Integral Indefinida. Definición. Teoremas

1. Definición Notación Propiedades Reglas Básicas Prof. Marisol Cuicas UCLA-DIC [email_address]

2. Para cada una de las derivadas siguientes se describe la función original F: ¿Cuál de las estrategias siguientes se han utilizado para hallar la función original? Graficación de funciones. Derivación en orden inverso. Ningún procedimiento matemático Derivada Función Original

3. Recuerde que: Por lo tanto, la estrategia utilizada es derivación en orden inverso.

4. El proceso para determinar una función a partir de su derivada es opuesto a la derivación y por ello se llama antiderivación. Definición: Antiderivada o Primitiva de f Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal que: F’(x) = f(x) siempre y cuando f(x) esté definida.

5. Primitiva F(x) Antiderivación Función f(x) Derivación Derivada f ’(x) Las operaciones de derivación y antiderivación, comenzando con la misma función f(x), siguen direcciones opuestas Observe el siguiente diagrama.

6. La derivación anula el resultado de la antiderivación: La derivada de la primitiva de f(x) es la función original f(x). F(x) f(x) Antiderivación Derivación

7. Decimos que F es una primitiva de f y no que es la primitiva de f. La razón se ilustra en el siguiente ejemplo: Todas ellas son primitivas de: En realidad, es primitiva de para cualquier elección de la constante C.

8. Así, una sola función tiene muchas primitivas, mientras que una función solo puede tener una derivada. Si F(x) es primitiva de f(x), también lo es F(x) + C para cualquier elección de la constante C. El recíproco de ésta proposición es más sutil. Si F(x) es primitiva de f(x) en el intervalo I, entonces toda primitiva de f(x) en I es de la forma F(x) + C.

9. Este último resultado es consecuencia del teorema de valor medio, según el cual dos funciones con la misma derivada en un intervalo difieren solo en una constante en ese intervalo.

10. Así, las gráficas de dos primitivas F(x) + C 1 y F(x) + C 2 de la misma función f(x) en el mismo intervalo I son paralelas, en el sentido ilustrado en las siguientes figuras: F(x) = x 3 + 4 F(x) = x 3 + 2 F(x) = x 3 F(x) = x 3 - 2 F(x) = x 3 - 4 F(x) = x 3 + C para distintos valores de C C = 4 C = 2 C = 0 C = -2 C = -4

11. F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 + 2 F(x) = x 2 F(x) = x 2 - 2 F(x) = x 2 - 4 F(x) = x 2 + C para distintos valores de C C es la distancia vertical entre las curvas y = F(x) y y = F(x) + C para cada x en un intervalo I. C = 4 C = 2 C = 0 C = -2 C = -4

12. Teorema 1 Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma: G(x) = F(x) + C, para donde x en I donde C es una constante.

13. Según el teorema anterior, se pueden representar todas las primitivas de una función añadiendo una constante a una primitiva concreta conocida . Así, una vez sabido que D x (x 3 ) = 3x 2 , las familias de todas las primitivas de la función f(x) = 3x 2 vienen dadas por F(x) = x 3 + C.

14. F(x) = x 3 + C es la solución general de la ecuación diferencial f’(x) = 3x 2 La colección de todas las primitivas de una función f(x) es conocida como la Integral Indefinida de f respecto a x La primitiva más general de f en I tiene la forma F(x) + C. Recuerde el ejemplo

15. Son ecuaciones diferenciales. Recordemos lo que es una ecuación diferencial: Una ecuación diferencial en x e y es una ecuación que involucra a “x”, a “y” y a las derivadas de y. Ejemplo: La ecuación diferencial más sencilla tiene la forma:

16. Notación de las primitivas Al resolver la ecuación diferencial Conviene expresarla La operación de hallar todas las soluciones de ésta ecuación se llama integral indefinida o antiderivación y se denota por el símbolo de la integral: La solución general se denota por:

17. Símbolo de integración Integrando Constante de integración Diferencial Sirve para identificar a x como la variable de integración Notación de las primitivas

18. Notación de las primitivas La expresión “ La integral indefinida de f con respecto a x” Se lee

19. Pensamos en la combinación como un solo símbolo. Colocamos en el espacio vacío la fórmula de la función cuya primitiva estamos buscando. Podemos describir una antiderivación específica en términos de cualquier variable independiente conveniente. Por ejemplo: Significan exactamente lo mismo

20. La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede ser vista de la siguiente manera: Esta característica de inversa nos permite obtener fórmulas de integración directamente a partir de las fórmulas de derivación, permitiendo comprobar los resultados de integración mediante su diferenciación.

21. Cada fórmula de antiderivación produce, por inversión de la derivación, una fórmula integral indefinida correspondiente. Teorema 2: Algunas Fórmulas Integrales ; si Tabla de Integrales

22. Recuerde que la operación de derivación es lineal , lo que significa que: D x (C F(x)) = C F’(x) ; donde C es una constante. D x (F(x)  G(x)) = F’ (x)  G’ (x). En la notación de antiderivación esto implica que: ; donde C es una constante

23. La integración sería un proceso muy simple si contáramos con una lista de fórmulas de integración en la que pudiéramos localizar cualquier integral que necesitáramos calcular. Dicho proceso sería muy tedioso Es recomendable usar una tabla de integración y aprender técnicas para deducir nuevas fórmulas y transformar una integral dada en una conocida o que aparezca en una tabla accesible.

24. Integración Por Partes Integración de Potencias de Funciones Trigonométricas Sustitución Trigonométrica Fracciones Parciales Cambios de Variable Técnicas de Integración En esta unidad aprenderemos dichas técnicas, así como algunas estrategias para usarlas correctamente.

25. Por lo tanto, la estrategia utilizada es derivación en orden inverso. ¡Muy Bien!

26. Para mayor información sobre el tema, consultar la bibliografía recomendada. Amigo estudiante, recuerde que en el portal del curso podrás conseguir material de apoyo escrito por el tutor. Este material no sustituye el texto básico. Así que,