2. Sabemos determinar áreas de figuras geométricas regulares, como:
2
base altura
A
A lado lado
A base altura
2
A radio
3. Y también es posible determinar áreas de figuras irregulares, con lados rectilíneos,
como
4. El determinar el área de esta figura se divide en triángulos se calcula el área de cada una
de ellas.
1 2 3
A A A A
6. Consideremos que la curva es una función y que está definida en el intervalo [a, b],
y dividámosla en rectángulos, como sigue
7. Consideremos una función f(x) definida en un intervalo [a, b] y dividamos este
intervalo en n subintervalos de longitud , los subintervalos van desde hasta
siendo y
Tenemos
x
0
x n
x
0
a x
n
b x
n
a
b
x
0
x
a
x
a
x
1
x
a
x
x
x
2
1
2
x
i
a
xi
n
x
b
8. Si nos situamos en el intervalo y calculamos el área del rectángulo que se
forma dentro de la región
donde y
Calculando el área de todos los rectángulos
i
i x
x ,
1
h
b
A
x
b
*
i
x
f
h
x
x
f
A i
i
*
*
1,
i i i
x x x
x
x
f
A
*
1
1
x
x
f
A
*
2
2
x
x
f
A i
i
*
x
x
f
A n
n
*
9. Sumando las áreas de cada rectángulo, tenemos
Si entonces
Luego
* * * *
1 2
*
1
i n
n
i
i
A f x x f x x f x x f x x
A f x x
n 0
x
n
i
i
n
x
x
f
A
1
lim
10. Definición: Sea f una función definida en un intervalo cerrado y sea P una
partición de . Una Suma de Riemann de para P es una expresión de la
forma
Donde es un número del intervalo para
Definición: El área de la región S que se encuentra bajo la gráfica de la función
continua f definida en el intervalo es el límite de las Sumas de Riemann, esto es
Si el límite existe.
b
a,
b
a, )
(x
f
n
i
i
P x
x
f
R
1
*
*
i
x
i
i x
x ,
1
n
i ,
,
3
,
2
,
1
b
a,
n
i
i
n
x
x
f
A
1
lim
11. Propiedades de la sumatoria
1.
2.
3.
nc
c
n
k
1
n
k
k
n
k
k
n
k
k
k b
a
b
a
1
1
1
n
k
k
n
k
k a
c
ca
1
1
12. Sumas de enteros positivos
1.
2.
3.
4.
5.
2
)
1
(
3
2
1
1
n
n
n
k
n
k
6
1
2
)
1
(
3
2
1 2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
k
n
k
2
3
3
3
3
1
3
2
)
1
(
3
2
1
n
n
n
k
n
k
30
1
3
3
1
2
)
1
(
3
2
1
2
4
4
4
4
1
4
n
n
n
n
n
n
k
n
k
12
1
2
2
)
1
(
3
2
1
2
2
2
5
5
5
5
1
5
n
n
n
n
n
k
n
k
13. Ejemplo 1.
Hallar el área de la región entre la parábola y el eje x en el intervalo
Se tiene
, , , , y
Así
2
x
y
2
,
0
n
i
i
n
x
x
f
A
1
lim
2
( )
f x x
0
a 2
b
2 0 2
x
n n
2
0
i
x i x i x i
n
2
2
2
2 2 4
i
f x f i i i
n n n
2 2 2
2 3 3 3
1 1 1
1 2 1
4 2 8 8 8
lim lim lim lim
6
n n n
n n n n
i i i
n n n
A i i i
n n n n n
3
1 2 1
8 8 1 2 1 4 1 2 1
lim lim lim
6 6 3
n n n
n n n n n n n n n
A
n n n n n n n
4 1 1 4 8
lim 1 2 1 2
3 3 3
n
A
n n
14. Área por exceso y por defecto
Cuando calculamos el área de una región podemos hacerlo mediante rectángulos
inscritos y por rectángulos circunscritos.
Rectángulos inscritos nos generan Rectángulos circunscritos nos generan
área por defecto área por exceso
15. Ejemplo 2.
Hallar el área de la región entre la parábola y el eje x en el intervalo por
exceso y por defecto.
Observando la gráfica notamos que el área por defecto
se tiene en el extremo izquierdo del intervalo, esto es
cuando la variable es , desde hasta
Y que el área por exceso se tiene en el extremo derecho
del intervalo, esto es cuando la variable es , desde
hasta
2
x
y
2
,
0
1
i
x 0
i 1
i n
i
x 1
i
i n
16. Área por defecto
Usando las fórmulas para la suma de potencias de números enteros positivos
1
1
0
lim
n
i
n
i
A f x x
2
( )
f x x
0
a 2
b
2 0 2
x
n n
2
0 1 1
i
x i x i
n
2
2
1 2
2 2 4
1 1 1
i
f x f i i i
n n n
1 1 1 1
2 2 2 2
2 3 3 3
0 0 0 0
4 2 8 8 8
lim 1 lim 1 lim 1 lim 2 1
n n n n
n n n n
i i i i
A i i i i i
n n n n n
1 1 1 1
2 2
3 3 3 3
0 0 0 0
8 8 16 8
lim 2 1 lim 1
n n n n
n n
i i i i
A i i i i
n n n n
1
2
0
1 2 1
6
n
k
n n n
k
1
0
( 1)
2
n
k
n n
k
1
0
1
n
k
c n c
17.
3 3 3
1 2 1 1
8 16 8
lim lim lim 1
6 2
n n n
n n n n n
A n
n n n
3 3 3
1 2 1 1
8 16 1
lim lim lim8
6 2
n n n
n n n n n n
A
n n n
2 3
4 1 2 1 1 1
lim lim8 lim8
3
n n n
n n n n n n
A
n n n n n n
2 3
4 1 1 1 1 1 1
lim 1 2 lim8 1 lim8
3
n n n
A
n n n n n n
4 4 8
1 0 2 0 8 1 0 0 8 0 0 1 2 8 1 0 8 0
3 3 3
A
18. Área por exceso
Como ya se dijo el área por exceso se tiene en el extremo derecho del intervalo, esto
es cuando la variable es y varia desde hasta
Por lo que tenemos
, , , , , y
Estas son las mismas condiciones que se tienen en el ejemplo 1, por lo cual
i
x 1
i i n
n
i
i
n
x
x
f
A
1
lim 2
( )
f x x
0
a 2
b
2 0 2
x
n n
2
i
x i
n
2
2
2
2 2 4
i
f x f i i i
n n n
8
3
A
19. Ejemplo 3.
Determinar el área de la región entre la función y el eje x en el
intervalo
Tenemos
, , y
x
x
x
f 6
)
( 3
3
,
0
n
i
i
n
x
x
f
A
1
lim 3
( ) 6
f x x x
3 0 3
x
n n
3
i
x i
n
3
3
3
3 3 3 27 18
6
i
f x f i i i i i
n n n n n
3 3 3
3 4 2 4 2
1 1 1 1
27 18 3 81 54 81 54
lim lim lim
n n n n
n n n
i i i i
A i i i i i i
n n n n n n n
20. Luego el área de la región es
¿es posible que un área sea un número negativo?
¿A qué se deberá esto?
2 2
4 2 4 2
1 1 1 1
81 54 81 54
lim lim lim
2 2 2 2
n n n
n n n n n n n n
A
n n n n
2 2
2 2
1 1
81 54 81 1 54 1
lim lim lim lim
4 2 4 2
n n n n
n n n n n n n n
A
n n n n n n
2
2
81 1 1 81 81 27
lim 1 lim 27 1 1 27 1 27
4 4 4 4
n n
A
n n
27
4
A
21. Analicemos el área que delimita las condiciones del ejercicio
La región esta definida por la función y el eje x en el intervalo
La región queda dividida en dos partes, la primera
de ellas bajo el eje x y la segunda sobre el mismo.
La primera parte de esta región no cumple con ser
un área bajo la curva,.
¿Que sucede si calculamos el área “sobre la curva”
y no bajo la curva?
x
x
x
f 6
)
( 3
3
,
0
22. Si replicamos el proceso que se llevó a cabo con la determinación del área, la
diferencia se tiene en que la altura del rectángulo es un numero negativo y no un
número positivo y nos indica la distancia desde el eje x a la función y no de la función
al eje x como sucede con área de una función positiva, si la vemos como distancia
esta debe de ser un número positivo así que podemos anteponer un signo negativo
para que esta altura sea positiva y obtener ya un área positiva.
OBSERVACIÓN. Cuando calculamos el área de una región es importante determinar
donde la función es positiva y donde es negativa, al calcular el área de la parte
negativa debemos de multiplicar por un signo negativo.
23. Regresando a nuestro ejemplo, debemos determinar donde la función es negativa y
donde es positiva para ello empecemos con determinar los ceros de la función
y
Luego se divide como
De acuerdo a la gráfica en el intervalo la función es negativa y en el intervalo
la función es positiva.
Calculemos las áreas en estos dos intervalos para obtener el área en todo el
intervalo solicitado.
En , se tiene , , , , ,
3
( ) 6 0
f x x x
2
6 0
x x 0
x 6
x
0,3 0, 6 6,3
0,3
0, 6
6,3
0, 6
1
lim
n
i
n
i
A f x x
3
( ) 6
f x x x
0
a 6
b
6
x
n
6
i
x i
n
3
3
3
6 6 6 6 6 6 6
6
i
f x f i i i i i
n n n n n
24.
3 3 3 3
3 4 2 4 2 4 2
1 1 1 1 1
6 6 6 6
6 6 6 6 6 36 36 36 36
lim lim lim lim
n n n n n
n n n n
i i i i i
A i i i i i i i i
n n n n n n n n n
2 2
4 2 4 2
1 1 1 1
36 36 36 36
lim lim lim
2 2 2 2
n n n
n n n n n n n n
A
n n n n
2 2
2 2
1 1
36 36 1 1
lim lim lim9 lim18
4 2
n n n n
n n n n n n n n
A
n n n n n n
2
2
1 1
lim9 1 lim18 1 9 1 18 1 9 18 9
n n
A
n n
25. Ahora, calculemos el área en
se tiene , , , ,
6,3
1
lim
n
i
n
i
A f x x
3
( ) 6
f x x x
3
b
6
a
3 6
x
n
3 6
6 6
i
x i x i
n
3
3 6 3 6 3 6
6 6 6 6
i
f x f i i i
n n n
2 3
2 3
3 6 3 6 3 6 3 6
6 6 3 6 3 6 6 6 6
i
f x i i i i
n n n n
2 3
2 3
3 6 3 6 3 6
12 3 6
i
f x i i i
n n n
26. 2 3
2 3
1
3 6 3 6 3 6 3 6
lim 12 3 6
n
n
i
A i i i
n n n n
2 3 4
2 3
1
3 6 3 6 3 6
lim 12 3 6
n
n
i
A i i i
n n n
2 3 4
2 3
1 1 1
3 6 3 6 3 6
lim12 3 6
n n n
n
i i i
A i i i
n n n
2 3 4 2
1 1 2 1 1
3 6 3 6 3 6
lim12 3 6
2 6 2
n
n n n n n n n
A
n n n
28. Luego el área de la región es
Cuando no separamos en intervalos donde la función es positiva y negativa es
semejante a tomar
15 3
15 6 6 6
4 2
A
225 45 90 225 9
6 6 54 54
4 2 4 4 4
A
9
4
A
9 45
9
4 4
A
9 36 9 27
9
4 4 4 4
A
