2. Para describir una fuerza que actúa sobre un
elemento estructural, se debe especificar la
magnitud de la fuerza, el sentido y su dirección.
Para describir la posición de una avión
respecto a un aeropuerto, se debe especificar
la distancia, el sentido y la dirección del
aeropuerto al avión. En ingeniería tratamos con
muchas cantidades que tienen tanto magnitud,
sentido como dirección y se pueden expresar
como vectores. En este capítulo estudiaremos
operaciones con vectores en sus
componentes, y daremos ejemplos de
aplicaciones sencillas de los vectores a la
ingeniería.
Presentación
Regresar a Índice
3. ESCALARES Y VECTORES
ESCALAR:
Es cualquier cantidad física positiva o negativa que se
puede especificar por ejemplo mediante su magnitud. La
longitud, la masa , el tiempo y el volúmen son ejemplos de
cantidades escalares.
4. ESCALARES Y VECTORES
VECTOR:
Cualquier cantidad física que requiere tanto de magnitud como de
dirección para su descripción completa. En estática, algunas cantidades
vectoriales encontradas con frecuencia son fuerza, posición y
momento.
Un vector se representa mediante una flecha. La longitud de la flecha
representa la magnitud. El ángulo entre el vector y un eje fijo define la
dirección de su línea de acción. La cabeza o punta de la flecha indica el
sentido de dirección del vector.
5. OPERACIONES VECTORIALES
Así como existen reglas para operar números reales, como las
de la suma, etc., existen también reglas para operar con
vectores. Esas reglas proporcionan una poderosa herramienta
para el análisis de la ingeniería
SUMA VECTORIAL
PRODUCTO DE UN ESCALAR Y UN VECTOR
RESTA VECTORIAL
VECTORES UNITARIOS
COMPONENTES VECTORIALES
6. SUMA VECTORIAL
Si desplazamos un libro de un lugar de la mesa a otro y
luego a otro decimos que el desplazamiento W se
define como la suma de los desplazamientos U y V.
7. SUMA VECTORIAL
Consideremos los vectores U y V de la figura 2.4(a), si los colocamos
cabeza con cola (Fig. 2.4b), su suma se define como el vector que va de
la cola de U a la cabeza de V (Figura 2.4c). Esto se llama regla del
triángulo en la suma vectorial. La Figura 2.4(d) demuestra que la suma
es independiente del orden en que los vectores se colocan cabeza con
cola. Así, surge la regla de paralelogramo de la suma vectorial (Fig.
2.4e).
8. SUMA VECTORIAL
La definición de la suma vectorial implica que
U + V = V + U La Suma vectorial es conmutativa
(U + V) + W = U + (V + W) La suma vectorial es asociativa
Si la suma es igual a cero, los vectores forman un Polígono cerrado
cuando se colocan cabeza con cola.
10. Producto de un Escalar y un Vector
Las definiciones de la suma vectorial y del producto de un escalar y un
vector implican que
a(bU) = (ab)U. El producto es asociativo con respecto a la
multiplicación escalar.
(a + b)U= aU + bU, El producto es distributivo con respecto a la
suma escalar.
a(U + V) = aU + aV El producto es distributivo con respecto a la
suma vectorial
11. Resta Vectorial
La diferencia de dos vectores U y V se obtiene sumando al vector
(-1)V:
U - V = U + (-1)V
Consideramos los vectores U y V de la figura 2.8(a). El vector (-
1)V tiene la misma magnitud que el vector V pero dirección
opuesta (Fig. 2.8b). En la figura 2.8(c) sumamos el vector U al
vector (-1)V para obtener U - V
13. Componentes Vectoriales
Al expresar un vector U como la suma de un conjunto de
vectores, cada vector se denomina componente vectorial
de U. Supongamos que el vector U de la figura 2.10(a) es
paralelo al plano definido por las dos líneas que se
intersectan. Expresamos U como la suma de las
componentes vectoriales V y W paralelas a las dos líneas
(Fig. 2.10b). Y decimos que el vector U esta descompuesto
en las componentes vectoriales V y W
14. A tener en cuenta…
Algunos problemas se pueden resolver dibujando
diagramas vectoriales a escala y midiendo los
resultados, o aplicando la trigonometría a los
diagramas. En los ejemplos siguientes demostraremos
ambos procedimientos.
En la siguiente sección mostraremos que expresar
vectores en términos de componentes vectoriales
mutuamente perpendiculares constituye una manera
mucho más sencilla de resolver problemas con
vectores.
15. Formulas Trigonométricas a emplear
Mediante la regla del triangulo,
la magnitud de la fuerza
resultante se puede determinar
con la ley de los cosenos, y su
dirección mediante la ley de los
senos. Las magnitudes de los
dos componentes de fuerza se
determinan a partir de la ley de
los senos.
18. Practica Dirigida
PROBLEMA 01: Se requiere una resultante que actúa sobre la armella
roscada de la figura mostrada esté dirigida a lo largo del eje positivo x y
que F2 tenga una magnitud mínima. Determine esta magnitud, el
ángulo θ y la fuerza resultante correspondiente.
19. PRACTICA DIRIGIDA
PROBLEMA N° 02: Un motor de cohete ejerce una fuerza hacia arriba
de magnitud 4MN (meganewtons) sobre la plataforma de pruebas. Si la
fuerza se descompone en componentes vectoriales paralelas a las barras
AB y CD. ¿Cuáles con las magnitudes de las componentes?
20. PRACTICA DIRIGIDA
PROBLEMA N° 03: Dos tractores remolcan una unidad habitacional
hacia una nueva localidad en la base McMurdo de la Antártica (se
muestra una vista aérea. Los cables son horizontales). La suma de las
fuerzas FA y FB ejercidas sobre la unidad es paralela a la línea L, y
|FA|=1000lb. Determine |FB| y |FA + FB| usando la trigonometría.
