Este documento presenta conceptos clave del cálculo integral, incluyendo la medida aproximada de figuras amorfas, la suma de Riemann, la definición de integral definida, el teorema fundamental de cálculo y el cálculo de integrales definidas e impropias. Explica cómo la integración puede usarse para estimar el área bajo una curva y describe métodos como la suma de Riemann para aproximar este cálculo.

1. Instituto Tecnológico de Campeche
Calculo integral
Alumno
Gonzalo Adrián Ake Cazan
Teorema fundamental del cálculo
San francisco de Campeche Campeche a 29de enero del 2016

2. Índice
Medición aproximada de figuras amorfa
Notación sumatoria
Suma de Riemann
Definición de integral definida
Teorema de existencia
Propiedades de la integral definida
Función primitiva
Teorema fundamental de cálculo
Cálculo de integrales definidas
Integrales impropias

3. Ensayo
Teorema fundamental de cálculo
Medida Aproximada de Figuras Amorfas
Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la
sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el
resultado. Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es
tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar esta
área. La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante
Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada. Estas
son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x
= a y x = b.
Notación sumatoria
La notación sumatoria se representa mediante la letra griega ∑, que representa a
sigma en mayúscula. Dicha letra se utiliza para representar a una suma, así que si
la utilizamos para para sumar los valores del conjunto x
Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral
definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es
posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre
del matemático alemán Bernhard Riemann. La suma de Riemann consiste en trazar
un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada
uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es
que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
Definición de Integral Definida
La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la
libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la
integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella
que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está
integrada con respecto a ciertos límites.

4. Teorema de existencia
Un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza
'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y,...existe(n)...'. Esto es, en términos
más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el
cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es
usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la
función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O. Una
controversia que data del temprano siglo XX concierne el tema de teoremas de
existencia puros, y la acusación relacionada de que al admitirlos las matemáticas
traicionan sus responsabilidades de aplicación concreta (ver demostración no
constructiva). El punto de vista matemático es que los métodos abstractos tienen un
gran alcance, mayor que el del análisis numérico.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas
que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.
1) donde c es una constante
2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes
propiedades son verdaderas:
(se pueden generalizar para más de dos funciones)
3) Si x está definida para x = a entonces = 0
4) Si f es integrable en [a, b] entonces
5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos
cerrados definidos por a, b y c entonces

5. Función Primitiva
Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como cualquier
otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevo la función original f(x).
Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva
es la integral de la presente función f(x). Por tanto, podemos decir que si F(x) es la
función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los
valores distintos de c sin ningún pre-requisito para obtener a c. Aquí F(x) + c
representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c,
obtenemos diferentes miembros de esta familia. Geométricamente, estos miembros
se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos. Existen
muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, anti
derivada, etc. Matemáticamente, para una función valorada real f(x), la cual, para
un intervalo abierto (a, b), es de naturaleza continua, tenemos una función primitiva
F(x) la cual es también una función valorada real derivable para el mismo intervalo
abierto (a, b) y es continua para un intervalo cerrado [a, b]
Teorema fundamental de cálculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de
que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto
significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en
un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella
misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada
análisis matemático o cálculo.
Cálculo de Integrales definidas
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el
interior del intervalo tal que:
Integrales impropias
Una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos
extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞,
o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de
la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se
pueden dar ambas situaciones.