vectores 3D

1. 1.1 CALCULO DE VECTORES R2, R3 Y SU GENERALIZACION EN Rn .
1.2 OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES.
1.3 PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL.
1.4 PRODUCTOS TRIPLES.
1.5 APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS DE PRODUCTOS ESCALARES
Y VECTORILAES.
1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.

2. En diferentes ámbitos de estudio, relacionado a las matemáticas tal
como la física, la geometría y en aplicaciones de ingeniería, es común
utilizar magnitudes de dos tipos las escalares y las vectoriales .
La primera solo representa una cantidad, un ejemplo es la longitud y
la temperatura; mientras que las magnitudes vectoriales están
representadas por un modulo, una dirección y sentido, ejemplo de
esto es la fuerza, la velocidad y la rapidez; así como también un
punto de aplicación.
θ
sentido
dirección

3. 1.1 CALCULO DE VECTORES R2, R3 Y SU
GENERALIZACION EN Rn .
Hablamos de vectores R2 cuando el análisis que se realiza esta dada en un plano
de dos dimensiones, de tal manera que cuando analizamos vectores R3
utilizamos un plano de tres dimensiones y por último la generalización en un
espacio Rn cuando el análisis es de “n” dimensiones

4. TIPO DE VECTORES
VECTORES UNITARIOS: se consideran
unitarios porque su modulo es de
unidad uno.
Vectores unitarios trirrectangulares.-
son una serie de vectores que
corresponden a los ejes de un sistema
de coordenadas cartesianas en el
espacio x, y, z. Es preferible utilizar esto
vectores con sentido positivo de los
ejes
VECTORES COMPONENTES (A1i, A2j,
A3k): son aquellos que se
representan en un espacio de tres
dimensiones. También pueden ser
llamados vectores componentes
rectangulares, tomando como
referencia las coordenadas
cartesianas x y z
a1
a3
a2
P
Q
Componentes
de un vector
1
1 1
Sistema de coordenadas
cartesianas
x y
z

5. Vectores equipolentes : estos vectores tienen el mismo modulo, dirección e idéntico
sentido .
Vector opuesto: tienen el mismo modulo dirección pero con sentido contrario.
TIPO DE VECTORES
B
A
Fig. 2
A
-A

6. 1.2 OPERACIONES CON VECTORES Y SUS
PROPIEDADES.
Suma o resultante: es un vector equivalente de magnitud igual a la suma
de dos que se encuentran en una misma línea
Se puede representar :
Vector 1
Vector 2
VR=v1+v2
Diferencia entre vectores: para hacer la diferencia de vectores, se suma al vector
minuendo al vector sustraendo
Producto por un escala: dado una cantidad es calar podemos efectuar la
multiplicación por un vector y obtener otro

7. PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL
1. A + B = B + A Propiedad conmutativa de la suma
2. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad asociativa de la suma
3. mA = Am Propiedad conmutativa del producto por un escalar
4. m(nA) = (mn)A Propiedad asociativa del producto por un escalar
5. (m + n)A = mA + Na Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto
de la suma de escalares
6. m(A + B) = mA + mB Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto
de la suma de vectores

8. 1.3 PRODUCTO ESCALAR Y
VECTORIAL.
Producto escalar: el producto punto de los vectores a=[a1,a2,a3] y b=[b1,b2,b3], se
define como:
Para calcular el modulo en términos de
producto interno, donde a = b:
Para calcularlo en forma de
componente:
Podemos calcular gama de la siguiente manera:
a = b = 0
Donde

9. 1.3 PRODUCTO ESCALAR Y
VECTORIAL.
v = a x b
Producto vectorial: este producto da como resultado otro vector
El producto vectorial a x b de dos vectores a=[a1,a2,a3] y b=[b1,b2,b3], es un
vector:
Si a y b tienen direcciones iguales u opuestas o si uno de ellos es el vector cero,
entonces v = a x b = 0
Su modulo se calcula de la siguiente manera:
Para la forma en componentes: v=[v1, v2, v3] = a x b

10. Propiedades del producto escalar
También conocido como producto puto tiene las siguientes propiedades:
Propiedad conmutativa
Propiedad distributiva del producto escalar
respecto de la suma siendo m un escalar

11. Propiedades del producto vectorial

12. 1.4 PRODUCTOS TRIPLES(ESCALARES Y VECTORIALES)
PRODUCTOS TRIPLES: Por medio de productos escalares y vectoriales de tres vectores, A, B
y C, se pueden formar productos de la forma
Se verifican las propiedades siguientes:
1.
2.
El volumen de un paralelepípedo de aristas A, B y C, con signo positivo o negativo según que A, B y
C formen un triedro a derechas o a izquierdas. Si
Triple producto escalar
Triple producto vectorial

13. 1.5 APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS DE PRODUCTOS
ESCALARES Y VECTORILAES.
En lo que se refiere a las aplicaciones físicas, esta va más orientada a lo que son los vectores .
Por ejemplo podemos aplicar el cálculo para determinar la velocidad de cierta partícula, así
como también podemos calcular la aceleración de la misma o la distancia que existe entre un
punto y otro.
En la aplicación geométrica representamos al vector como una recta en al espacio, donde esta
puede ser paralelo a otro, la cual en su representación va a sería una sola recta
Ejemplo: Suponga que dos navegantes que no se pueden ver entre sí, pero que se pueden comunicar por
radio, quieren determinar la posición relativa de sus barcos. Explique cómo pueden hacerlo si cada uno tiene
la capacidad de determinar su vector de desplazamiento al mismo faro.|
P2
P1
Q
d1
d2
d=d1 – d2
Tenemos que d + d2 = d1, de modo que d = d1 – d2. Esto
es, el desplazamiento de un barco hasta el otro es la
diferencia entre los desplazamientos desde los barcos hasta
el faro.

14. 1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.
En el espacio la manera más fácil de representar una recta es mediante vectores,
para ello dado un vector v trazamos un vector director o normal, paralelo al vector,
esto es con la ayuda de los componentes . Cabe recalcar que una recta tiene un
punto inicial A y un punto final B.
Basándonos en la ecuación general de la recta r=a + λ(b - a), donde a y b son los
vectores posición de los puntos A y B, unidos por una recta.
De aquí partimos hasta llagar a las ecuaciones paramétricas, donde está definido
que una recta paralela a un vector distinto de cero se denota por (a, b, c), el cual
pasa por un punto (x1, y1, z1), multiplicando al vector por una variable “t”, siendo
esta última un escalar considerado como “tiempo”, dando como resultado las
ecuaciones paramétricas:
De tal manera que al despejar el tiempo obtendremos las ecuaciones simétricas:

15. 1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.
En la resolución de estas no podemos encontrar dos casos diferentes:
El primer caso es: cuando la recta l pasa por un punto P
1. Usar las coordenadas representadas por P(x1, y1, z1), que es un lugar
donde pasa la recta, con los números de dirección v(a, b, c) entonces
tenemos que el conjunto de las ecuaciones paramétricas son:
2. Y las ecuaciones simétricas son:
Nota: cuando tengamos problemas en donde nos señalen solo un
punto y el vector de dirección, siendo estos paralelos, bastará con
sustituir en las ecuaciones antes planteadas

16. 1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.
Segundo caso: cuando la recta pasa por dos puntos P y Q
En este caso solo tenemos como referencia dos puntos, por lo que es necesario
encontrar nuestro vector de dirección , el cálculo queda de la siguiente
manera:
1. Dado el punto P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2), aplicamos lo siguiente:
2. Ahora tomamos como referencia cualquiera de los puntos como
referencia, independientemente del problema, para llegar a las ecuaciones
paramétricas:
3. Las simétricas son:
Vector director

17. 1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.
Planos en el espacio
En este apartado veremos es posible representar una ecuación para un plano en el
espacio, deduciendo la a partir de un punto y el vector perpendicular(normal) a él.
Para ello consideramos:
1. El plano que contiene el punto P(x1, y1, z1)
2. Un vector normal no nulo n=<a, b, c>, ver figura.
3. El plano consta de todos los puntos Q (x, y, z) para los que el vector PQ es
perpendicular. Usando el producto escalar podemos escribir:
x
y
z
.
P
Q
n

18. 1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.
El plano que contiene el punto (x1, y1, z1) y tiene un vector normal n = <a, b, c> puede
representarse en forma canónica por la ecuación:
Ecuación canónica de una recta en el espacio
Ecuación general:

19. EJERCICIO
Dados los vectores :