Modelos Dinamicos y poblacionales (modelación matemática)

Modelos
Dinámicos y
Poblacionales
Modelación Matemática – Sem II - 2015

Sistemas dinámicos y modelación de
“poblaciones”
• Población: Una colección de objetos contables (animales,
células, partes en una línea de producción, etc…)
• Este tipo de modelos no corresponde de manera rigurosa a
principios de conservación (aunque se pueden hacer
analogías con modelos compartiméntales…)
• Una población puede cambiar en el tiempo.
• En un sistema de estudio pueden existir más de una población
• La interacción entre poblaciones dicta el tipo de evolución del
sistema
• El conjunto de poblaciones nos define un punto n-dimensional:
x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

• Generalmente no se conoce x(t) directamente, pero si las
“fuerzas” que determinan la rata y dirección de cambio
• Escrito en forma explicita,
• Cualquier x(t) que satisfaga el anterior sistema es un SISTEMA
DINÁMICO. Puede pensar en algún punto “especial”?
ẋ = f(x)
dx1
dt
= f1(x1, . . . , xn),
dx2
dt
= f2(x1, . . . , xn),
.
.
.
dxn
dt
= fn(x1, . . . , xn),
Sistemas dinámicos y modelación de
“poblaciones”

Todos los organismos son afectados por
diversos factores que afectan el
crecimiento de la población. Los
cambios poblacionales dependen de
las tasas de “nacimientos” y “muertes”,
pero estas tasas a su vez pueden variar
según los recursos disponibles y o la
competencia por los mismos. También
las poblaciones pueden variar por
eventos externos (desastres naturales,
imprevistos en producción, cambios
ambientales, enfermedades o
invasiones de otras especies, etc.)
Evolución de poblaciones

Y en ingeniería? / Antecedentes
Los ingenieros dedicados a estudios ambientales modelan
diversos problemas que implican sistemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias no lineales. Ejemplos:
• Los modelos llamados depredador-presa ó modelos de
dinámica de poblaciones, que se utilizan en el estudio de
ciclos de nutrientes y contaminantes.
• Un modelo ”sencillo” para el estudio de la dinámica de los
fluidos en la atmosfera es el sistema de ecuaciones de
Lorenz. Usado para estudiar la contaminación del aire y el
cambio climático.

Y en ingeniería? / Antecedentes
Sistema de Ecuaciones de Lorentz

Algunos Modelos Poblacionales
Algunos de los modelos más reconocidos son:
• Producción estable
• Malthus (Sin limitante)
• Logístico (Medio con capacidad límitada)
• Gompertz (Crecimiento de tumor)
• Población simple (Caso general…)
• Lotka-Volterra (Mutua dependencia)
Algunos se verán con detalle en esta presentación

Modelo de producción constante
• Incremento estable del tamaño de la población.
• Ejemplos: Elementos de una línea de producción,
células T producidas por la médula ósea.
dx
dt
= C; x(0) = x0 ! x(t) = Ct + x0

Modelo de crecimiento de
población (Modelo de Malthus)
Hipótesis del modelo:
• Ratas de nacimiento y mortalidad son proporcionales al tamaño
actual de la población (factores de nacimiento y mortalidad).
• Factor de nacimiento (N) y factor de mortalidad (M) son
independientes del tamaño de la población.
• Los recursos del ambiente son ilimitados.
• Factores externos no afectan la tasa de crecimiento de la
población (N-M), por ej.: La concentración de desechos
metabólicos no influye en la tasa de crecimiento de la población.

Para el estudio de este modelo sólo se consideran los nacimientos
y las muertes. Estos son proporcionales a la población actual,
N = Factor de Tasa de Natalidad
M = Factor de Tasa de Mortalidad
N y M son constantes > 0 (positivas!)
Entonces la ecuación diferencial para el modelo de Malthus es de
la forma:
Modelo de Malthus

Desarrollando la ecuación diferencial para el modelo:
r = N - M
Rata o tasa intrínseca
de crecimiento
r es constante (en el caso simple) y depende de las características
biológicas de la población. Está en una unidad inversa del tiempo.
( ) rt
P t Ce
=
Condición Inicial:
( )
0
( ) o
r t t
P t Pe −
=
0 0 0
( )
t t t P
P
→ =
=
Modelo de Malthus
Solución general:

Grafica P vs t de tres soluciones posibles para el modelo de
Malthus, para un mismo valor inicial de la población,
correspondientes a valores de r positivo, negativo o nulo.
Modelo de Malthus

• Bajo condiciones dadas, la solución indica un crecimiento
exponencial incontrolado en el tiempo. Sin embargo, la
capacidad de abastecimiento de una población no es ilimitada
(recursos limitados).
• No se tiene en cuenta una dinámica de competencia entre los
individuos a medida que la población aumenta (competencia
por alimento, por pareja, etc).
• El modelo solamente tiene en cuenta la dinámica de una
población, pero no hay interacción con otras poblaciones que
interfieran en su desarrollo temporal (depredadores,
cooperadores, etc).
Limitaciones del modelo:
Modelo de Malthus

• El modelo de Malthus es útil para predecir de manera confiable
comportamientos de poblaciones individuales, aisladas, y a
corto y mediano plazo.
• La principal razón del crecimiento incontrolado de este modelo
es la simplicidad de la hipótesis que supone unas constantes
para las tasas de crecimiento y mortalidad.
• Algunas aplicaciones:
• En el estudio de colonias de bacterias
• Poblaciones de pequeños mamíferos
• Llegó a usarse para modelación de población humana.
Modelo de Malthus
Ventajas y aplicaciones del modelo:

• Este modelo pretende corregir la suposicion de recursos
inagotables.
• Con un sentido más realista, puede decirse que efectivamente
los recursos están limitados y que las poblaciones de ninguna
manera pueden crecer indefinidamente al ritmo malthusiano.
• Este es un modelo en el
que el crecimiento de una
población ejerce presión
sobre la tasa intrínseca de
crecimiento de la misma
población.
Modelo Logístico
(Malthus mejorado)

Hipótesis del modelo:
• Los recursos son limitados.
• La tasa de crecimiento se ve afectada por la densidad de
población.
• Las condiciones del medio de soporte se asumen constantes.
• El incremento en la densidad afecta igualmente a todos los
individuos (sin importar subgrupos dentro de a población, por
ejemplo: el grupo de edad)
Establece que el crecimiento de la población está limitado a un
valor de saturación (K). Se expresa como:
1
dP P
rP
dt K
⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
K = Capacidad de
soporte de población
del sistema
Modelo Logístico

Tiene unidades de tiempo. Puede considerarse como
el tiempo carácterístico del modelo. Por que?
Es la población límite y tiene unidades de población.
Si P K entonces dP/dt 0
Si P es pequeña la población tenderá esencialmente a un
crecimiento malthusiano.
Modelo Logístico

• El signo de la tasa de crecimiento dP/dt depende
del valor de P en relación a K.
• A medida que la población P(t) aumenta, el
término logístico se vuelve más grande que el
primero ya que algunos miembros de la población
interfieren con otros en una competencia de
recursos, lo que lleva a un cuello de botella,
controlado por el valor del parámetro K.
• La competencia disminuye el crecimiento neto
hasta que P(t) deja de crecer (valor de saturación
de la población). Este es el PUNTO DE EQUILIBRIO!
Bueno, uno de ellos!!!
Modelo Logístico

La solución analítica de este modelo es,
( )
1
)
(
0 −
+
= rt
rt
o
e
P
K
e
KP
t
P
Aplicaciones:
• Reproducción de bacterias
• Población de especies mamíferas
• Población humana.
1
dP P
rP
dt K
⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Modelo Logístico

K mayor que Po K menor que Po
Población
Tiempo
Población
Tiempo
Modelo Logístico

Modelos de dinámica de poblaciones
En 1914 se desata la Gran Guerra (1914-1918) entre los países aliados y el
Imperio Austro-Húngaro, Alemán y Otomano. Por temor a ataques en sus
puertos, Italia y el imperio Autro-Húngaro, siembran minas marinas cerca a sus
costas sobre el mar Adriático, lo cual reduce considerablemente la actividad
pesquera del sector. Finalizada la guerra y reactivada la pesca, se esperaba
un aumento apreciable en la productividad de esta actividad, sin embargo
se observó todo lo contrario.

Modelo de Lotka-Volterra
Un matemático Italiano, Vito Volterra en 1926 desarrolla un modelo
para explicar el fenómeno de reducción en la producción pesquera
después de la guerra, el cual sentó las bases de la demografía
matemática desarrollada más adelante por Alfred Lotka. Este
modelo poblacional se denomina el modelo de Lotka-Volterra o
modelo de depredador y presa.
En donde: y(t) y x(t) representan la población de Depredadores y
Presas, respectivamente.
• β y δ muestran las ratas de decrecimiento y crecimiento
de cada población en ausencia de la otra.
• α y γ muestran la forma como la interacción de las dos
especies influye en el crecimiento de las poblaciones.

Las hipótesis implícitas de este modelo:
• La especie depredadora se alimenta exclusivamente de la
especie presa.
• La población de presas se alimenta de un recurso que se
encuentra en el hábitat en grandes cantidades, el cual solo
interviene pasivamente.
• Ambas poblaciones son homogéneas, es decir, no intervienen
factores como la edad o el sexo.
• El ecosistema en donde se desenvuelven las dos especies es
cerrado y no se presentan migraciones.
• Las poblaciones están exentas de enfermedades u otras
causas de muerte masiva de presas y predadores.
Modelo de Lotka-Volterra

Modelo no lineal de Lotka-Volterra
¿Cómo solucionar este Sistema de ODE´s ?
¿Qué tipo de problema adicional genera la naturaleza no lineal de
las ecuaciones diferenciales involucradas?
¿Es simple encontrar una solución analítica para y(t) y x(t) ?
¿Qué métodos existen para acercarse a una solución de este
problema?

Solución sin solucionar el problema
• Los métodos más directos para conocer la
solución a este sistema, sin resolverlo
analíticamente son:
• Método gráfico (Retratos de fase, campos
direccionales, etc)
• Método numérico (Euler, Runge-Kutta, Adam-
Bashforth, etc)

Los Retratos de Fase: solución gráﬁca sin
solucionar el problema
Tomando por ejemplo el sistema:
Resulta natural la pregunta ¿para que condiciones de x y y las ratas
de crecimiento de la población se hacen nulas? Equivalente
matemáticamente a responder:

Espacio de Estado
Variables de Estado
Líneas Ceroclinas
Puntos de Equilibrio
Los Retratos de Fase: solución sin
solucionar el problema

Retrato de fase de un modelo
Depredador-Presa
Punto de
Equilibrio
Punto de
Equilibrio
Observe como el campo
vectorial obtenido sugiere
la forma de las familias de
funciones que satisfacen el
sistema de ODE´s.
Entonces, ¿Cómo es el
comportamiento de las
poblaciones x(t) y y(t) bajo
una condición inicial
dada?

Otros retratos de fase …
Nota: Obsérvese que
cada una de estas
ecuaciones no es
solucionable por
separado, se dicen
entonces que las dos
ecuaciones están
acopladas y se requiere
una técnica para la
solución simultánea del
sistema de EDO´s.

Trayectorias (o ﬂujos) en un modelo
Depredador-Presa
Condición Inicial
Interacción de las
poblaciones
Cada condición inicial
ofrece una Trayectoria,
cuando esta es cerrada se
denomina Ciclo (Órbita).
Un Ciclo indica que el
tamaño de las
poblaciones varia de
forma periódica.

Trayectorias (o ﬂujos) en un modelo
Depredador-Presa
Depredación

Retratos de fase :
Competencia entre especies
Competencia
de Especies

Retratos de fase:
Cooperación entre especies
Cooperación
entre Especies

… Y la solución del sistema ..?
La solución analítica de un sistema NL de ODE´s resulta compleja, así que
si se requiere observar la variación de cada Población en el tiempo [x(t) ,
y(t)], se necesita implementar un procedimiento numérico.
El Método de Runge-Kutta de cuarto orden es uno de los algoritmos
numéricos más empleados para aproximar una solución discreta de
[x(t) , y(t)].
Las expresiones del método de Runge-Kutta de cuarto orden son:

Método Runge-KuWa de cuarto orden
n = 0
n = 1
n = 2
n = ...
y1
y2
yn-1 yn
x1
x2
xn-1
xn
x0
y0

Solución al sistema Depredador-Presa

Efectos de interferencias externas
Se analizará ahora que efecto tendría una perturbación externa, tal como una
actividad de caza, sobre el comportamiento del sistema.
Se asume que la caza, tanto de
depredadores como de presas, es una
porción Γ de la población total en el
momento.
El punto de equilibrio ahora se define por:
El efecto de perturbar el sistema de forma lineal, resulta en un
desplazamiento del punto de equilibrio.

Efectos de interferencias externas

Análisis de estabilidad:
Linealización cerca a puntos de equilibrio
• Dos métodosde análisis de estabilidad son posibles:
Análisis explícito (o directo) y análisis por valores propios
• Ambos requieren de linealización del sistema original.
• El problema linealizado, permite preveer el tipo de
comportamiento en las regiones cercanas al punto de
equilibrio, así como la caracterización de la estabilidad
del mismo.
• Ejemplo con el modelo de Lotka-Volterra…

• Análisis explícito
(no es el único método!!!... Jacobiano!)
• 1. Encuentre los puntos de equilibrio:
• 2. Sustituya variables por variables perturbadas cerca al punto
de equilibrio:
• 3. Linealice el sistema, y exprese el sistema en forma matricial
• 4. Encuentre los valores propios de la matriz de coeficientes…

• Método usando el Jacobiano:
• (valores propios)
Hagamos este procedimiento
en clase…
= f
= g

Estabilidad y puntos de equilibrio
Nodos Estables
(sumidero)
Nodos Inestables
(fuente)
Puntos de Silla
Espirales Atractivas Espirales Repulsivas Centros
Puntos de equilibrio de sistemas no lineales se clasifican como:

Como ya se mencionó, los valores propio de la matriz A, definen el
comportamiento de las soluciones del sistema de ecuaciones
linealizado. De esta forma, a partir del conocimiento de estos valores
propios, se puede predecir el tipo de punto de equilibrio.
Nodos estables o sumideros
Clasiﬁcación de puntos de equilibrio
Este tipo de puntos de equilibrio se encuentran
con valores propios reales menores que cero.
Nodos inestables o fuentes
Este tipo de puntos de equilibrio se encuentran
con valores propios reales mayores que cero.

Puntos de silla
Este tipo de puntos de equilibrio se
encuentran cuando los valores propios son
reales, uno menor y otro mayor a cero.
Espirales atractivas o estables
Los comportamientos en espiral alrededor
de los puntos de equilibrio se encuentran
con valores propios complejos
conjugados . Las espirales
atractivas aparecen con términos reales
negativos . El sentido de la espiral lo
define el término complejo, con se
obtienen espirales horarias.

Espirales repulsivas o inestables
Las espirales inestables aparecen con
términos reales positivos . El sentido de
la espiral lo define el término complejo,
con se obtienen espirales horarias.
Centros
Los puntos de equilibrio denominados
centros, se asocian con soluciones
periódicas. Estos se localizan cuando los
valores propios son complejos conjugados,
sin parte real . El sentido de giro de la
órbita lo define el signo de la parte
imaginaria. Uno de los puntos de equilibrio
del problema de Lotka-Volterra es un
centro.

Limitaciones modelo de Lotka-Volterra
Al observar el comportamiento de especies en interacción, como el
lince y la liebre (snowshoe hare), se encuentra que ambas especies
tienen comportamiento oscilatorio. Sin embargo se nota que el ciclo
de crecimiento de los linces tiene picos máximos que preceden los
máximos poblacionales de las liebres, lo cual es un comportamiento
claramente contrario a lo que predice el modelo de Lotka-Volterra.
Pueden plantearse diversos
refinamientos al modelo básico
de Lotka-Volterra, uno de ellos
puede ser la inclusión de un
término de competencia entre
individuos de la población de
presas, con el fin de limitar el
crecimiento exponencial
ilimitado que muestran en
ausencia de depredadores.

Variación de modelo de Lotka-Volterra
Este término de competencia se introduce por medio del
término x2 en el siguiente sistema de ecuaciones:
El término ε define el tamaño máximo (K) de población x que
es capaz de soportar el ecosistema.

Volviendo al sistema de ecuaciones modificado, el punto de
equilibrio está definido ahora por (usando método con Jacobiano):

El polinomio característico permite encontrar los valores propios:
El discriminante de la ecuación arroja raíces imaginarias, con partes
reales negativas, por lo que se espera que alrededor de este punto
de equilibrio se presente un comportamiento en espiral estable. Lo
anterior se corrobora con el trazado del retrato de fase.

Limitaciones del modelo de Lotka-
Volterra
Un sistema no lineal de ecuaciones se considera estructuralmente
estable si en la vecindad de un estado estable se tienen estados
estables y el tipo de equilibrio no cambia en la zona cercana al
punto de equilibrio. En otras palabras si el modelo no cambia su
carácter en virtud de pequeñas perturbaciones.
El modelo modificado de Lotka-Volterra, aunque es
estructuralmente estable, no considera soluciones oscilatorias, de
modo que falla al simular los ecosistemas observados. Por el
contrario, el modelo original logra simular las oscilaciones en los
tamaños de las poblaciones, pero es un sistema estructuralmente
inestable, característica no deseada en este tipo de modelos.

Thomas Robert Malthus
población y su influencia sobre la mejora del futuro de la sociedad” (1798), se opuso al
optimismo de William Godwin y a la creencia en un progreso indefinido. En dicha obra,
Malthus expone su tesis demográfico-económica (en cierta forma, anticipada por
Condorcet) según la cual, si no hay ningún obstáculo que lo impida, la población crece
en una proporción geométrica, mientras que los recursos para su supervivencia sólo
crecen en proporción aritmética. No obstante, aunque las tesis de Malthus han sido
criticadas por un uso poco riguroso de los datos estadísticos y por haber reducido el
problema de la aparición de la pobreza a causas meramente demográficas sin haber
considerado otros aspectos sociales relevantes, en la actualidad se ha desarrollado una
revisión de sus tesis que han originado el neomalthusianismo.
(Dorking, 1766 - Bath, 1834) Thomas Robert Malthus, fue un
economista, demógrafo y pastor protestante inglés, estudioso de
la dinámica de poblaciones perteneciente a la corriente del
positivismo social utilitarista, considerado, junto con Adam
Smith y David Ricardo, uno de los fundadores de la economía
política clásica. Era su padre el excéntrico miembro de la clase
media alta inglesa, Daniel Malthus, amigo de Hume y fervoroso
admirador de Rousseau. En su obra fundamental, publicada
anónimamente, “Ensayo sobre el principio de

Vito Volterra
Su oposición al fascismo y el pretexto de su origen judío le supusieron la expulsión
de su cátedra y de las sociedades científicas italianas, si bien en 1936 el papa le
recibió en la Pontificia Academia de Ciencias. Exiliado a Francia hasta 1939, impartió
cursos en distintos países, entre ellos España.
Volterra desarrolló la solución de ecuaciones integrales de límites variables que lleva
su nombre, y en 1926, sobre un problema de poblaciones de peces, diseñó la
ecuación logística que serviría de base a Alfred J. Lotka (1880-1949) para desarrollar
la ley de crecimiento de dos poblaciones competitivas (por ejemplo, depredadores y
presas), expresada como sistema de doble ecuación diferencial (ecuaciones de Lotka-
Volterra). Sus Opere matematiche (Roma, 1954-62) se publicaron en 5 volúmenes.
(Ancona, 1860 - Roma, 1940), Catedrático de la Universidad
de Roma desde 1900, senador y presidente de la Accademia
dei Lincei, durante la I Guerra Mundial se alistó en el cuerpo
de Ingenieros, donde se interesó por la artillería aire-tierra,
asegurándose haber sido el primero que disparó desde una
aeronave.

Alfred Lotka
Fue el primero en intentar una integración de los sistemas ecológicos y económicos
en términos cuantitativos y matemáticos. Consideraba la totalidad del mundo de
componentes bióticos y abióticos en interacción como un sistema, donde todo estaba
vinculado entre sí y nada podía entenderse sin comprender el sistema total. Recalcó la
necesidad de verlo todo desde un punto de vista energético.
En su momento los planteamientos de Lotka tuvieron mucha influencia sobre
ecólogos como E. P. Odum, H. T. Odum y economistas como P. Sammuelson.
(Lemberg, 1880-Nueva York, 1949) Matemático y fisico-
químico estadounidense, nacido en Born en Lemberg,
Austria-Hungría. Especializado en estadística, se le
considera el fundador de la demografía matemática. Estudió
la evolución de las poblaciones y definió los conceptos de
población estable, población estacionaria y tasa de
crecimiento natural. Su obra más importante se titula Teoría
analítica de las asociaciones biológicas.

Anexo 1.
Herramientas para la
solución gráﬁca de
EDO’s no lineales

Métodos Gráﬁcos
vs. Métodos Numéricos
• Desafortunadamente, resulta imposible resolver
analíticamente la mayor parte de sistemas de ecuaciones
diferenciales no lineales
• Sin embargo, se puede obtener una solución a través de un
enfoque gráfico (campos direccionales) o un enfoque
numérico (método de Euler o Runge-Kutta, por ejemplo)
• Acá se discutirá solo el método gráfico

Método gráﬁco: Campo Direccional
• Se pide dibujar la gráfica de la solución del problema con
valor inicial:
• No se conoce una fórmula para la solución … ¿Cómo es
posible dibujar su gráfica?
• Observación: Pensar en lo que significa una ecuación
diferencial.
y' = x+y y(0) = 1

• La ecuación diferencial dice que la pendiente en
cualquier punto de la curva solución es igual a la suma de
las coordenadas x y y del punto.
'
y x y
= +
( , )
x y

• En particular, debido a que la curva pada por el punto , su
pendiente debe ser . Por consiguiente, una pequeña
porción de la curva solución cercana al punto parece un
corto segmento rectilíneo que pasa por con pendiente 1.
(0,1
)
' 0 1 1
y = + =
(0,1
)
(0,1
)

• Como guía para dibujar el
resto de la curva se traza
varios segmentos rectilíneos
cortos en diversos
puntos , con
pendiente . El resultado
se conoce como campo
direccional.
x y
+
( , )
x y

• Por ejemplo, el segmento
rectilíneo en el punto
tiene la pendiente .
El campo direccional
permite visualizar la forma
general de las curvas
soluciones, al indicar la
dirección en que las
curvas avanzan en cada
punto.
(1
,2)
1 2 3
+ =

• Ahora se puede dibujar la
curva solución que pasa
por .
• Se traza la curva de
modo que sea paralela a
segmentos rectilíneos
cercanos.
(0,1
)

En general, suponga que se tiene una ecuación diferencial de primer
orden de la forma:
donde es alguna expresión en y . La ecuación diferencial
expresa que la pendiente de la curva solución en un punto de la
curva . Si se trazan segmentos rectilíneos cortos, con pendiente
, en varios puntos , esto se llama campo direccional o
campo de pendientes. Los segmentos indican la dirección hacia la
que una curva solución apunta.
' ( , )
y F x y
=
( , )
F x y x y
(x,y )
( , )
F x y
( , )
F x y (x,y )

Procedimiento General para
1.Seleccione un cuadrante del plano cartesiano X-Y en el cual pueda
visualizar el campo de pendientes.
2.Subdivida la región rectangular en un cuadrilátero de puntos (x,y)
igualmente espaciados. El número de puntos en la dirección x y la
dirección y puede ser diferente.
3.En cada uno de estos puntos (x,y) determine el valor numérico de F(x,y)
y dibuje un segmento de recta corto en (x,y) con pendiente F(x,y).
=
' ( , )
y F x y

a. Dibuje el campo de direcciones para la ecuación diferencial:
b. Aplique el resultado del inciso (a) para dibujar la curva solución
que pasa por el origen.
La siguiente tabla muestra la pendiente en varios puntos.
2 2
' ( , ) 1
y F x y x y
= = + −

Ahora , se traza segmentos
rectilíneos cortos con
pendientes en estos puntos. El
resultado es el campo
direccional.
E n t r e m á s s e g m e n t o s
rectilíneos se trace en un
campo direccional, más clara
se vuelve la imagen.

b. Se parte del origen y se
desplaza hacia la derecha en la
dirección del segmento
rectilíneo, el cual tiene
pendiente -1. Se continua el
trazo de la curva solución de
forma que se mueva de forma
paralela a los segmentos
rectilíneos cercanos. Se vuelve
al origen y se dibuja la curva
solución que aparece a la
izquierda.

El trazo a mano de un campo de direcciones es directo pero tarda
demasiado; probablemente es una de esas tareas delas que se puede
estar orgulloso por hacerla una o dos veces en la vida, pero en general
se realiza de manera más eficaz por medio de un software.
En Matlab, el campo direccional se genera con el comando quiver,
pero este a su vez requiere los datos de las derivadas direccionales en
cada punto de la matriz Z – meshgrid - o los valores de la función.
En Mathematica…..
USO DE SOFTWARE

USO DE SOFTWARE
Ecuación diferencial:
Primero se debe generar la matriz Z:
x =[-2:.2:2];
y = x;
[xx, yy] = meshgrid(x,y);
Z =(yy.^3 - 3*yy)./(1+xx.^2);
f’(x, y) = (y3 − 3y)/(1 + x2)

USO DE SOFTWARE
Después de haber generado la matriz Z es necesario construir dos
matrices, Fx y Fy, cuyos elementos sean los valores de las derivadas
direccionales de la función en los puntos en que fue evaluada; esto se
logra mediante el comando:
finalmente, con la instrucción:
quiver(Fx,Fy);
Se obtiene la siguiente gráfica:
[Fx, Fy]=gradient(Z);

USO DE SOFTWARE
f’(x, y) = (y3 − 3y)/(1 + x2)

ISOCLINAS – Líneas iso-contorno
Dada la ecuación diferencial:
Cualquier miembro de la familia de curvas , donde c es una
constante , se llama isoclina o curva de nivel. Los elementos
lineales trazados por puntos sobre una isoclina especifica, por
ejemplo , tienen la misma pendiente .
Las isoclinas nulas, o curvas con inclinación cero de la ecuación
diferencial, están definidas por . Puede tener interés
identificar la isoclina para la pendiente 0, pues las soluciones
tendrán generalmente un máximo o un mínimo al pasar por esta
isoclina.
' ( , )
y F x y
=
( , )
F x y c
=
1
( , )
F x y c
= 1
c
( , ) 0
F x y =
Método gráﬁco: Isoclinas

Representar las isoclinas o curvas de nivel de la ecuación diferencial :
[x,y]=meshgrid(0:0.05:3,-2:0.05:2);
z=x+y.^2;
isoclinas=contour(x,y,z,20)
2
' ( , )
y F x y x y
= = +
Método gráﬁco: Isoclinas

Representar las isoclinas o curvas de nivel (3D) de la ecuación
diferencial :
[x,y]=meshgrid(0:0.05:3,-2:0.05:2);
z=x+y.^2;
isoclinas=contour3(z)
2
' ( , )
y F x y x y
= = +

Anexo 2.
Herramientas para la
solución numérica de
EDO’s no lineales

… Y en cuanto a la solución del sistema ..?
Una ecuación diferencial puede tener una solución aun cuando no sea
posible obtenerla en forma analítica, es decir, desarrollando algunos
procedimientos para obtener soluciones explicitas e implícitas.
Los métodos numéricos permiten “resolver ” la ecuación diferencial
de forma aproximada. Esto significa que la ecuación diferencial se
utiliza como el principio básico de un algoritmo para aproximar la
solución desconocida.

Usando la Recta Tangente
Suponga un problema de valor inicial:
Una manera de aproximar esta solución es usar rectas tangentes.
Puesto que la ED no lineal en este PVI no se puede resolver
analíticamente., pero se puede encontrar los valores numéricos
aproximados de la incógnita y(x).
Se desea conocer el valor de y(2,5).
2
0.1* 0.4*
(2) 4
y y x
y
ʹ = +
=

El PVI tiene una solución,
el campo de direcciones de
la ED sugiere que una
curva solución debe tener
una forma similar a la
curva que se muestra en
azul.

La curva solución pasa por el
punto inicial (2,4), el elemento
lineal en este punto es una recta
tangente con pendiente dada
por:
2
0.1* 4 0.4*(4)
(2,4)
(2,4) 1.8
f
f
+
=
=
Curva Solución
(2,4)
Pendiente
m=1.8

Utilizando el punto inicial (2,4),
la pendiente f(2,4)=1.8 del
elemento lineal, y la forma del
punto pendiente de una recta, se
encuentra una ecuación de la
recta tangente:
1.8* 0.4
( )
L x x +
=
Curva Solución
(2,4)
Pendiente
m=1.8

Esta última ecuación se llama
linealización de y(x) en x=2,
que se puede utilizar para
aproximar los valores dentro de
una pequeña vecindad de x=2 Curva Solución
(2,4)
Pendiente
m=1.8

Método de Euler
Para generalizar el procedimiento anteriormente descrito se parte
del PVI:
Para aproximar la solución, se utiliza la linealización de una
solución para la incógnita y(x) en x=x0:
0 0
( , ),
( )
y f x y
y x y
ʹ =
=
0 0 0 0
( ) ( , )( )
L x y f x y x x
= + −

Método de Euler
La grafica de esta linealización es una recta tangente a la grafica de
y = y(x) en el punto (x0, y0). Si h es un incremento positivo del eje x,
entonces, entonces sustituyendo x por x1= x0 + h.

Método de Euler
Se tiene:
o
donde
El punto (x1,y1) en la recta es una
aproximación del punto (x1,y(x1))
sobre la curva solución.
1 1
( )
y L x
=
1 0 0 0 0 0
1 0 1 1
( ) ( , )( )
* ( , )
L x y f x y x h x
y y h f x y
= + + −
= +

Método de Euler
La precisión de la aproximación:
o
depende del incremento h.
1 1
1 1
( ) ( )
( )
L x y x
y y x
≈
≈

Método de Euler
Se repite el proceso usando una segunda “recta tangente” en (x1,y1) – no es
una recta tangente real, ya que este punto está sobre la primera recta tangente
y no sobre la curva solución-. Ahora, el nuevo punto inicial es (x1,y1) en lugar
de (x0,y0), así se obtiene una aproximación para:
2 2 2 2
( ) ( ) ó ( )
L x y x y y x
≈ ≈

Método de Euler
Continuando de esta manera, se ve
que y1, y2, y3, … , yn, se puede
definir recursivamente mediante la
formula general:
donde:
Este procedimiento de uso sucesivo
de las “rectas tangentes” se llama
Método de Euler.
1 * ( , )
n n n n
y y h f x y
+ = +
0 * , 0,1,2...
n
x x n h n
= + =

Método de Euler
Ejercicio.
Considere el problema de valor inicial:
Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y(2.5)
usando primero h=0.1 y después h=0.05.
2
0.1* 0.4* , (2) 4
y y x y
ʹ = + =

Método de Euler
Solución:
se tiene que:
por lo tanto:
para h=0.1, x0=2, y0=4 y n=0 encontramos:
2
( , ) 0.1* 0.4*
f x y y x
= +
2
1 * 0.1* 0.4*
n n
y y h y x
+
⎡ ⎤
= + +
⎣ ⎦
2
1
2
1
1
(2.1) * 0.1* 0.4*
(2.1) 4 0.1* 0.1* 4 0.4*(2)
(2.1) 4.18
n
y y h y x
y
y
⎡ ⎤
= + +
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= + +
⎣ ⎦
=

Método de Euler
Solución:
Para el segundo paso se
h=0.1, x1=2.1, y1=4.18 y n=1 encontramos:
2
2 1
2
2
2
(2.2) * 0.1* 0.4*
(2.2) 4.18 0.1* 0.1* 4.18 0.4*(2.2)
(2.2) 4.3768
y y h y x
y
y
⎡ ⎤
= + +
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= + +
⎣ ⎦
=

Método de Euler
Solución:
Resumiendo en una Tabla:

Método de Euler
En el anterior ejemplo se calcularon los valores verdaderos o reales de
la solución conocida :
El error absoluto se define como:
y el error relativo y el error relativo porcentual son,
respectivamente:
2
0.1( 1)
x
y e −
=
valor real valor aproximado
−
x 100
error absoluto error absoluto
valor real valor real

Método de Euler
La solución numérica de la ED implica dos tipos de error
1. Error de truncamiento, o de discretización, originados por la naturaleza
de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
2. Error de redondeo, causado por el número limitado de cifras
significativas que una computadora puede retener.
Los errores de truncamiento se componen de dos partes, la primera es un
error de truncamiento local que resulta de la aplicación del método
considerado, en un solo paso. La segunda es un error de truncamiento
propagado, que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos
previos. La suma de los dos se conoce como error de truncamiento global o
total.

Observación
El método de Euler es solo uno de los diferentes métodos en los que se puede
aproximar una solución de una ecuación diferencial.
Existe otro método, probablemente uno de los procedimientos numéricos mas
populares, así como más preciso, usado para obtener soluciones aproximadas
para un problema de valor inicial, es el método de Runge-Kutta de cuarto
orden.

Método de Runge-Kutta
En esencia, los métodos de RK son generalizaciones de la formula
básica de Euler, en donde la función pendiente f se reemplaza por un
promedio ponderado de pendientes en el intervalo
Es decir,
Promedio ponderado
1
n n
x x x +
≤ ≤
( )
1 1 1 2 2
* ...
n n m m
y y h wk w k w k
+ = + + + +

Método de Runge-Kutta
En la anterior ecuación wi, i=1,2,…,m son constantes que
generalmente satisfacen:
Para cada ki , i=1,2,…,m, es la función f evaluada en un punto
seleccionado (x,y) para el que:
Donde las ki se definen recursivamente. El numero m se llama orden
del método. Si se toma m=1, w1=1 y k1=f(xn, yn), se obtiene la formula
de Euler.
1 2 ... 1
m
w w w
+ + + =
1
n n
x x x +
≤ ≤

Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden
El conjunto de valores usado con más frecuencia para los parametros
produce el siguiente resultado:
( )
1 1 2 3 4
1
2 1
3 2
4 3
* 2 2
6
( , )
1 1
( , )
2 2
1 1
( , )
2 2
( , )
n n
n n
n n
n n
n n
h
y y k k k k
k f x y
k f x h y hk
k f x h y hk
k f x h y hk
+ = + + + +
=
= + +
= + +
= + +

Ejercicio.
Use el método de R con h=0.1 para obtener una aproximación a y(1.5)
para la solución de
2 ,
(1) 1
y xy
y
ʹ =
=

Solución.

Anexo 3.
Modelo de Malthus
modiﬁcado

El desarrollo de modelos que describan la dinámica de poblaciones, es un
campo muy activo dentro de diferentes ramas del conocimiento, como
economía, ecología, sociología, etc. Dos modelos básicos que intentan
explicar el crecimiento de una población son:
Modelo de Malthus modiﬁcado
Modelo exponencial o de
Malthus
Modelo de Logístico o
de Verhulst
Un modelo más elaborado puede ser desarrollado a partir de una definición
de la producción agregada Y(t), por ejemplo la función de producción de
Cobb-Douglas:
donde A >0 denota un nivel de desarrollo tecnológico y T >0 describe la
cantidad de tierra cultivable (o el capital, en cuyo caso N(t) representa el
nivel de empleo).

Así que el ingreso per-cápita puede ser expresado como:
Por otro lado la rata de variación de la población en el tiempo puede ser
expresada como un balance entre la tasa de nacimientos y muertes en la
población.
con Cb >0 y Cd >0. Así que la expresión para la tasa de crecimiento de la
población se puede plantear como:

Esta es una EDO de primer orden, no
lineal y homogénea; la cual cae dentro de
la forma de la Ecuación de Bernoulli.
Un análisis simple de las anteriores ecuaciones, permite observar que para
que se presente una condición de crecimiento nulo en la población:
Estos valores de ingreso per-cápita y tamaño de población, definen la
condición de equilibrio.
Ejemplo: Considérese el caso de una población para la cual se ha logrado
establecer una tasa de natalidad Cb=0.07, un valor para el cociente
CdT-α/A=0.00002 y α=0.5. Si el tamaño inicial de la población es igual a
100000 hab., como se comporta el tamaño de la esta población en el
tiempo.

El EDO que modela el problema
es:
haciendo el reemplazo:
Ecuación que es lineal y
fácilmente solucionable.

Observe que todo problema de valor
inicial asociado a esta ED converge a
la misma condición estacionaria. Una
p e r t u r b a c i ó n s o b r e s i s t e m a
estacionario que lleve, por ejemplo, el
valor de población por encima del
punto de equilibrio, hace que se
produzca una intensidad menor de
tierra (o capital) por persona,
reduciendo el valor de ingreso per
cápita, aumentando la rata de
muertes, lo que para una condición de
equilibrio se traduce en un
crecimiento de población negativo.

En cuanto a la solución de la ecuación no lineal original:
nuevamente se puede recurrir a la formulación de Runge-Kutta de cuarto
orden:

Anexo 4.
Ecuaciones Autónomas

Ecuaciones diferenciales ordinarias
(EDO´s) autónomas
Esta clasificación es de importancia particular en la investigación
cualitativa de ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial
ordinaria en la que la variable independiente no aparece de manera
explícita es autónoma. Si el símbolo x denota la variable
independiente, entonces una ecuación diferencial de primer orden
autónoma se puede escribir como:
' ( )
dy
y F y
dx
= =

Ecuaciones diferenciales ordinarias
(EDO´s) autónomas
Se supone que la función F y su derivada F’ son funciones continuas
de y en algún intervalo I. Las ecuaciones de primer orden:
Son autónoma y no autónoma, respectivamente.
2
' 1 ' 0.2
( ) ( , )
dy dy
y y y x y
dx dx
F y F x y
= = + = = ∗ ∗
↓ ↓

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