El documento explica el concepto de momento de una fuerza con respecto a un eje. Define el momento como la proyección del vector momento de una fuerza a lo largo de un eje, y presenta una fórmula para calcularlo directamente a partir de la fuerza y la posición del punto de aplicación. También cubre cómo calcular el momento cuando el eje no pasa por el origen. Finalmente, ilustra los conceptos con un ejemplo numérico.

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MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE. (PROF. ING.
JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES).
Introducción.
El efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido está compuesto por una traslación
determinada por la magnitud y dirección de la fuerza y una rotación, ya sea con respecto
a un punto o con respecto a un eje, quedando esta rotación determinada por la magnitud
y la dirección del vector momento que produce la fuerza, ya sea con respecto a un punto
o con respecto al eje de rotación del cuerpo rígido. Para estudiar las condiciones de
movimiento o de reposo de un cuerpo rígido sometido a la acción de una o varias
fuerzas es fundamental determinar tanto la resultante de las fuerzas como el momento
resultante que producen las fuerzas sobre el cuerpo, con respecto a un punto y con
respecto a un eje cualquiera y muy especialmente con respecto a un eje de rotación del
cuerpo.
En este material educativo se define y se aplica el concepto de momento de una
fuerza con respecto a un eje. Dado la naturaleza de este tipo de momento, que es propio
de aplicaciones en tres dimensiones, se consideran aquí solo aplicaciones a problemas
en el espacio.
Proyección de un vector P a lo largo de un eje OL
En la figura 1 se muestra un vector P y un eje que pasa por el origen O del
sistema de coordenadas Oxyz. En algunas situaciones prácticas puede ser necesario
determinar la proyección del vector a lo largo del eje. Por ejemplo, si el vector P fuese
una fuerza, su proyección POL representaría la magnitud de la componente de la fuerza
que actúa a lo largo de una barra guía orientada a lo largo de OL, y esta componente
permitiría calcular la aceleración de un collarín que se desliza a lo largo de la barra guía.
En otro ejemplo si P fuese un momento de una fuerza con respecto a un punto que
pertenezca al eje OL, en este caso, con respecto al origen O, la proyección POL
representaría la magnitud del momento de la fuerza con respecto al eje OL.
Figura 1. Proyección un vector a lo largo de un eje OL.

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Observe en la figura 1 que la proyección POL es igual a la magnitud del vector P
multiplicada por el coseno del ángulo θ. Como en el espacio no es posible conocer por
simple observación la magnitud del ángulo θ, se recurre al producto escalar de vectores
para obtener la proyección POL, determinando el producto escalar entre el vector P y el
vector unitario OL.
𝑃𝑂𝐿 = 𝑃⃗ · 𝜆 𝑂𝐿 = 𝑃 · cos 𝜃 (1)
Se tiene en la ecuación (1) : P = Px i + Py j + Pz k (2)
y OL =
𝒙
√𝑥2 + 𝑦2+ 𝑧2
𝑖̂ +
𝒚
√𝑥2 + 𝑦2+ 𝑧2
𝒋̂ +
𝒛
√𝑥2 + 𝑦2+ 𝑧2
𝒌̂ (3)
En la ecuación (2) se tiene el vector P en componentes rectangulares. En la
ecuación (3), x, y, z son las coordenadas de un punto que pertenece al eje OL y diferente
por supuesto al origen O. Las componentes rectangulares del vector unitario OL son
iguales respectivamente a los cosenos directores de la línea OL. En la figura 3, se
observan los ángulos que forma el eje OL con los ejes coordenados, θx con el eje x, θy
con el eje y, θz con el eje z. Debido a que el vector OL es de magnitud igual a la unidad,
sus componentes calculadas con las expresiones de la ecuación (3) resultan iguales a:
𝜆 𝑥 = 1 · cos 𝜃𝑥 =
𝒙
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜆𝑦 = 1 · cos 𝜃𝑦 =
𝒚
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜆𝑧 = 1 · cos 𝜃𝑧 =
𝒛
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Ecuaciones (4)
Figura 2. Ángulos del eje OL con respecto a los ejes coordenados.

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Sustituyendo en la ecuación (1), los vectores P y OL en componentes
rectangulares. Se desarrolla el producto escalar aplicando la propiedad distributiva y
teniendo en cuenta que el producto escalar de vectores mutuamente perpendiculares es
igual a cero, se obtiene:
𝑃𝑂𝐿 = 𝑃⃗ · 𝜆 𝑂𝐿 = 𝑃𝑥 · 𝜆𝑥 + 𝑃𝑦 · 𝜆𝑦 + 𝑃𝑧 · 𝜆𝑧 (5)
Momento de una fuerza con respecto a un eje OL.
En la figura 3 se observa una fuerza F que actúa sobre la partícula A de un
cuerpo rígido, con vector de posición r y que produce con respecto al origen O el
momento MO. Se observa también un eje OL que pasa por el origen y su vector unitario
. El segmento OC a lo largo del eje OL representa la proyección MOL del vector
momento MO lo largo del eje OL, la cual es igual a la magnitud del momento MOL de la
fuerza F con respecto al eje OL. Este momento MOL mide la tendencia de la fuerza F de
hacer girar al cuerpo alrededor del eje OL.
Figura 3. Proyección de un vector momento a lo largo de un eje OL. Fuente: Beer,
Johnston, Mazuret, Einsenberg. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. 9na edición.
McGraw-Hill. México. P. 97
Considerando, como se indicó arriba, que el vector P es el momento Mo. De la
ecuación (5) se obtiene:
𝑀 𝑂𝐿 = 𝜆 𝑂𝐿 · 𝑀⃗⃗ 𝑜 = 𝜆𝑥 · 𝑀𝑜𝑥 + 𝜆𝑦 · 𝑀𝑜𝑦 + 𝜆𝑧 · 𝑀𝑜𝑧 (6)
El vector momento en componentes rectangulares está dado por:
Mo = |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
𝑥 𝑦 𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
| = (y·Fz – z·Fy) i + (z·Fx – x·Fz) j + (x·Fy – y·Fx) k (7)

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Al sustituir en la ecuación (6) las componentes dadas en la ecuación (7) se
obtiene una expresión para obtener directamente el momento MOL de la fuerza F con
respecto al eje OL
𝑀 𝑂𝐿 = 𝜆𝑥 · (𝑦 · 𝐹𝑧 – 𝑧 · 𝐹𝑦) + 𝜆𝑦 · (𝑧 · 𝐹𝑥 – 𝑥 · 𝐹𝑧) + 𝜆𝑧 · (𝑥 · 𝐹𝑦 – 𝑦 · 𝐹𝑥) (8)
Ejemplo:
Figura 4. Fuente R.C. Hibbeler.(2010) Ingeniería Mecánica. Estática. 12va. Edición.
Prentice Hall. México. p. 146.
Solución del 4-61:
Se observa en la figura 4 que el eje CD contenido en el plano yz, es igual al eje
OL considerado en la explicación teórica. El procedimiento para resolver el problema 4-
61, consiste en expresar la fuerza F en componentes rectangulares, determinar el vector
unitario CD y aplicar la ecuación (8).
La fuerza F = F ·AB

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El vector unitario del eje AB es igual a:
AB =
∆𝒙
√∆𝑥2 + ∆𝑦2+ ∆𝑧2
𝑖̂ +
∆𝒚
√∆𝑥2 + ∆𝑦2+ ∆𝑧2
𝒋̂ +
∆𝒛
√∆𝑥2 + ∆𝑦2+ ∆𝑧2
𝒌̂
Por observación simple se obtienen las coordenadas de A y B:
A ( 6, 0, 0 ) pies; B( 0, 4, 12 ) pies
Determinamos las diferencias: x, y, z:
x =0 – 6 = -6 pies; y = 4 – 0 = 4 pies; z = 12 – 0 = 12 pies
Determinamos la longitud del cable AB:
AB = √(−6)2 + 42 + 122 = 14 𝑝𝑖𝑒𝑠
El vector unitario del eje AB resulta igual a:
AB =
−𝟔
14
𝑖̂ +
𝟒
14
𝒋̂ +
𝟏𝟐
14
𝒌̂ = −𝟎, 𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏 𝑖̂ + 𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒 𝒋̂ + 𝟎, 𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟑 𝒌̂
La fuerza F = F ·AB =
−𝟔·𝟏𝟒𝟎
14
𝑖̂ +
𝟒·𝟏𝟒𝟎
14
𝒋̂ +
𝟏𝟐·𝟏𝟒𝟎
14
𝒌̂ = −𝟔𝟎 𝑖̂ + 𝟒𝟎 𝒋̂ + 𝟏𝟐𝟎 𝒌̂ 𝒍𝒃
Se determina el vector unitario CD:
Por observación simple se obtienen las coordenadas de D. Recordemos que C es el
origen y sus coordenadas son ( 0, 0, 0 ).
D ( 0, 8, 6 ) pies
Determinamos las diferencias: x, y, z:
x =0 – 0 = 0; y = 8 – 0 = 8 pies; z = 6 – 0 = 6 pies
Determinamos la longitud del cable CD:
CD = √(0)2 + 82 + 62 = 10 𝑝𝑖𝑒𝑠
El vector unitario del eje CD resulta igual a:
CD = 𝟎 𝑖̂ +
𝟖
10
𝒋̂ +
𝟔
10
𝒌̂ = 𝟎 𝑖̂ + 𝟎, 𝟖 𝒋̂ + 𝟎, 𝟔 𝒌̂
Se determina el momento de la fuerza con respecto al origen C en componentes
rectangulares. Se tiene como vector de posición del punto de aplicación A de la fuerza:
r = 𝟔 𝑖̂ + 𝟎 𝒋̂ + 𝟎 𝒌̂ pies
Aplicamos la ecuación (8):
𝑀 𝐶𝐷 = 0 · (0) + 0,8 · (0 – 6 · 120) + 0,6 · (6 · 40 – 0) = −432 𝑙𝑏 · 𝑝𝑖𝑒

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Si se requiere determinar el vector momento a lo largo del eje MCD se multiplica el
escalar MCD por el vector unitario CD
MCD = −𝟒𝟑𝟐 · (𝟎 𝑖̂ + 𝟎, 𝟖 𝒋̂ + 𝟎, 𝟔 𝒌̂) = 𝟎 𝑖̂ + 𝟑𝟒𝟓, 𝟔 𝒋̂ + 𝟐𝟓𝟗, 𝟐𝒌̂ 𝒍𝒃 · 𝒑𝒊𝒆
Solución del 4-62:
La fuerza F = F ·AB =
−𝟔·𝑭
14
𝑖̂ +
𝟒·𝑭
14
𝒋̂ +
𝟏𝟐·𝑭
14
𝒌̂
F =−𝟎, 𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏 · 𝑭 𝑖̂ + 𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒 · 𝑭 𝒋̂ + 𝟎, 𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟑 · 𝑭 𝒌̂
Aplicamos la ecuación (8):
𝑀 𝐶𝐷 = 0 · (0) + 0,8 · (0 – 6 · 0,857143 · 𝐹) + 0,6 · (6 · 0,285714 · 𝐹 – 0) 𝑙𝑏 · 𝑝𝑖𝑒
𝑀 𝐶𝐷 = −3,086 · 𝐹 = −500 𝑙𝑏 · 𝑝𝑖𝑒
Se resuelve para F y se obtiene: F = 162 lb.
Momento de una fuerza con respecto a un eje CL que no pasa por el origen.
Se quiere ahora determinar la proyección del momento de una fuerza F a lo
largo de un eje CL que no pasa por el origen que puede observar en la figura 5. El
procedimiento es similar al seguido en la sección anterior. El cambio principal es que
ahora el momento de F no se calcula con respecto al origen O sino con respecto a un
punto cualquiera B que pertenece al eje CL. Resulta entonces que el vector de posición
para calcular el momento es el vector que va desde B hasta A, el cual se conoce como
vector de posición relativo de A con respecto B, el cual se obtiene restando
vectorialmente el vector de posición del punto B del vector de posición del punto A:
rA/B = rA - rB = 𝒙 𝑨/𝑩 𝑖̂ + 𝒚 𝑨/𝑩 𝒋̂ + 𝒛 𝑨/𝑩 𝒌̂
rA/B = (𝒙 𝑨 − 𝒙 𝑩) 𝑖̂ + (𝒚 𝑨 − 𝒚 𝑩) 𝒋̂ + (𝒛 𝑨 − 𝒛 𝑩) 𝒌̂ (9)
En la ecuación (8) las componentes ( x, y, z ) del vector de posición r del punto
A con respecto al origen O se reemplazan por las componentes rectangulares del vector
de posición relativo de A con respecto a B (xA/B , yA/B , zA/B ) obtenidas en la ecuación
(9). Además hay que tener en cuenta que las componentes (x , y x ) en la ecuación (8)
son ahora las componentes rectangulares del vector unitario CL dirigido a lo largo del
eje CL.
𝑀 𝐶𝐿 = 𝜆𝑥 · (𝑦 𝐴/𝐵 · 𝐹𝑧 – 𝑧 𝐴/𝐵 · 𝐹𝑦) + 𝜆𝑦 · (𝑧 𝐴/𝐵 · 𝐹𝑥 – 𝑥 𝐴/𝐵 · 𝐹𝑧) + 𝜆𝑧 · (𝑥 𝐴/𝐵 ·
𝐹𝑦 – 𝑦 𝐴/𝐵 · 𝐹𝑥) (10)

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Figura 5. Proyección de un vector momento a lo largo de un eje CL. Fuente: Beer,
Johnston, Mazuret, Einsenberg. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. 9na edición.
McGraw-Hill. México. P. 98
Ejemplo:
Figura 6. Fuente R.C. Hibbeler.(2010) Ingeniería Mecánica. Estática. 12va. Edición.
Prentice Hall. México. p. 145.
Solución del 4-51:
El vector unitario del eje AF es igual a:
AF =
∆𝒙
√∆𝑥2 + ∆𝑦2+ ∆𝑧2
𝑖̂ +
∆𝒚
√∆𝑥2 + ∆𝑦2+ ∆𝑧2
𝒋̂ +
∆𝒛
√∆𝑥2 + ∆𝑦2+ ∆𝑧2
𝒌̂

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Por observación simple se obtienen las coordenadas de A y F:
A ( 0, 0, 1,5 ) m; F( 3, 3, 0 ) pies
Determinamos las diferencias: x, y, z:
x =3 – 0 = 3 m; y = 3– 0 = 3 m; z = 0 – 1,5 = -1,5 m
Determinamos la longitud del cable AF:
AF = √32 + 32 + (−1,5)2 = 4,5 𝑚
El vector unitario del eje AF resulta igual a:
AF =
𝟑
4,5
𝑖̂ +
𝟑
4,5
𝒋̂ +
−𝟏,𝟓
4,5
𝒌̂ =
𝟐
𝟑
𝑖̂ +
𝟐
𝟑
𝒋̂ −
𝟏
𝟑
𝒌̂
La fuerza F en componentes rectangulares se conoce y es igual a:
F = −𝟔 𝑖̂ + 𝟑 𝒋̂ + 𝟏𝟎 𝒌̂
En la figura 6 se puede ver que el punto de aplicación de la fuerza es el punto B,
nos conviene seleccionar como punto del eje AF para calcular momento el punto A.
Procedemos entonces a determinar el vector rB/A
rB/A = (𝒙 𝑩 − 𝒙 𝑨) 𝑖̂ + (𝒚 𝑩 − 𝒚 𝑨) 𝒋̂ + (𝒛 𝑩 − 𝒛 𝑨) 𝒌̂
rB/A = (𝟎 − 𝟎) 𝑖̂ + (𝟑 − 𝟎) 𝒋̂ + (𝟏, 𝟓 − 𝟏, 𝟓) 𝒌̂ m
rB/A = 𝟎 𝑖̂ + 𝟑 𝒋̂ + 𝟎 𝒌̂ m
Se aplica la ecuación (10) con los valores ya determinados:
𝑀𝐴𝐹 =
2
3
· (3 · 10 – 0) +
2
3
· (0 – 0) −
1
3
· (0 – 3 · (−6)) N·m
MAF = 20 – 6 = 14 N·m
Para expresar el resultado como un vector cartesiano se multiplica el escalar MAF
por el vector unitario AF
MAF = 𝟏𝟒 · (
𝟐
𝟑
𝑖̂ +
𝟐
𝟑
𝒋̂ −
𝟏
𝟑
𝒌̂) = 𝟗, 𝟑𝟑𝟑 𝑖̂ + 𝟗, 𝟑𝟑𝟑 𝒋̂ − 𝟒, 𝟔𝟔𝟕𝒌̂ 𝑵 · 𝒎