1. 178435-209550<br />UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO DE TRUJILLO<br />FACULTAD DE INGENIERÍA<br />ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS<br />MODELO DE LOTKA VOLTERRA<br />CURSO:<br />DINÁMICA DE SISTEMAS<br />DOCENTE:<br />Dr. SANTIAGO CONTRERAS ARANDA<br />CICLO – SECCIÓN:<br />V – A.<br />GRUPO:<br />GRUPO Nº 01.<br />INTEGRANTES:<br />CONTRERAS ULLOA, SHIRLEY ASUNCIÓN.<br />DUQUE ESCOBAR, DAVID.<br />GONZÁLEZ TORRES, CRISTHIAN.<br />LOYOLA DÍAZ, JHON ALEXANDER.<br />QUIROZ REVOREDO, JOHANNA<br />VALENCIA VARAS, KAREN ALEXIS.<br />VILLEGAS SÁNCHEZ, EMILI PAMELA.<br />TRUJILLO – PERÚ<br />2009<br />ÍNDICE GENERAL<br />ÍNDICE DE CONTENIDOS<br /> TOC ÍNDICE GENERAL PAGEREF _Toc243766930 ii<br />ÍNDICE DE CONTENIDOS PAGEREF _Toc243766931 ii<br />CAPÍTULO I – DEFINICIONES PRELIMINARES PAGEREF _Toc243766932 1<br />1.1.MODELO MATEMÁTICO LOTKA - VOLTERRA PAGEREF _Toc243766933 2<br />1.2.DEFINICIÓN: CRECIMIENTO VEGETATIVO PAGEREF _Toc243766934 6<br />1.3.DEFINICIÓN: ESPECIE PAGEREF _Toc243766935 7<br />1.4.CONCEPTOS DE ESPECIE PAGEREF _Toc243766936 8<br />1.5.ESPECIE CONOCIDAS PAGEREF _Toc243766937 10<br />1.6.DEFINICIÓN: CRECIMIENTO PAGEREF _Toc243766938 11<br />1.7.PROCESOS QUE PRODUCEN EL CRECIMIENTO PAGEREF _Toc243766939 12<br />1.8.FACTORES EXTERNOS QUE AFECTAN EL CRECIMIENTO PAGEREF _Toc243766940 12<br />1.9.DEFINICIÓN: INDIVIDUOS PAGEREF _Toc243766941 14<br />CAPÍTULO II – MODELO DE “LOTKA VOLTERRA” PAGEREF _Toc243766942 16<br />2.1.TÍTULO PAGEREF _Toc243766943 17<br />2.2.DEFINICIÓN DEL PROBLEMA: PAGEREF _Toc243766944 17<br />2.3.DEFINICIÓN DE OBJETIVOS: PAGEREF _Toc243766945 17<br />2.4.DEFINICIÓN DE VARIABLES: PAGEREF _Toc243766946 17<br />2.5.RELACIÓN ENTRE LAS VARIABLES: MODELO “LOTKA VOLTERRA” PAGEREF _Toc243766947 19<br />2.6.FORRESTER DE MODELO “LOTKA VOLTERRA PAGEREF _Toc243766948 20<br />2.7.IMPLEMENTACIÓN EN STELLA MODELO “LOTKA VOLTERRA” PAGEREF _Toc243766949 20<br />2.8.GRÁFICA EN STELLA MODELO “LOTKA VOLTERRA” PAGEREF _Toc243766950 21<br />2.9.ESTRUCTURA MATEMÁTICA DEL MODELO “LOTKA VOLTERRA” PAGEREF _Toc243766951 21<br />CAPÍTULO I–DEFINICIONES PRELIMINARES<br />MODELO MATEMÁTICO LOTKA - VOLTERRA<br />El matemático italiano Volterra, después de haberse interesado por la ecología matemática y haber sido estimulado por su amigo zoólogo Humberto D’ Ancona, estudio los registros de las pesquerías del Mar Adriático Superior y observó que, durante y después de la Segunda Guerra Mundial, cuando la pesca había disminuido drásticamente, la proporción de los depredadores había aumentado.<br />Este hecho lo llevo a estudiar ese problema de una manera más general, logrando construir la primer teoría determinista sistematizada de la dinámica de poblaciones.<br />Oscilaciones en las relaciones presa-depredador de Volterra.<br />Para iniciar su investigación matemática estableció ciertas cosas:<br />Que la especie depredadora se alimentaba exclusivamente de la especie presa, mientras que ésta se alimentaba de un recurso que se encontraba en el hábitat en grandes cantidades, el cual solo intervenía así (pasivamente). <br />Que ambas poblaciones eran homogéneas, es decir, no intervenían factores como la edad o el sexo.<br />Que, así mismo, el medio era homogéneo, es decir, que las características físicas, biológicas entre otras, eran las mismas en el hábitat.<br />Y que los encuentros de la especie depredadora con las especie presa eran igualmente probables.<br />Siendo así, se encontró con que solo existían dos variables : el tamaño poblacional de la especie depredadora y el de la especie presa. Así mismo, supuso que ambos tamaños poblacionales dependían exclusivamente del tiempo y no de alguna otra variable especial.<br />Determino que si no existiesen depredadores, la población de presas crecería malthusianamente , es decir:<br />mientras que si ni hubiese presas, la especie depredadora decrecería, también siguiendo un modelo maltusiano, es decir:<br />Ahora bien, dado que la interacción beneficia a la especie depredadora y perjudica a la presa, él supuso que seria necesario modificar a los depredadores en un término que diera cuenta del perjuicio para una y del beneficio para la otra, lo que tendría que ser:<br />Luego entonces, Volterra se topo con el problema de encontrar una forma analítica para cada termino que aparece entre corchetes y, basándose en el argumento de que cuantos más encuentros por unidad de tiempo haya entre individuos de la especie presa con la especie depredadora, mayor ha de ser el perjuicio de unos y el beneficio de otros; llego a la conclusión de que el numero de encuentros por unidad de tiempo entre presas y depredadores, es proporcional al producto algebraico de sus respectivas densidades poblacionales, es decir:<br />[Numero de encuentros por u. de t.] x(t)y(t)<br />He incorporó esto en las dos ecuaciones anteriores:<br />donde a es la tasa instantánea de aumento de presas en ausencia de depredadores; mientras que c es la tasa instantánea per capita de disminución de ,depredadores en el caso de ausencia de presas. Originalmente Volterra interpreto esto diciendo que:<br />“...los parámetros constantes a y c representan la razón de nacimiento y muerte de las dos especies; mientras que b mide la susceptibilidad de la especie presa a la depredación y d mide la habilidad de depredación de esta especie. Las constantes b y d son la proporción de encuentros perjudiciales para las presas y la correspondiente de encuentros benéficos para los depredadores, respectivamente...”<br />Y así logro afirmar que en una interacción presa-depredador descrita en las ecuaciones anteriores, el tamaño de la especie presa y el de la especie depredadora, cambian periódicamente al aumentar el tiempo lo que en términos geométricos sería: *La dinámica de las presas.-<br /> <br />*La dinámica de los depredadores.- <br />Volterra, basándose en esto, formulo la ley que posteriormente se llamaría Ley de la periodicidad de Volterra, la cual dice que “el cambio de los tamaños poblacionales de ambas especies (presa y depredadora) son periódicos y el periodo depende solamente de a, b, c y d del tamaño inicial de las dos especies...”. Para el caso de pequeñas oscilaciones Volterra da como periodo T=2 / ac.<br />Posteriormente, formuló otras dos leyes relacionadas a su modelo presa-depredador, las cuales son:<br />Su Ley de Conservación de los Promedios. Según ésta los promedios de los tamaños poblacionales de la especie presa y de la depredadora son independientes de su tamaño inicial y, calculados en un periodo son, respectivamente :<br />X = c/d y y = a/b<br />Ley de la perturbación de los promedios. Ésta dice que si las poblaciones de ambas especies son destruidas a una razón proporcional a su tamaño poblacional, el promedio de las presas aumenta; mientras que el de los depredadores disminuye<br />Ésta ultima ley es conocida como El principio de Volterra y tiene importantes implicaciones en el uso de insecticidas que destruyen tanto a los insectos depredadores como a sus insectos presa. Es decir , si la proliferación de una plaga (presas) es controlada mediante procedimientos naturales por otra especie (depredadores) , existe cierto equilibrio entre ambas. Si, por otro lado, en cierto momento se decide la aplicación de un insecticida para acabar con la plaga sin tomar en cuenta que éste también mata a los depredadores; el resultado será- según el Principio de Volterra- que, en promedio, la plaga aumenta y, también en promedio, la especie con la que se controlaba disminuye.<br />Modelo de presa-depredador de Volterra con limitaciones de recursos para la presa.<br />Partiendo del modelo clásico de Volterra, desde un punto de vista cualitativo, se puede obtener un modelo para el cual la especie presa se alimente de un recurso existente en el ecosistema en cantidades limitadas, es decir, sería un modelo más realista que el anterior en el cual se considera que la especie presa se alimenta de un recurso existente en el ecosistema en grandes cantidades. Luego entonces el modelo sería:<br />x(t) = ax(t)- 2Ex(t)-bx(t)y(t) = f(x,y)<br />y(t) = -cy(t)+dx(t)y(t) = g(x,y)<br />Así, es necesario definir en primer lugar a y , como:<br />= {(x,y) a-Ex-by = 0} y = {(x,y) –c+dx=0}<br />donde los puntos de equilibrio son :<br />P = (0,0), P = (a/E,0) y P = (c/d,ad-cE/bd) = (x*,y*)<br />Y dependiendo de la disposición relativa de las rectas y será que el punto P tenga o no sentido, para lo cual hay tres posibilidades:<br /> <br />Para realizar un modelo de coexistencia, los dos últimos quedan excluidos, es decir, el único útil es aquél en el que la razón c/d es estrictamente menor que la capacidad de carga, a/E, de las presas en ausencia de los depredadores. Para obtener el comportamiento de las densidades poblacionales de presas y depredadores al transcurrir el tiempo en el caso de que el estado inicial sea cercano a los puntos P , P , P ; se recurre a realizar una linealización y después de varios operaciones se concluye que los tamaños poblacionales de presas y depredadores oscilan con amplitud decreciente tendiendo a x* y y* , respectivamente.<br />Así, se puede deducir que si (ad-cE) > 0 entonces la coexistencia entre presas y depredadores cuya dinámica está descrita por el sistema anterior, se da a través de la existencia de un atractor global.<br />Oscilaciones en modelos generales de Lotka-Volterra para dos especies.<br />Posteriormente , se llego a un sistema que generaliza los dos modelos anteriores, es decir :<br />x(t) = [b +a x(t)+ a y(t)]x(t)<br />y(t) = [b + a y(t)] y(t)]y(t)<br />donde dependiendo los signos que tengan los coeficientes a , serán los tipos de interacciones entre las dos especies.<br />Este modelo presenta la peculiaridad de que a través de él no puede ser modelada la coexistencia entre dos especies por medio de comportamientos aislados, es decir, tal sistema no posee ciclos límites.<br />DEFINICIÓN: CRECIMIENTO VEGETATIVO<br />El crecimiento vegetativo o natural de la población es la diferencia entre el número de nacidos y el número de fallecidos en un lugar durante un año, expresado normalmente en tantos por 100.<br />Es positivo cuando el número de nacidos supera al de fallecidos; es negativo cuando las muertes superan a los nacimientos.<br /> Nº de nacidos- Nº de defuncionesCrecimiento vegetativo = ------------------------------------------------ x 100 Nº de habitantes <br />Si al crecimiento vegetativo le sumamos la inmigración y le restamos la emigración, el resultado es el crecimiento real, que puede ser, igualmente, positivo o negativo.<br />En las sociedades históricas preindustriales, caracterizadas por unas altas tasas de natalidad contrarrestadas por otras igualmente altas de mortalidad, el crecimiento natural era muy bajo, situándose entre el 0,5 y el 1 %. En ello intervenían de manera decisiva las periódicas crisis de subsistencia que ocasionaban hambre y enfermedades de carácter epidémico, cuyo resultado era una mortalidad catastrófica. <br />El crecimiento natural (o vegetativo) es la diferencia entre el número de nacimientos y el número de defunciones de una población. Si el número de nacimientos es superior al número de muertes se dice que la tasa de natalidad es mayor a la de mortalidad, es decir la población aumenta; cuando las defunciones superan a los nacimientos la población disminuye. El crecimiento natural se calcula restándole a la tasa de natalidad la tasa de mortalidad de un país o un lugar determinado de la superficie terrestre. La tasa de crecimiento vegetativo se considera alta si supera el 4%, moderada si se encuentra entre el 1% y el 2%, y baja si es inferior al 1%. Para determinar el crecimiento de la población, los demógrafos y otros especialistas han utilizado las tasas de mortalidad y de natalidad es decir el número de nacimientos y de defunción por cada mil habitantes durante un año. Ambos indicadores constituyen lo que se conoce como crecimiento natural.<br />Los tipos de crecimiento natural son:<br />Crecimiento natural positivo: Se genera cuando hay más nacimientos que defunciones.<br />Crecimiento natural negativo: Se genera cuando hay mayor cantidad de defunciones que de nacimientos.<br />Crecimiento natural neutro: Se genera cuando hay la misma cantidad de nacimientos que de defunciones.<br />DEFINICIÓN: ESPECIE <br />En biología se denomina especie (del latín species) a cada uno de los grupos en que se dividen los géneros, es decir, la limitación de lo genérico en un ámbito morfológicamente concreto. En biología, una especie es la unidad básica de la clasificación biológica.<br />Una especie se define a menudo como grupo de organismos capaces de entrecruzar y de producir descendencia fértil. Mientras que en muchos casos esta definición es adecuada, medidas más exactas o que diferencian más son de uso frecuente, por ejemplo basado en la semejanza del ADN o en la presencia de rasgos local-adaptados específicos.<br />Los nombres de uso general para los taxa de la planta y del animal corresponden a veces a la especie: por ejemplo, “león,” “morsa,” y “árbol de alcanfor.” Pero no a menudo: por ejemplo, la palabra “ciervo” se refiere a una familia de 34 especies, incluyendo el ciervo eurasiático y el wapiti, que una vez fueron consideradas una sola especie pero que se ha encontrado que son dos.<br />Una definición apropiada de la palabra “especie” y métodos de confianza de identificar una especie particular es esencial para indicar y probar teorías biológicas y para la biodiversidad que mide. Tradicionalmente, los ejemplos múltiples de una especie propuesta se deben estudiar para los caracteres de la unificación antes de que pueda ser mirada como especie. Las especies extintas sabidas solamente de fósiles son generalmente difíciles de dar graduaciones taxonómicas exactas a. Una especie que se ha descrito científico se puede referir por sus nombres binomiales.<br />CONCEPTOS DE ESPECIE <br />Especie biológica (de Dobzhansky, 1935[3] y Mayr, 1942[4] ). Según este concepto, especie es un grupo (o población) natural de individuos que pueden cruzarse entre sí, pero que están aislados reproductivamente de otros grupos afines. Éste es el concepto más ampliamente aceptado y de mayor consenso, al menos entre los zoólogos. El asumir una especie como biológica, implica evolutivamente asumir que es una población reproductivamente aislada, por lo que constituye un linaje evolutivo separado y que es reforzado por una serie de barreras que pueden ser de carácter geográfico o biológico. La especie biológica es libre de seguir su propio curso en respuesta a los procesos genéticos e influencias ambientales que causan los cambios evolutivos. La connotación del concepto lo hace inaplicable a organismos fósiles, aunque lo mejor que se puede hacer en este caso es determinar si los vacíos morfológicos entre especímenes son tan grandes o más grandes que aquellos existentes entre especies vivientes que están reproductivamente aisladas. Este concepto tiene limitaciones respecto a organismos que se reproducen asexualmente (por apomixia: tipo de partenogénesis) algunas especies de rotíferos (organismos microscópicos), moluscos, artrópodos, vertebrados (algunos peces y lagartijas del género Cnemidophorus y Aspidoscelis Reeder 2002) y algunas plantas vasculares. Existen también muchos casos de hibridación en los que se produce descendencia fértil y que permanecen como unidades genéticas y evolutivas independientes. Este caso se da fundamentalmente en plantas vasculares en las que la hibridación es común. Para darnos una idea que pasaría si el concepto de especie biológica fuese aplicado a estos casos, debemos indicar que cada individuo debería ser considerado como especie biológica separada.<br />Especie evolutiva (de Wiley, 1978). Es un linaje (una secuencia ancestrodescendiente) de poblaciones u organismos que mantienen su identidad de otros linajes y que poseen sus propias tendencias históricas y evolutivas. Este concepto difiere del anterior en que el aislamiento genético actual más que el potencial, es el criterio para el reconocimiento de la misma. Y considera que ante la existencia de barreras geográficas o biológicas, el flujo genético entre las mismas será tan bajo que una divergencia genética (cladogénesis) se producirá. El concepto de especie evolutiva toma en cuenta que la evolución cladogenética puede ser reticulada. Esto significa que aquellas poblaciones que inicialmente se separaron y que comenzaron a divergir genéticamente, vuelven a juntarse truncando de esta manera el aislamiento y produciendo especies híbridas de las que emerge una nueva población que puede ser reconocida como unidad independiente. A la concepción evolutiva se le han opuesto también diversas objeciones: 1) sólo puede aplicarse a especies monotípicas, de modo que todo aislamiento geográfico debería ser tratado como una especie distinta; 2) no hay criterios empíricos que permitan observar tendencias evolutivas en el registro fósil; 3) la definición evolutiva no resulta práctica en la demarcación de las cronoespecies.<br />Especie morfológica. Según este concepto, cada especie es distinguible de sus afines por su morfología. El concepto morfológico de especie ha recibido numerosas críticas. En primer lugar, la definición morfológica no tiene en cuenta propiedades comportamentales y ecológicas. En segundo lugar, los caracteres morfológicos no siempre permiten reconocer a una especie: por un lado, existen numerosas especies distintas, especialmente entre los protozoos, que, sin embargo, son morfológicamente muy similares. Son las llamadas especies crípticas o “especies hermanas” (Mayr 1948); por otro, existen numerosos tipos morfológicos dentro de una misma especie, debido a variación genética individual (especies polimórficas) o al hecho de que pertenecen a distintas categorías biológicas, como la edad o el sexo.<br />Especie filogenética (de Cracraft, 1989). Este concepto reconoce como especie a cualquier grupo de organismos en el cual todos los organismos comparten un único carácter derivado o apomórfico (no presente en sus ancestros o afines). Si este concepto fuera utilizado rigurosamente, poblaciones locales aunque ubicadas cercanamente entre sí serían consideradas especies diferentes debido a que cada población puede tener variantes genético moleculares únicas.<br />Especie ecológica (de Van Valen, 1976). Según este concepto, especie es un linaje (o un conjunto de linajes cercanamente relacionados) que ocupa una zona adaptativa mínimamente diferente en su distribución de aquellas pertenecientes a otros linajes, y que además se desarrolla independientemente de todos los linajes establecidos fuera de su área biogeográfica de distribución. En este concepto, la concepción de nicho y exclusión competitiva son importantes para explicar cómo las poblaciones pueden ser dirigidas a determinados ambientes y traer como resultado divergencias genéticas y geográficas fundamentadas en factores eminentemente ecológicos. Al respecto, ha sido ampliamente demostrado que las diferencias entre especies tanto en forma como en comportamiento están a menudo relacionados con diferencias en los recursos ecológicos que la especie explota. El conjunto de recursos y hábitats explotados por los miembros de una especie constituye el nicho ecológico de esa especie y no de otra, por lo que visto de otro modo especie ecológica es un conjunto de individuos que explotan un solo nicho. Los grados de diferencia, en este sentido, estarán en función del grado de diferencia del nicho o la discontinuidad en el ambiente. Por ejemplo, parásitos emparentados entre sí y cuyo nicho se halla dentro del hospedero (endoparásitos) alcanzarán diferencias entre sí, en función a cuán diferentes son los hospederos en su morfología, hábitos, recursos, etc<br />ESPECIE CONOCIDAS<br />El número de especies es muy aproximado y varía según las fuentes. Las más recientes estimaciones abarcan un total entre 1,5 y 2 millones de especies. Las especies colocadas en la siguiente lista son especies conocidas y existentes actualmente, no se han incluido fósiles (pues podríamos añadir gran número principalmente de artrópodos, invertebrados menores, peces y reptiles).<br />Dominio Eukarya 1.980.000 <br />Reino animal 1.575.000. Por filos: <br />Porifera 5.500<br />Placozoa 1<br />Monoblastozoa 1<br />Rhombozoa 70<br />Orthonectida 20<br />Cnidaria 10.000<br />Ctenophora 100<br />Platyhelminthes 20.000<br />Nemertea 900<br />Rotifera 1.800<br />Gastrotricha 450<br />Kinorhyncha 150<br />Nematoda 25.000<br />Nematomorpha 320<br />Acanthocephala 1.100<br />Entoprocta 150<br />Gnathostomulida 80<br />Priapulida 16<br />Loricifera 10<br />Cycliophora 1<br />Sipuncula 320<br />Echiura 135<br />Annelida 16.500<br />Onychophora 110<br />Tardigrada 800<br />Mollusca 93.195<br />Arthropoda 1.156.000. De los cuales: <br />Insectos 1.037.000. Órdenes mayoritarios: <br />Coleopteros 360.000<br />Himenopteros 200.000<br />Quelicerados 76.000<br />Crustáceos 40.000<br />Miriápodos 2.500<br />Phoronida 20<br />Ectoprocta 4.500<br />Brachiopoda 335<br />Echinodermata 7.000<br />Chaetognatha 100<br />Hemichordata 85<br />Chordata 49.693. De los cuales: <br />Peces 22.000<br />Anfibios 4.000<br />Reptiles 6.500<br />Aves 9.672<br />Mamíferos 4.327<br />Reino vegetal 270 000 <br />Angiospermas 240.000<br />Gimnospermas 2.500<br />Pteridófitos 12.500<br />Briófitos 15.000<br />Reino hongos 54.000<br />Reino protistas 81.000 <br />Algas 33.000<br />Protozoos 35.000<br />Protohongos 13.000<br />Procariontes 4.450 <br />Dominio bacterias 4.000<br />Dominio arqueas 450<br />Cada año se describen alrededor de 10 000 nuevas especies, de las cuales, solo una decena son vertebrados, y, estadísticamente, sólo 0.4 anuales son Mamíferos.<br />Tamaño relativo de los grandes grupos de animales. <br />(Fuente de datos animales: Brusca, R.C. & Brusca, G.J. 1990. Invertebrates. Sinauer Associates, Sunderland.)<br />DEFINICIÓN: CRECIMIENTO<br />Se define como crecimiento al aumento irreversible de tamaño en un organismo, como consecuencia de la proliferación celular, misma que conduce al desarrollo de estructuras más especializadas del organismo, comenzando por las propias células y, pasando por tejidos, hasta llegar a órganos y sistemas. Estas estructuras, más desarrolladas, se hacen cargo de realizar el trabajo biológico más importante.<br />El crecimiento también se define como el aumento en el número de células de un organismo, lo que conlleva al aumento de tamaño. Es medible y cuantificable. El crecimiento se consigue por una doble acción: un aumento en el tamaño de las células del cuerpo, y un aumento en su número real.<br />Tanto el crecimiento como la división celular dependen de la capacidad de las mismas para asimilar los nutrientes que encuentran en el ambiente en que se desarrollan. Así, los alimentos son usados por el cuerpo para construir nuevas estructuras celulares.<br />El crecimiento es el proceso mediante el cual los seres vivos aumentan su tamaño y se desarrollan hasta alcanzar la forma y la fisiología propias de su estado de madurez (edad adulta).<br />Crecimiento es, también, el proceso cuantitativo expresado en los valores de las dimensiones corporales.<br />PROCESOS QUE PRODUCEN EL CRECIMIENTO <br />El crecimiento de los organismos se produce, en general, por medio de diferentes procesos, entre los que están:<br />El aumento en el número de células del cuerpo.<br />Por la adicción de nuevas estructuras en el organismo.<br />Por renovación del tejido que recubre al cuerpo, como el cambio o muda de piel en las víboras, el de plumaje en las aves o el de pelo en los mamíferos.<br />Por modificación de estructuras ya existentes (por ejemplo, el crecimiento del cuerno en un rinoceronte o las astas de un venado).<br />FACTORES EXTERNOS QUE AFECTAN EL CRECIMIENTO <br />Hay factores externos que pueden afectar a la célula en su crecimiento. Entre éstos se encuentran las hormonas, que aceleran o inhiben la división celular.<br />Cada especie tiene diversas características de crecimiento, dependiendo de la información genética e inclusive de la edad. En otras palabras, los vegetales y animales tienen un crecimiento limitado por la especie a la que pertenecen.<br />El crecimiento es una de las varias funciones reguladas por hormonas.<br />Hormona del crecimiento y otras hormonas importantes en el ser humano <br />Adrenalina o epinefrina. Se produce en la médula suprarrenal. Está muy ligada a la actividad del sistema nervioso. Actúa sobre el aparato circulatorio (acelera el ritmo del corazón y aumenta la presión arterial) y sobre el respiratorio (aumenta la frecuencia de las respiraciones). También tiene diversas acciones metabólicas; la más importante de éstas es que aumenta el nivel de glucosa circulante en la sangre. Esta hormona se produce por lo regular en estados de excitación (sustos, principalmente).<br />Aldosterona. Se produce también en las glándulas suprarrenales. Aumenta Ia retención general de sodio y agua en el organismo.<br />Corticosterona. Se produce en la corteza de las glándulas suprarrenales. Su función es acelerar el metabolismo general, estimulando Ia transformación de carbohidratos en glucosa.<br />Estrógeno. Se produce en los ovarios de la mujer. Tiene varias funciones, entre las que se encuentran el funcionamiento cíclico normal de los órganos sexuales femeninos y favorece el desarrollo de las glándulas mamarias y de las características femeninas generales.<br />Hormona adrenocorticotrópica u hormona adrenocorticotrófica o adrenocorticotropina o adrenocorticotrofina. Se produce en la hipófisis. Su función es estimular Ia producción de Ia hormona corticosterona o cortisona en la corteza suprarrenal.<br />Hormona del crecimiento o somatotropina o somatotrofina. Se produce en la hipófisis. Controla el desarrollo corporal y el crecimiento de los huesos.<br />Hormona folículo-estimulante u hormona estimulante del folículo (HFE). Se produce en la hipófisis. En los ovarios de la mujer estimula la ovulación y la producción de la hormona femenina llamada estrógeno. En los testículos, la acción de esta hormona favorece la producción de espermatozoides.<br />Hormona luteinizante (HL). Se produce en la hipófisis. Su función consiste en lograr que los ovarios produzcan la hormona progesterona, y en el varón impulsa que los testículos produzcan Ia hormona llamada testosterona.<br />Hormona paratiroidea o parathormona. Se produce en la paratiroides. Su función es mantener en la sangre las concentraciones normales de calcio y fósforo.<br />Hormona tirotrópica u hormona tirotrófica o tirotrofina o tirotropina. Se produce en Ia hipófisis. Su función es estimular la producción de la hormona tiroidea en la glándula tiroides.<br />Hormona tiroidea. Se conoce también como tiroxina. Se produce en la glándula tiroides y su función es acelerar el metabolismo nutritivo. Esto lo hace al estimular la velocidad de oxidación de Ia glucosa y, en las grasas, al disminuir su descomposición.<br />Insulina. Es producida por el páncreas. Su función consiste en mantener la concentración normal de la glucosa en la sangre, pues regula el metabolismo de los carbohidratos.<br />Noradrenalina o norepinefrina. También se produce en las glándulas suprarrenales. Está muy ligada a la actividad del sistema nervioso. Actúa sobre los aparatos circulatorio y respiratorio. También tiene diversos efectos metabólicos.<br />Oxitocina. Se produce en la hipófisis. Es la hormona que marca el final de la gestación, provocando contracciones uterinas en el parto. También estimula la contracción de la glándula mamaria para la salida de la leche.<br />Progesterona. Se produce en los ovarios y ayuda a la preparación y sostenimiento del útero durante el embarazo.<br />Testosterona. Se produce en los testículos; es la encargada de activar y mantener los caracteres sexuales externos masculinos.<br />Vasopresina. Se produce en la hipófisis. Esta hormona aumenta la tensión en las arteriolas y la retención de agua en los riñones.<br />Existen muchas enfermedades producidas por deficiencia o exceso de hormonas en el organismo. Por ejemplo: la diabetes, el bocio, el enanismo, el gigantismo, la obesidad, etcétera.<br />DEFINICIÓN: INDIVIDUOS<br />El término Individuo identifica a aquello que no se puede dividir. Un individuo es una unidad elemental de un sistema mayor o más complejo. Respecto de dicho sistema no tiene sentido algo menor que un individuo. Por ejemplo, respecto de una sociedad humana no tiene sentido algo menor que una persona.<br />En la palabra individuo si bien algunas veces significa quot;
una personaquot;
, más frecuentemente designa cualquier cosa numéricamente singular. quot;
Individuoquot;
, en cuanto elemento del vocabulario filosófico es un término muy usado que se suele encontrar en compañía de quot;
particularquot;
(de hecho muchas veces se trata como sinónimo de particular, aunque uno se pregunta si los particulares abstractos se pueden contar como individuos) y así se usa en contraposición con quot;
universalquot;
.<br />El individuo es una unidad, cada quien es un ser diferente que posee inteligencia.<br />Una famosa obra sobre los individuos y su individualización es la escrita por P. F. Strawson, Individuals: An essay in Descriptive Methaphysics (Londres: Methuen & Co.Ltd., 1959; Nueva York: Anchor 1963).<br />En la vida diaria un individuo es un conjunto de pensamientos y acciones que se considera como una entidad. Se suele considerar a un individuo responsable de sus acciones.<br />Pero no obstante sucede que después de accidentes y enfermedades que causaron daño cerebral, los pensamientos y acciones de un cuerpo se tornan tan drásticamente distintos que mucha gente no opina que este cuerpo mantenga al mismo individuo.<br />En el pasado las personas no se consideraban responsables por los daños causados en estado de ebriedad. Aparentemente se consideraba que en este estado el cuerpo no mantiene el mismo individuo que en estado sobrio.<br />Se puede suponer que la locura transitoria le puede suceder a cualquiera, y entonces el individuo normal es considerado ausente del cuerpo y por lo tanto no responsable.<br />Individuo (del latín in-dividuus, ‘no dividido’), cada ser concreto, indivisible en sí y separado de los demás. El individuo es el ser único en la particularidad de su existir. En sociología, es la persona considerada de forma aislada en relación con la sociedad. <br />Los individuos constan de distintas partes, se hallan en relación con el entorno y entre sí y se distinguen de los otros por tener cada uno su propio tiempo, espacio, origen y destino. Como ser único, el individuo contrasta con la pluralidad de seres únicos. <br />Aristóteles consideró al individuo como “sustancia primera”, a diferencia del género o especie, a los que denominó “sustancia segunda”. Para Aristóteles, cada individuo cuenta con un patrón o modelo innato cuya meta o ‘causa final’ es su pleno desarrollo. Heráclito mantuvo que la virtud ética consistía en la subordinación del individuo a las leyes de una armonía razonable y universal. Según Hegel, el individuo es íntegro sólo en la medida en que mantiene relaciones sociales y es su sometimiento a la voluntad general, cuya manifestación es el Estado, su más alta expresión ética. Para Martin Heidegger, sin embargo, el individuo está siempre en peligro de ser sumergido por el mundo de los objetos y el comportamiento superficial y convencional de la multitud. <br />Jacques Maritain, filósofo francés de este siglo, postuló una doctrina en la que establecía diferencias conceptuales entre individuo y persona. Según Maritain, “el hombre como individuo constituye un universo aparte y un todo independiente, y el hombre como persona es parte de la estructura social y está ordenado al bien común”. <br />CAPÍTULO II–MODELO DE “LOTKA VOLTERRA”<br />TÍTULO<br />Modelo de VOLTERRA1<br />DEFINICIÓN DEL PROBLEMA:<br />Se eximirá, sucesivamente, una serie de modelos tipo predador – presa. La finalidad básica de este problema es de ilustrar cómo la dinámica de sistemas puede en ocasiones proporcionar soluciones válidas (aunque aproximadas y particulares) a sistemas de ecuaciones diferenciales. Es por ello que analizamos el ejemplo de VOLTERRA, denominado “dos especies que se disputan el mismo alimento”. Se ha considerado tres supuestos: el primero VOLTERRA 1, es aquel en que la cantidad de alimento viene dada y no se agota.<br />VOLTERRA-1: Supongamos que, con alimento en cantidad suficiente para satisfacer completamente la voracidad de los individuos, las especies tienen coeficiente de crecimiento positivo, E1 y E2. Si nos colocamos ahora en el caso real de especies que viven en un medio delimitado, el alimento disminuirá cuando los números N1 Y N2, de individuos de cada especie, aumenten; y esto hará disminuir el valor de las tasas de crecimiento.<br />Si se representa el alimento devorado por unidad de tiempo por F(N1, N2), función que se anula cuando N1=N2=0, que tiende a infinito cuando N1 o N2 tienden al infinito y es creciente con una de las variables N1 y N2.<br />Los coeficientes de crecimiento disminuirán de acuerdo con una ley de tipo:<br />E1-L1*F(N1,N2)<br />E2-L2*F(N1,N2)<br />En donde E y L representa constantes positivas, corresponden a cada especie y a sus necesidades respectivas de alimentos.<br />DEFINICIÓN DE OBJETIVOS:<br />Encontrar la solución Matemática de dicho sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.<br />DEFINICIÓN DE VARIABLES: <br />Número de Individuos de la Especie 1<br />Número de Individuos de la Especie 2<br />Función Correctora de la tasa de crecimiento vegetativo<br />Crecimiento Vegetativo de la Especie 1<br />Crecimiento Vegetativo de la Especie 2<br />Tasa de Crecimiento Vegetativo de la especie 1<br />Tasa de Crecimiento Vegetativo de la especie 2<br />Tasa Máxima de Crecimiento Vegetativo Especie 1<br />Tasa Máxima de Crecimiento Vegetativo Especie 2<br />Unidad de alimentos especie 1<br />Unidad de alimentos especie 2<br />Necesidades alimenticias de la Especie 1<br />Necesidades alimenticias de la Especie 2<br />NºNOMBRE DE VARIABLEDEFINICIÓN DE VARIABLEACRÓNIMO DE VARIABLETIPOMEDIDA1Número de Individuos de la Especie 1Es una unidad elemental de un sistema denominado especie1.NI1NivelIndividuo de especie 12Número de Individuos de la Especie 2Es una unidad elemental de un sistema denominado especie2.NI2NivelIndividuo de Especie 23Función Correctora de la Tasa de Crecimiento VegetativoRepresenta el alimento devorado por unidad de tiempo.FN1N2AuxiliarIndividuo de especie 1 y 2/hora4Crecimiento neto de la Especie 1Aumento irreversible de tamaño en una especie 1.CE1FlujoIndividuo de especie 1/hora5Crecimiento neto de la Especie 2Aumento irreversible de tamaño en una especie 2.CE2FlujoIndividuo de especie 2/hora6Tasa de Crecimiento vegetativo de la Especie1Porcentaje de crecimiento de Especie1TCE1AuxiliarPorcentaje de individuo de especie1/hora7Tasa de Crecimiento vegetativo de la Especie2Porcentaje de crecimiento de Especie2TCE2AuxiliarPorcentaje de individuo de especie2/hora8Tasa máxima de crecimiento Vegetativo Especie 1Porcentaje máximo de crecimiento vegetativo de la especie 1E1Auxiliarindividuo de especie 1/hora9Tasa máxima de crecimiento vegetativo Especie2Porcentaje máximo de crecimiento vegetativo de la especie 2E2Auxiliarindividuo de especie 1/hora10Unidad de alimentos especie 1Valor que representa la cantidad de alimento por especie1.G1Auxiliar11Unidad de alimentos especie 2Valor que representa la cantidad de alimento por especie2.G2Auxiliar12Valor de la Necesidad alimenticia de la especie 1Valor que representa la necesidad de la especie 1L1Auxiliar13Valor de la Necesidad alimenticia de la especie 2Valor que representa la necesidad de la especie 2L2Auxiliar<br /> <br />RELACIÓN ENTRE LAS VARIABLES: MODELO “LOTKA VOLTERRA”<br />Numero de Individuos Especie 1Tasa de crecimiento Vegetativo de Especie1Crecimiento vegetativo Neto de la Especie 1Numero de Individuos Especie 2Tasa de crecimiento Vegetativo de Especie2Crecimiento vegetativo Neto de la Especie 2Función Correctora de la tasa de Crecimiento VegetativoUnidad de alimentos especie 1Unidad de alimentos especie 2Tasa máxima de crecimiento vegetativo Especie2Tasa máxima de crecimiento Vegetativo Especie 1Valor de la Necesidad alimenticia de la especie 1Valor de la Necesidad alimenticia de la especie 2+++++-+++++-+<br />FORRESTER DE MODELO “LOTKA VOLTERRA<br />FN1N2NI.1NI.1G1G2TCE1TCE2CN1CN2E1L1E2L2<br />IMPLEMENTACIÓN EN STELLA MODELO “LOTKA VOLTERRA”<br />N1N2L2<br />GRÁFICA EN STELLA MODELO “LOTKA VOLTERRA”<br />ESTRUCTURA MATEMÁTICA DEL MODELO “LOTKA VOLTERRA”<br />