1. FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES
Modelos de Crecimiento y decrecimiento de poblaciones.
Desintegración de material radioactivo
Vida media de una sustancia
2. EL MODELO EXPONENCIAL
El modelo exponencial es un modelo demográfico y ecológico para
modelizar el crecimiento de las poblaciones y la difusión
epidémica de un rasgo entre una población, basado en el
crecimiento exponencial.
3. Descripción del modelo
Sea P(t) el tamaño de la población al tiempo t, el modelo exponencial
presupone que la tasa de aumento de la población es proporcional a la
población en el instante:
4. Donde k es una constante de proporcionalidad y P es el tamaño de la
población en el instante t. Esta ecuación puede resultar adecuada
cuando el tamaño de la población es pequeño en relación a las
dimensiones del ecosistema, y en ese caso k es la tasa de aumento de
la población que iguala a la tasa de natalidad menos la tasa de
mortalidad.
Si el tamaño de la población en un instante t0 es P0, el modelo
exponencial predice que en cualquier otro instante futuro (t > t0) la
población viene dada, por la solución de la ecuación diferencial
, e = 2,718281828459...
5. Crecimiento exponencial
Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y
crecimiento exponencial (verde).
El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud P
tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor.
6. Algunos fenómenos con crecimiento exponencial
• El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero
materno.
• En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente,
donde la tasa coincide con el índice de inflación.
• El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente
con n.
• El número de operaciones cálculos necesarios para resolver un problema
NP-completo crece exponencialmente con el tamaño de la entrada,
representable o codificable mediante un número entero.
• El número de bacterias que se reproducen por fisión binaria.
• El número de individuos en poblaciones de ecosistemas cuando carecen
de predador.
7. Catástrofe malthusiana.
La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista
político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del
crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el
principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a
los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegó a afirmar
que el crecimiento de la población libre de contenciones era un
crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos
según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de
crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a
partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que
habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia mediados
del siglo XIX. La gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo
mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y
en ocasiones hasta erróneos.
8. Catástrofe malthusiana.
Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de
Malthus era el siguiente. Si P(t) es la población en el año t
y A(t) la cantidad total de alimentos las hipótesis de
crecimiento lineal y exponencial son:
9. Catástrofe malthusiana.
La solución de las dos ecuaciones anteriores lleva a que la
cantidad de alimento por persona viene dada por:
Donde P0 es la población inicial y A0 es la cantidad inicial de
alimentos.
10. Ejercicios
Si e denotan la intensidad de la luz antes y después de pasar por un
material y x es la distancia (en pies) que viaja la luz en el material, entonces
de acuerdo con la ley de Beer- Lambert :
Donde k es una constante que depende del tipo de material.
a) De la ecuacion despeje .
b) Para cierto lago k= 0.025 y la intensidad luminosa es =14 lúmenes (lm) .
Encuentre la intensidad de la luz a una profundidad de 20 pies
11. EJERCICIOS
Se llama vida media de una sustancia radioactiva al tiempo
necesario para que se desintegre la mitad de la cantidad de
la sustancia presente. Sea x(t) la cantidad de una
sustancia radioactiva en el instante t y sea x(0) =A . Si K es
la vida media demostrar que
12. EJERCICIOS
1. Sea N(t) el número de bacterias en un cultivo, en un instante
t. Suponga que inicialmente hay 150 bacterias y que N
aumenta a una velocidad proporcional al número de bacterias
presentes. Si al cabo de una hora hay 1500 bacterias, halle el
numero de bacterias que hay en el cultivo al cabo de 2 horas.
2. En un momento dado están presentes 100 gr de una sustancia
radioactiva. Después de 4 años, quedan 20 gr. ¿Qué cantidad
de la sustancia quedará después de 8 años?
13. REFERENCIAS
• MacArthur, Geographical Ecology: Patterns in the distribution
of species, 1972, p.
http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_exponencial
• Para un tratamiento muy ágil y sencillo de la aplicación del
crecimiento exponencial a las poblaciones biológicas y sus
implicaciones ecológicas y evolutivas.
• MacArthur, Robert H. (1972): Geographical Ecology: Patterns in
the distribution of species. Harper and Row. New York, NY. 269 .
[Reeditado en rústica en 1984 por Princeton University Press].
• Stewart James , Precálculo, Matemáticas para el cálculo quinta
ed.(2006)
