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FILTROS
El Proceso de Comunicación
DIAGRAMA DE BODE
Definición:
Un Diagrama de Bode es una
representación gráfica que sirve para
caracterizar la respuesta en frecuencia de
un sistema. Normalmente consta de dos
gráficas separadas, una que corresponde
con la magnitud de dicha función y otra que
corresponde con la fase. Recibe su nombre
del científico que lo desarrolló, Hendrik
Wade Bode.

Es una herramienta muy utilizada en el
análisis de circuitos en electrónica, siendo
fundamental para el diseño y análisis
de filtros y amplificadores.

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DIAGRAMA DE BODE
El diagrama de magnitud de Bode dibuja el
módulo de la función de transferencia
(ganancia) en decibelios en función de la
frecuencia (o la frecuencia angular) en
escala logarítmica. Se suele emplear
en procesado de señal para mostrar
la respuesta en frecuencia de un sistema.

El diagrama de fase de Bode representa la
fase de la función de transferencia en
función de la frecuencia (o frecuencia
angular) en escala logarítmica. Se puede dar
en grados o en radianes. Permite evaluar el
desplazamiento en fase de una señal a la
salida del sistema respecto a la entrada para
una frecuencia determinada.

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CONCEPTO DE FASE
Fase es una medida de la diferencia de tiempo
entre dos ondas senoidales. Aunque la fase es una
diferencia verdadera de tiempo, siempre se mide
en terminos de ángulo, en grados o radianes.

La diferencia en fase entre dos formas de onda se
llama a veces el desplazamiento de fase.

Un desplazamiento de 90 grados es un
desplazamiento de 1/4 del periodo de la onda etc.
El desplazamiento de fase puede ser considerado
positivo o negativo;eso quiere decir que una
forma de onda puede ser retrasada relativa a otra
o una forma de onda puede ser avanzada relativa
a otra. Esos fenómenos se llaman atraso de fase y
avance de fase respectivamente.

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CONCEPTO DE FASE
Ejemplo:

la curva inferior está desplazada de 90 grados con respecto a la curva superior. Eso es un
atraso de tiempo de 1/4 del período de la onda. También se podria decir que la curva
superior tiene un avance de 90 grados.

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DEFINICIONES DE LOS PARÁMETROS BÁSICOS DE
UN FILTRO
Frecuencia de corte (Fc o Fp): La
frecuencia de corte define el límite de la
banda de paso, y por lo común
corresponde a 3 dB de atenuación.
Mientras que los filtros pasa baja y pasa
alta tienen sólo una frecuencia de
corte, los filtros pasa banda y de rechazo
de banda tienen dos frecuencias de corte.

Frecuencia de corte de supresión de
banda (Fs): La banda de paso y la de
rechazo están separadas por una zona de
transición. Fs es la frecuencia a la que se
especifica la atenuación mínima que se
requiere.

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DEFINICIONES DE LOS PARÁMETROS BÁSICOS
Amax: Rizado máximo de la banda de paso.

Amin: Atenuación mínima de la banda
atenuada (referida a la ganancia máxima de la
banda de paso).

Factor de selectividad (Q): Q0 es la razón
de la frecuencia central de un filtro pasa banda
al ancho de banda de 3 dB. Si F1 y F2
corresponden al punto inferior y superior de 3
dB, el factor de selectividad se podrá expresar
como sigue:

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Banda atenuada: Es el rango de frecuencias
que el filtro atenúa más de 3dB.

Ancho de banda: (BW:bandwidth). El ancho
de banda de un filtro es la diferencia entre las
de frecuencias de corte superior y de corte
inferior.

Banda atenuada: Es el rango de frecuencias
que el filtro atenúa más de 3dB.

Banda de transición: Es conjunto de
frecuencias comprendidas entre la banda de
paso y la banda de rechazo

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Pendiente: Determina qué tan brusco o suave
es el aumento de la atenuación en la banda de
transición a medida que la frecuencia aumenta
o disminuye, según el filtro. Se puede medir
en:

dB por Octava: Se determina la atenuación
en fc y la atenuación correspondiente a la
frecuencia que está a una octava de distancia
(2fc), obviamente en la dirección en la que está
atenuando el filtro. Los filtros típicos son los de
6 dB/octava, 12 dB/octava, 18 dB/octava, y 24
dB/octava. La pendiente es aproximadamente
igual a 6 por n dB/octava, donde n es el orden
del filtro:

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Ejemplo:

un pasa-bajos de primer orden, que filtra con
una frecuencia de corte de 500Hz; dejará el
paso intacto de las frecuencias menores
logrando una atenuación de -3dB en 500
Hz, después de lo cual se recibirá una
atenuación de -6dB a la primera octava
(1KHz), -12dB a la segunda octava (2KHz), -
18dB en la tercera octava (4 KHz) y así
sucesivamente en las octavas siguientes, con
una pendiente constante de 6dB para cada
octava siguiente.

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dB por Decada: Igual que lo anterior, sólo que en
vez de medir la atenuación por octava se mide por
cada vez que la frecuencia aumenta o disminuye
10 veces a partir de fc. Por ejemplo, si el filtro
atenúa las frecuencias superiores a 15 Hz, se mide
la atenuación a 150 Hz, 1500 Hz, 15000 Hz, etc. En
este caso la pendiente será igual a 20 por n
dB/década, donde n es igualmente el número de
orden del filtro.

Orden: Cuando la respuesta en frecuencia del
filtro pasa a ser una línea recta, se puede
distinguir el orden del mismo. Éste es siempre un
múltiplo entero de 6 db/octava, por lo tanto un
filtro de 6 dB/octava será de primer orden; el de
12 dB/octava es de segundo orden; el de 24
dB/octava corresponde al tercer orden y así
sucesivamente.

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FILTROS PASA ALTO
Filtro Pasa Alto (High Pass Filter o Low Cut): Atenúa de forma gradual y
tendiendo a infinito todas las frecuencias de menor valor que fc.

- Frecuencia de Corte: fc
- Banda pasante: f ≥ fc
- Banda rechazada: f < fc

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FILTROS PASA BAJO
Filtro Pasa Bajo (Low Pass Filter o High Cut): A partir de fC, este filtro atenúa de
forma gradual y tendiendo a infinito todas las frecuencias de valor superior a fC.

- Frecuencia de Corte: fc
- Banda pasante: f ≤ fc
- Banda rechazada: f > fc

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FILTROS PASA BANDA
Filtro Pasa Banda (Band Pass Filter): Se determinan dos valores que van a
corresponder a dos frecuencias de corte f1 y f2. A partir de f1 para abajo el filtro se
comporta como un HPF, y a partir de f2 para arriba se comporta como un
LPF, dejando en el medio una banda pasante de un ancho de banda (BW de "Band
Width") determinado por la diferencia -en Hz- entre f2 y f1. En el centro geométrico
del BW está la Frecuencia Central o De Resonancia f0 del filtro, la cual junto con BW
va a determinar su factor de calidad o selectividad (Q).

Frecuencias de corte: f1; f2
- Frecuencia central: f0 = √(f1.f2)
- Factor de selectividad: Q = f0 / BW = f0 / (f1 - f2)
- Banda pasante: f1 ≤ f ≤ f2
- Banda rechazada: f < f1 ; f > f2

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FILTRO BUTTERWORTH
Es el más comúnmente usado. Su diseño busca una respuesta lo más plana posible
a lo largo de la banda pasante -con ondulaciones mínimas- casi hasta fC. A partir de
ahí aplica una ganancia negativa a razón de -6 dB/octava con un corte muy
pronunciado, siendo el único filtro que mantiene su forma al aumentar el orden.

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FILTRO CHEBYSHEV
En algunas aplicaciones no es importante la existencia de una banda pasante con
una respuesta plana. En este caso, la aproximación de Chebyshev puede ser la
Adecuada, ya que decae más rápidamente en la región de transición que la
aproximación de Butterworth. El precio a pagar por esta rápida caída es el rizado
que aparecerá en la banda pasante de la respuesta en frecuencia.

Cuando se compara los filtros Butterworth y Chebyshev, se observa que el filtro de
Chebyshev del mismo orden tiene una pendiente más pronunciada en la zona de
transición. Por ello, la atenuación con este filtro es siempre mayor que la
atenuación con un filtro Butterworth del mismo orden.

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FILTRO CHEBYSHEV
El número de rizados en la banda pasante de un filtro paso bajo de Chebyshev es
igual a la mitad del orden del filtro:

Num. rizados = n/2

Si un filtro de orden 10, tendrá 5 rizados en la banda pasante; si es de orden 15
tendrá 7,5 rizados.

La aproximación de Chebyshev se le llama también aproximación con igual rizado.
Normalmente, un diseñador escogerá una amplitud de rizado entre 0.1 y 3
dB, dependiendo de las necesidades de la aplicación.

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FILTRO Chebyshev I
Filtro de Chebyshev I: Presenta ripple en la banda pasante y una caída monótona
(lineal) en la banda de rechazo, lo cual maximiza su pendiente.

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FILTRO Chebyshev II
Filtro de Chebyshev II: Presenta ripple en la banda rechazada y se comporta de
forma lineal en la banda pasante.

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FILTRO CAUER
Filtro de Cauer (Elíptico): Combina los filtros de Chebishev I y II. Presenta una zona
de transición entre bandas pasante y rechazada muy estrecha y una pendiente muy
brusca, cosa que se consigue un corte más efectivo con un filtro de menor orden.
Las contras son que presenta ripple en las dos bandas (aunque acotado) y no son
lineales respecto a la fase en la banda pasante.

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FILTRO BESSEL
Filtro de Bessel: Su construcción apunta a mantener la linealidad en la fase de la
banda pasante (a costa de un retraso general de la señal), y tienen una zona de
transición bastante amplia. Como consecuencia, presenta una pendiente de
atenuación suave y no distorsiona la señal.

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FILTRO PASA-BAJA PASIVO
Los filtros pasivos se componen de componentes pasivos como resistencias, condensadores e
inductores y no tienen elementos de amplificación (transistores, amplificadores, etc) para no
tener ganancia de la señal, por lo tanto su nivel de salida es siempre menor que el de entrada.

En aplicaciones de baja frecuencia (hasta 100 kHz), los filtros pasivos son generalmente hechos
de simples redes RC (resistencia-condensador), mientras que las redes de alta frecuencia (por
encima de 100 kHz) los filtros son generalmente hechos de componentes RLC (Resistencia-
inductor-condensador).

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Un sencillo filtro pasivo paso bajo o LPF, se
puede hacer fácilmente mediante la conexión
en serie de una resistencia con un solo
capacitor como se muestra en la grafica. En
este tipo de arreglo de filtro la señal de
entrada (Vin) se aplica a la combinación en
serie (tanto en la resistencia y el condensador
en conjunto), pero la señal de salida (Vout) se
toma a través del condensador solamente.

Este tipo de filtro se conoce generalmente
como un "filtro de primer orden“ , ¿por qué de
primer orden?, Porque sólo tiene "un"
componente reactivo en el circuito, el
condensador.

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La reactancia de un condensador es inversamente proporcional a la frecuencia, mientras que
el valor de la resistencia se mantiene constante a medida que cambia la frecuencia. En las
frecuencias bajas la reactancia capacitiva (Xc) del condensador va a ser muy grande en
comparación con el valor de la resistencia R y como resultado la tensión en el condensador, Vc
también será grande, mientras que la caída de tensión en la resistencia, Vr será mucho menor.
A altas frecuencias ocurre lo contrario con Vc es pequeño y Vr es grande.

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Reactancia capacitiva: La oposición al flujo de corriente en un circuito
de corriente alterna se llama impedancia, Z y el
símbolo de un circuito en serie que consta de
una sola resistencia en serie con un
condensador, la impedancia del circuito se
Divisor de Voltaje calcula como:

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A continuación, mediante la sustitución de la ecuación de impedancia en la
ecuación de divisor de tensión resistivo nos da:

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El punto de frecuencia de corte y el ángulo de desplazamiento de fase se puede
encontrar mediante la siguiente ecuación:

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Los filtros, además de afectar a la amplitud de la señal que se les introduce en
función de su frecuencia, también afectan o modifican la fase de las señales, y
dicha modificación también será una u otra en función de la frecuencia de la
señal de entrada.

Este ángulo saldrá negativo indicando que la tensión de salida estará atrasada
respecto a la de entrada.

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Hasta ahora hemos visto un filtro de primer orden RC pasa bajo y se puede hacer
mediante la conexión de una sola resistencia en serie con un condensador. Este
filtro con orden 1 da entonces una atenuación de las frecuencias -20dB/decada
por encima del punto de corte en ƒ3dB. Sin embargo, a veces -20dB/decada (-
6B/octave) ángulo de la pendiente no es suficiente para eliminar las señales no
deseadas y luego dos etapas de filtrado se puede utilizar como se muestra a
continuacion:

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La frecuencia de corte, ƒc está determinada tanto por las resistencias y los
condensadores de la siguiente manera.

La frecuencia de corte es aquella donde la amplitud de la señal entrante cae
hasta un 70.7 % de su valor máximo. Y esto ocurre cuando XC = R. (reactancia
capacitiva = resistencia), o -3 dB (dB = 20log-Vout / Vin)

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FILTRO PASA-ALTO PASIVO
Un filtro paso alto o HPF, es exactamente lo opuesto al circuito del filtro pasa bajo visto
anteriormente, ya que ahora los dos componentes han sido intercambiados con la señal de
salida. La salida se va a tomar a través de la resistencia como se muestra en la grafica:

Cuando en el filtro paso bajo, sólo se permite pasar las señales por debajo de su punto de
frecuencia de corte ƒc, el circuito de filtro paso alto como su nombre lo indica, sólo deja
pasar señales por encima de su frecuencia de corte, ƒc, eliminando las señales de baja
frecuencia.

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En esta configuración de circuito, la
reactancia del condensador es muy
alta en las frecuencias bajas por lo cual
el capacitor se comporta como un
circuito abierto y bloquea cualquier
señal de entrada Vin hasta que se
alcance el punto de frecuencia de corte
(ƒc). Por encima de este punto de
frecuencia de corte la reactancia del
condensador se ha reducido lo
suficiente como para actuar ahora más
como un corto circuito que permite a
todas las señales de entrada para pasar
directamente a la salida como se
muestra en la curva de respuesta de
frecuencia de paso alto.

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El ángulo de fase (Φ) de la señal de salida se adelanta a la de la entrada y es igual a 45 en la
frecuencia ƒc. La curva de respuesta en frecuencia de un filtro de paso alto implica que el filtro
pueden pasar todas las señales hasta el infinito. Sin embargo en la práctica, la respuesta del
filtro de paso alto no se extiende hasta el infinito, pero está limitado por las características de
los componentes utilizados.

El punto de frecuencia de corte de un filtro de paso alto de primer orden se puede encontrar
con la misma ecuación que la del filtro de paso bajo, pero la ecuación para el cambio de fase
se modifica ligeramente para tener en cuenta el ángulo de fase positiva como se muestra a
continuación.

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La ganancia del circuito, Av, que se da como Vout / Vin (magnitud), se calcula como:

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Filtro pasa alto de segundo orden:

Al igual que con el filtro de paso bajo, la frecuencia de corte, ƒc está determinada
tanto por las resistencias y los condensadores de la siguiente manera.

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TALLER # 1
Diseñar y simular un Filtro pasa bajos de primer orden y segundo orden con frecuencia de
corte de 1Khz y determinar

• Diagrama de respuesta en Frecuencia ( Diagrama de Bode)
• Diagrama de Fase
• Realizar comparaciones entre FPB de primer orden y segundo orden (db/octava)

Diseñar y simular un Filtro pasa altos de primer orden y segundo orden con frecuencia de
corte de 10Khz y determinar

• Diagrama de respuesta en Frecuencia ( Diagrama de Bode)
• Diagrama de Fase
• Realizar comparaciones entre FPA de primer orden y segundo orden (db/octava)

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