1. I .r
!
DERIVADA
Derivada unafunciónen un punto.Tasa variación
de de media
v - l(x) Seala función y: (x) y A(x6, f(x6)) un punto
I
f(xo+ !t Bt,, de la gráfica de la función.
Si modificamosen un valor h (incrementode x)
/ Ly - l{xo+h)-l(xo) éstapasaa valer
el de la variableindependiente,
(x o) At/ xo*h y el puntocorrespondientede
lagráfrca,
B , tiene una ordenadaque valdrá f(xs+ h).
xo+h
* Se definela tasade variaciónmediade (x), en el intervalo( xe, xo* h), (cocienteincremental),
al cocienteentre el incrementode la función y el de la variable independiente dicho intervalo.
en
Así,
AY _ f(xo + h) - f(xo)
TVM=
h
* El valor del límite de estecocientecuando h -+ 0 recibeel nombrede tasade variaciónpuntual
'(xo):
de f(x) €n Xs, o derivada f(x) €fl Xs, y serepresenta
de como f
f(xo+h)-f(xo)
f'(x^): lim 4I: t¡t
h+0 l'¡ h-O h
"La derivadadeunafunciónf(x) en un punto xo (f'(xo)) es el límite delcocienteentreel
cuandoesteúltimo tiende a cero"
incrementode la función y el de la variable independiente
* Interpretaciónseométrica: * El cocienteincremental 4I es la pendiente la recta
de
h
i v-(x).'s s , secanteala gráfrca y = (x), definida por los puntos:
I
f(x^+h)l B l.'" A(xo,f(xo)) y B(xs+h,(x¡+h)) delamisma.
* Ello serácierto, independientemente
deltamaño de h.
* Cuando h -+0 , el punto B se acerca,por y = f(x), todo
lo que queramos A , y en el límite definirá con A la
a
recta t, tangentea y = f(x) en A.
'(xn Ay_
Por lo tanto, f " ): lim lim m,: ffit
h+0 h h+0
"La derivada de una función f(x) en un punto X 3 es la medida de la pendientede la recta
tangente ala gráfica y = f(x) en el punto A, de la misma,de abscisa
xs".

2. .¿
Ecuaciónde las rectastangente normal a f(x) en un punto
)¡
Una vez definida la recta tangentea f(x) en A, llamaremosrecta normal a (x) en A a la
alatangenteen el puntode tangencia, .
perpendicular A
respectivas
Susecuaciones serán:
I A(xs,f(*o))
= t : y-f(xo): f'(xo)(x-xo)
It, =f'(xo)
IAt*n.f(xo))
I
n=l I = n = y - f ( x o ) : - = +( ( x - x o )
. xo
llil-: I )
I f'(xo)
Derivadaslaterales un punto:
en Una vez definida la derivada como un límite, a los
Iímites laterales les llama derivadaslaterales
correspondientes se por la derecha por la izquierda,
y
respectivamente, f(x) en x s. Así:
de
.. 'J
ay - f(xo +h)-f(xo)
f'(x;): lim lim
h+o* h n-o-
-.
lim
-
AJy - , i, m f ( * ,u + h ) - f ( x o )
l
'
f'(-xn¡:
h >o- h ¡-o h
Representan pendientesde las rectastangentesa f(x) a la derechay a Ia izquierda de X 0 ,
las
respectivamente.
Por las propiedadesde los límites, sabemosque para que exista lí*it" deben existir los dos
"fl
y
límiteslaterales coincidir.
En estecaso:
-) y '(xo): f '(xü) : f '(xó) ( f i g .l )
l) Si f'(*ü)=f'(xo) lf'(xo) f
laterales (x) en xs coinciden (tangente
Ello significaque lastangentes a única en x s ) .
2) Si f'(xü) + f'(xn) -+ Z f'(xo) ( fie.2)
laterales f(x) en x ¡ tienendistintapendiente.
Ello significa que las tangentes a
No existe una tangenteúnica a f(x) en x e .
',.9ix-)
+- ft'
I ,+ | --
I í¡^,
'r:
,: t,
17
¡l
'¡.1
I
a
,l/
..,¡,--
,/ t' tl- n',-n Í "1--
,-/' I (
z' i-'
I
"Los puntosde la gráfica de f(x) en los que la rectatangentetiene un cambio finito en su pendiente
carecende derivadas"

3. Derivabilidady continuidad:
Si una función tiene derivadasfinitas en un punto x0, entonces continuaen dicho punto:
es
Enefecto: si f'(xi):k' (finito)y f'(xo)=k2 (finito),
,. f ( x n + h ) - f (' x.n ) l - k r
w ' r -u , .
lim = lim[f(x6+h)-f(xs)]: lim h'kr:0 =
h+o+ h ¡+o+ h-+o+
+ lim f(x ¡ + h) = (x e) ::) f(x) es continuaa la derechade x s
h+0-
,. f(*n-h)-f(xo) , .
trm ---i---i--------= : K2 =) lim [f(xs+ h) - f(xo) ]= lim h . kz:0 -
h+o- h n-o- h-+o-
+ Iim (xs+ h) = (xs) = f(x) es continua a la izquierda de xs
h +0-
Si f(x) es continuaa la derecha alaizquierda de x6, f(x) es continuaen Xs .
y
Ello significa que si f(x) tiene derivadaen Xe , ha de ser continuaen dicho punto.
Si f(x) no es continua en x 6 , crrr€c€ tangenteen dicho punto y por tanto también carecede
de
derivada.
Funciónderivada: Dada la función y = f(x), definimos una nueva función; llamamos función
(
derivadaprimeradef(x) f'(xf ó y') a laqueasignaacadavalor x elvalordeladerivada
de f(x) en dicho punto.
Se obtiene de la definición de derivadade f(x), obteniendosu valor en un punto genérico x en
lugar del punto concreto x¡ .
f(x+h-)-f(x)
Así f'(x) = y' : lim
'
h-o h
sustituir x por Xs,
Paraobtenerelvalor de la derivada (x) en un puntoconcreto xe, bastará
de
'(x) .
en la expresiónde la función derivada f
'(x)
Si consideramos f como una función, su función derivada recibe el nombre de función
derivadasegunda f(x) ( f"(x) ó y " ).
de
Su función derivada ( f "'(x) ó y "') será la función derivadatercerade f(x), y así podemos
mientrasla función seaderivable.
seguirsucesivamente,
Reslasde derivación.Derivadasde las funcionesbásicas
Las reglasde derivaciónson métodos,basados la definición de la derivada,para poder obtener
en
las derivadas los distintostipos de funciones,sin necesidad referirnosa dicha definición.
de de

4. 4
* Derivadade Ia función compuesta y : f (u(x))
,,. f(u(x+h))-f(u(x)),.,f(u(x+h))-f(u(x)) - -
u(x+h)-u(x).
' t r + o-
t rr¡¡¡ ..,.. | |
h+0 fi u(x + h) - u(x) h
- u ( X+ h ) - u ( x )
: ,r m f ( u ( x + h ) ) l ( u ( x ) )
l. ,,
h+0 u(x + h) - u(x) lr+0 h
S i u ( x ) e s d e r i v a b l e , s e r á c o n t i n u a-e n
x
lg tut*+h)-u(x)l :,lim Au:0 luego,
f(u(x)+¡u)-[(u(x))
(t)+ y': lim r i m] : f ', l . r l
h+0 AU h+0 h
"La derivadade la función compuesta f (u(x)) es el productode la derivada de f respectode u
(como si u fuera la variableindependiente)por la derivadade u respecto x ".
de
x Derivadade la función constante y : k:
f ( x + h ) - f ( x ) ' : t r,m - :k i-m 0 = 0
' . l k
f'tx):lim'
h+0 h h+o I h+0
Y=i<
La gráfica de la función constante es una recta
horizontal.
'Lt
"La derivadade cualquierconstante siemprecero".
es
* Derivadade la funciónidentidad y: x:
r(x):'lTl-
f(x+h)-f(x) : tim (x+h)-x : lim .[: ,,_,:,.
[ h+o f¡ tr+o[¡ h+o
"Si y:", Y':I"
* Detivadade la función logarítmica y : L x:
-t f(x+h)-f(x) : lim L(x+h)-Lx: **hll:
r(x):;'il- lim fl I_f
fi n-o h h-o'h x )'
:rimrll.Lfr+Ilr:
h+o'¡
r¡mil .t(t*¡)l':l.r¡'
h+o'¡ h+o
rf'* ' )X:
h I x)' x/ x I r/tr,l
: t L.: t.
XX
y: jI
-
"Si L X, Y': ".
"Si y: L( u(x)). y': I' u' ".
u(x)

5. 5
* Derivadadel productode una constantepor una función y: k ' f(x):
Tomandologaritmosneperianos Ly : L k + L f(x)
1'y':g*-l'f'(x)
Derivando = y':y - +'f'(x):kf11*i +'f'(x)
y f(x) f(x) f(x)
Y':k'f'(x)
"La derivada unaconstante unafunciónesel producto la constante la derivada la
de por de por de
función".
* Derivada producto dosfunciones y = f(x) ' g(x):
del de
Tomando logaritmos
neperianosLy : L (x) + L g(x)
I'
Derivando y' : +'f'(x) * -]-'g'(x)
y t (x) g(x)
. [f'r*)+ " 's'(x)l ^
' [f'r*)+"'s.'(x)-]
'
v':,.1 l:t(x).s(.)'l I
I f(x) e(x)
I Lf ( x ) s(x).1
y ' : f ' ( x ) ' g ( x )+ f ( x ) ' g ' ( x )
" La derivada del producto de dos funciones es la suma de la derivadadel primer factor por el
segundosin derivar,más el primero sin derivar por la derivadadel segundo".
* Derivada cociente dos fünciones ,: f!*]
del de - ,
c( x)
neperianos Ly : L f(x)-L
Tomandologaritmos g(x)
I I 'f'(x)- I 'q'(x)
Derivando - '-
u -
y f(x) s(x)
g'(x)-l f.txf -
g(x) g'(x)
f(x)-l
) , _ . Ir'(*) - *(.)l- s(-)Ir't*) JG)s(-)
_ - Y _
Lr.l L l
f'(x)g(x)-g'(x) l(x)
' -
., _
(tt.')'
"La derivadadel cocientede dos funcioneses la derivadadel numeradorpor el denominadorsin
por el numeradorsin derivar,todo ello dividido por
derivar menosla derivadadel denominador
el cuadradodel denominador".
* Derivadade la funciónpotencial y: xn
neperianos Ly : n' Lx
Tomandologaritmos
1'
Derivando y'= n' I = Y' : n' !' tn - n xn-l
yxx
ttSi rr.
y= Xn , yt: ¡1^n-l
"Si y: un , y': n un-l'rr ".

6. ' Casosparticulares: I
-. _+ ,]
Sl n: Y= xtt2:J; y2: -
', X
2' ¿N X
Si :J; -+ J-'
24x
Si :Ju -+ Y :
-^l
I
-----_ u
ziu
1 ^1
' Si n: -1, x-t: - -1
l¡
Y: x --) .,r
J
-
- -r |
X X'
I
v: - --) ,l
Si Y:- ,.
X X-
I - + Y, :I -
Si v: -
u
) u
u-
* Derivadade la función exponencial y : * (a > 0) :
a
neperianos Ly : x' La
Tomandologaritmos
1 'y' :
Derivando La -+ y' : y'La: a' La:
v
Si y: a* --) y' : a* L,a.
Si Y= at' -) y' : au' t''La
' Casoparticular : Si a:€*+y: ex -) y, : {.Le: e* :
Si -+ Y': e"'
Y:ex
Si Y:eu -) Y': eu'u''
* Derivadade las funcionestrigonométricas y : senx , y: cosx , y: tgx:
^ 2x+h h
r, cos sen
- Si y: sen(x+h)-senx :
s e nx : Y': JTl h
tim
h+0
h h
cos(f+ ^ )' sen; sen
: lim
h+0 hl2
Z : lim c o s ( x *l l .
l¡*
h+0 2'
lt h ¡+,o - -h2l 2
¡
"
=
:li1cos(x-tl:cosx:
Si y: senx -+ y': cosx.
si y: senu -+ y': v' 'cosu'
- S i y : c o s x : s e n' ( ] -
2
")
ln l T
y' :ii-*l cos(i- *) : -l' s e n x: - s e n x :
z ) z
Si -+ Y':*senx
Y:cosx
Si -) - u''Senu
Y: cosu Y':

7. SCN X
- 5r Y: tg
C O SX
-
_ . ,_ ( s e nx ) ' c o sx ( c o sx ) ' s e n _ cos2x + sen2x : - + :
x =
sec2x 1+tg2x:
t'l
COS- X cos2x C O S _X
Si y: tgx -+ : sec2x:l+tg2x
cos' x
Si y: tgu -) y' : -+. :
u': u'.sec2u u'.(1+tg2u)
cos- u
- Si y: co tsx: tsf -
* "l
(, I I
alser l*-"1:-t -+ y'=-1 :- .):-cosec'*=-(1 +cotg2x):
_
2 ) sen'x
cosrtJ_*)
Si y:cotgx -) y' : --+:- cosec'*:-(1 +cotg2x).
SEN-X
Si y= cotgu -+ y' :
--+'u':- u''cosec'x :- u''(1 +cotg2x).
sen-u
* Derivadasde las inversasde las funcionestrigonométricas:
- Si y: arcsenx -> x: seny:
1 :+
Derivando :y'cosy =
1 y':
y ,,ftlr"nrv
cos J 1- I
Si y: arc senx -+ y' r"
r/1-x'
-) t,
Si y: arc senu y' : -.ll
r.-
r/ I - u'
- Si y= arccosx -) x: cosy:
Derivando l : - y , s e ny
seny Jl-*J y fi=
Si y : arc cos x --> rJ¡ r.-1
' =
.
-
r/l-x'
I
y : arc cos u --)
,l
Si t/
J
:_ -.lI
r--------: "
rll-u'
- Si y= arctgx -+ x: tgy:
,ll
Derivando l:(l+tg'y)'y' -!:-:' r
1+tg2y l+x2
|
Si y= arctgx -+ y'=
1+x2
I
-) y :
I
Si y:arctgu
l + u '" . u

8. EJERCICIOS
Derivada
l.- A p a r t i r d e l a d e f i n i c i ó n d e d e r i v a d a , o b t e n e r l a s d e r i v a dy : s d1 . y :
a x- e J.-¡ . V
x+l
2.- Estudiarla derivabilidadde las funcionessisuientes:
Ir,,
r(.):J *' six<' =f *' *]
,,*)
SI x<l
(*l:j -' si x<-l
l2*-l si x>l l3-*' si x > l "+l
x si x>-l
I
(^): | f(-):|*' -tl
"-21
3.- Derivary simplificar (en la medidade lo posible):
1^) I x2 +1
y:x' y=3x'-7x+1 v:rl zx2-7x+1 Y:
' . -
x'-l x-l
Lx
y=x2LQ-x) Y:xLx-l y : L c o sx y : s e ne * y : L x ' , e n* '
X
-t'l I 1+x
u: ,-f,"-
"
y - eJlx Y:L y: arc sen - y:
- a r c t- -
g
l-x
[e. +l] X
y=x + a2 arc sen
X
y: arc t"n
x y: arc tg{
n -"*.
a 6; l + cosx
x+l
4.- Halla la rectatangentea: a) f(x) = , enxo:+ b)(x):*ell" enx¡:1.
{x
5.- Ecuaciónde la tangentey normal a y - e-x2+2**1 Xo=l.
"n
f
Í d e mc o n Y : e-x'+x+l
6.- Ecuacióndelatangenty=xLx,
ea p a r a l e la 2 x - y - 5
a :0.
7.- S i f ( x ) : * 3 - 3 x 2 . H a l l a r a t a n g e n t e p a r a l e l3 x * y - 5
l aa :0.
8.- Si f(x) : Lx ¿tangente la curva, paralelaa la recta que pasapor los puntosde la curva x:
a I y
x=e?
9.- y:
Tangentesu Jr.n5x en x: xf6 ya y: Ltg2x enx: n/8 .
1 0 . - Tangentes y=x2 desdeP(2,3).
a
1 1 . - Determinar m para que la tangentea y : en el punto de abscisa x: 4 sea
perpendiculara:
y mx.