Exposición sobre estabilidad en sistemas de control y mapeado del plano S y el plano Z

1. Sistemas de Tiempo Continuo: Sistema Absolutamente Estable: - Todos sus polos están en el semiplano izquierdo del plano S. - Su respuesta temporal converge a un valor finito. - El cruce de ganancia Wg está a la izquierda del cruce de fase Wp. Sistema Críticamente Estable: - Tiene al menos 1 polo sobre el eje imaginario del plano S. - Su respuesta temporal es oscilatoria sin amortiguación. -El cruce de ganancia Wg coincide con el cruce de fase Wp. Sistema Absolutamente Inestable: - Tiene al menos 1 polo en el semiplano derecho del plano S. - Su respuesta temporal diverge al infinito. - El cruce de ganancia Wg está a la derecha del cruce de fase Wp. Criterios de estabilidad:

2. Sistemas de Tiempo Discreto: Sistema Absolutamente Estable: - Todos sus polos están dentro del circulo de radio unitario del plano Z. - Su respuesta temporal converge a un valor finito. Sistema Críticamente Estable: - Tiene solo 1 polo (real o complejo conjugado) sobre la circunferencia de radio unitario del plano Z. - Su respuesta temporal es oscilatoria sin amortiguación. Sistema Absolutamente Inestable: - Tiene más de 1 polo (real o complejo conjugado) sobre la circunferencia de radio unitario del plano Z ó tiene al menos 1 polo (real o complejo conjugado) sobre la circunferencia de radio unitario del plano Z - Su respuesta temporal diverge al infinito. NOTA: Recordar que un Tiempo de muestreo T grande puede hacer inestable un sistema, aun si es estable. Criterios de estabilidad:

3. Margen de Ganancia. Es la distancia en dB entre 0dB y el valor de la magnitud en la frecuencia de cruce de fase ωp. Por tanto, un margen de ganancia positivo significa que el sistema es estable y un margen de ganancia negativo quiere decir que el sistema es inestable. Para un sistema estable de fase mínima, el margen de ganancia indica cuánto puede incrementarse la ganancia antes de que el sistema se vuelva inestable. Para un sistema inestable, el margen de ganancia indica cuánto debe disminuir la ganancia para que el sistema se vuelva estable. Sistema de Fase Mínma y Fase No Mínima. Un sistema será de Fase Mínima si no tiene polos en el semiplano derecho del plano s y será de Fase No Mínima si tiene polos en el semiplano derecho de s Parámetros de la estabilidad marginal:

4. Margen de Ganancia. Parámetros de la estabilidad marginal:

5. Margen de Fase. Es la distancia en grados entre –180º y el valor de la fase en la frecuencia de cruce de ganancia ω g . Por tanto, un margen de fase positivo significa que el sistema es estable y un margen de fase negativo quiere decir que el sistema es inestable. Para un sistema estable de fase mínima, el margen de fase indica cuánto puede retrasarse la fase antes de que el sistema se vuelva inestable. Para un sistema inestable, el margen de fase indica cuánto debe adelantarse la fase para que el sistema se vuelva estable. Parámetros de la estabilidad marginal:

6. Margen de Fase. Parámetros de la estabilidad marginal:

7. Efectos de la Ganancia en cadena directa sobre la estabilidad: La estabilidad marginal se afecta con la implementación de ganancia en la cadena directa. Una ganancia en cadena directa afecta la respuesta en frecuencia al “subir” o “bajar” la ganancia del sistema en todas las frecuencias en la misma intensidad. Pero la fase del sistema no se afecta con la ganancia. Al aumentar K el Wg se corre a la derecha, se aumenta el BW y la respuesta temporal del sistema tiende a ser más rápida, sin embargo, se acerca a la estabilidad crítica, por tanto el MF se reduce. Al reducir K el Wg se corre a la izquierda,, se reduce el BW y la respuesta temporal del sistema tiende a ser más lenta, sin embargo, se leja de la estabilidad crítica, por tanto el MF aumenta.. K Σ X(s) G(s) + - Y(s)

8. Parámetros de la estabilidad marginal: La estabilidad marginal se afecta con la implementación de ganancia en la cadena directa. K=1 K=2 K=3

9. Mapa del Plano S: Todas y cada una de las raices de un sistema dinámico en el Plano S se descomponen así: wn es la distancia radial de la raíz al origen y es la frecuencia natural no amortiguada w es la componente imaginaria de la raíz α es la componente real de la raíz ζ es el coseno del angulo de la raiz cuando ésta se encuentra en el semiplano izquierdo y es el factor de amortiguamiento relativo

10. Mapa del Plano S: Regiones de wn constante Regiones de ζ constante

11. Mapa del Plano Z: Cuando se implementa el proceso de muestreo en un sistema dinámico las raíces complejas se relacionan por la ecuación: Dado que Se tiene que:

12. Mapa del Plano S: Regiones de α constante Regiones de w constante

13. Mapa del Plano Z: Regiones de wn constante Regiones de ζ constante

14. Mapa del Plano Z: Regiones de α constante Regiones de w constante

15. Efectos de la ganancia en cadena directa sobre la ubicación de las raíces: Conforme la ganancia en cadena directa aumenta los polos del sistema se acercan a las regiones de ζ =0 tanto en TC como en TD. Conforme la ganancia en cadena directa disminuye los polos del sistema se alejan de las regiones de ζ =0 tanto en TC como en TD . K Σ X(s) G(s) + - Y(s)