1. Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica
Procesamiento Digital de Señales
(TC61)
Sesión: 11
Filtros Digitales
Ing. José C. Benítez P.

2. Sesión 9,A. Filtros Digitales
Filtros
Tipos básicos de filtros
Especificación de la respuesta en frecuencia de un filtro
Frecuencias lineales y angulares
Normalización de la respuesta en frecuencia
Función de transferencia en el dominio Z de un filtro
Ganancia y atenuación
Tipos de distorsión en banda de paso
Respuesta de filtros ideales
Tipos básicos de secuencias
Respuesta de filtros reales
Aproximación del módulo en filtros reales
Aproximación de la fase en filtros reales
Conversión de filtros
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3. Filtros
Un filtro es un sistema LIT que permite el paso de las
componentes frecuenciales de la señal pertenecientes
a un determinado conjunto de frecuencias (banda de
paso) y que elimina el resto (banda de atenuación).
Las diferentes bandas (de paso y atenuación) estarán
delimitadas por una serie de frecuencias denominadas
frecuencias de corte.
En inglés, estas bandas se denominan: pass band
(banda de paso) y stop band (banda de atenuación).
Cuando se utilizan variables relacionadas con la banda
de paso suele usarse el subíndice p; mientras que,
para el caso de la banda de atenuación, suelen usarse
tanto a como s.
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4. Tipos básicos de filtros
El caso más simple de filtro sería aquel en el que existe
dos bandas; una única banda de paso y otra de
atenuación. La frecuencia que establece el límite entre
ambas se denomina frecuencia de corte (fc) del filtro.
En este caso tan sencillo y según la posición relativa de
ambas bandas podemos definir dos tipos de filtros:
Filtro de paso bajo (Low Pass Filter, LPF): en el
que la banda de paso se encuentra por debajo de la
frecuencia de corte, en las frecuencias inferiores.
Filtro de paso alto (High Pass Filter, HPF): en el
que la banda de paso se encuentra por encima de la
frecuencia de corte, en las frecuencias superiores.
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5. Tipos básicos de filtros
Otro caso que también se considera básico es
aquel en el que existen tres bandas (por lo
que existirán dos frecuencias de corte, fc1
y fc2,que las delimitan).
En él podemos distinguir entre:
Filtro de paso de banda (Band Pass
Filter, BPF): en el que hay una banda de
paso situada entre dos bandas de
atenuación.
Filtro de rechazo de banda (Band
Stop Filter, BSF): en el que hay una
banda de atenuación situada entre dos
bandas de paso.
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6. Tipos básicos de filtros
Low Pass Filter, LPF Band Pass Filter, BPF
High Pass Filter, HPF Band Stop Filter, BSF
Respuesta en frecuencia de los tipos básicos de filtros
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7. Especificación de la respuesta en frecuencia
de un filtro
El primer paso al diseñar un filtro es la especificación de
su respuesta frecuencial, que consiste en determinar el
valor que debe tomar H(f) en el dominio [0, fs].
Cuando se estudió la DFT, se presentó su propiedad de
simetría. Ahora, sin embargo, se trata del proceso
contrario: partiendo de una transformada, H(f), debemos
encontrar la RMU equivalente, h[n].
Así, es necesario que H(f) sea simétrica. Para ello,
basta definirla entre 0 y fNyq y copiarla de forma simétrica
en el intervalo [fNyq, fs].
Por tanto, para saber si un filtro es LPF, HPF, BPF o BSF,
hay que observar únicamente la forma que adopta su
respuesta entre 0 y fNyq.
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8. Frecuencias lineales y angulares
Conviene recordar aquí la relación entre frecuencias
lineales y angulares:
Una frecuencia lineal se expresa en hercios (Hz).
Una frecuencia angular se expresa en radianes
por segundo (rad/s).
Para calcular la frecuencia equivalente a otra, basta
aplicar un factor de 2π:
w0 = 2πf0
f0 = w0 / (2π)
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9. Normalización de la respuesta en frecuencia
Las técnicas de diseño de filtros digitales suelen trabajar
con datos frecuenciales normalizados por lo que es
necesario explicar en qué consiste este proceso de
normalización.
Para normalizar una frecuencia, hay que dividirla por la
frecuencia de muestreo (fs).
De esta forma el rango de una respuesta frecuencial
normalizada será:
el intervalo [0, 1], en caso de frecuencia lineal, y
el intervalo [0, 2π], en caso de frecuencia angular.
La frecuencia de Nyquist se encontrará siempre en el
centro de este intervalo; siendo: fNyq = 0,5 y fNyq = π
según el caso.
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10. Parejas comunes de transformadas Z
Ejemplo: especificación de la respuesta de un LPF con fc = 1 kHz
trabajando a una fs = 4 kHz
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11. Función de transferencia en el dominio Z de
un filtro
Ya se explicó en la lección correspondiente, que la función de
transferencia en el dominio Z de un sistema se expresa como:
H(z) = Y(z) / X(z)
= (Σk=0,Q b[k]z-k) / (Σk=0,P a[k]z-k)
H(z) = (Σk=0,Q b[k]z-k) / (1 + Σk=1,P a[k]z-k)
Pero queda indicar dos aspectos:
Se define como orden del filtro (M) al máximo entre P y Q.
Se define como longitud del filtro a: L = M + 1.
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12. Ganancia y atenuación
Tanto la ganancia G(f) como la atenuación α(f) son
formas de representar el módulo de la respuesta en
frecuencia H(f) de un filtro.
Ambas se miden en decibelios (dB) y se calculan
como:
G(f) = 20 log10 |H(f)|
α(f) = 20 log10 (1 / |H(f)|)
Nótese que:
G(f) = -α(f)
|H(f)| = 10G(f)/20 = 10-α(f)/20
Ventaja de estas representaciones: expanden el
margen dinámico de representación, lo que permite
apreciar detalles que de otro modo pasarían
desapercibidos.
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13. Ganancia y atenuación
Ejemplo de ganancia y atenuación
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14. Tipos de distorsión en banda de paso
Una componente frecuencial perteneciente a la
banda de paso (BP) no debe sufrir ninguna
alteración al atravesar el filtro.
Sin embargo, en la práctica, un filtro puede
presentar dos tipos de distorsión en la banda de
paso:
Distorsión de amplitud.
Distorsión de fase.
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15. Respuesta de filtros ideales
Un filtro ideal no produce distorsión en
BP (ni de amplitud ni de fase).
La respuesta en frecuencia de un filtro
ideal es:
H(f) = 1, f ∈ BP
H(f) = 0, f ∈ BA
Así, un filtro ideal presenta:
Módulo 1 en BP.
Módulo 0 en BA.
Fase 0 en BP.
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16. Respuesta de filtros ideales
Sin embargo, si la fase es lineal en BP,
el efecto del filtro es únicamente un
retraso de la señal de entrada (pero no
se produce distorsión) por lo que puede
considerarse ideal:
H(f) = e-jaf, f ∈ BP
H(f) = 0, f ∈ BA
En resumen, un filtro puede
considerarse ideal si tiene:
Módulo 1 y fase lineal en BP.
Módulo 0 en BA.
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17. Respuesta de filtros reales
Un filtro real aproxima a uno
ideal.
Esta aproximación consiste en
evitar la distorsión:
Aproximar el módulo evitará
la distorsión de amplitud.
Aproximar la fase evitará la
distorsión de fase.
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18. Aproximación del módulo en filtros reales
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19. Aproximación del módulo en filtros reales
La distorsión de amplitud es imposible de evitar.
Para establecer la calidad de esta aproximación se permite
una tolerancia tanto en frecuencia como en amplitud:
Rizado (δp, Rp, δs, As): determina cuánto puede
alejarse el módulo real del ideal:
BP: 1 - δp <= |H(f)| <= 1 + δp
Rp (dB) = 20 log10 (1 + δp)
δp = 10Rp/20 - 1
BA: 0 <= |H(f)| <= δs
As (dB) = -20 log10 δs
δs = 10-As/20
Ancho de banda de transición (∆f).
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20. Aproximación del módulo en filtros reales
En la respuesta en frecuencia de un filtro real distinguimos
entre:
Ceros de atenuación = frecuencias en las que el
módulo es 1 y la atenuación es nula.
Ceros de transmisión = frecuencias en las que el
módulo es nulo y la atenuación es infinita.
Además, se considera que:
Un filtro es tanto más discriminante cuanto menor es
el rizado permitido.
Un filtro es tanto más selectivo cuanto más estrecha
es su banda de transición.
Fijado el orden del filtro, una mejora en la discriminación
implica un empeoramiento en la selectividad, y viceversa.
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21. El cuento de los maquinistas
Atenuación y rizado en gráfica de ganancia
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22. Aproximación de la fase en filtros reales:
filtros de fase lineal
La distorsión de fase sí es posible evitarla
(consiguiendo una fase lineal).
Para conseguir una respuesta de fase lineal,
la RMU debe presentar cierta simetría:
h[n] = ±h[L - 1 - n]
h[L
Simetría par = se cumple con signo +.
Simetría impar = se cumple con signo -.
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23. Aproximación de la fase en filtros reales:
filtros de fase lineal
Tipos de filtros de fase lineal según la paridad de la simetría y
la paridad de la longitud.
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24. Conversión de filtros
Existen técnicas para convertir entre diferentes
tipos de filtros: LPH, HPH, BPH y BSH.
Esto permite centrar las técnicas de diseño en
uno de esos tipos (en general LPF) y utilizar
posteriormente un método de conversión para
obtener el filtro deseado.
Las técnicas que vamos a explicar son las
siguientes:
Spectral Inversion.
Spectral Reversal.
Suma de RMU.
Convolución de RMU.
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25. Conversión de filtros
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26. Conversión de filtros
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27. Conversión de filtros
Suma de RMU: hBS[n] = hLP[n] + hHP[n]
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28. Conversión de filtros
Convolución de RMU: hBP[n] = hLP[n] * hHP[n]
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29. Sesión 11. Tarea
Procesamiento Digital de Señales
Explique en que consiste:
• Filtros No Recursivos FIR.
• Diseño utilizando el método Windowing
• Filtros Recursivos IIR.
• Aproximación de Función Análoga Butterworth.
• Respuesta en el Tiempo y Frecuencia
• Transformación Bilineal.
• Transformación de Frecuencias.
Presentación:
• El desarrollo y las fuentes en USB.
• Adjuntar fuentes (03 PDFs, y 03 PPTs.) en USB de cada tema.
• Una fuente es valida si proviene de una universidad. Indicar los links de
descarga de cada una de las fuentes.
• La fuente debe conservar el nombre original y agregar _tema.
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30. Sesión 11. Filtros
Procesamiento Digital de Señales
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