Calculo integral y diferencial en una variable.

1. ERNESTO RENE LUCIOTTO CHACON
REGISTRO: 12310233
20/05/2013

2. HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL
El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212
a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan
importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La
derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en
principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento más
importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la
íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido
caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre
derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se
hace tan sencillo como el de las derivadas.
El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis
y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación
de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de
infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el
cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas.

4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CALCULO
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que
la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa
que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a
ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada
análisis matemático o cálculo.

5. DEFINICON DE LA INTEGRAL
DEFINIDA
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas
limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus
puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama
integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que
está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x =
a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
DEFINIDA
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
•Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
•Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor
que cero, su integral es negativa.
•La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por
separado.
•La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
•Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
•Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
•Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que
f (x) £ g (x), se verifica que:

7. DEFINICON DE LA INTEGRAL
INDEFINIDA
Dada una función f (x), se dice que la función F (x) es primitiva de ella si se
verifica que F¿ (x) = f (x). La operación consistente en obtener la primitiva de una
función dada se denomina integración, que es la inversa de la derivación.
De esta definición se desprende que la función f (x) posee infinitas primitivas, ya
que si F (x) es primhtiva de f (x), también lo será cualquier otra función definida
como G (x) = F (x) + C, siendo C un valor constante.
El conjunto de todas las primitivas de una función f (x) dada se
denomina integral indefinida de la función, y se denota genéricamente como:

8. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
INDEFINIDA
Aplicando las propiedades de la derivación (ver t43), es posible determinar algunas
propiedades comunes de la integración. Las siguientes propiedades de
linealidad sirven para descomponer integrales complicadas en otras más sencillas:
•La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones es igual a la suma (o
diferencia) de las integrales de cada una de ellas.
•La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de
la constante por la integral de la función.

9. SUMA DE RIEMANN
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica
que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área
bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el
Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del
matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de
rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los
rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica
es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

10. TEOREMA DE EXISTENCIA
Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se
puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para
el que se verifica:
El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].
Quizá sea interesante hacer varias observaciones:
1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos
un punto con esa propiedad.
2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el
intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.
3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el
cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de
Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas,
utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta
unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.

11. FUNCION PRIMITIVA
Función primitiva o antiderivada de una función dada
f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función
dada.
F'(x) = f(x)
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas
primitivas, diferenciándose todas ellas en
una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

12. METODOS DE INTEGRACION
Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del
cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya
derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por
haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la
antiderivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones
y sus antiderivadas o funciones primitivas.
Funciones analíticas
El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se
admite como primitivas potencias de series formales ya que:

13. METODOS DE INTEGRACION
El método de integración por sustitución o por cambio de
variable
se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita
convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple.
En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a
una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método
realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
El método de integración por partes
es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución
de la integral.
.
Un buen orden para escoger la u según la función es este:
1. Trigonométrica Inversa 2. Logarítmica 3. Algebraica o polinómica 4. Trigonométrica 5.
Exponencial