1. Universidad de Santiago de Chile Profesor: Carlos Silva Cornejo
Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Curso: Cálculo Avanzado
DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE
RESUMEN PEP1 CÁLCULO AVANZADO FOURIER
1.- SERIE DE FOURIER Diferenciación: Sea f(x) una función continua
xe seccionalmente suave de periodo 2L.
Se llama serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo
[-L,L] a: Entonces, la Serie de Fourier de f’(x) se puede obtener
mediante diferenciación término a término. En

 n   n  particular si:
f ( x)  A0   [ An cos x   Bn sen x ]
n 1  L   L  
 n   n 
f ( x)  A0   [ An cos x   Bn sen x ]
Con: n 1  L   L 
L
Entonces:
1 n
A0   f ( x)dx

 n   n 
2 L l f ´(x)   [ An sen x   Bn cos x ]
n 1 L  L   L 
 n 
L
1
An  l f ( x) cos L x dx Integración: Sea f(x) seccionalmente continua en
L   [-L,L] con serie de Fourier

 n   n 
1
L
 n  f ( x)  A0   [ An cos x   Bn sen x ]
Bn  l f ( x)sen L x dx
 
n 1  L   L 
Entonces x  [ L, L] se verifica:
L
ATRIBUTOS DE LA FUNCIÓN  x   n   n 
x x
 f (t )dt  L A0 dt     An cos t   Bn sen t  dt
 f seccionalmente continua en [a,b] si y sólo si: L  n 1
L
  L   L 
(a) f es continua en [a,b] excepto en un número
finito de puntos. DESARROLLO EN MEDIO RANGO
(b) lim f ( x) y lim f ( x) existen y son finitos
x a  x b 
EXTENSIÓN IMPAR (SENO)
(c) Si x0 e (a,b) y f no es continua en x0 entonces:

 n 
lim f ( x) y lim f ( x) existen y son finitos
x  x0  x x  s sen ( x)   Bn sen x
 L 
0
n 1
 f seccionalmente suave en [a,b] si f y f’ son
seccionalmente continuas en [a,b].
Donde:
 n 
L
2
CONVERGENCIA Bn   f ( x) sen x dx
L0  L 
 f es seccionalmente suave en [-L,L] entonces la serie de
Fourier de f(x) converge a: EXTENSIÓN PAR (COSENO)
(i)Extensión periódica de f(x) donde la función sea  n 

continua scos ( x)  A0   An cos x
n 1  L 
s ( x) 
 f ( x )  f ( x )
 
Donde:
(ii)
2 1
L
2
L
 n 
L  f ( x) cos L
A0  f ( x)dx An  x dx
Donde la extensión periódica tenga una discontinuidad 0
L0  
IDENTIDAD DE PARSEVAL
INTEGRAL DE FUNCIONES PARES E IMPARES
 f seccionalmente suave en [-L,L] L L
(a) Si f es par en [-L,L]   f ( x)dx  2 f ( x)dx
L  L 0
1
L[ f ( x)] dx  2( A0 )  [ An  Bn ]
2 2 2 2
L
L n 1 (b) Si f es impar en [-L,L]   f ( x)dx  0
L

2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IMPORTANTES la integral de Fourier en senos de f se define como:
 
sen(   )  sen( ) cos(  )  sen(  ) cos( ) 2
I S ( x)   B( w) sen( wx)dw ; B( w) 
  f ( x) cos(wx)dx
cos(   )  cos( ) cos(  )  sen( ) sen(  ) 0 
Entonces:
Para el estudio de sistemas y señales, una señal x(t) es
1 de energía finita, o simplemente de energía si cumple
sen( ) cos( )  [ sen(   )  sen(   )]
2 
con: E   x(t ) dt   . Si E   la señal es de
2
1
sen( ) sen(  )   [cos(   )  cos(   )] 
2
potencia.
1 En la Ingeniería Eléctrica, las series, integrales y
cos( ) cos(  )  [cos(   )  cos(   )]
2 transformada de Fourier son los conceptos y
Además: herramientas básicas para tener una concepción de las
1  cos 2 x 1  cos 2 x distintas señales que requieren ser estudiadas.
sen 2 ( x)  cos 2 ( x)  La voz humana es un ejemplo de una señal que requiere
2 2 ser transmitida, filtrada y correctamente decodificada.
Es por esto que el dominio ω de la frecuencia resulta
2.- INTEGRAL DE FOURIER fundamental
Surgen del análisis de señales o funciones no periódicas.
CONVERGENCIA
Si f(x) definida está definida en los reales

Si f(x) es seccionalmente continua en [-L,L] y
seccionalmente continua tal que  f (t ) dt converge. 

Entonces la integral de Fourier de f se define como: 

f (t ) dt convergente, entonces:
 f (x 


I ( x)   [ A( w) cos( wx)  B( w) sen( wx)]dw )  f (x )
0
I ( x) 
2
Donde:

1
A( w) 
  f ( x) cos(wx)dx

Para todo x donde f ' L ( x) y f 'R ( x) existan.

1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA
B( w) 
  f ( x)sen(wx)dx
 VARIABLE REAL
Nota: Para la estimación de la suma de una serie, surge
la pregunta sobre ¿cómo sumamos y qué tan buena es
CURVAS DE REFERENCIA
esa aproximación?
El matemático Suizo Leonhard Euler(1707-1783)

calculó la suma de una famosa serie infinita de los
números enteros positivos (1/12 + 1/22 + 1/32 ...), Hélice: Sea f (t )  (cos t , sent , t )
también conocida como Problema de Basilea. Aunque
tiene infinitos términos, el resultado no es infinito sino
un número exacto. Muchos matemáticos intentaron
hallar la solución sin éxito (sólo se conocía el valor
aproximado) y fue Euler quien lo consiguió:
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 ... =
1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ... = π2 /6=Φ
El resultado equivale a 1,644934... y la aparicion de
PHI en el resultado es una de las curiosades de la serie.
Euler realizó este descubrimiento en 1735, cuando tenía
solo 28 años, aunque hasta 1741 no lo perfeccionó de
forma «rigurosa». Doble hélice
DESARROLLO EN MEDIO RANGO
Si f(x) definida está definida en los reales positivos

Hélice Turbinas
seccionalmente continua tal que 
0
f (t ) dt converge.
Entonces la integral de Fourier en cosenos de f se
define como:
 
2
I C ( x)   A( w) cos( wx)dw ; A( w)   f ( x) cos( wx)dx
0
 0

3. Otras cónicas son posibles de obtener de la siguiente
Círculo : la trayectoria r(t)=(cost,sent) describe un forma:
circulo unitario x2+y2=1
Ejemplo: Colocamos un disco en el plano xy con su
centro inicialmente en (0,1), de manera que la posición
del centro en el tiempo esté dada por la trayectoria
c(t)=(vt,1)
ECUACIÓN DEL SEGMENTO
La ecuación vectorial que une la punta del vector r0 con
la del vector r1 es:
r (t )  (1  t )r0  t  r1 ;0  t  1
La curva descrita por el movimiento de un punto que
está en borde de un círculo que rueda, se llama cicloide. REGULARIDAD DE UNA CURVA
La ecuación paramétrica que describe dicha trayectoria
es: r (t )  (a(t  sent ), a(1  cos t )) Camino Regular: Se dice que r(t) describe un
Siendo t un parámetro real. 
camino regular si r’(t)  0 t  I  
Nota Histórica: Desde los tiempos antiguos, el círculo y
la esfera han sido considerados las formas perfectas de
la geometría. Para los griegos eran los símbolos de la LONGITUD DE ARCO
simetría suprema de lo divino. ¿Qué formas de
movimiento podrían ser las más adecuadas para b
describir el movimiento innmutable y eterno de los l   r '(t ) dt
planetas? a
El matemático francés Blaise Pascal estudió el cicloide
en 1649 a manera de distracción mientras padecía un
fuerte dolor de muelas. Cuando el dolor desapareció, lo
interpretó como una señal de que Dios no estaba en
desacuerdo con sus ideas. Los resultados de Pascal PARAMETRIZACIÓN POR LONGITUD DE ARCO
movieron a otros matemáticos a investigar esta curva, y
posteriormente fueron halladas numerosas e t
ds
importantes propiedades. Una de éstas fue descubierta s(t )   r '(u ) du   r '(u )
por el holandés Christian Huygens, quien la usó para la dt
a
construcción de un reloj de péndulo “perfecto”.
Si r '( s)  ( x( s), y( s), z ( s)) describe una curva de  y s
3
Otras curvas pueden obtenerse mediante la
intersección de superficies. Un ejemplo clásico es la es parámetro de longitud de arco, entonces:
intersección de un plano con un cilindro o un cono,  dr
conformando una elipse. T (s) 
ds
VECTORES UNITARIOS

  T '(t )   
r ' (t )
T (t )  N (t )  
B(t )  T (t )  N (t )
r ' (t ) T '(t )
  
El conjunto de vectores T (t ) N (t ) B(t ) cumple con:
        
T N  B N B  T B T  N
 r ' (t )  r ' ' (t )
Además: B
r ' (t )  r ' ' (t )

4. CURVATURA FÓRMULAS DE FRENET

k ( s)  T ' ( s)  r ' '( s) ;donde s es parámetro dT 
(1) kN
longitud de arco
ds

dN  
r ' (t )  r ' ' (t ) (2)  k T   B
T ' ( s) ds
k (t )   3 
r '( s ) dB 
r ' (t )
  N
(3) ds
APLICACIÓN: MOVIMIENTO EN EL ESPACIO,
PLANOS POR UN PUNTO DE LA CURVA VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
PLANO OSCULADOR Consideremos la trayectoria de la curva dada por:
( x  x0 , y  y0 , z  z0 )  B  0 
Si r (t )  ( x(t ), y(t ), z (t ))
Si x,y y z son funciones derivables 2 veces respecto al
PLANO NORMAL parámetro t, el vector velocidad , aceleración y el
escalar rapidez se definen como:
( x  x0 , y  y0 , z  z0 )  T  0
Velocidad v(t )  r ' (t )  ( x' (t ), y' (t ), z' (t ))
Aceleración a(t )  r ' ' (t )  ( x' ' (t ), y' ' (t ), z' ' (t ))
PLANO RECTIFICANTE
Rapidez= v(t )  r ' (t )  x' (t ) 2  y' (t ) 2  z ' (t ) 2
( x  x0 , y  y0 , z  z0 )  N  0
COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA
RECTAS POR UN PUNTO DE LA CURVA ACELERACIÓN
RECTA TANGENTE El siguiente teorema establece que el vector aceleración
( x, y, z)  ( x0 , y0 , z0 )  t (T1 , T2 , T3 )  0 está en el plano determinado por T(t) y N(t).
Teorema: Si r(t) es el vector posición de una curva
RECTA NORMAL suave C y N(t) existe, el vector aceleración lo podemos
( x, y, z)  ( x0 , y0 , z0 )  t ( N1 , N 2 , N 3 )  0 expresar por:
RECTA BINORMAL a(t )  aT T (t )  a N N (t )
( x, y, z)  ( x0 , y0 , z0 )  t ( B1 , B2 , B3 )  0
Donde:
TORSIÓN v  a d 2s
aT   v   a  T 
d
 2
 ( s)  
dB 
 ( s)
dt v dt
ds N
va
Si
dB
 0 entonces la torsión es cero y la curva es aN  v  T '  a  N 
ds v
denominada “plana” (contenida en el plano osculador)
Además: 2
 (t ) 
r' (t )  r' ' (t ) r' ' ' (t ) aN  a  aT
2 2  ds 
 K 
2  dt 
r ' (t )  r ' ' (t )
Nótese que la componente normal a N  0 .La
componente normal de la aceleración también se llama
componente centrípeta de la aceleración.
K es la curvatura y ds/dt es su rapidez.