1) El documento presenta definiciones y propiedades de los logaritmos, incluyendo demostraciones de identidades logarítmicas. 2) Se resuelven varios ejercicios utilizando propiedades de logaritmos para simplificar expresiones logarítmicas. 3) Los logaritmos están definidos para bases mayores que cero y el dominio de definición depende de la base del logaritmo.

1. 147

2. , ....
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logaritmo
supongamos
log
bastantes
se lee de x de base a
cuando la base es no se suele poner nada en la base y se escribe
y cuando la base es e numero neperiano se escribe
sabemos que a con a
sabemos que a a
sea c d e a c d
sea c h a c d f a d
y como a c d a a a a e h f c d c d
asi queda demostrado que c d c d
sea d
c
e a d
c
sea c h a c d f a d
y como a d
c
a a a a e h f d
c
c d
asi queda demostrado que d
c
c d
sea b w a b y b v a b
a b remplazamos b por a en el queda asi a a a w v c
w v c b b
que b d b e a f
a b c b c a
a b
remplazar b por c
remplazar a por c
c c f d e d f
e
b
a
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Definicion
x
Ln x
Demostrar que
Demostrar que
Demostrar que
Demostrar que
x b a x siendo x a a
a
c d c d siendo c d a a
d
c
c d siendo c d a a
b b siendo a a b
b
a
b
se le llama Cambio de Base
cuidado con c c hay alumnos que lo confunden
10
2 718
1 0
0 1 0
1 0
1
0 0 0 1
0 0 0 1
0 1 0
1 2
1
.
. .
.
.
. .
Por
.
Por
Por
a
e
a
h
a
f
e e h f h f
a a a
a a a
a
e
a
h
a
f
e e h f h f
a a a
a a a
a
c w c
a
v
v v w v c v c
a
c
a
a c c
d e f
d
e
f
f d e
a
c
c
a
b
a
a
a a a
a a a
a
c
a
a
c
c
por definicion
por definicion
def
def def
Por def
Por def Por def
Por def Por def
a
n
a
n
0
1
.
.
log
log log
log log log
log log log
log
log log
log log log
log log log
log log
log log
log log log
log log
log
log
log
log
log log log
log log log
log log
log log
log
log log
c
c
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U
U
U
U
UU
U
U
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
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= +
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2 2 2
+
-
l
l
l
l
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h
h
h
j
h
h
h
h
j
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
j
h
h
h
h
h
h
h
h
g
g
g
h
h
j
h
h
h
h
h
h
h
h
g
g
h h
9 C
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
1 2 3
444444
4 444444
4 1 2 3
444444 444444 1 2 3
444444
4 444444
4
d n
01

3. .
. .
.
. .
.
.
***
***
.
log
importantes limites
logaritmica dominio
log log
utilizando la formula de cambio de base c
b
c
b c c
sabemos por def de que a b b n remplazando n por b en el
queda a b
sabemos c x entonces c c c
a a
a
a
a
haciendo cambio de base b
a
b
a
facil demostrarlo sabiendo c
b
b
c
haciendo cambio de base b
a
b
n a
m b
n
m b
n
m b
haciendo cambio de base
n a
m a
n
m
recordarlas son muy en los
Para resolver problema o ecuacion lo que hay que hacer es sacar su
b c c
a b
a c
a a
b
a
c
b
b
c
b n
m b
a n
m
a
Demostrar que
Demostrar que
Demostrar que
Demostrar que
Demostrar que
Demostrar que
Demostrar que
Demostrar que
b d b d si a
b d b d si a
si a
si a
si a
si a
vea las graficas de abajo
Para entenderlo mejor
1 1 0 1 1
1 1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
0 1
0 0 1
1
0 1
1
.
b
a
a
a b a
n
a a
b
x a c a a
a a a
a
a
a
a
b
b
b
a
n
a
m
a
a a
a
a
a
a b a
b
c
a a
a
b
a a
a
m
a
a
m
a
a
m
a
m
a a
a a
1
1
1
a
c c b c b
n
a
b b
n
n
n
c
log log
log
log log log
log log
log log log
log
log
log
log log
log
log
log log
log
log
log log
log
log
log
log log log
log log
log log
log log
log log
log
log
log log
log log
log
log log
log
log log log
log
log log
b
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U
U
U
U
U
U
U
U
U U
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3
3
3 3
3
1 1 2
1 2 1 1
1 1
2
1 1
2
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j
g
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g
g
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k
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h
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g
g
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m
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c m
02

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. . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . .
ln ln ln
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Resuelve Ln x Ln x
resuelve e e e
resuelve Ln x Ln x Ln x
resuelve Ln x
resuelve Ln x
resuelve Ln x x Ln x
resuelve
resuelve x x
resuelve x x x x
resuelve x x
resuelve x x
resuelve x x x
resuelve e e e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2 1 1 0
4 6 0
3 3 11 3
2 2 0
2 2 0
1 2 1
2 2
1
3
2 2 3 10 4 1
2 2 2
6 5 5
1
7 2
1 5 2
4
1
2 1
23 50
x x x
x
x
x x
2 1
2
2
1 2
2
1 2
2
2
1
2
2
16
2
4
4
2
2
2 1 1
log log
log log
log log
log log
1
$
$
$
#
#
#
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- + + = -
-
-
- + +
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- + -
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- +
- - - =
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-
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- -
-
+ +
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
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g
g
g
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g
g
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g
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03

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. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
cos ln ln
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
resuelve x x x
resuelve e e e
resuelve E x x x
resuelve F
resuelve x x
resuelve x x
resuelve x sen x
14
15
16
17
18
19
20
1
2
1
1 1 3
3 1 2 1
5 2 1
2
1 3
5 25 30
8 2
1 5 2
4
1
2 1
2
3
2
1
2
2
x x x
x x
x x
2
2
1
2
4
5
1 5 5
1 2 1
16
2
4
2 1
2 2
log log log
log log log
log log
log log
#
$
#
+ + + -
+ = -
- + - +
+
- - - =
- =
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- - - - - - - - - -
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- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
-
- +
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c
c
c
c
c
c
c
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g
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g
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h
04

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3
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intervalos
campo de existencia D
existe
Ln x si y solo si x x
Ln x si y solo si x x
x
x
es
la de estos dos
luego D
Ln x Ln x Ln x x Ln x x x x
x
x
luego x es la solucion
e Ln e Ln x Ln x
Ln
e e e e e e e e e
e e
e
e e sea a e asi que e e a a
luego a
e x
Ln
Ln
campo de existencia
x
x
x
x D
x D
x D
D D D D
Ln x Ln x Ln x Ln x x Ln x x x
x x x x x x x
x asi que la solucion es S
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Resuelve Ln x Ln x
resuelve e e e
resuelve Ln x Ln x Ln x
1
1 1 0 1
2 1 2 1 0 2
1
1
2
1
2
1
2
1
2 1 1 0 2 1 1 1 2 3 1 1 2 3 0
2
3
2
1
0 2
1
0
4 4 2 1 4
2
1 4
6 0 1 6 0 6 1 0
6 1 0
0
6 1 0 6 1 0 6 1 0
36 4 32 2
6 32
3 2 2 0
3 2 2 0
3 2 2 0
3 2 2
3 2 2
1
11 3 0
3 0
3 0
3
11
3
11
3 3
3 3
3 3
3 3 11 3 3 3 11 3 9 11 3
3 2 0 3 4
9
4
9
4
8
0 2
3
2
1
0 2 1 0
1 3 3
2 3 3
1 2
1
2
2 1 1 0
4 6 0
3 3 11 3
3
,
f
f
x x
x x x x x x x x x
x x
x
x x x x x
x
f
f
f
f f f f
x x x
2
3
1 2
2 1 2 1
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 1
2
1
1 2
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U
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3
3
3
3
3
3
3
3
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
b
D
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+ +
-
- +
-
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- - - - - - - - - -
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-
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c
c
c
c
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campo de existencia x x que es nuestro campo de trabajo
Ln x Ln x Ln x e e x e
e x e x e e ya que x campo existencia
campo de existencia x x x que es nuestro campo de trabajo
Ln x Ln x Ln x x e x
e
luego la solucion es x e
D x
x x
x
x x
x D
x D
luego D D D que es nuestro campo de trabajo
ahora resolvamos Ln x x Ln x x x x
x x x x
x
x
x x
asi que x x x y
se concluye que la solucion es
los colores
solucion donde coinciden
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
D
rojo
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
b d b d si a
b d b d si a
azul
resuelve Ln x
resuelve Ln x
resuelve Ln x x Ln x
Recuerda
vea la imag de abajo
0
2 2 0 2 2 1
0 0
2 0 0 0
2 2 0 2 2 2 2 2 2
0 2
1 2 1 0
1 0
2
1
4
1
4
1
1 0
2
1
2
1
2
1
4
3
0
1 2 1 1 2 1
3 0 3 0
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3 0
2
1
0 3
2
1
2
1
2
1
2
1
4
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1
0 3
0 3
2 2 0
2 2 0
1 2 1
R
R
*
Ln x
f
f
f
f f f
f
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a a
2
1
1 2
2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
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log log
log log
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2 2
2
2
2
2
2
2
1 2 1 1
1 1 2
!
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c
c
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ln ln ln
log
eliminar
X X
sustituindo por a a a es una ecuacion de
a a
a
imposible ya que
x x
la solucion a la ecuacion es x
Antes de empezar a resolver se halla el campo de existencia
x existe x x existe x
asi que es nuestro campo de trabajo
donde coinciden los colores e
x x x x
x
x
como
los y la desigualdad no cambia
la base es a se puede
x
x
x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x
x
x
x x
x y como
la solucion a la inecuacion es x
solucion donde coinciden los colores y
B
B
verde
Ejercicio
A
A
Ejercicio
x
rojo
n
Respuesta
n
Respuesta b b a
x
azul
resuelve
resuelve x x
Recuerda
D
vea la imagen para entenderlo
D
D vea la imagen de abajo
morado
2 2
1
3 2 2 2 3 2 2 2 3 0
2 2 3 0 2
2 3 0 1 4 2 3 25 5
4
1 5
2
3
2 2 0
4
1 5
1 2 1 2 2 0 0
2 2
1
3 0
2 3 2 3 0 10 4 10 4 0
2 2 3 10 4 1 2 2 3
1
10 4 2
2 3
10 4
2
1
2 3
10 4
2 10 4 2 4 12 9 8 20 8 0 2 5 2 0
2 5 2 0 25 16 9 3
4
5 3
2
1
4
5 3
2
2 5 2 0 2 2 2
1
0 2 2 1 0
2
1
2
2 0
2 1 0
2 2 1 0 0
2 2
5
2
1
2
2
3
7
8
1
1
2
5
2 2
1
3
2 2 3 10 4 1
2
3
2
5
2
3
2
5
2
3
2
5
,
,
x
x
x x x x
x
x x
x x
x
x
a a a
x
x
f
f
f
1 2
1 2
1 2 2 2
2
2
1 2
2
1 2
2
1 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
1
1 2
2
1 2
log log
log log log log log
log log
log log log
log log
+ +
+
( (
+ + +
& + & +
+ +
+ + +
(
+ +
d
d +
,
3 3
3 3
2
2 2
2
2 1
# #
#
# # # $
$
$ $ $
#
D D
D D
+ = + = + - =
+ - =
+ - = = - - = =
= - -
=
-
=
- +
= = = - = =
+ = =
- - - -
- + - - + -
-
-
-
-
- - + - + - - +
- + = - = = = -
=
+
=
- + - - - -
- +
- - - - + +
- - + + + +
- - + - - + +
=
= - +
= =
+ =
- + -
=
=
- - - - - - - - - -
- - - - -
-
- -
- -
-
-
c
c
c
l
l l
l l
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g
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g
g
g
n
g
g
g
l
g
l
g
g
g g
l
g
g
h
g
g l g
l
g g
h
h
h
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6 6
:
:
D D
D
D
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Z
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c m
07

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,
.
.
,....
,....
;
9
:
1
:
:
. . . . . . . . . .
ln
ln
ln
ln ln ln ln ln
ln ln ln
ln ln ln
X X
Antes de nada hallemos campo de existencia D y la solucion debe D
x x existe Ssi x x x x
x existe Ssi x
x existe Ssi x ya que x
x
x
x
x x
donde coinciden los colores
luego el D asi que la solucion debe a este conjunto D
Ahora si a resolver la ecuacion x x x x
x
x x x
x
x x
x
x
x x x
x
x x x x x
x x x x x x x x es una Ec de resolviendo por rufini
se deduce que x x x
x x
x
x D
x D
y x D
luego la solucion a la ecuacion x x x x es x
x x
campo de existencia D luego la solucion debe D
x x existe Ssi x x x x
x
x
x
x x
Ejercicio
x
rojo
A
A
Ejercicio
n
Respuesta
x x
azul
n
Respuesta
b d b d si a
b d b d si a
b b
resuelve x x x x
resuelve
x
vea la imagen morado
Recuerda
2 2 0 2 0
2 2 0
2 2 0 2 0
0 2
2 2 0
0 2
2 0 0
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
4
2 2 4 4
16 16 4 2 4 16 15 2 0 3
4 16 15 2
2 8 16 2
4 8 1 0
2 4 8 1 0
4 8 1 0 8 4 4 1 64 16 80 16 5 4 5
8
8 4 5
2
2 5
0
8
8 4 5
2
2 5
2
2
2 2 2
2
2 5
6 5 5
1
1
6 5 6 5 0 5 1 0
1 5
1 0 4
5 4 0
1 5 0 0
0
2 0
0
0 1
1
1
2 2 2
2
,
3
2 f
f
f f
f f
f f
x
a a
a a
a a
2 3 1
2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2
2 3 4 2 3 2
2
2 2
2
2
1
2
2
2
1
2 2
2
1
2
f
1
log log
log
log log
log log
log log
+
+
+
+ ( + +
+ +
+
( +
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,
+
,
,
.
d
d
d
U
U
U
3 3
3
3 3
2 2
2
2 2
2
2
1 2 1 1
1 1 2
!
b
g
!
$
-
b !
#
D D
- - -
- - -
- +
- - - - +
- + +
- -
+ +
= +
- - = - -
= -
-
= - -
= - -
= - = - +
- + = - - + + =
-
- -
- -
- - - =
- - = = - - - = + = = =
=
-
=
-
-
+
=
+
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- - = - =
+
- +
=
- + - + - -
- +
- - + +
- - - - +
- - -
-
+ +
=
+ +
- - = -
- - - - - - - - - -
=
c
c
c
c
l
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l
l
l l
l
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6
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a
b
b
b
b
b
b
b
b
_
`
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
1 2 3
444 444
08

10. , ,
, ,
, ,
,
:
, ,
. . . . . . . . . .
luego esto nos indica que la solucion a la inecuacion debe estar
x x x x x x x x
x
x
x
x x
de la tabla se concluye que x
y como la solucion debe estar
asi que la solucion es el conjunto de soluciones donde x
solucion donde coinciden los colores
hallemos el D
asi que
x existe Ssi x
x existe Ssi x
x x
x
x
x
x
x x
luego
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x x x x x x x
x
x
asi que la solucion a la ecuacion es S
D D
D
rojo
Ejercicio
D
D
D
n
Respuesta
vea el dibujo morado
resuelve x x
6 5 5
1
6 5 5 6 5 5 6 0
0 6
0 6
6 6 0
6 0 0
0 6
1
7 7 0
5 2 5 2 0
7 7 0
5
2
7 7
7 2 7 0
7 0 2 7
7 7 0 0
7 2
1 5 2
4
1
4
7
2
1 5 2
4
1
2
1
7 2
1 5 2
2
1
2
1
5 2
7
4 2
5 2
7
2
7 10 4 10 11 0 11 1 0
1
11
1 5
1 5
1 5
5
2
7
11
0 6
7 2
1 5 2
4
1
f
f
f
f
f
f
f
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
16
2 2
4
16
2
4
4
2
4
2
4
4
2
4 4
2
4 4
2
2 2
16
2
4
log log log log
log
log
log log log
log
log
log log log log log
log log
+ + +
+
+ +
+ +
+ + + +
d
,
,
,
,
3 3
3 3
3 3
Q
3 3
3 3
3 3
2
2
2
2
z
z
1
# # $ $
1
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- +
- + + + +
- - - - - - +
- - - -
- +
+
- -
- -
- +
- - +
- + + -
+ - + +
- + - + -
- - - =
-
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- - - = -
-
= = -
-
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- = - + - = - + = =
=-
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= - +
=
+ +
- +
- - - =
- - - - - - - - - -
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c
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l
l l
l
l l
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g
g
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g
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g
h
g
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g
g g
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6
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09

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. . . . . .
, . .
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:
3
:
.
,
. . . . . . . . . .
ln
antes de nada hallemos el D
para ello debe cumplir que x
x x
x
x
x
x x
solucion donde coinciden los colores
luego
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
por ultimo las soluciones a la inecuacion son x
e e e e e e e e e e
sustituindo e a a a
luego a a a
a
a
a
a a
a e e x
x
verde
Ejercicio
D
D
Ejercicio
A
A
n
Respuesta
x x
azul
n
Respuesta
resuelve x x x
resuelve e e e
vea la imagen
B
B ver imagen
1 0
2 0
1 2
1 0 3
2 3 0
1 2 0 0
2 1
2
1
2 1
2 2 1 2 1
2 2 1 3
2 3
23 50 23 50 0 23 50 0
23 50 0 23 4 1 50 729
27
2
23 27
2
2
23 27
25
2 25 0
2 25
2 0
25 0
25 2 0 0
2 25 2 25 25 25 3 22
1
2
12
2 1 0
1
2 1
23 50
3
,
f
x x x x x x
x
x x
f
f
x x
1 2
2
4
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 1 1 2 2
2 2
4
2
2
2 1 1
log log log log
log log log log
log log
+
+ +
+ +
+ + +
+ +
+
( +
& + & +
d
d +
6
5 5
6
3 3
3 3
3
3
2
2
1 1
1 1
1 1
2
2
1
# # #
#
#
# # # # # # -
#
D
D
-
- -
- - +
+ - + +
- - - - +
+ - -
+
- - - - - -
- - - - - -
- - - +
=
- - - - -
= - - = - - - =
= = -
=-
+
=
+ -
- - +
+ - + +
- - - +
- + + +
- -
= +
- +
- - -
-
= -
- - - - - - - - - -
+ +
+ +
+
c
c
l
l l
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g g
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6
6
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0
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12. .
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,
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5
:
:
. . . . . . . . . .
ln
x
x
x
existen Ssi
x
x siempre
x
abajo
los colores
Solucion donde coinciden
asi que nuestro campo de trabajo la solucion debe estar
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
como
x x x
x x
lo que nos permite en cruz
x x x x x x x x x
x x x x pero como
luego el conjunto de las soluciones es x los colores
solucion donde coinciden
e e e e e e e multiplicando por e
e e sustituyendo e por a queda de la forma seguiente
a a a
Imposible ya que a e
a e x
x
verde
Ejercicio
D D
D
rojos
Ejercicio
A
A
n
Respuesta
si a y f x g x f x g x
si a y f x g x f x g x
b b a b n
m b
x
azul
n
Respuesta
resuelve x x x
resuelve e e e
Recuerda
vea la imagen
x
vea la imagen de abajo
morado
1 3
1
1
1 3 0
1 0
1 0
1
2
1
1 1 3
2
1
1 2
1 1 3 1
2
1
1 2
1 1 3 2 2
1 1
1 1 3 2 1
1 1 1 3 1
1
1
1
1 3
1
1
1
1 3
1 3
1
3 3 1 4 1 3 0
1 3
1
0 1 3
4
1 1 1 3 1 2 1 1 3 3
3 5 0 3 5 0
0 3
1
3 1 2 1 3 3 2 2 3 2 5 0
3 5 2 0
3 5 2 0 49 7
6
5 7
2 0
6
5 7
3
1
3
1
3
3
1
1 3
1
1 3
1
14
1
0 1
1
1
1
2
1
1 1 3
3 1 2 1
0
,
x x x x x x x x
x x x
x
x
f f
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a a
a a
a
x x x
a
c
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n
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3
2
1
2
1 2
4
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2 2 2 3
2
2
2
2
2
1
2
4
n
c n
2
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log
log
log log log
log log log
log log log
log log log
log log log log
log log
log log
log log
log log log log log
log log log
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2
2
2
1 1 2 2 2 2
1 1 1 1
2
1
2 2 2
1 1 2 1
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2
1
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$
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$
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-
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- + - - +
- + - - +
+ - + - - +
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-
+
+
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-
- - - -
- +
+ + - + + + + - -
+ +
+
+ = - + = - - + =
+ - =
+ - = = = = - -
=- =
- +
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-
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+ = -
- - - - - - - - - -
5
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-
c
c
l
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g
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g
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g
g
g g
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6
6
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a
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b
b
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a
b
b
b
b
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b
b
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4444 4444
f
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p
p
11

13. ,
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. . . ,
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,
,
6
:
7
:
/
:
:
. . . . . . . . . .
algunos
ln ln
como ya se han resuelto ejercicios de esta clase aplicando cambio de variable
en este caso vamos aplicar la formula
pero para eso hallemos antes el campo de existencia
E existe Ssi
x
x
x
x
x
x
para deducir que
x x x x x x
E x x x
x
x
x x
x
x
x
x
x sabemos por D que x x x
x x x x x x
x
x
x
x x
esto nos indica que x como D se concluye que x
multiplicar por
sustituyendo a a a
a
a
a
a
a a
asi que a a x
x
Ejercicio
D
B
B
Ejercicio
n
Respuesta
b m
n b
n
Respuesta
x
resuelve E x x x
resuelve F
vea la imagen
vea la imagen
3 0
2 1 0
5 0
3
2
1
5
5 5 5 3 3 2 3
5 2 1 3
5
2 1
3 5
2 1
3
5
2 1
3 2
1
5 2
1
5 2
9
5 0
2 1 3 5 16 0 4 4 0
4 4
4 8 0
4 0 8
4 4 0 0
4 4 2
1
5 2
1
4
5 25 30 5 5 5 5 5 5 6 5
1 5 5 6 5 0 5 5 6 1 0
16 4
5
1
1
5
1
1
1 0
1 5 0
1 1 5 0 0
1 5 1 1 5 1 1 5 5 1 5 2 5 0
1 2 0
2
1
5
1
1
1 2 0
5 2 1
2
1 3
5 25 30
,
f
f
x x x x x
x x x
x
f
n
x x
a a
1 2
5
1 5 5
5 5 5 5 5
2
1 2 1 2 2 2
2 2 2 2 2
2
5
1 5 5
1 2 1
5 5
m
1 2
1
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log log log log log
log log
log log log
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3 3
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2
2
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2
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g
g
g
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g
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g g
g g g
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6 :
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:
9
:
. . . . . . . . . .
campo de existencia
x
x
existen Ssi x
x
x
x
x
x x
luego
ahora resolvamos x x x x
x
x
x
x
x x
x x
D
D
luego la solucion es x
campo de existencia
x
x
existen Ssi
x x y x
x x y x
x x y x
x x y x
x x x
x
x
a a
a a a
x x x x
x x x x
x x x luego S
x
Ejercicio
D
Ejercicio
D
a
D
a
D
D
n
Respuesta
x x
n
Respuesta
resuelve x x
resuelve x x
vea la imagen
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1
5 2
8
5 2 0
8 0
8 8
8 16 0
8 0 16
8 8 0 0
8 2
1 5 2
4
1
2
1
8 2
1 5 2
2
1
2
1
5 2
8
2
5 2
8
2 10 12 0 148 2 37
2
10 2 37
2
10 2 37
5 37
5 37
5 37
1
2 1
0 2 1 0 2 1 1
2 1 0 0 1
0 2
1
1
2
1
0 1
2 1 2 1
2 1
0
1
0
1 0 1 1
2 1 1 2 1
1
2 1 1 2 1 1
2 1 0 9 3 4
1 3
2
1
1
5
2
5
2
8
2
1
1 1
18
8 8 0
1
8 2
1 5 2
4
1
2 1
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f
x
x
x x x
x
x
x x
x
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f
f
f
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1
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16
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2
2
4 4
2
4
4
2
4 4
2
2
2 1
2 1
2 2
1
2
16
2
4
2 1
1
2
log
log
log log log log
log log log
log
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log
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b
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b
b
b
b
1
4
3
6 7 8
4444444 4444444
6 7 8
4444 4444
13

15. :
.
2
:
. . . . . . . . . .
ln
ln
cos ln ln cos ln ln
ln cos
cos
cos
cos cos
cos
cos cos cos cos cos
cos cos
ln ln
tan
cos ln ln
a a
a a a
a
a a
campo de existencia D
x existe Ssi x x
x existe Ssi x x
x
x sen x x sen x
sustituindo x por a queda de la seguiente manera sen
sen
a
sen
a a sen a
sen
a
sen a sen a sen sen a
a
a k
a k
k
a k
a k
k
a k
a k
k y como resulta que a x entonces x
k
k
k
x
e
e
k
Observacion
es muy impor te tener las seguientes graficas en memoria porque nos pueden sacar de
mas de un apuro
Ejercicio n
Respuesta
resuelve x sen x
1
0 0
0
2
3
2
1
2
2
2
3
2
2
1
2
2
2
3
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2
1
2
2
2
1
2
3
2
2
2
2
2 1
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
1
2 2
3
2
4 3 2 3 2 4
3 2 4
3 2 4 2
3 2 4 2
2 12
7
2
2 12 2
24
7
24
24
7
24
0
2
3
2
1
2
2
R
R
Z Z
Z Z
Z
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k
k
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2 2 2
2
2
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4
2
14