Solucion a Sistemas de Ecuaciones.pdf

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1
MATEMÁTICAS BÁSICAS
SISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
Una ecuación lineal con dos incógnitas x y y es una expresión de la forma c
by
ax =
+ , donde
∈
c
,
b
,
a R y a y b son diferentes de cero.
Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene un número ilimitado de soluciones de la forma ( )
y
,
x y su
gráfica determina una recta.
Ejemplos.
1) La ecuación lineal 20
4
2 =
+ y
x tiene entre sus ilimitadas soluciones a los valores: ( )
6
2,
− , ( )
5
0, ,
( )
1
8, y ( )
1
12 −
,
2) La ecuación lineal 15
3 −
=
− y
x tiene entre sus ilimitadas soluciones a los valores: ( )
0
5, , ( )
9
2,
− ,
( )
18
1, y ( )
6
3,
−
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que poseen incógnitas. Para indicar que varias
ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas x y y , también llamado ecuaciones simultáneas
de dos por dos es de la forma:



=
+
=
+
2
22
21
1
12
11
b
y
a
x
a
b
y
a
x
a
donde 22
21
12
11 a
,
a
,
a
,
a son coeficientes reales y 2
1 b
,
b son términos independientes. En cada una de
las ecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de cero.
Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que surgen del planteamiento de un
problema, generalmente no tienen la forma estándar, sin embargo, debe obtenerse.
Resolver un sistema de este tipo es encontrar los pares de números x y y que satisfacen ambas
ecuaciones, si existen. Gráficamente, una solución del sistema es un punto común a ambas rectas
( )
y
,
x
P .
En un sistema de dos ecuaciones lineales:
• Si las dos rectas que se cruzan en un punto, éste representa la solución del sistema. En este caso el
sistema es compatible determinado.
• Si las dos rectas coinciden en todos sus puntos, tiene infinitas soluciones. En este caso el sistema es
compatible indeterminado.
• Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto común. En este caso el sistema es
incompatible y no tiene solución.

2
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS
INCÓGNITAS
Existen cinco métodos para resolver sistemas de ecuaciones:
• Igualación
• Suma y resta (eliminación)
• Sustitución
• Determinantes
• Gráfico
MÉTODO DE IGUALACIÓN
El método de igualación consiste en realizar los siguientes pasos:
• Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
• Se igualan las expresiones despejadas y se obtiene una ecuación lineal para la otra incógnita.
• Se resuelve la ecuación lineal.
• Se sustituye este valor en cualquiera de las dos expresiones despejadas a fin de obtener el valor de
la otra.
• Se realiza la comprobación.
Ejemplos.
Aplicando el método de igualación, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1)



=
+
=
−
14
5
3
10
2
4
y
x
y
x
Solución.
De la primera ecuación se despeja x :
2
5
4
2
10 y
y
x
+
=
+
=
de la segunda ecuación también se despeja x :
3
5
14 y
x
−
=
se igualan estas dos últimas ecuaciones:
3
5
14
2
5 y
y −
=
+
resolviendo para y :
( ) ( )
y
y 5
14
2
5
3 −
=
+
y
y 10
28
3
15 −
=
+
15
28
10
3 −
=
+ y
y
1
13
13
13
13 =
=
⇒
= y
y
sustituyendo en la primera ecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita:
3
2
6
2
1
5
=
=
+
=
x
Por lo tanto: 3
=
x y 1
=
y . Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


=
+
=
+
=
−
=
−
14
5
9
1
5
3
3
10
2
12
1
2
3
4

3
2)



−
=
+
=
−
48
8
2
18
3
9
y
x
y
x
Solución.
3
6
9
3
18 y
y
x
+
=
+
=
de la segunda ecuación también se despeja x : y
y
x 4
24
2
8
48
−
−
=
−
−
=
se igualan estas dos últimas ecuaciones: y
y
4
24
3
6
−
−
=
+
( ) ( ) ⇒
−
−
=
+ y
y 4
24
3
6
2 ⇒
−
−
=
+ y
y 12
72
2
12 12
72
12
2 −
−
=
+ y
y
6
14
84
84
14 −
=
−
=
⇒
−
−
= y
y
( ) 0
3
0
3
6
6
=
=
−
+
=
x
Por lo tanto: 0
=
x y 6
−
=
y . Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


−
=
−
=
−
+
=
+
=
−
−
48
48
0
6
8
0
2
18
18
0
6
3
0
9
3)







+
=
+
−
−
=
+
−
10
18
7
2
3
3
5
2
9
1
4
x
y
y
y
x
x
Solución.
La primera ecuación, se multiplica por 9:
14
6
5
15
6
1
4
9
3
5
2
9
9
1
4
9 −
=
−
⇒
−
=
−
−
⇒





 −
=





 +
− y
x
y
x
x
y
x
x
la segunda ecuación, se multiplica por 70 :
146
40
7
126
7
20
30
70
10
18
70
7
2
3
70 =
+
−
⇒
+
=
−
−
⇒





 +
=





 +
− y
x
x
y
y
x
y
y
el sistema se convierte a su forma estándar:



=
+
−
−
=
−
146
40
7
14
6
5
y
x
y
x
de la primera ecuación se despeja y :
6
5
14
−
−
−
=
x
y
de la segunda ecuación también se despeja y :
40
7
146 x
y
+
=
40
7
146
6
5
14 x
x +
=
−
−
−
resolviendo para x :
( ) ( ) ⇒
+
−
=
−
− x
x 7
146
6
5
14
40 ⇒
−
−
=
−
− x
x 42
876
200
560 560
876
42
200 +
−
=
+
− x
x

4
2
158
316
316
158 =
−
−
=
⇒
−
=
− x
x
( ) 4
40
160
40
14
146
40
2
7
146
=
=
+
=
+
=
y
Por lo tanto: 2
=
x y 4
=
y . Comprobación:
( ) 1
1
2
9
9
2
9
1
8
2
9
1
2
4
2 =
−
=
−
=
+
−
=
+
−
( ) 1
3
3
3
5
8
3
5
4
2
=
=
−
=
−
1
1≡
( ) 2
2
4
7
14
4
7
2
12
4
7
2
4
3
4 =
−
=
−
=
+
−
=
+
−
2
10
20
10
18
2
10
18
2
=
=
+
=
+
2
2 ≡
MÉTODO DE SUMA Y RESTA (ELIMINACIÓN)
El método de suma y resta, también llamado de eliminación consiste en efectuar el procedimiento siguiente:
• Se multiplica cada ecuación por constantes de modo que los coeficientes de la variable a eliminar
resulten iguales en valor absoluto pero con signos opuestos.
• Se suman ambas ecuaciones para obtener una nueva ecuación en términos solamente de la otra variable.
• Se resuelve la ecuación lineal.
• Se despeja la otra variable de cualquiera de las ecuaciones del sistema.
• Se sustituye el valor obtenido en la expresión despejada para obtener el valor de la otra.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación:
1)



−
=
+
−
=
−
13
4
5
2
2
4
y
x
y
x
Solución.
Se multiplica la primera ecuación por 2 y se suma a la segunda:
9
3
13
4
5
4
4
8
−
=



−
=
+
−
=
−
x
y
x
y
x
3
3
9
−
=
−
=
x
de la primera ecuación se despeja la otra incógnita y se sustituye el valor obtenido:
( ) 7
6
1
3
2
1
2
1
2
4
2
−
=
−
−
=
−
+
−
=
+
−
=
−
−
= x
x
y
Por lo tanto: 3
−
=
x y 7
−
=
y . Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


−
=
−
=
−
+
−
−
=
+
−
=
−
−
−
13
28
15
7
4
3
5
2
14
12
7
2
3
4

5
2)



−
=
+
−
−
=
+
−
16
7
5
20
14
8
y
x
y
x
Solución.
Se multiplica la segunda ecuación por 2
− y se suma a la primera:
12
2
32
14
10
20
14
8
=



=
−
−
=
+
−
x
y
x
y
x
6
2
12
=
=
x
( ) 2
7
14
7
24
10
7
6
4
10
7
4
10
14
8
20
=
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
x
x
y
Por lo tanto: 6
=
x y 2
=
y . Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


−
=
+
−
=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
16
14
30
2
7
6
5
20
28
48
2
14
6
8
3)



=
+
=
−
98
2
15
139
9
5
y
x
y
x
Solución.
Se multiplica la primera ecuación por 3
− y se suma a la segunda:
319
29
98
2
15
417
27
15
−
=



=
+
−
=
+
−
y
y
x
y
x
11
29
319
−
=
−
=
y
( ) 8
5
40
5
99
139
5
11
9
139
5
9
139
=
=
−
=
−
+
=
+
=
y
x
Por lo tanto: 8
=
x y 11
−
=
y . Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


=
−
=
−
+
=
+
=
−
−
98
22
120
11
2
8
15
139
99
40
11
9
8
5
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
El método de sustitución consiste en efectuar los siguientes pasos:
• Despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones.
• Sustituir la expresión despejada en la otra ecuación.
• Se resuelve la ecuación lineal, generalmente fraccionaria.
• Se sustituye este valor en la expresión despeja a fin de obtener el valor de la otra.
Ejemplos.
Mediante el método de sustitución, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1)



−
=
+
−
=
+
12
2
4
17
7
9
y
x
y
x

6
Solución.
9
7
17 y
x
−
−
=
se sustituye en la segunda ecuación: 12
2
9
7
17
4 −
=
+





 −
−
y
y
multiplicando por 9: ( ) ( ) 108
18
7
17
4
12
9
2
9
7
17
4
9 −
=
+
−
−
⇒
−
=






+





 −
−
y
y
y
y
40
10
68
108
18
28
108
18
28
68 −
=
−
⇒
+
−
=
+
−
⇒
−
=
+
−
− y
y
y
y
y
4
10
40
=
−
−
=
y
sustituyendo en la ecuación despejada:
( ) 5
9
45
9
28
17
9
4
7
17
9
7
17
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
y
x
Por lo tanto: 5
−
=
x y 4
=
y . Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


−
=
+
−
=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
12
8
20
4
2
5
4
17
28
45
4
7
5
9
2)



−
=
−
=
+
−
31
9
7
9
3
2
y
x
y
x
Solución.
2
3
9
−
−
=
y
x
9
2
3
9
7 −
=
−






−
−
y
y
multiplicando por 2
− : ( ) ( )( ) ( ) 62
18
3
9
7
31
2
9
2
3
9
7
2 =
+
−
⇒
−
−
=






−






−
−
− y
y
y
y
1
3
63
62
18
21
62
18
21
63 −
=
−
⇒
−
=
+
−
⇒
=
+
− y
y
y
y
y
3
1
3
1
=
−
−
=
y
sustituyendo en la ecuación despejada: 4
2
8
2
1
9
2
3
1
3
9
2
3
9
−
=
−
=
−
−
=
−






−
=
−
−
=
y
x
Por lo tanto: 4
−
=
x y
3
1
=
y . Comprobación:
( )
( ) 






−
=
−
−
=






−
−
=
+
=






+
−
−
31
3
28
3
1
9
4
7
9
1
8
3
1
3
4
2
3)



=
+
−
−
=
+
13
2
5
34
4
10
y
x
y
x
Solución.
5
2
17
10
4
34 y
y
x
−
−
=
−
−
=

7
2
5
2
17
5 =
+





 −
−
− y
y
simplificando: ( ) ⇒
=
+
+
⇒
=
+
−
−
− 13
2
2
17
13
2
2
17 y
y
y
y 4
4
17
13
2
2 −
=
⇒
−
=
+ y
y
y
1
4
4
−
=
−
=
y
sustituyendo en la ecuación despejada:
( ) 3
10
30
10
4
34
10
1
4
34
10
4
34
−
=
−
=
+
−
=
−
−
−
=
−
−
=
y
x
Por lo tanto: 3
−
=
x y 1
−
=
y .
Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


=
−
=
−
+
−
−
−
=
−
−
=
−
+
−
13
2
15
1
2
3
5
34
4
30
1
4
3
10
MÉTODO DE DETERMINANTES
Dado un arreglo de números de la forma: 





22
21
12
11
a
a
a
a
, su determinante:
22
21
12
11
a
a
a
a
denotado por ∆ , es el resultado de la operación: 12
21
22
11 a
a
a
a − y representa el producto de números
que conforman su diagonal principal (la que se dirige hacia abajo) menos el producto de números que
conforman su diagonal secundaria (la que se dirige hacia arriba).
Ejemplos.
Calcular los siguientes determinantes:
1) ( ) ( ) 14
6
20
2
3
4
5
4
3
2
5
=
−
=
−
=
2) ( ) ( ) 7
5
12
5
1
6
2
6
1
5
2
−
=
+
−
=
−
−
−
=
−
−
3) ( )( ) ( )( ) 37
28
9
7
4
1
9
1
4
7
9
=
+
=
−
−
−
−
=
−
−
−
4) ( ) ( )( ) 4
0
4
0
3
10
5
2
10
3
0
5
2
=
+
=
−
−
=
−
Dado un sistema de la forma:



=
+
=
+
2
22
21
1
12
11
b
y
a
x
a
b
y
a
x
a
• El determinante del Sistema ∆ es el determinante del arreglo formado por los coeficientes de las incógnitas.

8
• El determinante de la incógnita x
∆ es el que se obtiene sustituyendo en el arreglo del sistema la
columna de los coeficientes de la incógnita x por la columna de los términos independientes.
• El determinante de la incógnita y
∆ es el que se obtiene sustituyendo en el arreglo del sistema la
columna de los coeficientes de la incógnita y por la columna de los términos independientes.
La Regla de Cramer establece que dado un sistema de ecuaciones lineales cuyos términos
independientes no son cero, el valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la
incógnita por el determinante del sistema. Esto es:
22
21
12
11
22
2
12
1
a
a
a
a
a
b
a
b
x
x =
∆
∆
=
22
21
12
11
2
21
1
11
a
a
a
a
b
a
b
a
y
y =
∆
∆
=
En este método solo interesan los coeficientes numéricos incluyendo su signo y, en ambos casos, el
denominador es el mismo.
Ejemplos.
Por medio de determinantes, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1)



−
=
+
−
=
−
14
5
4
12
3
2
y
x
y
x
Solución.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
9
2
18
12
10
42
60
3
4
5
2
3
14
5
12
5
4
3
2
5
14
3
12
−
=
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
x
( ) ( )( )
( ) ( )( )
10
2
20
12
10
48
28
3
4
5
2
12
4
14
2
5
4
3
2
14
4
12
2
−
=
−
=
−
+
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
y
Por lo tanto: 9
−
=
x y 10
−
=
y . Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


−
=
−
=
−
+
−
−
=
+
−
=
−
−
−
14
50
36
10
5
9
4
12
30
18
10
3
9
2
2)



=
−
−
=
+
−
26
5
4
9
2
3
y
x
y
x
Solución.

9
( ) ( )
( )( ) ( )
1
7
7
8
15
52
45
2
4
5
3
2
26
5
9
5
4
2
3
5
26
2
9
−
=
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
x
( )( ) ( )
( )( ) ( )
6
7
42
8
15
36
78
2
4
5
3
9
4
26
3
5
4
2
3
26
4
9
3
−
=
−
=
−
+
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
y
Por lo tanto: 1
−
=
x y 6
−
=
y . Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


=
+
−
=
−
−
−
−
=
−
=
−
+
−
−
26
30
4
6
5
1
4
9
12
3
6
2
1
3
3)



=
+
−
=
+
17
16
9
7
4
6
y
x
y
x
Solución.
( ) ( )
( )( ) ( )( ) 3
1
132
44
36
96
68
112
4
9
16
6
4
17
16
7
16
9
4
6
16
17
4
7
=
=
+
−
=
−
−
−
=
−
=
x
( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) 4
5
132
165
36
96
63
102
4
9
16
6
7
9
17
6
16
9
4
6
17
9
7
6
=
=
+
+
=
−
−
−
−
=
−
−
=
y
Por lo tanto:
3
1
=
x y
4
5
=
y . Comprobación:







=
+
−
=






+






−
=
+
=






+






17
20
3
4
5
16
3
1
9
7
5
2
4
5
4
3
1
6
4)



=
−
=
−
14
6
10
8
3
5
y
x
y
x
Solución.
( ) ( )
( )( ) ( ) 0
6
30
30
42
48
3
10
6
5
3
14
6
8
6
10
3
5
6
14
3
8
−
=
+
−
+
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
x

10
x
1 4
3
2 5
-1
-2
-3
-4
-5
4
5
y
2
1
-1
-2
3
-3
9
6
3 −
=
− y
x
10
4
2 =
+ y
x
( ) ( )
( )( ) ( ) 0
10
30
30
80
70
3
10
6
5
8
10
14
5
6
10
3
5
14
10
8
5
−
=
+
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
=
y
Al no existir división por cero, el sistema es incompatible.
MÉTODO GRÁFICO
Como ya se mencionó, cada ecuación lineal de un sistema representa una recta. Esto implica que la
representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par de rectas
y recuérdese que:
• Si se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la
solución del sistema.
• Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado y sus
soluciones son todos los puntos de la recta.
• Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible.
Para fines de graficación conviene despejar de ambas ecuaciones la variable y . Se puede elaborar una
tabla de valores o se ubican los puntos en que cruzan a los ejes coordenados para cada recta, se trazan
y se analiza su comportamiento.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método gráfico:
1)



−
=
−
=
+
9
6
3
5
2
y
x
y
x
Solución
Para la primera ecuación:
Si 5
2
2
5
5
2
0 .
y
y
x =
=
⇒
=
⇒
=
Si 5
2
10
10
2
0 =
=
⇒
=
⇒
= x
x
y
la recta pasa por los puntos ( )
5
2
0 .
, y ( )
0
5,
Para la segunda ecuación:
Si 5
1
6
9
9
6
0 .
y
y
x =
−
−
=
⇒
−
=
−
⇒
=
Si 3
3
9
9
3
0 −
=
−
=
⇒
−
=
⇒
= x
x
y
5
1
0 .
, y ( )
0
3,
−
graficando se obtiene que la solución es el punto de intersección ( )
y
,
x , es decir ( )
2
1,
comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


−
=
−
=
−
=
+
=
+
9
12
3
2
6
1
3
10
8
2
2
4
1
2

11
x
2
1
-1
-2
2
y
1
-1
3
-3
-2
3
2
3 −
=
+ y
x
9
14
6 =
+ y
x
x
2
1
-1
-2
2
y
1
-1
3
-3
-2 6
3
3 =
+ y
x
10
10
5 =
− y
x
2)



−
=
+
=
+
3
2
3
9
14
6
y
x
y
x
Solución
Si 6428
0
14
9
9
14
0 .
y
y
x ≈
=
⇒
=
⇒
=
Si 5
1
2
3
6
9
9
6
0 .
x
x
y =
=
=
⇒
=
⇒
=
6428
0
0 .
, y ( )
0
5
1 ,
.
Si 5
1
2
3
3
2
0 .
y
y
x −
=
−
=
⇒
−
=
⇒
=
Si 1
3
3
3
3
0 −
=
−
=
⇒
−
=
⇒
= x
x
y
5
1
0 .
,− y ( )
0
1,
−
y
,
x , es decir ( )
5
1
2 .
,
−
comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
3
3
6
5
1
2
2
3
9
21
12
5
1
14
2
6
.
.
3)



=
−
=
+
10
10
5
6
3
3
y
x
y
x
Solución
Si 2
3
6
6
3
0 =
=
⇒
=
⇒
= y
y
x
Si 2
3
6
6
3
0 =
=
⇒
=
⇒
= x
x
y
2
0, y ( )
0
2,
Si 1
10
10
10
10
0 −
=
−
=
⇒
=
−
⇒
= y
y
x
Si 2
5
10
10
5
0 =
=
⇒
=
⇒
= x
x
y
1
0 −
, y ( )
0
2,
y
,
x , es decir ( )
0
2,
comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


=
−
=
−
=
+
=
+
10
0
10
0
10
2
5
6
0
6
0
3
2
3

12
PROBLEMAS CON SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS
Muchos problemas técnicos y científicos requieren la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Se
trata de un tema fundamental para todas las disciplinas que utilizan las matemáticas de una manera u
otra. En muchos problemas existe dependencia entre las diferentes magnitudes o variables que
intervienen, y a menudo, se expresa en forma de ecuación lineal.
Dentro del proceso de resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales, se pueden definir
cinco etapas:
• Leer el problema
• Definir las incógnitas principales de forma precisa
• Traducción matemática del problema para plantearlo
• Resolución
• Interpretación de las soluciones para contrastar la adecuación de las soluciones obtenidas.
Ejemplos.
1) En una granja, se tienen cien animales entre puercos y gallinas. Si en total suman 240 patas,
¿cuántos animales tengo de cada clase?
Solución.
x es el número de puercos
y es el número de gallinas
como cada puerco tiene cuatro patas y cada gallina dos, el sistema está dado por:
⇒



=
+
=
+
240
2
4
100
y
x
y
x



=
+
=
+
120
2
100
y
x
y
x
resolviendo por eliminación, se multiplica la primera ecuación por 2
80
120
2
200
2
2
−
=
−



=
+
−
=
−
−
y
y
x
y
x
80
1
80
=
−
−
=
y
20
80
100
100 =
−
=
−
= y
x
Por lo tanto, hay 20 puercos y 80 gallinas.
Comprobación:
( ) ( ) 


=
+
=
+
=
+
240
160
80
80
2
20
4
100
80
20
2) Una cuerda mide doce metros y se corta en dos partes de tal manera que una es dos metros más
grande que la otra. ¿Cuales son las nuevas medidas de las cuerdas?
Solución.
x es la longitud del pedazo más grande
y es la longitud del pedazo más pequeño



+
=
=
+
2
12
y
x
y
x
ordenando:

13



=
−
=
+
2
12
y
x
y
x
resolviendo por eliminación, se suma la primera ecuación a la segunda:
14
2
2
12
=



=
−
=
+
x
y
x
y
x
7
2
14
=
=
x
5
7
12
12 =
−
=
⇒
−
= y
x
y
Por lo tanto, los pedazos miden 7 y 5 metros.
Comprobación:



=
−
=
+
2
5
7
12
5
7
3) Seis Kg. de piñones y cinco Kg. de nueces costaron 270
2, pesos y cinco Kg. de piñones y cuatro de
nueces costaron 880
1, pesos. Hallar el precio de un kilogramo de piñones y uno de nueces.
Solución.
x es el precio en pesos de un Kg. de piñones
y es el precio en pesos de un Kg. de nueces



=
+
=
+
880
1
4
5
270
2
5
6
,
y
x
,
y
x
resolviendo por determinantes:
( ) ( )
( ) ( )
320
1
320
25
24
400
9
080
9
5
5
4
6
5
880
1
4
270
2
4
5
5
6
4
880
1
5
270
2
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
,
,
,
,
,
,
x
( ) ( )
( ) ( )
70
1
70
25
24
350
11
280
11
5
5
4
6
270
2
5
880
1
6
4
5
5
6
880
1
5
270
2
6
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
,
,
,
,
,
,
y
Por lo tanto, un Kg. de piñones vale 320 pesos y uno de nueces vale 70 pesos.
Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


=
+
=
+
=
+
=
+
880
1
280
600
1
70
4
320
5
270
2
350
920
1
70
5
320
6
,
,
,
,
4) Paola tiene 27 años más que su hija Andrea. Dentro de 8 años, la edad de Paola doblará a la de
Andrea. ¿Cuántos años tiene cada una?
Solución.
x es la edad de Paola
y es la edad de Andrea
( )


+
=
+
+
=
8
2
8
27
y
x
y
x

14
simplificando:
⇒



+
=
+
=
−
16
2
8
27
y
x
y
x



=
−
=
−
8
2
27
y
x
y
x
19
8
2
27
−
=
−



=
−
−
=
+
−
y
y
x
y
x
19
1
19
=
−
−
=
y
46
19
27
27 =
+
=
+
= y
x
Por lo tanto, Paola tiene 46 años y Andrea tiene 19 años.
Comprobación:
( ) 


=
−
=
−
=
−
8
38
46
19
2
46
27
19
46
5) La diferencia de dos números es 14, y la cuarta parte de su suma es 13. Hallar los números.
Solución.
x es el número mayor
y es el número menor
( ) 




=
+
=
−
13
4
1
14
y
x
y
x
simplificando:
( )
⇒



=
+
=
−
13
4
14
y
x
y
x



=
+
=
−
52
14
y
x
y
x
resolviendo por eliminación, se suma la primera ecuación a la segunda:
66
2
52
14
=



=
+
=
−
x
y
x
y
x
33
2
66
=
=
x
19
33
14
14
14 =
+
−
=
+
−
=
⇒
−
=
− x
y
x
y
Por lo tanto, los números son 33 y 19.
Comprobación:



=
+
=
−
52
19
33
14
19
33
6) Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es
2
1
, y si a los dos términos
se resta 1, el valor de la fracción es
3
1
. Hallar la fracción.
Solución.

15
x es el numerador
y es el denominador
y
x
es la fracción buscada.







=
−
−
=
+
+
3
1
1
1
2
1
3
3
y
x
y
x
simplificando:
( ) ( )
( ) ( )
⇒



−
=
−
+
=
+
1
1
1
3
3
1
3
2
y
x
y
x
⇒



−
=
−
+
=
+
1
3
3
3
6
2
y
x
y
x



=
−
−
=
−
2
3
3
2
y
x
y
x
resolviendo por igualación, de la primera ecuación se despeja x :
2
3 y
x
+
−
=
de la segunda ecuación también se despeja x :
3
2 y
x
+
=
3
2
2
3 y
y +
=
+
−
( ) ( )
y
y +
=
+
− 2
2
3
3
y
y 2
4
3
9 +
=
+
−
9
4
2
3 +
=
− y
y
13
=
y
5
2
10
2
13
3
=
=
+
−
=
x
Por lo tanto, la fracción es
13
5
Comprobación:







=
=
−
−
=
=
+
+
3
1
12
4
1
13
1
5
2
1
16
8
3
13
3
5
7) El precio del boleto para un concierto es de 225 pesos para público en general, y 150 pesos para
estudiantes. La taquilla recaudó 775
77, pesos por la venta de 450 boletos. ¿Cuántos boletos de cada
tipo se vendieron?
Solución.
x es el número de boletos vendidos a público en general
y es el número de boletos vendidos a estudiantes



=
+
=
+
775
77
150
225
450
,
y
x
y
x

16
475
23
75
775
77
150
225
250
101
225
225
,
y
,
y
x
,
y
x
−
=
−



=
+
−
=
−
−
313
75
475
23
=
−
−
=
,
y
137
313
450
450 =
−
=
−
= y
x
Por lo tanto, se vendieron 137 boletos a público en general y 313 a estudiantes.
Comprobación:
( ) ( ) 


=
+
=
+
=
+
775
77
950
46
825
30
313
150
137
225
450
313
137
,
,
,
8) Una llave A tarda en llenar un depósito el doble de tiempo que otra llave B. Abiertas simultáneamente,
llenan el depósito en dos horas. ¿Cuánto tarda cada una por separado?
Solución.
x son las horas que tarda la llave A en llenar el depósito, así que en una hora llena
x
1
del depósito
y son las horas que tarda la llave B en llenar el depósito, así que en una hora llena
y
1
del depósito
Las dos llaves tardan dos horas en llenar el depósito, así que en una hora llenan
2
1
del depósito





=
=
+
y
x
y
x
2
2
1
1
1
sustituyendo la segunda ecuación en la primera se tiene:
2
1
1
2
1
=
+
y
y
multiplicando por y
2 :
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2 =
⇒
=
+
⇒






=








+ y
y
y
y
y
y
sustituyendo en la segunda ecuación: ( ) 6
3
2 =
=
x
Por lo tanto, la llave A llena el depósito en 6 horas y la llave B lo hace en 3 horas.
Comprobación:
( ) 




=
=
=
+
=
+
6
3
2
2
1
18
9
18
6
3
3
1
6
1
9) Un bote que navega por un río recorre 15 kilómetros en hora y media a favor de la corriente y 12
kilómetros en dos horas contra la corriente. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad
del río.
Solución.
x es la velocidad en Km. por hora del bote en agua tranquila
y es la velocidad en Km. por hora del río
y
x + es la velocidad del bote a favor de la corriente
y
x − es la velocidad del bote contra la corriente

17
velocidad
cia
tan
dis
tiempo
tiempo
cia
tan
dis
velocidad =
⇒
=







=
−
=
+
2
12
5
1
15
y
x
.
y
x
simplificando: ⇒



−
=
+
=
y
x
y
.
x
.
2
2
12
5
1
5
1
15



=
−
=
+
12
2
2
15
5
1
5
1
y
x
y
.
x
.
resolviendo por determinantes:
( ) ( )
( ) ( )
8
6
48
3
3
18
30
5
1
2
2
5
1
5
1
12
2
15
2
2
5
1
5
1
2
12
5
1
15
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
=
.
.
.
.
.
.
x
( ) ( )
( ) ( )
2
6
12
3
3
30
18
5
1
2
2
5
1
15
2
12
5
1
2
2
5
1
5
1
12
2
15
5
1
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
.
.
.
.
.
.
y
Por lo tanto, la velocidad del bote en agua tranquila es de
hr
Km
8 y la velocidad del río es de .
hr
Km
2
Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


=
−
=
−
=
+
=
+
12
4
16
2
2
8
2
15
3
12
2
5
1
8
5
1 .
.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE TRES ECUACIONES Y TRES
INCÓGNITAS
Un sistema de tres ecuaciones lineales con incógnitas x , y y z , también llamado ecuaciones simultáneas
de tres por tres es de la forma:





=
+
+
=
+
+
=
+
+
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
b
z
a
y
a
x
a
b
z
a
y
a
x
a
b
z
a
y
a
x
a
donde 33
11 a
,
,
a ⋯ son coeficientes reales y 3
2
1 b
,
b
,
b son términos independientes. Resolver un
sistema de este tipo es encontrar la terna de números y
,
x y z que satisfacen las tres ecuaciones, si
existen.
Aquí se expondrán dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones:
• Reducción (método de eliminación de Gauss)
• Determinantes (Regla de Cramer)

18
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
El método reducción para la resolución de sistemas lineales es una generalización del método de
eliminación expuesto en el subtema VIII.2.2 y es aplicable a sistemas lineales de cualquier tamaño. En
esencia consiste en hacer, al sistema de ecuaciones lineales, determinadas transformaciones
elementales a fin de obtener un sistema escalonado (un sistema es escalonado cuando cada ecuación
tiene una incógnita menos que la anterior), más fácil de resolver.
La idea del método es muy simple: ir reduciendo en cada paso el problema a un problema que tiene una
ecuación menos y una incógnita menos. Este método es mejor conocido como método de eliminación de
Gauss
1
.
El procedimiento es el siguiente:
1. Tomando como base el signo de una de las incógnitas de una ecuación, se procura que en las otras
dos ecuaciones esa incógnita tenga la misma magnitud y signo contrario, para que al sumarlas miembro
a miembro se elimine dicha incógnita, dando lugar a que en todas las ecuaciones desaparezca, excepto
en una.
2. Se procura que otra de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en cualquiera de las dos ecuaciones
reducidas para que, al sumarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una
ecuación con sólo la tercera incógnita, misma que se despeja.
3. Con un valor conocido, se sustituye en la ecuación reducida para obtener el valor de otra incógnita a
través de un despeje.
4. Con los valores de dos incógnitas se sustituye en la ecuación que no fue reducida, y mediante un
despeje se obtiene el valor faltante.
Ejemplo.
Resolver los siguientes sistemas aplicando el método de eliminación de Gauss.
1)





−
=
−
−
−
=
−
+
−
=
−
+
12
3
2
6
3
2
5
4
13
5
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Solución.
La primera ecuación se multiplica por 2
− y se suma a la segunda. La primera ecuación se multiplica por
3 y se suma a la tercera:





−
=
−
=
+
−
−
=
−
+
51
18
7
29
8
13
5
3
2
z
y
z
y
z
y
x
la segunda ecuación se multiplica por 7 y se suma a la tercera:





=
=
+
−
−
=
−
+
152
38
29
8
13
5
3
2
z
z
y
z
y
x
de la tercera ecuación se despeja z : 4
38
152
=
=
z
1
El nombre es un reconocimiento al matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien desarrolló el método.

19
se sustituye este valor en la segunda ecuación y se despeja y :
( ) 3
1
3
3
32
29
29
32
29
4
8 =
−
−
=
⇒
−
=
−
=
−
⇒
=
+
−
⇒
=
+
− y
y
y
y
estos valores, se sustituyen en la primera ecuación y se despeja x :
( ) ( ) 1
2
2
2
20
9
13
2
13
20
9
2
13
4
5
3
3
2 −
=
−
=
⇒
−
=
+
−
−
=
⇒
−
=
−
+
⇒
−
=
−
+ x
x
x
x
Por lo tanto la solución del sistema es: 4
3
1 =
=
−
= z
,
y
,
x
Comprobación:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 




−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
12
12
6
6
4
3
3
2
1
6
3
8
15
4
4
2
3
5
1
4
13
20
9
2
4
5
3
3
1
2
2)





=
+
−
−
=
−
+
=
−
+
1
2
1
2
2
6
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Solución.





=
+
−
=
+
−
=
−
+
7
11
2
6
2
z
y
z
y
z
y
x
la tercera ecuación se multiplica por 2 y se suma a la segunda:





=
+
=
=
−
+
7
3
3
6
2
z
y
z
z
y
x
de la segunda ecuación se despeja z : 1
3
3
=
=
z
se sustituye este valor en la tercera ecuación y se despeja y :
6
1
7
7
1 =
−
=
⇒
=
+ y
y
( ) 5
1
12
6
6
1
12
6
1
6
2 −
=
+
−
=
⇒
=
−
+
⇒
=
−
+ x
x
x
6
5 =
=
−
= z
,
y
,
x
Comprobación:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 




=
+
−
=
+
−
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
1
2
6
5
1
2
6
5
1
1
12
10
1
6
2
5
2
6
1
12
5
1
6
2
5
3)





−
=
−
−
−
=
+
+
=
−
−
11
2
9
9
5
3
12
20
4
2
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Solución.

20





=
−
−
−
=
+
=
−
−
49
14
7
71
21
11
20
4
2
3
z
y
z
y
z
y
x
la tercera ecuación se divide por 7 :





=
−
−
−
=
+
=
−
−
7
2
71
21
11
20
4
2
3
z
y
z
y
z
y
x
la tercera ecuación se multiplica por 11 y se suma a la segunda:





=
−
−
=
−
=
−
−
7
2
6
20
4
2
3
z
y
z
z
y
x
de la segunda ecuación se despeja z : 6
1
6
−
=
−
=
z
se sustituye este valor en la tercera ecuación y se despeja y :
( ) 5
1
5
5
12
7
7
12
7
6
2 =
−
−
=
⇒
−
=
−
=
−
⇒
=
+
−
⇒
=
−
−
− y
y
y
y
( ) ( ) 2
3
6
6
24
10
20
3
20
24
10
3
20
6
4
5
2
3 =
=
⇒
=
−
+
=
⇒
=
+
−
⇒
=
−
−
− x
x
x
x
5
2 −
=
=
= z
,
y
,
x
Comprobación:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 




−
=
+
−
−
=
−
−
−
−
=
−
+
=
−
+
+
=
+
−
=
−
−
−
11
12
5
18
6
2
5
2
9
9
30
15
24
6
5
5
3
2
12
20
24
10
6
6
4
5
2
2
3
MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER)
Dado un arreglo de números de la forma:










33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
, su determinante:
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
denotado por ∆ , es el resultado de la operación:
12
21
33
11
23
32
13
22
31
23
12
31
13
32
21
33
22
11 a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a −
−
−
+
+

21
Si al determinante se le agregan los dos primeros renglones y se efectúan los productos que indican las
flechas se tiene que:
el determinante puede obtenerse calculando la diferencia de la suma de productos en la dirección hacia abajo
menos la suma de productos en la dirección hacia arriba. Es decir, representa el producto de números que
conforman su diagonal principal (la que se dirige hacia abajo) y sus dos paralelas menos el producto de
números que conforman su diagonal secundaria (la que se dirige hacia arriba) y sus dos paralelas.
Ejemplos.
Aplicando la fórmula, calcular los siguientes determinantes:
1) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
3
4
7
5
9
6
2
1
8
9
3
8
2
6
4
7
1
5
7
6
8
9
1
4
2
3
5
−
−
−
−
−
+
−
+
−
=
−
−
237
84
270
16
216
48
35 −
=
−
−
−
+
−
−
=
2) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
2
5
1
7
4
6
8
3
1
4
2
1
8
6
5
1
3
7
1
6
1
4
3
5
8
2
7
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
−
=
−
−
−
451
10
168
24
8
240
21 −
=
+
−
−
−
−
−
=
3) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
4
2
2
9
8
5
3
1
9
8
4
9
3
5
2
2
1
9
2
5
9
8
1
2
3
4
9
−
−
−
−
−
−
+
−
−
+
−
=
−
−
−
71
16
360
27
288
30
18 −
=
+
−
−
+
+
−
=
4) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 





−
−












−
−












+
+
−
=
−
2
5
10
8
2
1
2
7
0
6
2
4
2
7
2
5
4
6
0
10
8
2
2
1
8
0
4
2
7
2
10
6
2
5
2
1
179
200
0
48
35
0
8 =
+
−
−
+
+
−
=
Dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas de la forma:
23
22
21
13
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
23
22
21
13
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

22





=
+
+
=
+
+
=
+
+
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
b
z
a
y
a
x
a
b
z
a
y
a
x
a
b
z
a
y
a
x
a
• El determinante del Sistema ∆ es el determinante del arreglo formado por los coeficientes de las incógnitas.
• El determinante de cualquier incógnita es el que se obtiene sustituyendo en el arreglo del sistema la
columna de los coeficientes de esa incógnita por la columna de los términos independientes.
La Regla de Cramer establece que dado un sistema de ecuaciones lineales cuyos términos
independientes no son cero, el valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la
incógnita por el determinante del sistema. Esto es:
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
32
3
23
22
2
13
12
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
b
a
a
b
x
x =
∆
∆
= ;
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
3
31
23
2
21
13
1
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
y
y =
∆
∆
= ;
33
32
31
23
22
21
13
12
11
3
32
31
2
22
21
1
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
z
z =
∆
∆
=
Cuando el determinante ∆ es cero, entonces el sistema es incompatible.
Ejemplo.
Obtener la solución de los siguientes sistemas aplicando la Regla de Cramer:
1)





=
−
+
−
=
+
+
=
−
−
42
7
6
2
22
8
3
4
17
6
5
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Solución.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
5
4
7
3
8
6
6
3
2
8
5
2
6
6
4
7
3
3
7
6
2
8
3
4
6
5
3
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
−
=
−
−
−
=
∆
535
140
144
36
80
144
63 −
=
−
−
+
−
−
−
=
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
5
22
7
17
8
6
6
3
42
8
5
42
6
6
22
7
3
17
7
6
42
8
3
22
6
5
17
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
+
−
=
−
−
−
−
=
∆x
535
770
816
756
680
1
792
357 −
=
+
−
+
−
+
−
= ,
1
535
535
=
−
−
=
∆
∆
=
x
x
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
17
4
7
3
8
42
6
22
2
8
17
2
6
42
4
7
22
3
7
42
2
8
22
4
6
17
3
−
−
−
−
−
−
+
−
+
−
−
=
−
−
−
=
∆y
070
1
476
008
1
264
272
008
1
462 ,
,
, −
=
+
−
−
+
−
=

23
2
535
070
1
=
−
−
=
∆
∆
=
,
y
y
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
5
4
42
3
22
6
17
3
2
22
5
2
17
6
4
42
3
3
42
6
2
22
3
4
17
5
3
−
−
−
−
−
−
−
+
+
=
−
−
=
∆z
140
2
840
396
102
220
408
378 ,
=
+
+
−
+
+
=
4
535
140
2
−
=
−
=
∆
∆
=
,
z
z
2
1 −
=
=
= z
,
y
,
x
Comprobación:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 




=
+
+
=
−
−
+
−
=
−
+
=
−
+
+
=
+
−
=
−
−
−
42
28
12
2
4
7
2
6
1
2
22
32
6
4
4
8
2
3
1
4
17
24
10
3
4
6
2
5
1
3
2)





−
=
−
+
−
=
+
+
=
+
+
9
9
8
5
5
4
4
1
2
7
6
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Solución.
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
7
4
9
6
4
8
2
1
5
4
7
5
2
8
4
9
1
6
9
8
5
4
1
4
2
7
6
−
−
−
−
−
−
+
+
−
=
−
−
=
∆
60
252
192
10
140
64
54 −
=
+
−
+
−
+
−
=
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
7
5
9
1
4
8
2
1
9
4
7
9
2
8
5
9
1
1
9
8
9
4
1
5
2
7
1
−
−
−
−
−
−
+
+
−
=
−
−
=
∆x
120
315
32
18
252
80
9 =
+
−
+
−
+
−
=
2
60
120
−
=
−
=
∆
∆
=
x
x
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
1
4
9
6
4
9
2
5
5
4
1
5
2
9
4
9
5
6
9
9
5
4
5
4
2
1
6
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
−
=
−
−
−
=
∆y
60
36
216
50
20
72
270 −
=
+
+
+
−
−
−
=
1
60
60
=
−
−
=
∆
∆
=
y
y
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
7
4
9
6
5
8
1
1
5
5
7
5
1
8
4
9
1
6
9
8
5
5
1
4
1
7
6
−
−
−
−
−
−
+
+
−
=
−
−
=
∆z
180
252
240
5
175
32
54 −
=
+
−
+
−
+
−
=
3
60
180
=
−
−
=
∆
∆
=
z
z

24
1
2 =
=
−
= z
,
y
,
x
Comprobación:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 




−
=
−
+
=
−
+
−
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
9
27
8
10
3
9
1
8
2
5
5
12
1
8
3
4
1
2
4
1
6
7
12
3
2
1
7
2
6
3)





=
−
−
=
−
+
−
=
+
+
−
20
6
2
68
2
8
3
23
5
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Solución.
( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3
3
6
2
2
2
5
8
1
2
3
1
5
2
3
6
8
2
6
2
1
2
8
3
5
3
2
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
−
−
=
−
−
−
−
=
∆
82
54
8
40
6
30
96 =
+
+
−
−
−
=
( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3
68
6
23
2
2
5
8
20
2
3
20
5
2
68
6
8
23
6
2
20
2
8
68
5
3
23
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
−
−
=
−
−
−
−
=
∆x
820
224
1
92
800
120
680
104
1 =
+
+
−
−
−
= ,
,
10
82
820
=
=
∆
∆
=
x
x
( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
23
3
6
2
2
20
5
68
1
2
23
1
5
20
3
6
68
2
6
20
1
2
68
3
5
23
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
−
−
=
−
−
−
−
=
∆y
328
414
80
340
46
300
816 =
−
−
−
+
+
=
4
82
328
=
=
∆
∆
=
y
y
( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3
3
20
2
68
2
23
8
1
68
3
1
23
2
3
20
8
2
20
2
1
68
8
3
23
3
2
−
−
−
−
−
−
+
−
−
+
−
=
−
−
−
=
∆z
246
180
272
184
204
138
320 −
=
−
−
+
+
+
−
=
3
82
246
−
=
−
=
∆
∆
=
z
z
4
10 −
=
=
= z
,
y
,
x
Comprobación:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 




=
+
−
=
−
−
−
=
+
+
=
−
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
+
−
20
18
8
10
3
6
4
2
10
68
6
32
30
3
2
4
8
10
3
23
15
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5
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3
10
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