Este documento resume la historia y conceptos fundamentales del cálculo integral. Explica que el cálculo integral se remonta a Arquímedes y que fue desarrollado ampliamente en el siglo XVIII. Define la integral definida e indefinida, la suma de Riemann, el teorema de existencia, la función primitiva y los métodos de integración.

1. CALCULO
INTEGRAL
FELIPE DE JESUS SANCHEZ HERNANDEZ
REG:12310354
INGENIERIA INDUSTRIAL

2. HISTORIA DEL CALCULO
INTEGRAL
 Se remonta a la época de Arquímedes (287-
212 a.C.), matemático griego de la
antigüedad, que obtuvo resultados tan
importantes como el valor del área encerrada
por un segmento parabólico.
 El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se
introdujo en el siglo XVIII, con el gran
desarrollo que obtuvo el análisis
matemático, creando ramas como el cálculo
diferencial, integral y de variaciones.

3. Además …
 J.Bernoulli, escribió el primer curso sistemático
de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue
Euler quien llevó la integración hasta sus últimas
consecuencias, de tal forma que los métodos de
integración indefinida alcanzaron prácticamente
su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos
especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el
descubrimiento de una serie de resultados de la
teoría de las funciones especiales. Como las
funciones gamma y beta, el logaritmo integral o
las funciones elípticas.

4. TEORIA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
 Consiste (intuitivamente) en la afirmación de
que la derivación e integración de
una función son operaciones inversas. Esto
significa que toda función continua integrable
verifica que la derivada de su integral es igual
a ella misma.
 Este teorema es central en la rama de
las matemáticas denominada análisis
matemático o cálculo.

5. INTEGRAL DEFINIFA E INDEFINIDA
 Dada una función f(x) y un intervalo
[a,b], la integral definida es igual al área
limitada entre la gráfica de f(x), el eje de
abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
 La integral definida se representa por
 ∫ es el signo de integración.
 a límite inferior de la integración.
 b límite superior de la integración.
 f(x) es el integrando o función a integrar.
 dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable
de la función que se integra.

6. propiedades
 El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los
límites de integración.
 Si los límites que integración coinciden, la integral
definida vale cero.
 Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se
descompone como una suma de dos integrales extendidas a los
intervalos [a, c] y [c, b].
 La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de
integrales·
 La integral del producto de una constante por una función es
igual a la constante por la integral de la función

7. INTEGRAL INDEFINIDA
 Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que
puede tener una función.
 Se representa por ∫ f(x) dx.
 Se lee : integral de x diferencial de x.
 ∫ es el signo de integración.
 f(x) es el integrando o función a integrar.
 dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función
que se integra.
 C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor
numérico real.
 Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
 ∫ f(x) dx = F(x) + C
 Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta
con derivar.

8. propiedades
 Propiedades de la integral indefinida
 La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las
integrales de esas funciones.
 ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
 La integral del producto de una constante por una función es igual
a la constante por la integral de la función.
 ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

9. SUMA DE RIEMANN
 En matemáticas, la suma de Riemann es un método
de integración numérica que nos sirve para calcular
el valor de una integral definida, es decir, el área bajo
una curva, este método es muy útil cuando no es
posible utilizar elTeorema fundamental del cálculo.
Estas sumas toman su nombre del
matemático alemán Bernhard Riemann.
 La suma de Riemann consiste básicamente en trazar
un número finito de rectangulos dentro de un área
irregular, calcular el área de cada uno de los
rectangulos y sumarlos. El problema de este método
de integración numérica es que al sumar las áreas se
obtiene un margen de error muy grande.

10. TEOREMA DE EXISTENCIA
 En matemáticas, un teorema de existencia es
un teorema con un enunciado que comienza
'existe(n)...', o más generalmente 'para
todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en términos más
formales de lógica simbólica, es un teorema con
un enunciado involucrando el cuantificador
existencial. Muchos teoremas no lo hacen
explícitamente, como es usual en el lenguaje
matemático estándar, por ejemplo, el enunciado
de que la función seno es una continua, o
cualquier teorema escrito en la notación O.

11. FUNCION PRIMITIVA
 Función primitiva o antiderivada de una
función dada f(x), es otra función F(x) cuya
derivada es la función dada.
 F'(x) = f(x)
 Si una función f(x) tiene
primitiva, tiene infinitas
primitivas, diferenciándose todas ellas en
una constante.
 [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

12. METODOS DE INTEGRACION
 Se entiende por métodos de integración cualquiera de las
diferentes técnicas elementales usadas para calcular una anti
derivada o integral indefinida de una función.
 Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas
cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una
función F(x) tal que.
 lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una
función F(x) tal que f(x) es su derivada