Este documento presenta una introducción a las derivadas. Explica que las derivadas miden la tasa de cambio de una función y son fundamentales en cálculo. Luego resume algunas derivadas básicas como la de funciones constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. También cubre las derivadas de funciones trigonométricas y la regla de la cadena. Finalmente, resume cuatro teoremas clave sobre derivadas como los teoremas de Rolle, Bolzano y Cauchy.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
DERIVADAS
Autora: Daniela Alejandra Urbina Uribe
V-30853551
Docente: Jesús Gámez Morales
Febrero, 2022

2. ÍNDICE
Introducción 2
¿Qué son? 3
Algunas aplicaciones 3,4
Algunas derivadas básicas 5,6,7,8
Teoremas 9,10,11
Conclusión 12
Referencias electrónicas 13

3. Introducción
La derivada considerada como el eje principal del cálculo diferencial, tiene su
origen en la Antigua Grecia, y surge como resultado de cuatro problemas
fundamentales; el de la velocidad, el del área bajo la curva, el de la recta tangente
y el de máximos y mínimos. A través del tiempo ha sido tema principal de diversas
investigaciones que han puesto en tela de juicio lo que hasta el momento ha
definido a la derivada
A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por
sus predecesores, en lo que hoy llamamos «derivada» e «integral». La historia de
la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son los creadores
del cálculo diferencial e integral.
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la
rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por tanto, la derivada de
una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de
dicha función y para el valor concreto de la variable.

4. ¿Qué son las derivadas?
La derivada de una función en un punto mide la velocidad a la que varía el valor
de la función en dicho punto al cambiar el valor de la variable independiente.
La derivada es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.
Describe la rapidez con la que varía una determinada función cuando varían
sus variables independientes.
El cálculo de la derivada de una función entra dentro del cálculo infinitesimal junto
al cálculo integral.
La noción de derivada de una función matemática f(x) está estrechamente
relacionada con la de límite.
Son muchas las aplicaciones de la derivada. La derivada es fundamental para
hallar máximos y mínimos, crecimiento o decrecimiento de una función la aplicación
de la regla de l’Hôpital para el cálculo de determinados límites, etc.
Algunas de las aplicaciones más notables de las derivadas se
explican a continuación:
Las derivadas tienen muchas aplicaciones en el análisis de funciones.
 La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.
Estudiar la monotonía, es decir el crecimiento o el decrecimiento de
una función en un intervalo. La curvatura de un intervalo de una función,
los puntos de inflexión, el máximo o el mínimo de un intervalo de
una función. Ver si se trata de extremos absolutos o relativos.
 La aplicación de la regla de l’Hôpital para la resolución de determinados casos
de límites indeterminados.
 Estudiar las tasas de variación.
 Teoremas de Rolle, del Valor Medio y de Cauchy.
 Resolver problemas de optimización.
 Y otras aplicaciones, como facilitar la representación gráfica de funciones o
hallar aproximadamente los valores de una función.
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5. Diferencial de una función
 Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas.
Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de
variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De
manera similar la tasa de cambio de la velocidad de un punto se conoce como
la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se despeja como,aquí x
es el punto cuya velocidad será calculada y t representa el intervalo de
tiempo.
 Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que
incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto
crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.
 Determinación de valores mínimos y máximos: A este proceso se le
denomina optimización. Existen una serie de problemas que requieren la
determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función tal como
la determinación del menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de
mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo local / punto máximo que se
denomina mínimo relativo / máximo punto o mínimo global / máximo punto
que se le llama como mínimo absoluto / punto máximo. El máximo absoluto
es uno, , para todos los puntos del dominio de la función. Mientras que un
punto máximo relativo es uno, , para todos los puntos en un período abierto
en las proximidades de x igual a c.
 Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el
método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación
en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos
una solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve
también el uso de algunos términos de las Series Taylor.
 Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existe una gran cantidad de
lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el
objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las
pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar
la respuesta correcta y así aumentar la productividad total del comercio.
 Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso
de la óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos
una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier
función general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación
de la recta tangencial al gráfico de cualquier función lineal.
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6. Algunas derivadasbásicas
En esta sección obtendremos la derivada de algunas funciones básicas. Una vez
que veamos cuáles son sus derivadas, utilizaremos los resultados obtenidos como
reglas de derivación.
La derivada de una función constante
La derivada de una función constante es cero
Derivada de una potencia entera de x.
Sea n entero positivo, entonces la derivada de la función: xn es nxn-1
La derivada de una potencia entera positiva
Como ya sabemos, la derivada de xn
es n xn-1
, entonces:
f(x)= x5
f '(x)= 5x4
Derivada de la resta
La derivada de la resta de funciones es la resta de las derivadas de cada
término
Derivada de la función inversa
La derivada de la función inversa f-1
se puede obtener a partir de la derivada
de una función compuesta de f
Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5
, aún no podemos derivar la
función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones.
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7. La derivada de una constante por una función.
Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la
constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:>
f(x)= 3x5
f '(x)= 3(5x4
) = 15x4
La derivada de una suma
Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la
derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de
funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por
separado. Entonces:
f(x)= 2x3
+ x
f '(x)= 6x2
+ 1
La derivada de un producto
Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la
regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se
interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la
derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
=
f(x)= (4x + 1)(10x2
- 5)
f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2
- 5)
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8. La derivada de un cociente
Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.
Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la
derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la
segunda al cuadrado.
Las derivadas de las funciones trigonométricas
Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.
Ahora daremos el resto de las fórmulas para las derivadas de las funciones
trigonométricas.
f(x)= sen(x) f '(x)= cos(x)
f(x)= cos(x) f '(x)= -sen(x)
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x) f '(x)= sec2
(x)
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x) f '(x)= -csc2
(x)
f(x)= sec(x) f '(x)= sec(x) tan(x)
f(x)= csc(x) f '(x)= -[cot(x) csc(x)]
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9. La regla de la cadena
Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la
derivada de una función compuesta como (3x + 5)4
, a menos que desarrollemos el
binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.
f(x) = (3x + 5)2
= 9x2
+ 30 x + 25
f '(x) = 18x + 30 = 6(3x + 5)
f(x) = (3x + 5)3
= 27x3
+ 135x2
+ 225x + 125
f '(x) = 81 x2
+ 270x + 225 = 9(3x + 5)2
f(x) = (3x + 5)4
= 81x4
+ 540x3
+ 1350x2
+ 1500x + 625
f '(x) = 324x3
+ 1620x2
+ 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3
f(x) = (3x + 5)5
=
243x5
+ 2025x4
+ 6750x3
+ 11250x2
+ 9375x + 3125
f '(x) = 1215x4
+ 8100x3
+ 20250x2
+ 22500x + 9375
= 15 (3x + 5)4
Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la
misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor
que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.
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10. Teoremas de las derivadas
Enunciaremos cuatro teoremas de las derivadas aplicables
sobre funciones que cumplen ciertas condiciones de derivabilidad y, por tanto,
de continuidad.
Teorema de Bolzano
El teorema de Bolzano enuncia que, dada una función f(x), continua y
derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto
signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo, c ∋ (a, b), para
el que f(c) = 0.
Corolario:
Si una función tiene más de una raíz real, entonces entre dos raíces
consecutivas la función toma valores o positivos o negativos:
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que
es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
Si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces
hay, al menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se
anula, f’(a) = 0.
El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si
una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un
punto pertenenciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b)
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11. Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy establece que dadas
dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b).
Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre
que g’(c) ≠ 0
Segunda derivada
La segunda derivada, a la que llamaremos f’’(x), es una nueva función que
se obtiene cuando se deriva (caso de que sea derivable) la función
derivada f’(x) (a la que aquí llamaremos derivada primera) de
la función inicial f(x).
La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera
tenido esa función al incrementar la variable independiente x a otro
punto a + h pero, en vez de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido
por la tangente a dicha curva en a.
Teorema Fundamental del Cálculo
El teorema fundamental del cálculo indica que la derivación de una
función y la integración de una función son operaciones inversas.
Derivadas parciales
Las derivadas parciales de una función con varias variables f(x , y, z) (tres en
este caso) nos informa de cómo cambia la función (df) cuando se produce un
pequeño cambio en una única variable independiente (por ejemplo dx en la
variable x).
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12. Derivada implícita
Las derivadas parciales permiten obtener en muchas ocasiones con más
sencillez la derivación implícita.
La derivación implícita se ha visto en otro capítulo. Se obtiene el mismo
resultado en derivación implícita mediante derivadas parciales, con la siguiente
fórmula que facilita y simplifica el cálculo:
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13. Conclusión
Para finalizar, se debe resaltar que las derivadas a pesar de ser
herramientas matemáticas sirven en la vida diaria para muchas cosas entre
ellas, ayudar en el crecimiento de negocios mejorando su eficacia, también
funcionan para solucionar problemas de física y todas las materias que se
basan en ella como estática, cinemática, calor, mecánica, ondas, corriente
eléctrica, magnetismo, etc.
Aplicable también en la economía para hallar valores mínimos y máximos
los cuales son importantes para proyectar en economía. Sirven para explicar
el comportamiento de la curva de una función trigonométrica. Es decir tiene
un número sin fin de aplicaciones en las cuales toma un papel importante
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14. Referencias electrónicas:
Derivadas ; Requena Serra, Bernat
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/
[Consultado:17 de febrero del 2022]
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