I. Municipalidad de ProvidenciaLiceo TajamarProf: María Cecilia Palma ValenzuelaProfesora : María Cecilia Palma Valenzuela...
SISTEMAS DE ECUACIONES DEDOS ECUACIONES CON DOSINCÓGNITASTécnicas de resoluciónMARÍA CECILIA PALMAVALENZUELA
Objetivo nº1Resuelven analíticamente sistemasde ecuaciones lineales con dosincógnitas.Método de igualación
1) Resolución por igualación• Debemos que resolver el sistema:•• esto significa, encontrar el punto deintersección entre l...
Despejamos una de las dos variablesen las dos ecuaciones, con lo cualtenemos un sistemaequivalente (en este caso elegimos ...
Recordamos que al tener dos ecuaciones, si losprimeros miembros son iguales los segundos tambiénlo son, por lo tanto:
Reemplazar el valor de x obtenido en algunade las ecuaciones (elegimos la segunda):Reemplazar el valor de x obtenido en al...
• Ahora sí, podemos asegurar que• x= 4 e y = 2
Actividad nº1 :RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS:• 1) 4x + 5y = 3• 6x – 10y = 12) 4(x + 2) = -6y• 3(y + 2x) = 03) y(x – 3) ...
Trabajen estos ejercicios con sugrupo de compañeras de estudios• 1) Respuesta : x = ½ , y= 1 /5• 2) Respuesta : x = 1 , y ...
¿Qué hemos aprendido hasta ahora?• ¿Podríamos usar este método en todas lassituaciones en que se nos presenten sistemasde ...
Objetivo nº2Resuelven analíticamente sistemasde ecuaciones lineales con dosincógnitas.Método de sustitución
Estrategias• 1) Despejamos una de las variables en una delas ecuaciones (en este caso elegimos y en laprimera ecuación):• ...
Y, la reemplazamos en la otra ecuación:Operamos para despejar la única variable existenteahora:56
Reemplazando el valor de x obtenido en algunade las ecuaciones (elegimos arbitrariamente laprimera):Hallamos la respuesta ...
Resuelvan los siguientes sistemas:Trabajen estos ejercicios con sus compañeras de grupo.• 1) (x+3)(y+5)-(x+1)(y+8) = 0(x-1...
Trabajen estos ejercicios a nivel grupal, comparen susresultados y si se presentan diferencias, revisendetalladamente paso...
Objetivo nº3Resuelven analíticamente sistemasde ecuaciones lineales con dosincógnitas.Método de reducción
Estrategias• 1) El objetivo es eliminar una de las incógnitas,dejándolas inversas aditivas, sabiendo queuna igualdad no ca...
Resolver el sistema:• Si se quiere eliminar la x, ¿por qué númerodebo multiplicar a la segunda ecuación, paraque al sumarl...
sumando ambas ecuaciones se obtiene-7y = -14 / ·(- 1) entonces y = 2• Luego al reemplazar el valor obtenido de y enla prim...
Ejercicios: Resuelve por este método:1324375332)3−=−=+yxyx2) 2x – 3y = -7x : y = 4 : 5
Trabajen estos ejercicios con sus compañerasintegrantes del grupo y comparen sus resultados• 1) Respuesta : x = 2 , y = 4•...
Objetivo nº4• Resuelven problemas de aplicación desistemas de ecuaciones con dos incógnitasusando cualquier método o técni...
Ejemplo nº1• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es de 90 .Los ángulos x e y son complementarios y e...
Observación: En ciencias y en otras áreas se utilizan con frecuencia ecuaciones, pararesolver problemas, los cuales nos ll...
Análogamente, la cantidad de alcohol en la mezcla debe ser igual a la suma del alcoholque aportan el vino y la solución de...
Ejercicios• 1) La suma de dos números es 34 y su diferencia es 10. Encuentrelos números.• Respuesta: 22 y 12• 2) Repartir ...
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2 mediomat sistemasdeecuaciones[1] corregido

  1. 1. I. Municipalidad de ProvidenciaLiceo TajamarProf: María Cecilia Palma ValenzuelaProfesora : María Cecilia Palma Valenzuela Fecha:15/08/2011Unidad Temática:Sistemas de Ecuaciones LinealesContenido: Diversos métodos de Resolución Analítica desistemas de ecuaciones linealesObjetivos de Aprendizaje:1) Conocen y aplican diversos métodos de resolución de sistemasde ecuaciones2) Plantean y resuelven sistemas de ecuaciones con dosincógnitasObservación: Estimadas alumnas las dudas en relación a loscontenidos y los ejercicios pueden hacerla en el correomaricecpalv@gmail.comInicio revisióndesde el22/08/2011
  2. 2. SISTEMAS DE ECUACIONES DEDOS ECUACIONES CON DOSINCÓGNITASTécnicas de resoluciónMARÍA CECILIA PALMAVALENZUELA
  3. 3. Objetivo nº1Resuelven analíticamente sistemasde ecuaciones lineales con dosincógnitas.Método de igualación
  4. 4. 1) Resolución por igualación• Debemos que resolver el sistema:•• esto significa, encontrar el punto deintersección entre las rectas dadas, de lascuales se conoce su ecuación
  5. 5. Despejamos una de las dos variablesen las dos ecuaciones, con lo cualtenemos un sistemaequivalente (en este caso elegimos y):
  6. 6. Recordamos que al tener dos ecuaciones, si losprimeros miembros son iguales los segundos tambiénlo son, por lo tanto:
  7. 7. Reemplazar el valor de x obtenido en algunade las ecuaciones (elegimos la segunda):Reemplazar el valor de x obtenido en algunade las ecuaciones (elegimos la segunda):y=2y=2•Verificar, en ambas ecuaciones, para saber si•realmente (x ; y) = (4;2):•Verificar, en ambas ecuaciones, para saber si•realmente (x ; y) = (4;2):
  8. 8. • Ahora sí, podemos asegurar que• x= 4 e y = 2
  9. 9. Actividad nº1 :RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS:• 1) 4x + 5y = 3• 6x – 10y = 12) 4(x + 2) = -6y• 3(y + 2x) = 03) y(x – 3) – x(y – 2) = 14• x(y + 9) – y(x – 6) = -54• 1) 4x + 5y = 3• 6x – 10y = 12) 4(x + 2) = -6y• 3(y + 2x) = 03) y(x – 3) – x(y – 2) = 14• x(y + 9) – y(x – 6) = -54
  10. 10. Trabajen estos ejercicios con sugrupo de compañeras de estudios• 1) Respuesta : x = ½ , y= 1 /5• 2) Respuesta : x = 1 , y = - 2• 3) Respuesta : x = - 2 , y = - 6• ¿Tienen dudas de la materia revisada hastaahora?
  11. 11. ¿Qué hemos aprendido hasta ahora?• ¿Podríamos usar este método en todas lassituaciones en que se nos presenten sistemasde ecuaciones?• Si, pero existen otros métodos de resoluciónanalítica de los sistemas de ecuaciones condos incógnitas, éstos los veremos en las clasessiguientes.
  12. 12. Objetivo nº2Resuelven analíticamente sistemasde ecuaciones lineales con dosincógnitas.Método de sustitución
  13. 13. Estrategias• 1) Despejamos una de las variables en una delas ecuaciones (en este caso elegimos y en laprimera ecuación):• Ejemplo :••
  14. 14. Y, la reemplazamos en la otra ecuación:Operamos para despejar la única variable existenteahora:56
  15. 15. Reemplazando el valor de x obtenido en algunade las ecuaciones (elegimos arbitrariamente laprimera):Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igualque en el caso anterior. No verificaremos, dadoque ya sabemos que esta respuesta es correcta.
  16. 16. Resuelvan los siguientes sistemas:Trabajen estos ejercicios con sus compañeras de grupo.• 1) (x+3)(y+5)-(x+1)(y+8) = 0(x-10)(y-1)+(x-9)(3-y) = 0• 2)• 3)4153621=+−=−+yxyx
  17. 17. Trabajen estos ejercicios a nivel grupal, comparen susresultados y si se presentan diferencias, revisendetalladamente paso a paso .• 1) Respuesta : x = 27 , y = 37• 2) Respuesta : x = 5 , y = 3• 3) Respuesta : x = 5 , y = - 4• ¿ha quedado alguna duda en lo estudiado?• Consulten si hay dudas al correo enviado alinicioF I NF I NMARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA
  18. 18. Objetivo nº3Resuelven analíticamente sistemasde ecuaciones lineales con dosincógnitas.Método de reducción
  19. 19. Estrategias• 1) El objetivo es eliminar una de las incógnitas,dejándolas inversas aditivas, sabiendo queuna igualdad no cambia si se la multiplica porun número.• 2) También sabemos que una igualdad no secambia si se le suma otra igualdad.
  20. 20. Resolver el sistema:• Si se quiere eliminar la x, ¿por qué númerodebo multiplicar a la segunda ecuación, paraque al sumarla a la primera se obtenga cero?• La respuesta es -2. Veamos:• Con lo que obtenemos:
  21. 21. sumando ambas ecuaciones se obtiene-7y = -14 / ·(- 1) entonces y = 2• Luego al reemplazar el valor obtenido de y enla primera ecuacióntenemos :• Finalmente para hallar el valor de x, sedespeja en la ecuación y se tiene que :
  22. 22. Ejercicios: Resuelve por este método:1324375332)3−=−=+yxyx2) 2x – 3y = -7x : y = 4 : 5
  23. 23. Trabajen estos ejercicios con sus compañerasintegrantes del grupo y comparen sus resultados• 1) Respuesta : x = 2 , y = 4• 2) Respuesta : x = 4, y = 5• 3) Respuesta : x = , y =• ¿Hay dudas de la materia?• Pueden consultar al correo donde debes enviartus respuestasF I NF I NMARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA
  24. 24. Objetivo nº4• Resuelven problemas de aplicación desistemas de ecuaciones con dos incógnitasusando cualquier método o técnica deresolución vistas anteriormente
  25. 25. Ejemplo nº1• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es de 90 .Los ángulos x e y son complementarios y el ángulo x mide 24 más que elángulo y. Determine los ángulos x e y.• Solución: Una ecuación la podemos plantear considerando el hecho deque x e y son complementarios : x + y = 90. La segunda la obtenemos delhecho de que el ángulo x mide 24 más que el ángulo y : x = y + 24• Tenemos entonces el siguiente sistema: x + y = 90 (1)• x = y + 24 (2)• Restando y en ambos miembros de la ecuación (2) y sumando lasecuaciones resultantes, para resolver mediante reducción.• (+) x + y = 90• x – y = 24• 2 x = 11 x = 57• Si ahora sustituimos x = 57 en la ecuación (1), tendremos:• 57 + y = 90 y = 90 – 57 y = 33• Los ángulos son : x = 57 e y = 33 .
  26. 26. Observación: En ciencias y en otras áreas se utilizan con frecuencia ecuaciones, pararesolver problemas, los cuales nos llevan a plantearnos sistemas, como en elsiguiente ejemplo• Ejemplo 2:Un vitivinicultor desea fortalecer un vino que contiene 10% de alcoholagregándole algo de solución acuosa con 70% de alcohol, la mezcla obtenida de estaforma, debe tener una concentración alcohólica de 16%, y se deben llenar 1.000botellas de 1 litro .¿Cuántos litros de vino y de solución de alcohol debe usar?• Solución :• Designamos X = nº de litros de vino ; Y = nº de litros de solución de alcohol• En la siguiente tabla, organizamos la información• El volumen de la mezcla debe ser igual a la suma de los volúmenes que se usarán,entonces : x + y = 1000Vino Solución dealcoholMezclaresultanteVolumen X Y 1000Porcentaje de alcohol 10% 70% 16%Cantidad de alcohol 0,1 x 0,7y 0,16 · 1000
  27. 27. Análogamente, la cantidad de alcohol en la mezcla debe ser igual a la suma del alcoholque aportan el vino y la solución de alcohol, luego:0,1 x + 07 y = 0,16 · 10000,1 x + 0,7y = 160 / · 10x + 7 y = 1600• Por lo tanto, tenemos el sistema: x + y = 1000 (1)• x + 7y = 1600 (2)• Restando : (2) – (1) se tiene 6y = 600• y = 100• Reemplazando y = 100 en (1) , tenemos x = 900.• Por lo tanto:• El vitivinicultor debe usar 900L de vino y 100L de alcohol.• ¿Ha quedado alguna duda?• Si hay dudas consultar al correo de envío de respuestas
  28. 28. Ejercicios• 1) La suma de dos números es 34 y su diferencia es 10. Encuentrelos números.• Respuesta: 22 y 12• 2) Repartir $1080 entre dos personas P y Q, de modo que P reciba1008 más que Q.• Respuesta : P = 1044 y Q = 36• 3) En un corral hay conejos y gallinas. Si entre ellos hay 121 cabezasy 338 patas, encuentre el nº de conejos y de gallinas que hay en elcorral• Respuesta : 48 = conejos y 73 = gallinasF I NF I NMARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA

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