mate

1. Aplicaciones de la Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Área Académica: Ingeniería Mecánica
Profesor(a): M. en C. Yira Muñoz Sánchez
Periodo: Enero – Junio 2015

2. Ecuaciones Diferenciales
Resumen
En este material se presenta el proceso general para solucionar
problemas reales de crecimiento y decrecimiento a través del
planteamiento del problema de valor inicial con ecuaciones
diferenciales de primer orden.
Abstract
This material presents the general process for resolving growth
and decay problems throgh inicial value problem with first
order differential equations.
Keywords: growth and decay, inicial value problem , rates of
first order differential equations.

3. Crecimiento
y Decrecimiento (Decaimiento)

4. Uno de los primeros intentos de modelar el crecimiento
demográfico humano lo hizo Thomas Malthus,
economista inglés en 1798.
La idea del modelo maltusiano es la hipótesis de que la
tasa de crecimiento de la población de un país crece en
forma proporcional a la población total, P(t) de ese país
en cualquier momento t. Es decir, mientras más
personas hayan en el momento t, habrá más en el
futuro.

5. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede
expresar:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= kP
donde k es una constante de proporcionalidad.
A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta
muchos factores (como la inmigración y emigración)
que pueden influir en las poblaciones humanas,
haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha
exactitud la población de EE.UU.

6. El problema del valor inicial
Donde k es una constante de proporcionalidad, y:
𝒙 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐭 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Se utiliza como modelo para diversos fenómenos relacionados
con el incremento o decremento.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝐤𝐱 𝒙 𝒕𝟎 = 𝒙𝒐

7. La constante de proporcionalidad 𝒌 se determina a
partir de la solución del problema de valor inicial, con
una medida posterior de 𝑥 en un tiempo 𝑡𝑛 > 𝑡0.

8. Ejemplos de algunos fenómenos (1):
BIOLOGÍA:
Tasa de crecimiento en poblaciones (bacterias, animales
pequeños, etc.) . La tasa es proporcional a la población
en un tiempo t.
Si se conoce la población en un tiempo inicial 𝑡0 se
puede conocer la población en un futuro (𝑡𝑛) para n>0.

9. Ejemplos de algunos fenómenos (2):
FÍSICA Y QUÍMICA:
Para una reacción de primer orden es decir, una reacción
cuya rapidez o velocidad
dx
dt
es directamente
proporcional a la cantidad x de sustancia que permanece
sin convertirse en el tiempo t.

10. Ejemplo 1:
En un principio, un cultivo al inicio tiene 𝐏𝟎 cantidad de
bacterias. En 𝐭 = 𝟏 𝐡 se determina que el número de
bacterias es
𝟑
𝟐
𝐏𝟎 . Si la rapidez de crecimiento es
proporcional al número de bacterias 𝑷(𝒕) presentes en el
tiempo 𝒕, determine el tiempo necesario para que se
triplique el número de bacterias.

11. (1) Ejemplo 1 (Solución):
Retomando:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘𝑥
Donde:
𝑥 = 𝑃
𝑡0 = 0, 𝑃(𝑡0) = 𝑃 0 = 𝑃0 = 0
𝑡 = 1 ℎ 𝑃(𝑡1) = 𝑃 1 = 𝑃1 =
3
2
𝑃0

12. (2) Ejemplo 1 (Solución):
Se deduce:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡
− 𝑘𝑃 = 0
ED Lineal de
Primer Orden

13. (3) Ejemplo 1 (Solución):
Por lo tanto:
𝜇 = 𝑒− 𝑘
𝑑𝑡
𝑡 = 𝑒−𝑘
𝑑𝑡
𝑡 = 𝑒−𝑘𝑡
𝑑
𝑑𝑡
[𝑒−𝑘𝑡
𝑃] = 0
𝑒−𝑘𝑡
𝑃 = 0 𝑑𝑡
𝑒−𝑘𝑡𝑃 = 𝑐

14. (4) Ejemplo 1 (Solución):
𝑃
𝑒𝑘𝑡
= 𝑐
𝑃 = 𝑃(𝑡) = 𝑐𝑒𝑘𝑡
𝑃0 = 𝑐𝑒0
𝑃0 = 𝑐

15. (5) Ejemplo 1 (Solución):
𝑃(𝑡) = 𝑃
0𝑒𝑘𝑡
𝑃(1) = 𝑃
0𝑒𝑘
3
2
𝑃0 = 𝑃0𝑒𝑘
𝑒𝑘 =
3
2
𝑘 = 𝐼𝑛
3
2
= 0.4055

16. (6) Ejemplo 1 (Solución):
Entonces:
𝑃(𝑡) = 𝑃
0𝑒0.4055𝑡
Para el tiempo que se ha triplicado en número de bacterias:
3𝑃0 = 𝑃0𝑒0.4055𝑡

17. (7) Ejemplo 1 (Solución):
Entonces:
0.4055𝑡 = 𝐼𝑛 3
𝑡 =
𝐼𝑛 3
0.4055
≈ 2.71 ℎ

18. Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial
Iberoamérica, Segunda edición.
Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial
Iberoamérica, Octava edición
Blanchard P., Hall G. R., Devaney R. L. , Ecuaciones Diferenciales, Edit.
Thomson.
Boyce, DiPrima, Ecuaciones Diferenciales con valores en la frontera,
Editorial Limusa,, 4ª edición.
Referencias