Presentación para apoyo sobre el campo de los números reales

1. Apoyo realizado por Cecilia García Fierro
campus Chihuahua
Campo de los números reales

2. Naturales
 Los números naturales son los números
que utilizamos para contar, estos son:
{1,2,3,4,5,6,7,8, … }.
 Los puntos suspensivos indican que los
números continuan de esa forma, sin
terminar nunca.

3. Números naturales
 Fueron los primeros números que se
utilizaron para contar cosas.
 Se representan por la letra N
 La cantidad de números naturales es infinita
 En la época de Pitágoras se utilizaban
solamente los naturales.

4. Números cardinales
 Si sumamos dos números naturales
obtenemos otro número natural, por ejemplo:
8 + 5 = 13.
 Pero si restamos 5 – 5 , necesitamos otro
número que represente el resultado. Ese
número es cero.
 Este conjunto es el conjunto de los números
cardinales
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,…}.

5. Números enteros
 En el diario vivir se
escuchan expresiones
como: “ 10 grado bajo
cero”, “647 de deuda”,
“8 pies bajo el nivel del
mar”.
 Estas tres expresiones
se refieren a números
menores que cero.
Con estas situaciones
surgen los enteros
negativos.
 Los enteros negativos,
el cero y los números
naturales (también
conocidos por enteros
positivos) forman el
conjunto de los
números enteros,
estos son {…,-4,-3,-2,-
1,0,1,2,3,4,…}.

6.  Los números positivos
indicarían:
 hacia la derecha
 hacia adelante
 al norte del Ecuador
 tiempo posterior al
despegue
 sobre el nivel del mar
 temperatura sobre cero
 tengo dinero

 Los números negativos
indicarían, en
 hacia la izquierda
 hacia atrás
 al sur del Ecuador
 tiempo anterior al despegue
 bajo el nivel del mar
 temperatura bajo cero
 debo dinero

7. Datos sobre los enteros
 Se representan por la letra Z. La denominación
proviene de Zahl, número en alemán.
 El cero lo inventaron los indios (India) por el año
500, los indios denominaron a este símbolo sunya,
que quiere decir "vacío". Los árabes, que tenían
relaciones comerciales con la India, aprendieron la
numeración india y la divulgaron, posteriormente, a
Occidente. Los árabes lo denominaron céfer, que en
su idioma quiere decir "vacío". Esta palabra dio
origen a las palabras castellanas cero y cifra.

8. Números racionales
 Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros
siempre se obtiene otro número entero.
 Pero si dividimos dos enteros no siempre
obtendremos otro entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 =
8 pero en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero.
 Existen muchas divisiones donde el resultado
no es un entero. Esta situación nos lleva a otro
conjunto numérico conocido por los números
racionales.

9. Números racionales
 Los números racionales son todos aquellos
números que se pueden escribir de la forma
a/b donde b es diferente de cero. Los
números naturales, los cardinales y los
enteros son números racionales.
 Se les denomina con la letra Q
....33333.0,
100
6
,25.1,25,
4
3
2,
8
7
,
4
5


10. Número racional
 Un número racional puede representarse de dos
formas: mediante una expresión decimal exacta o
periódica o mediante una fracción.
 5 puede representarse como 5/1
 .25 puede representarse como ¼
 puede representarse como 1/33....3333.0 
Recuerda:
Enteros, fracciones, decimales
exactos, decimales periódicos
son racionales

11. Números irracionales
 Existe otro conjunto de números que que son
los números irracionales, estos son
números que no son racionales, esto es, que
no se pueden expresar de la forma a/b
donde b es diferente de cero. Ejemplos: √2 =
1.414213562… es un número irracional y π
= 3.14157…
El primer número irracional que se 'descubrió'
fue √2 y el segundo π

12. Números irracionales
 Son números decimales que no pueden
representarse en forma decimal exacta o
decimal periódica.
 34.64748….
 2.57534573….
3 5 
Los decimales son infinitos,
no periódicos

13. Números reales
 Luego el conjunto de números que consiste
de todos los números racionales y todos los
números irracionales se conoce como el
conjunto de los números reales.
 Descartes fue el primero que utilizó este
término en 1637.

14. Cuadro sinóptico
cero
Negativos
Enteros
Fracciones
Racionales
Irracionales
Reales
cardinales
naturales

15. Diagrama de Venn

17. Recta numérica
 Es posible establecer una correspondencia entre los números
reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente
manera.
 Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para
representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para
representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en
segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de
cero a uno, para así representar los números enteros, los
números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los
números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero.

18. origen

19.  Representa en la recta numérica los números
6/5 y -7/2
6/5=1.2 y -7/2=-3.5

20.  En la recta numérica los números racionales
positivos se colocan a la derecha del cero

21.  Y los racionales negativos se colocan a la
izquierda del cero

22.  Para incluir un punto ponemos una burbuja
llena. Para excluir un punto ponemos una
burbuja vacía.
 Ejemplo: números reales mayores que -2 y
menores o iguales a 5.

23.  Representa en la recta los números que son
menores o iguales a 3
 ¿Qué números están representados en la siguiente
recta numérica?
Los números que están entre -1 y 1 o mayores que 2

24.  Dibuja en la recta numérica todos los
números reales excepto el -1 y el 2

25. Representa en la recta los siguientes
intervalos
 (2,5]
 (- ,3]

26. ¿Cómo es la notación de intervalo?

27. Completa la siguiente tabla
Recta numérica Notación
intervalo
Notación de
conjunto
{1,2,3}

28. Desigualdad Notación de Intervalo Notación de Conjuntos
a < x < b (a, b) {x  R : a < x < b}
a < x  b (a, b] {x  R : a < x  b}
a  x < b [a, b) {x  R : a  x < b}
a  x  b [a, b] {x  R : a  x  b}
x > a (a, ) {x  R : x > a}
x  a [a, ) {x  R : x  a}
x < b (, b) {x  R : x < b}
x  b (, b] {x  R : x  b