Conjunto Fundamental de Soluciones

2. CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. SOLUCI ´ON GENERAL DE UNA ECUACI ´ON DIFERENCIAL
CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES
DEFINICI ´ON
Cualquier conjunto yl, y2, ..., yn de n soluciones linealmente independientes
de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de n-´esimo orden en un
intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.
EJEMPLO
1 Para la ED homog´enea y − y − 12y = 0 dos soluciones son:
y1 = e−3x y y2 = e4x.
Al ser soluciones linealmente independientes:
W =
e−3x e4x
−3e−3x 4e4x = 7ex
Se tiene que y1 y y2 conforman un conjunto fundamental de soluciones
para la ecuaci´on diferencial.

4. SOLUCI ´ON GENERAL DE UNA ECUACI ´ON DIFERENCIAL
SOLUCI ´ON GENERAL DE UNA ED HOMOG ´ENEA
Sean yl, y2, ..., yn un conjunto fundamental soluciones de una ecuaci´on
diferencial lineal homog´enea de n-´esimo orden en un intervalo I. Entonces la
soluci´on general de la ecuaci´on en el intervalo I es:
y = c1y1(x) + c2y2(x) + ... + cnyn(x),
donde ci, i = 1, 2, ..., n son constantes arbitrarias.
EJEMPLO
1 Para la ED homog´enea y(3) + 2y − y − 2y = 0 tres soluciones
linealmente independientes son: y1 = ex, y2 = e−x y y3 = e−2x.
Por lo tanto, y1, y2 y y3 conforman un conjunto fundamental de
soluciones para la ecuaci´on diferencial.
De esta forma la soluci´on general de la ED es:
y = c1ex + c2e−x + c3e−2x

5. SOLUCI ´ON GENERAL DE UNA ECUACI ´ON DIFERENCIAL
SOLUCI ´ON GENERAL DE UNA ED NO HOMOG ´ENEA
Sea yp cualquier soluci´on particular de una ecuaci´on diferencial No
homog´enea de n-´esimo orden en un intervalo I y sea yl, y2, ..., yn un conjunto
fundamental soluciones de la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea asociada
en I. Entonces la soluci´on general de la ecuaci´on en el intervalo I es:
y = c1y1(x) + c2y2(x) + ... + cnyn(x) + yp,
donde ci, i = 1, 2, ..., n son constantes arbitrarias.
Visto de otra forma, la soluci´on general de una ecuacion diferencial no
homog´enea es la suma entre la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada
(funci´on complementaria) y cualquier soluci´on particular.
y = yc + yp

6. SOLUCI ´ON GENERAL DE UNA ECUACI ´ON DIFERENCIAL
SOLUCI ´ON GENERAL DE UNA ED NO HOMOG ´ENEA
EJEMPLO
1 Para la ED no homog´enea y + 4y = 12x
Una soluci´on particular es yp = 3x
y con la soluci´on complementaria yc = c1cos2x + c2sen2x.
La soluci´on general de la ED es:
y = c1cos2x + c2sen2x + 3x
Si agregamos las condiciones iniciales y(0) = 5 y y (0) = 7
Se encuentra que c1 = 5 y c2 = 2.
Y la soluci´on es entonces:
y = 5cos2x + 2sen2x + 3x

7. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.