un informe sobre las soluciones numérica de ecuaciones diferenciales ordinarios

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DECANATO DE INGENIERIA
ESCUELA DE MANTENIMIENTO MECÁNICO
ANALISIS NUMERICO
Soluciones Numérica de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias Recurso
Integrante:
Segliana Olivar
C.I:25.785.144

2. Soluciones Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Recurso
El problema central consiste en resolver una ecuación diferencial de
primer orden, una vez que se conoce un punto por el que pasa la curva
solución. Antes de tratar de resolver un problema de valor inicial, nos gustaría
saber si existe una solución única. Además, como los problemas que se
obtienen de la observación de fenómenos físicos generalmente son sólo una
aproximación a situación real, es interesante saber si al introducir cambios
pequeños en el enunciado del problema estos ocasionan
correspondientemente cambios pequeños en la solución.
Es la que contiene una función desconocida de una variable
independiente y relaciona con sus derivadas:
Una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones
diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables),
y Una o más de sus derivadas respecto de tal variable.
Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en
aplicaciones como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas
áreas (como geometría, mecánica y astronomía) y perspectivas.
Matemáticamente es de crucial interés el conjunto de funciones que verifican la
ecuación y establecen sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más
sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las lineales
asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo). No obstante,
pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación
diferencial sin requerirse su formulación exacta. Clave para resolver la mayoría
de las ecuaciones diferenciales no lineales de sumo interés en numerosos
casos.
Método De La Serie De Taylor
Una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante
una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios
como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir
de las derivadas de la función para un determinado valor o punto
suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja
la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, , se le
denomina serie de McLaurin.
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
 la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término
a término, que resultan operaciones triviales;

3.  se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
 es posible calcular la optimidad de la aproximación.
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente
diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie
de potencias:
Las derivadas que aparecen aquí se pueden calcular a partir de la ecuación
diferencial. Los términos que no se han incluido inician con un término de h5 y
constituyen colectivamente el error de truncamiento inherente al procedimiento.
Se dice que el método numérico resultante es de orden cuatro (4). El orden del
método de la serie de Taylor es n si se utilizan términos, hasta e incluyendo el
denotado por (x) / n!.
Método de Euler y Euler Modificado
El método de la Serie de Taylor con n=1 se llama Método de Euler. Su
expresión formal es la siguiente:
Esta fórmula tiene la obvia ventaja de que no necesita tomar ninguna
derivada de f. Sin embargo, dicha ventaja se neutraliza por la necesidad de
tomar pequeños valores de h para obtener una precisión aceptable.
Método De Runge-Kutta
El método de Runge-Kutta evade la dificultad el Método de la serie de
Taylor de ir sucesivamente derivando, mediante una combinación de los
valores de f(x,t)

4. Generalmente las fórmulas de Runge-Kutta de segundo orden adoptan
la forma:
donde: a, b, a , b , son constantes:
Resulta muy tedioso deducir las fórmulas de Runge-Kutta de orden
superior. Sin embargo, las fórmulas se pueden programar una vez que se han
deducido. A continuación se presentan expresiones para el método de Runge-
Kutta de cuarto orden clásico:
Donde:
Esto es posible demostrarlo siempre y cuando las constantes cumplan
con: a + b = 1, ba = ½ y bb = ½. Se llama método de cuarto orden debido a que
reproduce los términos de la Serie de Taylor hasta e incluyendo a Por
consiguiente el error es O( ) el cual posee su propio algoritmo.
Método De Pasos Múltiples
El método de la serie de Taylor y el de Runge-Kutta, utilizados para
resolver el problema de valor inicial, son métodos de un solo paso. Se llaman
así debido a que no recurren a valores de previos x(t) durante el avance de la
solución de t, a t+h. Si t0, t1, t2..., ti corresponden a los pasos que se toman a
lo largo del eje t, entonces xi+1 (el valor aproximado de x(ti+1) depende sólo de
xi, y no se usan los valores aproximados de xi-1 , xi-2 ,. . . x0.
Se pueden diseñar procedimientos más eficientes si en cada paso se
utilizan algunos valores previos de la solución. El principio que nos guía se
describe en las líneas siguientes. Deseamos resolver numéricamente el
problema de valor inicial:

5. Contamos con puntos o pasos preestablecidos t0, t1, t2,...,tn, sobre el
eje t. Si denotamos con x(t) a la solución verdadera, al integrar la ecuación (1)
obtendremos:
y luego
Método de Milne
Anteriormente, se ha visto que una forma sencilla de obtener métodos es
el uso del desarrollo de Taylor hasta cierto orden. También hemos comentado
su principal inconveniente (la derivación sucesiva de la función de la E.D.O.).
Otra técnica para la obtención de métodos de resolución aproximada del P.V.I.
(2.1) es el uso apropiado de formulas de integración numérica. Es esta forma la
que usamos en esta sección para la obtención de un método multipaso
denominado de Milne-Simpson (realmente es la combinación de dos métodos
multipaso uno explicito -Milne- y otro implícito -Simpson-). Tal combinación
suele denominarse predicción-corrección
El método de Milne está definido mediante:
Este es un método implícito y se caracteriza por los dos polinomios:
Método De Adams-Moulton

6. El método de Adams-Moulton tiene una fórmula conocida como Fórmula
de Adams-Moulton de orden 5 y viene dada por:
Esta fórmula también se puede deducir usando el método de los
coeficientes indeterminados. Observemos que no se puede utilizar
directamente para avanzar en la solución, en vista de que xn+1 aparece en
ambos lados de la ecuación. Recordemos que fi representa f(ti, xi),y que por lo
tanto los términos que incluyen a fn+1 se pueden calcular sólo después de que
se conozca el valor de xn+1.
Sin embargo, un algoritmo muy satisfactorio llamado método predictor-
corrector, emplea la fórmula de Adams-Bashforth, que viene dada por:
Para predecir un valor tentativo de xn+1, llamándolo x*n+1, y luego
recurre a la fórmula de Adams-Moulton para calcular un valor corregido de
xn+1.
Resolución De Problemas Que Involucren Ecuaciones
Diferenciales Utilizando Métodos Numéricos
Hay procedimientos analíticos, cualitativos y numéricos para el estudio
de soluciones de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales
modelan un sistema físico y la finalidad es hallar una solución a esas
ecuaciones diferenciales. Las técnicas analíticas implican encontrar fórmulas
para los valores futuros de la cantidad. Los métodos cualitativos se apoyan en
un esbozo de la gráfica de la cantidad como función del tiempo, y en la
descripción de su comportamiento a largo plazo.
Las técnicas numéricas requieren que efectuemos cálculos aritméticos
(o bien que los haga una computadora) que den aproximaciones de los valores
futuros de la cantidad. Cualquiera de los tres métodos que se utilicen tiene sus
ventajas y también sus desventajas. Algunas veces, ciertos métodos son útiles
mientras que otros no lo son. Una de las principales tareas es analizar las
soluciones de ecuaciones diferenciales será determinar qué método, o
combinación de éstos, funciona bien en cada caso específico.