=N, entonces:
a) si f es inyectiva, entonces f también es sobreyectiva
b) si fi es sobreyectiva, entonces f también es inyectiva
Ejemplo:
Ejemplo:
Sea

3. 1.3. APLICACIÓN LINEAL INVERSA
Para que exista la aplicación lineal inversa ( , entonces la aplicación
lineal f debe ser biyectiva, es decir; f debe ser inyectiva y sobreyectiva.
u f(u)=w
Pasos para encontrar una aplicación lineal inversa
1. primero demostramos si es inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el
nucleo o la imagen de la aplicación lineal.
2. Demostramos que es biyectiva
3. A la matriz utilizada para encontrar la imagen, la escalonamos y reducimos con
estos valores obtenidos remplazamos en la aplicación lineal inversa
Ejercicio:

4. (a,b) x+yt
1. primero demostramos si es inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el
nucleo o la imagen de la aplicación lineal.

5. 2. Demostramos que es biyectiva
3. A la matriz utilizada para encontrar la imagen, la escalonamos y reducimos con
estos valores obtenidos remplazamos en la aplicación lineal inversa
Determinar:
a) Si es Inyectiva

6. b) Si f es Sobreyectiva
c) Si f es Biyectiva
a) Por definición:
Teorema de la Dimensión:
a) Como:

7. b) Como:
c) Por
1.4. VECTOR DE COORDENADAS

8. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base
, para cada v ∈ V existen escalares únicos tales que:
1.5. COORDENADAS DE UN VECTOR
RESPECTO DE UNA BASE
El vector en V cuyas componentes son los coeficientes de v,
expresado como , se llaman coordenadas de un vector
respecto a una base o vector coordenado de v con respecto a B:
Sea llegamos a encontrar las coordenadas del vector v
de la base dada y se escribe de la siguiente forma:
Ejemplo:
Sea la base y encontrar

9. Sea la base y ,
encontrar

10. Sea la base canoníca y
, encontrar