Caja de cartón volumen máximo

CECYTEJ
Cuaderno de Trabajo
deMatemáticas Aplicadas
6to
Semestre
Alumno: __________________________
Grado y Grupo: ___ Especialidad: _____________

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco
CECyTEJ #11
2
Primer Parcial
Secuencia 1. Actividad I
Integrar equipos de 5 para que resuelvan la siguiente actividad: Un fabricante desea hacer cajas sin tapa
para envasar su producto. Para esto hará uso de piezas rectangulares de cartón de 12 x 18 centímetros,
cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas, y doblando por las líneas punteadas. Encuentra la
longitud del lado del cuadrado que será recortado en cada esquina (“x”), si se quiere obtener una caja que
encierre el mayor volumen posible.
1. Cada integrante del equipo se designa con las
letras (A, B, C, D o E) y recorta un rectángulo de
12 X 18 cm en papel bond.
2. Con cada rectángulo de papel se hará una caja
sin tapa, recortando cuadrados de igual tamaño
en las esquinas y doblando las cejas para formar
los lados, de acuerdo con el dibujo y cuadro
siguiente:
3. ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de
una caja como la planteada en el problema?
V =_________________________________
4. Si llamamos a x a la longitud del lado del
cuadrado que se va a cortar, cuales son las
dimensiones de la caja expresadas en términos
de x.
Largo:______, Ancho:_______, Altura:______
5. La representación algebraica del cálculo del
volumen de la caja expresada para cierto valor
de x será:
V(x) =_______. Esta fórmula se conoce como
modelo matemático del problema o función del
problema.
6. Cada alumno debe calcular el volumen de la caja
elaborada y completará la tabla con los datos de
los integrantes del equipo.
7. De los valores enlistados en la tabla anterior,
¿Qué alumno tiene la caja con mayor volumen?
_____________________________
8. De todos los valores posibles de x, ¿El que
seleccionaste en la pregunta anterior es la caja
de mayor volumen que se puede construir? ___
9. Si piensan que existe una mejor opción, ¿entre
que valores de x se encuentra? ___________
10. Probemos con otros valores de x, utiliza la
siguiente tabla para encontrar mejores
aproximaciones del volumen máximo, si es que
las hay.
11. De los valores enlistados en la tabla anterior,
¿Cuál es la mejor opción? _______________
12. De todos los posibles valores de x que existen,
¿está es la mejor?____________________
13. Entre todos los alumnos construyen y calculan
el volumen de las cajas con las siguientes
alturas:
a) para x = 6, ¿cuánto vale V? V = ____ cm3
.
b) para x = 0, ¿cuánto vale V? V = ____ cm3
.

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3
Secuencia 1 Actividad II
Razonamiento Aritmético Lógico
1. En cada línea hay tres números, que con simples operaciones matemáticas tienes que conseguir que el resultado
siempre sea seis. Las operaciones que se pueden usar son las normales en una calculadora científica:
Por ejemplo:
Aritmética
2. Una ración de pescados contiene 20 gramos de proteína y corresponde al 500% de los requerimientos diarios de
un adulto. ¿Cuál es el requerimiento diario de proteína de un anciano?
3. El precio de trigo aumento de $85 a $100 el kilogramo. ¿Qué porcentaje aumentó?
4. Un ciclista que va a 60 m/s, recorre una pista en 8 minutos, ¿Qué distancia recorrerá?
5. ¿Qué cantidad se obtiene al resolver la siguientes operaciones y ?

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4
6. ¿Cuál es la fracción equivalente de:
a.
b.
c.
d.
7. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones de fracciones?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
8. Resuelva la siguiente operación
9. Luis , Jorge y Rosy fueron a la papelería a comprar un material que necesitan Luis adquiere una libreta , un
bolígrafo rojo y otro negro ,un lápiz y una goma ; Jorge pide dos libretas, una regla , un lápiz y un bolígrafo
azul; Rosy solicita una libreta , un bolígrafo rojo , un lápiz , una goma y una regla . si en la papelería las libretas
cuesta 23 pesos, los bolígrafos 12 pesos, los lápices 9 pesos, las reglas 7 pesos y las gomas 3 pesos.
1. ¿Cuánto pagaran en total?
2. Si Jorge pagó con un billete de 100 pesos ¿Cuánto le dieron de cambio?

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5
3. Luis solo llevaba 50 pesos, por lo que Jorge tuvo que prestarle. ¿Cuánto le prestó Jorge?
4. ¿Cuánto dinero le qué do a Jorge cuando regresaban de la papelería?
Algebra
Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones en lenguaje común:
10. La suma de dos números cualquiera
11. El cuadrado de un número aumentado en trece unidades.
12. La suma del triple de un número con la tercera parte del mismo número.
13. El área (A) de un polígono regular es igual al semi producto del perímetro (P) por la apotema(a).
Realiza las siguientes Sumas
14. (5x -7y)+(5y-2x)
15. (-6ax-7by+4cz)+(4ax-4cz+2by)

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6
Realiza las siguientes Resta
16. (11x+9y)-(-6x-7y)
17. (-8x2
-5x3
)-(x2
+x3
)
Realiza las siguientes Multiplicaciones
18. (6a+2b)(5a-4b)
19. (8x +5xy)(3x-2y)
Realiza las siguientes Divisiones
20.
21.
Realiza los siguientes Radicales
22.
23.

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7
Despeja las variables de las incógnitas que se te piden en cada formula
24.
25.
Encontrar el valor de las incógnitas de estas ecuaciones
26.
27.
Encontrar el valor de las incógnitas de las siguientes ecuaciones cuadráticas
28.
29.

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8
Secuencia 1 Actividad III
Geometría y Trigonometría
Comprueba tu respuesta antes de elegirla
1. Observe el siguiente triángulo. A partir de los datos, ¿cuál es el valor de las seis funciones trigonométricas para
el ángulo (A)?
2. Completa los datos desconocidos de los 3 triángulos dados por las filas de la siguiente tabla:
Cuadro
A B C A b c
Triangulo 1 45° 90° 10.5
Triangulo 2 60° 24 16
Triangulo 3 75° 4 6 5
3. En un terreno horizontal y desde un punto A, hay que mirar 30º hacia arriba para ver la azotea de una torre.
Aproximándose 20 metros a la torre, el ángulo se convierte en 45º. ¿Calcular la altura de dicha torre?

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4. Para determinar la distancia entre dos puntos A y B un topógrafoescoge un punto C que se halla a 375m de A y a
530m de B. si BAC mide 49°30’, calcule la distancia de AaB.
5. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán
iguales sus áreas?
6. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
7. Dado un triángulo equilátero de 6m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la
circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
8. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84m.
9. En un cuadrado de 2m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. ¿Hallar el
área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo?
10. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de
8m de diagonal.
11. En una circunferencia de radio igual a 4m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se
construyen triángulos equiláteros. ¿Hallar el área de la estrella así formada?

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12. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110m, las bases miden 40 y 30m respectivamente. ¿Calcular los lados
no paralelos y el área?
13. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6cm
de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, ¿calcular el área del trapecio?
14. El área de un cuadrado es 2304cm². ¿Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro?
15. La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1m de lado y dos semicírculos adosados
en dos lados opuestos. ¿Calcula el área?
Geometría Analítica
16. Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por los puntos A (-5,3) y B
(6,1/2). Grafique

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17. Calcula el ángulo interior del triángulo con vértice en el punto A del triángulo formado por los puntos A (-1,1), B
(2,5) y C (4,-3). Grafique
18. Halle la ecuación del conjunto de puntos, tales que el triple de su ordenada disminuida en seis unidades es igual al
cuádruple de su abscisa.

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19. Halle la ecuación del conjunto de puntos que equidistan ocho unidades del punto. A(4,3), Grafique.
20. Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto P (2,3) y su ángulo de inclinación es 135º. Grafique

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21. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2,-3) y B (2,5). Grafique
22. Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m=1/3 y su intersección con el eje Y es el punto (0,-2). Grafique

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23. Escribe la ecuación cuya pendiente es 1/2 y su intersección con el eje y es el punto (0,2).
24. Escribe la ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen igual a 4.

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25. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y tiene pendiente 2 m

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Secuencia 1 Actividad IV
Ejercicios Prueba Enlace
1. Una fracción equivalente a es:
2. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
3. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación de fracciones
4. ¿Cuál es el resultado de la siguiente división de fracciones?
5. En un laboratorio de química tienen frascos con los siguientes elementos: de sodio, de magnesio, de
yodo y de potasio. ¿Cuál de los frascos contiene la menor cantidad de gramos?
6. Una profesora de inglés quiere hacer una presentación teatral y pide material a sus alumnos para construir el
escenario, le pidió a una alumna que llevará 9.50 pies de listón azul. Si la alumna sabe que 1 pie equivale a 0.305
metros, ¿cuántos centímetros pide en la papelería?
7. ¿Qué resultado se obtiene al convertir 128.5° a grados sexagesimales?

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8. Una tortillería tiene tres máquinas para completar un pedido. El tortillero sabe que la primera máquina tarda un
día en completar el pedido, la segunda tarda 36 horas y los terceros 3 días. Si las tres máquinas trabajan
simultáneamente para el pedido, ¿cuántas horas tardarán en hacerlo?
9. Mario está armando un rompecabezas en forma triangular. Si lleva armada la parte blanca que equivale a , ¿cuál
de las figuras representa la cantidad que le falta para completarlo?
a. b. c. c.
10. Si se corta por las líneas punteadas al octágono, como se muestra en la figura, ¿cuántas diagonales internas se
pueden trazar en la figura resultante?
11. Carlos y José son vendedores de una tienda de libros. En la siguiente tabla se muestra el sueldo que obtiene cada
uno de ellos dependiendo del número de libros que vendan. Para este periodo de pago cada uno debe obtener un
sueldo de $600.00. ¿Cuántos libros debe vender Carlos (C) y cuántos José (J) para que obtengan el sueldo
deseado?

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12. ¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión?
13. En la ciudad de Monterrey se registraron, por cuatro días, las siguientes temperaturas en grados centígrados: -
7°, -5°, 2°, 4°. ¿En cuál día se registró la temperatura que sobrepasaba los -6° pero estaba por debajo de los -3°?
14. En un centro comercial se vende chocolate en polvo en cuatro diferentes presentaciones:
Presentación Cantidad del producto en gramos Precio
Mini 250 $ 11.75
Chica 400 $ 18.00
Mediana 1,800 $ 82.80
Grande 3,500 $161.00
De acuerdo con la cantidad y el precio, la presentación que proporciona el menor costo por producto es:
15. En un cubo se realizaron cortes en cuatro aristas, como se representa en la figura.
¿Cuál es el número de caras después de realizar los cortes?
16. Pedro se desplazó en su automóvil por toda la avenida Juárez a una velocidad constante de 50 kilómetros por hora
y tardó 5 minutos en recorrerla. Si , ¿qué longitud, en kilómetros, tiene la avenida Juárez?
17. Una tubería atraviesa diagonalmente un terreno de forma cuadrada. La tubería mide 30 m. ¿Cuál es la longitud, en
metros, del lado del cuadrado?

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18. En una compañía de autos, 30% de los empleados son miembros de algún club deportivo; de ellos, 20% se ubica en
la zona sur. Si la compañía cuenta con 300 empleados, ¿cuántos de ellos asisten a un club deportivo en la zona sur?
19. Observe la siguiente figura.
¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, del prisma mostrado?
20. Una sala de museo tiene la forma como se muestra en la figura.
Para la instalación eléctrica se necesita tender un cable alrededor de todos los muros. ¿Cuántos metros deberá
medir el cable?
21. Una empresa desea construir una alberca en el patio de una casa como se muestra en la figura. ¿Cuántos metros
cuadrados de mosaico se necesitan para cubrir el fondo de la alberca?

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22. María registra en la siguiente tabla el número de llamadas de larga distancia llevadas a cabo por los empleados de
una empresa en los últimos 12 días.
Si su jefe le pide la media de los datos, ¿cuál es el dato que le debe proporcionar?
23. La gráfica muestra la matrícula de ingreso de estudiantes en una universidad. Si al año siguiente se da de baja
13% de los estudiantes en cada carrera, ¿cuántos estudiantes de ingeniería permanecerán en la carrera en el
segundo año escolar?
24. La figura muestra la mitad de un cuerpo simétrico con respecto a la línea punteada. ¿Cuál es la figura que
representa la otra mitad?
a. b. c. d.

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25. Gustavo lanza un dado 50 veces y registra el número que se obtiene. En la tabla se muestra el número de veces
que se obtuvo las diferentes caras del dado.
Con base en los datos, determine la probabilidad de obtener un 4
Cara del lado 1 2 3 4 5 6
Número de veces 8 5 6 10 12 9
26. Una urna contiene 51 esferas numeradas del 1 al 51. Luis apuesta a Antonio que en la primera esfera sale un
número impar o el número 2. ¿Cuál es la probabilidad de que Luis gane la apuesta?
27. Leonardo lanza una moneda en tanto que Juan lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que en sus respectivos
lanzamientos obtengan exactamente un águila y un seis?
28. Luis y Hugo caminaban juntos llevando sacos de igual peso. Si Luis tomara un saco de Hugo, su carga sería el
doble que la de Hugo. En cambio, si Hugo tomara un saco de Luis, sus cargas se igualarían. ¿Cuántos sacos lleva
Hugo y cuántos Luis?
29. En una empresa bacteriológica se estudia el crecimiento de una bacteria muy rara y peligrosa; el estudio de su
comportamiento fue encargado a Fidel, pero, como se quedó dormido, sólo alcanzó a registrar los datos que se
muestran en la siguiente tabla
Hora (x) Crecimiento de una bacteria (y)
30. 1 31. 4
32. 3 33. 12
34. 35. 28
36. 7 37.
38. 39. 84
40. 11 41. 124
¿Cuál expresión Algebraica establece la Relación entre Ambas Comunas para determinar el valor que falta?

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Secuencia 1 Actividad V
31. ¿Cuál expresión algebraica establece la relación entre ambas columnas para determinar los valores que faltan?
32. Las siguientes figuras son cortes horizontales de un cuerpo a distintas alturas:
¿A cuál de los siguientes cuerpos corresponden?
a. b. c. d.
33. Un comerciante tiene $50.00 y desea adquirir 20 artículos de papelería entre cuadernos (c) y bolígrafos (b), si el
costo de cada cuaderno es de $7.00 y de cada bolígrafo de $3.00, el sistema de ecuaciones que representa dicho
problema es:
34. Analice la siguiente figura. ¿Cuál es el valor del lado a?

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35. Un hombre empuja una caja desde el suelo por una rampa con una inclinación de 30° con respecto al piso hasta un
descanso que se encuentra exactamente 4 metros por encima del nivel del piso. ¿Cuántos metros empujó el
hombre la caja?
36. Ángel y su hermano compraron un pequeño terreno cuadrangular que se dividió en dos partes iguales como se
muestra en la figura. Es necesario saber la longitud de x en metros, para hacer una división con algún enrejado.
¿Cuánto mide x?
37. La descripción gráfica que arroja un sensor de movimiento es la siguiente:
¿Cuál es la función trigonométrica que la describe?

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38. ¿Qué posición final representa la figura si se realiza una rotación de 180° con respecto al lado frontal?
a. b. c. d.
39. Observe el siguiente triángulo
A partir de los datos, ¿cuál es el valor de cos (A)?
40. Una persona observa un espejo que se encuentra frente a un edificio y corresponde al plano y-z, como se observa
en la figura.
¿Cuál de las figuras representa la imagen observada a través del espejo?
a. b. c. d.
41. En la figura que se muestra, considere al eje de las abscisas (x) como eje de simetría.
¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A y C del triángulo simétrico reflejado?

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42. Dadas las coordenadas del punto P que se muestra en la figura, ¿cuál de las siguientes opciones muestra las
coordenadas de la posición final del punto P después de sufrir un desplazamiento de 5 unidades a la izquierda, 1
unidad hacia el lado positivo del eje y, y 1 unidad hacia abajo?

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Segundo Parcial
Derivadas
Reglas de derivación
Derivadas Inmediatas
Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones.
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Ejercicios Resueltos
1.
2.
3.
4.
5.
6. =
7.
8.
9.

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Secuencia 2. Actividad I
Resuelve las siguientes derivadas de Funciones Algebraicas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.

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10.
11.
12.
22.
23.
24.

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Derivadas de Sumas, Productos, Cocientes
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Derivadas Trigonométricas
Derivada del seno:
Derivada del coseno:
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Ejemplos de derivadas con operaciones de funciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

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7.

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31
Secuencia 2. Actividad II
Resuelve las siguientes derivadas de Funciones Algebraicas:
1.
2.
3.
4.
5.
29.
30.
31.
32.
33.

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32
6.
7.
8.
9.
10.
34.
35.
36.
37.
38.

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11.
12.
13.
14.
15.
39.
40.
41.
42.
43.

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34
16.
17.
18.
19.
20.
44.
45.
46.
47.
48.

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21.
22.
23.
24.
25.
49.
50.
51.
52.
53.

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26.
27.
28.
54.
55.
56.

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Derivadas Trigonométricas Inversas
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Derivada de la Función Compuesta
Regla de la cadena

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Secuencia 2. Actividad III
Resuelve las siguientes derivadas Funciones Trigonométricas Inversas:
1.
2.
3.
4.
5.
9.
10.
11.
12.
13.

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6.
7.
8.
14.
15.

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40
Derivadas Logarítmica
Derivada de un logaritmo
La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la
función, y por el logaritmo en base a de e.
Como
también se puede expresar así:
Derivada de un logaritmo neperiano: es igual a la derivada de la función dividida por la función.
En algunos ejercicios es conveniente utilizar las propiedades de los logaritmos antes de
derivar, ya que simplificamos el cálculo:
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

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9.
10.
=
11.
12.
13.

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Secuencia2. Actividad IV
Resuelve las siguientes derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

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Calcula la derivada, de cada una de las siguientes funciones:
1.
2.
3.
4.
5.
Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:
1.
Calcula mediante la fórmula de la derivada de funciones
logarítmicas:
1.
2.
3.
Calcula mediante la fórmula de la derivada de una
potencia:
1.
4.
5.

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2.
3.
4.
5.
Calcula mediante la fórmula de la derivada de funciones
exponenciales:
1.
2.
2.
3.
4.

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3.
4.
5.
5.

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Secuencia2. Actividad V
Calcula la derivada, con respecto de x, de cada una de las
siguientes funciones:
1.
2.
3.
4.
11.
12.
13.
14.

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5.
6.
7.
8.
15.
16.
17.
18.

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9.
10.
19.
20.

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Tercer Parcial
Integración
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función busca aquellas funciones
que al ser derivadas conducen ).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de
f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.
Integral indefinida.- es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por .
Se lee: integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración. es el integrando o función a integrar. es diferencial de x, e indica cuál
es la variable de la función que se integra.C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor
numérico real.Si es una primitiva de f(x) se tiene que:
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la
función.
Fórmulas de Integrales Inmediatas
, y c son constantes; es una función y es la derivada de .

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Si ), tenemos una tabla de integrales simples:
Integrales inmediatas
Integral de una constante
La integral de una constante es igual a la constante por x.
Integral de cero
Integral de una potencia

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54
Integrales Logarítmicasy Exponenciales

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55

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56
Integrales Trigonométricas

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57

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58

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59
Integrales Trigonométricas Inversas

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61
Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del
arcotangente. Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.
Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.Dentro del binomio al
cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de .

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62
Secuencia 3 Actividad I
1. Resolver las siguientes integrales:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.

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63
2. Calcular las integrales:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.

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Secuencia 3 Actividad II
3. Resolver las siguientes integrales exponenciales:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.

CECyTEJ #11
65
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.

CECyTEJ #11
66
Secuencia 3 Actividad III
5. Resolver las integrales:
a.
b.
c.
d.
e.
f.

CECyTEJ #11
67
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.

CECyTEJ #11
68
Secuencia 3 Actividad IV
7. Resolver las integrales:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.

CECyTEJ #11
69
Secuencia 3 Actividad V
Problemas de integrales
1. De las infinitas funciones primitivasde la función , ¿cuál es la que para toma el
valor 5?
2. Escribe la función primitiva de cuya representación gráfica pasa por él punto .
3. Hallar una función cuya derivada sea y tal que para tome el valor 25.
4. Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por él punto .
5. Calcular la ecuación de la curva que pasa por y cuya pendiente en cualquier punto es:
6. Hallar la primitiva de la función , que se anula para

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