Ensayo

1. Diario, Vol.I, No. 1, 1-5, 2016
Viernes, 12 de Febrero del 2016
Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad,
Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia
en la Ingenier´ıa Civil
Ronald Cabrera Loayza1
Resumen
La est´atica es una rama de la mec´anica que se encarga del estudio y an´alisis de fuerzas en equilibrio est´atico
dentro de un sistema determinado, en otras palabras estudia los sistemas en los cuales no exista movimiento.
´Esta rama tiene vital importancia en la Ingenier´ıa Civil ya que con ella se fundamentan muchas de las necesi-
dades de la construcci´on. En ´este ensayo nos referiremos a 4 temas en espec´ıfico, los cuales son:
Centro de Gravedad, entendi´endose como definici´on al punto en el que la resultante de las fuerzas gravitatorias
aplicadas en distintas partes del cuerpo incide en dicho elemento; est´a estrechamente relacionado al campo
gravitatorio en el que se encuentre el cuerpo. Es importante recalcar tambi´en otra definici´on vinculada al tema,
la cual es el Centroide. ´Este elemento al igual que el anterior es un punto, con la diferencia que ´este se asocia
a la forma del cuerpo, es decir se fundamenta en la ubicaci´on ge´ometrica del centro del elemento. Como
aclaraci´on primordial en muchas ocasiones ´estos dos elementos coincidir´an; siempre y cuando se cumpla la
condici´on de que el elemento de estudio sea homog´eneo y uniforme.
Entre algunas de las aplicaciones que podemos nombrar se encuentran: Estabilidad de edificios, Construcci´on
de presas, Operaciones con gr´uas, An´alisisis de choques, Concentraciones de pesos y Movimiento de Objetos.
Dentro del contenido se especificar´an los detalles de dichas aplicaciones.
Otro de los temas a hablarse son el Primer Momento y el Momento de Inercia, al igual que los anteriores est´an
estrechamente relacionados entre s´ı, del Primer Momento podemos decir que es una magnitud geom´etrica en
el cual intervienen el centroide en su eje correspondiente y el ´area o volumen del elemento dependiendo del
espacio dimensional en el que se encuentre el cuerpo; en la ingenier´ıa civil su principal aplicaci´on se relaciona
con el c´alculo de la Tensi´on cortante en vigas, de aqu´ı parte el siguiente concepto asociado al anterior, el cual
es el Segundo Momento o Momento de Inercia definido como la integraci´on del Primer Momento, dando as´ı una
magnitud que se interpreta como la oposici´on que tiene un cuerpo a ser rotado, ´este concepto tambi´en es de
gran importancia en el ´ambito de la construcci´on ya que est´a estrechamente relacionado al Momento Flector en
vigas, lo cual es muy com´un en cualquier tipo de obra ya que la viga es uno de los elementos estructurales
fundamentales al momento de construir.
Palabras Clave
Centro de Gravedad — Centroide — Primer Momento — Momento de Inercia
1Unidad Acad´emica de Ingenier´ıa Civil, Universidad T´ecnica de Machala, Machala, Ecuador
*Corresponding author: rlcabrera est.utmachala.edu.ec
´Indice
Introducci´on 2
Desarrollo 2
1 Centros de Gravedad 2
1.1 Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 F´ormulas para Calcular Centros de Gravedad . . 2
L´ıneas y ´Areas • Vol´umenes
1.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Dise˜nos Sismoresistentes para Edificios • Construcci´on de Com-
puertas, Diques y Presas • Operaciones con Gr´uas • Concentraci´on
de Pesos en Elementos
2 Centroides 3
2.1 Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Centroides: Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 F´ormulas para Calcular Centroides . . . . . . . . . . 3
L´ıneas • ´Areas • Vol´umenes
2.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Momento Resistente en Columnas • An´alisis de Choques •
Movimiento de Objetos
1

2. 3 Primer Momento 4
3.1 Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 F´ormulas para Calcular el Primer Momento . . . . 4
L´ıneas y ´Areas • Vol´umenes
3.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Diagrama de Desviaci´on Tangencial • C´alculo de la Tensi´on
Cortante
4 Momento de Inercia 5
4.1 Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 F´ormulas para Calcular el Momento de Inercia . 5
´Areas • Momento Polar de Inercia • Teorema de los Ejes Parale-
los o Teorema de Steiner
4.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Resistencia M´axima de un Elemento Estructural • Construcci´on
de Compuertas, Diques y Presas
Conclusiones 6
Agradecimientos 6
Referencias 6
Introducci´on
En el contexto de la Ingenier´ıa civil, son muchos los temas
te´oricos que pueden ser aplicados en el campo de la cons
trucci´on de manera pr´actica.
En ´esta ocasi´on nos centraremos en temas concernientes a
la Est´atica, entre ellos tenemos: Centros de Gravedad, Cen-
troides, Primer Momento y Momento de Inercia, los cuales
estar´an relacionados espec´ıficamente a su aplicaci´on de man-
era general.
Los temas anteriormente mencionados les proporcionan a los
ingenieros civiles una gran cantidad de soluciones, al citar por
ejemplo la utilidad que puedan tener los mismos en el proceso
constructivo.
Por lo tanto es de gran ayuda conocer el empleo de dichos
temas en el trabajo de campo; para as´ı tener una idea o un
criterio formado respecto a los contenidos nombrados con
anterioridad, adem´as de esto dar a conocer de manera pr´actica
y sencilla los usos mas notorios y despertar inter´es al lector.
A continuaci´on se ir´an especificando claramente las aplica-
ciones dentro del campo asociado.
Desarrollo
1. Centros de Gravedad
1.1 Definici´on
El Centro de Gravedad es “El punto donde incide la Resultante
de todas las fuerzas de gravedad que act´uan en las diferentes
partes del cuerpo”. Referenciar la Figura 1.
Ver en [1]
Dicho de otro modo es el punto de equilibrio del sistema
de Fuerzas, es decir que la Fuerza Resultante realizar´a un
Figure 1. Centro de Gravedad
Momento Resultante Nulo en dicho punto. Est´a propiamente
ligado al campo gravitatorio que se ejerce sobre ´el.
1.2 F´ormulas para Calcular Centros de Gravedad
1.2.1 L´ıneas y ´Areas
¯xW = xdW ¯yW = ydW (1)
1.2.2 Vol´umenes
¯xW = xdW ¯yW = ydW ¯zW = zdW (2)
Ver en [2]
1.3 Aplicaciones
1.3.1 Dise˜nos Sismoresistentes para Edificios
Una de las principales aplicaciones que tienen los centros de
gravedad, est´a en la construcci´on de edificios, ´estos elementos
son de mucha importancia ya que nos permiten conocer el
comportamiento que tendr´a la estructura al estar sometida a
distintos factores como lo son presi´on, vientos, choques, etc.
Es importante recalcar tambi´en que a medida que el centro de
gravedad est´e cercano a la superficie del suelo, mayor ser´a su
estabilidad; proporcion´andole as´ı la mayor seguridad para la
estructura.Ver en [5]
Referenciar la Figura 2.
Figure 2. Dise˜no sismoresistente para Edificios
2

3. Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia en la Ingenier´ıa
Civil — 3/6
1.3.2 Construcci´on de Compuertas, Diques y Presas
Otro tema muy importante es la construcci´on de compuertas,
diques y presas; el centro de gravedad ocupa un lugar funda-
mental en este tema, ya que a partir de la determinaci´on de
´el se podr´a analizar la forma de la presa a construir e imple-
mentar los refuerzos necesarios para que soporte la carga del
agua.
Las presas y muros de contenci´on est´an sometidos a cargas
principales, secundarias y excepcionales; las cuales ejercen
una presi´on o empuje sobre la presa, dique o compuerta; he
aqu´ı la aplicaci´on del centro de gravedad ya que a partir de ´el,
se puede determinar el an´alisis correcto para los aspectos de
dise˜no estructural, manteniendo as´ı las propiedades necesarias
para que la obra se mantenga estable.
Referenciar la Figura 3.
Figure 3. Construcci´on de compuertas, diques y presas
1.3.3 Operaciones con Gr´uas
Las operaciones con gr´uas son una parte fundamental en los
procesos de construcci´on, es por tal motivo que se incluyen
dentro de las aplicaciones inherentes al tema.
En todo trabajo de construcci´on hay cargas pesadas que trans-
portarse, para realizar este proceso se necesita de una gr´ua,
consecuentemente para el manejo de la misma se necesitan
ciertos conceptos b´asicos; es aqu´ı donde el centro de gravedad
juega un papel fundamental.
Al levantarse una carga, aquella estar´a sometida a torsi´on,
es por lo tanto que para su transporte es necesario conocer
un punto de equilibrio y garantizar que la carga est´e lo m´as
nivelada posible, ese punto necesario es el centro de gravedad
del cuerpo, logrando as´ı que el balanceo sea m´ınimo.
Referenciar la Figura 4.
1.3.4 Concentraci´on de Pesos en Elementos
Como aplicaci´on general tenemos que para cualquier ele-
mento utilizado en la construcci´on, podemos deducir la con-
centraci´on de peso en objetos con distintos tama˜nos y formas.
Cabe recalcar que el punto de concentraci´on del elemento ser´a
el centro de gravedad.
Figure 4. Operaciones con Gr´uas
El conocer las distintas propiedades de los cuerpos, nos dar´a
una mejor idea para dise˜nar el concepto estructural de lo que
estemos construyendo y ver las alternativas estructurales mas
viables para el proyecto u obra implementado.
Referenciar la Figura 5.
Figure 5. Concentraci´on de Pesos en Elementos
2. Centroides
2.1 Definici´on
2.2 Centroides: Definici´on
El Centroide es “La ubicaci´on del centro geom´etrico del
cuerpo”. Est´a ligado b´asicamente a la forma de dicho cuerpo.Ver
en [1] Referenciar la Figura 6.
Figure 6. Centroide
2.3 F´ormulas para Calcular Centroides
2.3.1 L´ıneas
¯xL = xdL ¯yL = ydL (3)

4. Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia en la Ingenier´ıa
Civil — 4/6
2.3.2 ´Areas
¯xA = xdA ¯yA = ydA (4)
2.3.3 Vol´umenes
¯xV = xdV ¯yV = ydV ¯zV = zdV (5)
Tanto para l´ıneas, ´areas y vol´umenes, el centroide y el centro
de gravedad coincidir´an si y solo si el cuerpo es homog´eneo
y uniforme; si no lo es, las ecuaciones (1), (2) y (3), solo
servir´an para encontrar el centroide de dicho cuerpo.
Para los centros de gravedad tanto L, A y V se los expresa en
magnitud W sabiendo que:
∆W = γt∆A = γa∆L = γ∆V (6)
Ver en [2]
2.4 Aplicaciones
2.4.1 Momento Resistente en Columnas
Los centroides son utilizados muy a menudo en la resistencia
o mec´anica de los materiales. Para ´esta ocasi´on su aplicaci´on
espec´ıfica ser´a el momento resistente en vigas verticales o
columnas. Las columnas son elementos estructurales que
transmiten cargas a compresi´on, la reciben mediante la placa
de entrepiso o losa y ´estas la transmiten hacia la cimentaci´on.
Pr´acticamente todas las columnas que est´en en una estructura
u obra civil, est´an sometidas a flexo-compresi´on, el centroide
es de gran utilidad en ´este ´ambito ya que nos permitir´a calcular
´este momento y as´ı evitar que la compresi´on ejercida provoque
un fracturamiento en dicha columna.
2.4.2 An´alisis de Choques
En el an´alisis de choques los centroides son de gran utilidad
ya que simplifican considerablemente dicho an´alisis.
La ubicaci´on del centroide en un sistema de n part´ıculas est´a
dado por:
MR( ¯C) = m1R1+m2R2+......................+mnRn (7)
Al moverse las part´ıculas bajo la acci´on ya sean de fuerzas
internas o externas, la posici´on del centroide tambi´en lo har´a.
Por lo tanto si no hay fuerzas que intervengan en dicho cuerpo,
el centroide del sistema permanece en reposo, y viceversa.
Referenciar la Figura 7.
2.4.3 Movimiento de Objetos
Otra aplicaci´on que se le puede dar a los centroides es para
el movimiento de objetos, hay cuerpos que se comportan de
manera muy distinta al ser arrojados, por ejemplo una varilla;
al lanzarse tendr´a un sinn´umero de rotaciones antes de llegar
al suelo, pero si solo se analiza la trayectoria que hace su
centro de gravedad, podremos tener una idea m´as pr´actica, en
este caso una par´abola.
As´ı tambi´en desde el mismo concepto se pueden analizar la
trayectoria de distintos cuerpos bas´andose espec´ıficamente
Figure 7. An´alisis de Choques
en sus centros de gravedad, siendo de mucha utilidad para
cuerpos con trayectorias y comportamientos complejos.Ver
en [6]
Referenciar la Figura 9.
Figure 8. Movimiento de Objetos
3. Primer Momento
3.1 Definici´on
El Primer momento es “Una magnitud geom´etrica para ´areas
y vol´umenes, se lo conoce tambi´en como Momento de Primer
Orden o como Momento Est´atico”.Ver en [3]
3.2 F´ormulas para Calcular el Primer Momento
3.2.1 L´ıneas y ´Areas
Qy = xdA = ¯xA Qx = ydA = ¯yA (8)
3.2.2 Vol´umenes
Qyz = xdV = ¯xV Qzx = ydV = ¯yV Qxy = zdV = ¯zV
(9)
Ver en [2]
3.3 Aplicaciones
3.3.1 Diagrama de Desviaci´on Tangencial
´Esta aplicaci´on est´a relacionada al Diagrama de ´Areas-Momentos.
La ordenada B respecto a su tangente en A, ser´a igual al mo-
mento est´atico con respecto a B. Referenciar la Figura 9. Es
uno de los Teoremas de Mohr y es utilizado generalmente

5. Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia en la Ingenier´ıa
Civil — 5/6
Figure 9. Desviaci´on Tangencial. Diagrama ´Area-Momento
para el c´alculo de momentos en vigas. Es importante recalcar
que solo es aplicable a ciertos tipos de estructuras.
3.3.2 C´alculo de la Tensi´on Cortante
La principal aplicaci´on del Primer Momento o Momento
Est´atico est´a relacionado al c´alculo de la tensi´on cortante
respecto a un punto en espec´ıfico, esto normalmente suele
suceder en el c´alculo de vigas.
Para esto se utiliza la F´ormula de Collignon que se expresa
mediante la relaci´on:
¯τxy =
Vy(x)Qy(y)
Iztz(y)
(10)
Donde Vy es la Fuerza Cortante, Qy es el Primer Momento
de ´Area, Iz el Momento de Inercia y tz el espesor.
En el campo de la construcci´on esto tiene suma importancia,
ya que con el c´alculo de la tensi´on cortante podemos obtener el
esfuerzo cortante, y en base a estos datos elegir o proporcionar
los materiales necesarios para que no se produzca el corte.
Por consiguiente garantizar la estabilidad de la estructura.
Referenciar la Figura 10.
Figure 10. Tensi´on Cortante
4. Momento de Inercia
4.1 Definici´on
El Momento de Inercia se define como “La oposici´on que
tiene un cuerpo a ser rotado”, est´a espec´ıficamente ligado a la
forma geom´etrica de dicho cuerpo. Ver en [4].
4.2 F´ormulas para Calcular el Momento de Inercia
4.2.1 ´Areas
Ix = y2
dA Iy = x2
dA (11)
4.2.2 Momento Polar de Inercia
Jo = r2
dA Jo = Ix+Iy (12)
4.2.3 Teorema de los Ejes Paralelos o Teorema de Steiner
I = ¯I +Ad2
(13)
Ver en [2]
4.3 Aplicaciones
4.3.1 Resistencia M´axima de un Elemento Estructural
En el campo de la ingenier´ıa civil, tenemos elementos es-
tructurales de suma importancia, presentes en casi todas las
construcciones, uno de ellos es la viga.
La viga es un elemento proyectado para soportar cargas transver-
sales, transmitiendo las mismas hacia sus apoyos. Debido a
que est´a sometida a diferentes cargas y fuerzas en ella se pro-
duce un efecto de flexi´on. Es decir tiende al pandeo en su
parte media.
Para los ingenieros civiles es fundamental conocer lo que
pueda sucederle a las vigas y el comportamiento que tendr´an
al ejercerce cargas sobre ellas.
Aqu´ı es donde entra el c´alculo del Momento de Inercia, con
la Inercia podemos calcular la flexi´on que tendr´a la viga y as´ı
tomar decisiones acertadas para el dise˜no de la estructura.
En otras palabras mientras mayor Momento de Inercia tenga
la viga, m´as resistente ser´a a la flexi´on dando as´ı la seguridad
necesaria para la estructura. El Momento de Inercia nos pro-
porciona la resistencia m´axima de un elemento bajo flexi´on.
Referenciar la Figura 11.
Figure 11. Resistencia m´axima de un Elemento estructural
4.3.2 Construcci´on de Compuertas, Diques y Presas
La inercia tambi´en cumple un papel fundamental en la cons
trucci´on de presas, ya que a mayor momento de inercia, mayor
ser´a la fuerza de empuje que pueda soportar la estructura a
causa del agua.
El Agua ejerce fuerzas de presi´on mayores a m´as profundidad.

6. Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia en la Ingenier´ıa
Civil — 6/6
Es aqu´ı donde el Momento de Inercia toma presencia, ya que
el empuje se calcula con una f´ormula donde interviene el
momento de inercia de la pared que limita al agua.
´Esta Fuerza tiende a voltear la estructura respecto al pie de
la presa; es por tal motivo que para los ingenieros civiles
es un factor a tomar en consideraci´on a la hora de construir
proyectos de ´esta magnitud.Ver en [7]
Referenciar la Figura 12.
Figure 12. Construcci´on de compuertas, diques y presas
Conclusiones
Luego de haber revisado las principales aplicaciones de los
diferentes temas mencionados anteriormente podemos decir
que:
• Los centroides y centros de gravedad aunque son pare-
cidos no son lo mismo, es importante saber reconocer
su diferenciaci´on, de ´esta manera se podr´a realizar la
aplicaci´on de los mismos en diferentes aspectos de la
construcci´on; mientras que el centro de gravedad est´a
ligado estrechamente al campo gravitario, dependiendo
del mismo, el centroide se basa espec´ıficamente en la
forma geom´etrica del cuerpo. Coincidir´an si y solo s´ı
el cuerpo es homog´eneo y uniforme.
• Respecto al Primer Momento, concluimos que aunque
es de menor aspectos de aplicaci´on que el Momento de
Inercia, igual forma parte importante de los c´alculos
esenciales en el ´ambito de construcci´on, necesario para
encontrar tensiones dentro de vigas.
• Finalmente, la Inercia es un tema central con lo que res
pecta a ingenier´ıa, con ella podemos saber la oposici´on
que tiene un cuerpo a ser rotado, ´este concepto nos
ayuda mucho para los c´alculos de resistencia de una
viga asociadas al momento flector y para el dise˜no de
muros de contenci´on.
Agradecimientos
“Cuanto mayor sea el esfuerzo, mayor es la gloria”
Pierre Corneille
Son muchos los agradecimientos que quiero extender para
´esta ocasi´on.
En primer lugar a Dios, el cual es el que nos da esa energ´ıa de
vida, el poder seguir por un buen camino, el que nos brinda
oportunidades para cada d´ıa ser mejor.
En segundo lugar a la querida Universidad T´ecnica de Machala,
la cual ha abierto sus puertas formando profesionales de bien,
vinculados a la sociedad y enfocados al desarrollo local y
nacional de nuestro pa´ıs.
A nuestro docente gu´ıa en ´esta materia, el Ing. Carlos Loor;
por haber sido parte fundamental en ´este proceso de ense˜nanza
y contribuido a mejorar nuestros saberes y criterios.
Y en general a cada una de las personas que aportaron de
manera significativa a la realizaci´on de ´este ensayo. ¡Gracias
a todos ustedes!.
Referencias
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Est´atica: M´exico DF, M´exico: Editorial Pearson Edu-
cation, p´ags. 447-484.
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E., (2010). Mec´anica Vectorial para Ingenieros - Est´atica:
M´exico DF, M´exico: Editorial McGraw Hill, p´ags. 220-
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[3] G. CELIS. C (2009). Mec´anica Estructural - Est´atica:
M´exico DF, M´exico: Editorial Universidad Iberoameri-
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