04 Func

1o Bto: Función Real
IES Fco Tomás y Valiente

Función Real
Definición de función. V. Dependiente, Independiente. Imagen, Antii-
magen. Dominio y Recorrido.
Una función es una relación o correspondencia entre magnitudes o variables, una de ellas,
x, a la que denominamos variable independiente y otra, y, que viene determinada por x,
y a la que denominamos v. dependiente.
Eje: Precio de una llamada telefónica, P , depende de su duración t. P (t)
Espacio recorrido por un coche, e, en un movimiento uniforme, depende del tiempo, t; e (t).
Nota: Aplicación, es una relación o correspondencia entre conjunto mediante la que a cada
elemento del conj origen le corresponde un único elemento del conj final.
Def. Función es una aplicación entre dos conj A y B, de forma que a cada elemento del
conj A (conj original), le corresponde un único elemento del conj B ( conj final )
f : A −→ B
x −→ y = f (x)
y es la imagen por f de x, y = f (x)
x es la antiimagen de y por f , x = f −1 (y)
Observación: Si A y B son conjuntos de Números reales, la función se denomina función
real de variable real
Def. Dominio de una función es el conjunto origen de la aplicación.
Observ. En una función real de variable real, Dom f ⊂ R, formado por todos los valores
reales x, que tienen imagen y = f (x)
Dom f = {x ∈ R | ∃| y = f (x) ∈ R}
1
Ej. Sea f (x) = , Dom f = R − {0}, pues la división por cero no está definida.
x
Def. Recorrido o Imagen de una función es el conjunto imagen de la aplicación.
Observ. En una función real de variable real, Img f ⊂ R, formado por todos los valores
reales y, para los que existe al menos un número real x ∈ Dom f ⊂ R, es decir y = f (x)
Img f = {y ∈ R | ∃ x ∈ Dom f con f (x) = y }
Calculo del Dominio de una Función. Dom f

Funciones definidas mediante una expresión algebraica

• Funciones Polinómicas. f (x) = P (x) → Dom f = R

Fuenmayor - La Rioja 1 05-Fun


P (x)
• Funciones Racionales. f (x) = → Dom f = R − {x ∈ R | Q (x) = 0}
Q (x)
n
• Funciones Irracionales. f (x) = P (x)
siendo n par. → Dom f = {x ∈ R | P (x) ≥ 0}
siendo n impar. → Dom f = R

• Funciones Trigonométricas

◦ f (x) = sen (P (x)). Dom f = R
◦ f (x) = cos (P (x)). Dom f = R
π
◦ f (x) = tg (P (x)). Dom f = R − x ∈ R P (x) = + k π, k ∈ Z , pues
2
π
tan + k π , no es real (∞)
2
• Función Exponencial. f (x) = aP (x) con a > 0 y a = 1 → Dom f = R

• Función Logarítmica. f (x) = loga P (x) con a > 0 y a = 1. →
Dom f = {x ∈ R | P (x) > 0}

• Funciones definidas a trozos, la función está definida por expresiones analíticas
diferentes según los valores de x. Dom f = de los diferentes conjuntos para los
que est definida cada trozo.

Funciones definidas mediante gráficas.

Dom f se determina observando los valores reales del eje de abscisas, OX , para los
que tiene imagen. (si proyectas la gráfica sobre el eje de abscisas, obtendrás el dominio
de la función).

Calculo del Recorrido o Imagen de una Función. Img f
Funciones definidas mediante gráficas.

Img f se determina proyectando la gráfica sobre el eje de ordenadas, y observando las
ordenadas obtenidas

Funciones definidas mediante una expresión analítica

Para calcular Img f o recorrido de f , deberemos encontrar una expresión mediante la
que podamos obtener los valores de x en función de y. Aunque esta expresión no es
siempre una función, nos permitirá determinar su dominio que será el recorrido de la
función f .



Ej: f (x) = x2 − 1

Dom f = R e Img f = [−1, ∞)

Llamamos y = x2 − 1, despejamos x x = ± y + 1, esta expresión no es una función,
pues para un valor de y existen dos valores de x, pero nos permite calcular el recorrido
de f .

x=± y + 1, existe para y + 1 ≥ 0, es decir y ≥ −1 ⇒ [−1, ∞). Entonces
Im f = [−1, ∞).

Características de una Función. Estudio Local y Global de una Función

Signo de una función Calculamos ∀ x ∈ Dom f el signo de f (x), determinando los inter-
valos donde el signo de f (x) es cte.

Determinamos los cero de f (x) y los valores de x donde la función no está deﬁnida.

Colocamos sobre la recta real, los valores calculados en el apartado anterior.

Estudiamos el signo de f (x) en cada uno de esos intervalos.

Observación: Si los valores obtenidos en el 1er apartado aparecen un número impar
de veces, los signos se van alternado, si aparecen un número par, se mantiene el
signo.
x2 − 4
4
Ej. f (x) = x − o, haciendo cuentas f (x) =
x x
x2 − 4 2
Ceros de f (x) = : x − 4 = 0 ⇒ x = ±2
x
x2 − 4
Valores donde f (x) = no está deﬁnida: x = 0
x
Intervalos donde el signo f (x) = cte

sgno f (x) = −
en (−∞, −2] [0, 2)
Sgno de f (x), en cada trozo de la recta
sgno f (x) = +
en (−2, 0] [2, ∞)



Simetrías
f (x) par , si se cumple ∀ x ∈ Dom f f (−x) = f (x), entonces f (x) es simétrica
respecto OY

f (x) impar , si se cumple ∀ x ∈ Dom f f (−x) = −f (x), entonces f (x) es
simétrica respecto del origen de coordenadas, (0, 0)

Periodicidad Una función es periódica si su gráfica se repite indefinidamente en su
dominio de definición o Una función,f (x), es periódica, de periodo T, cuando
∀ x ∈ Dom f f (x + T ) = f (x)

Acotación Una función, f (x), está acotada – intuitivamente – cuando su imagen o recorrido
esta comprendido entre dos valores, es decir su representación gráfica está comprendida
entre dos recta de la forma y = k, donde k ∈ R

f (x) esta acotada superiormente, si ∃ k ∈ R f (x) ≤ k ∀ x ∈ Dom f . k
es la cota superior

f (x) esta acotada inferiormente, si ∃ k ∈ R k ≤ f (x) ∀ x ∈ Dom f . k
es la cota inferior.

f (x) esta acotada si ∃ k1 , k2 ∈ R k1 ≤ f (x) ≤ k2 ∀ x ∈ Dom f . k1 es la
cota inferior y k2 es la cota superior

Monotonía es decir variación de f (x) , respecto a la variable independiente.

f (x) Creciente si ∀ x1 , x2 ∈ Dom f text con x1 ≤ x2 se cumple f (x1 ) ≤ f (x2 )

f (x) Estrictamente Creciente si ∀ x1 , x2 ∈ Dom f text con x1 ≤ x2 se
cumple f (x1 ) < f (x2 )

f (x) Decreciente si ∀ x1 , x2 ∈ Dom f con x1 ≤ x2 se cumple f (x1 ) ≥ f (x2 )

f (x) Estrictamente Decreciente si ∀ x1 , x2 ∈ Dom f con x1 ≤ x2 se
cumple f (x1 ) > f (x2 )

Puntos Críticos – Extremos Relativos - máximos o Mínimos Relativos Puntos Crí-
ticos (puntos máximos o mínimos), es decir puntos donde la gráfica alcanza, lo-
calmente, su valor máximo o mínimo:



P (x0 , f (x0 )) es un pto máximo de f (x), si ∃ E (x0 ) (entorno de x0 ) tq ∀x ∈
E (x0 ) − {x0 } f (x) < f (x0 )

P (x0 , f (x0 )) es un pto mínimo de f (x), si ∃ E (x0 ) (entorno de x0 ) tq
∀x ∈ E (x0 ) − {x0 } f (x) > f (x0 )

Concavidad Determina de la situación de las rectas tangente – por encima o por debajo –
respecto de la gráfica de una función f (x); o curvatura de f (x) respecto de la variable
independiente.

Un función es Cóncava o Cóncava hacia arriba (∪) en x = a, si existe un
entorno de a, (E (a)), en el que la recta tangente en se encuentra por debajo de
la gráfica de la función.

Un función es Convexa o Cóncava hacia abajo (∩) en x = a, si existe un
entorno de a, ( E(a)), en el que la recta tangente en se encuentra por encima de
la gráfica de la función.

Ptos de Inflexión Son puntos de la gráfica de la función, donde las rectas tangentes a
la gráfica de una curva, pasan de encontrarse por encima de la misma a encontrarse
debajo de la gráfica - pasa de cóncava a convexa o al revés.

Operaciones con Funciones
Sean las funciones f (x), g (x)
Suma o Adicción de Funciones (f ± g) (x) = f (x) ± g (x), donde Dom (f ± g) =
Dom f Dom g

Propiedades: Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro (f (x) = 0 ∀x ∈ R), Ele-
mento opuesto de f (x) (opuesto de f (x) = −f (x) ∀x ∈ R).

Producto de Funciones (f · g) (x) = f (x) g (x), donde Dom (f · g) =
Dom f Dom g

Propiedades: Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro (f (x) = 1 ∀x ∈ R), Distri-
butiva respecto de la suma.

¡Ojo con el Dominio del producto de funciones!
x2 − 4 1 x2 − 4
1 x+2
Ej. Sean f (x) = y g (x) = 2 entonces (f · g) (x) = =2
2+4
x−2 x +2 x−2 x x +4



Dom f = R − {2} y Dom g = R. El dominio de f · g será Dom (f · g) = R − {2} a
x+2
pesar de que si consideramos la función (f · g) (x) = 2 el dominio sería todos los
x +4
números reales

Casos particulares: Producto de una función por un número real, Potencia de
Funciones

Cociente de Funciones (f /g) (x) = f (x)/g (x) , donde

Dom (f /g) = Dom f Dom g − {x ∈ Dom g | g (x) = 0}

¡Ojo con el Dominio del cociente de funciones!
√
√ 5 f (x − 3) x−2
Ej. Sean f (x) = x − 2 y g (x) = entonces (x) =
x−3 g 5
Dom f = [2, ∞) y Dom g = R − {3}. El dominio de f /g será Dom (f √ /g) =
(x − 3) x − 2
[2, ∞) − {3}, a pesar de que si consideramos la función (f /g) (x) =
5
el dominio sería todos los números reales.

Composición de Funciones

Denominamos función compuesta de f y g g ◦ f ó f compuesta g a
f g
x −→ f (x) −→ g (f (x)) = (g ◦ f ) (x), donde

Dom g ◦ f = Dom f − { x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g }
/

Denominamos función compuesta de g y f , f ◦ g ó g compuesta f a
g f
x −→ g (x) −→ f (g (x)) = (f ◦ g) (x), donde

Dom f ◦ g = Dom g − { x ∈ Dom g | g (x) ∈ Dom f }
/
√
x → Dom f = [0, ∞), g(x) = 1 − x2 → Dom g = R
Ej. f (x) =
√
— g ◦ f (x) = 1 − ( x)2 = 1 − x → Dom g ◦ f = [0, ∞)
√
— f ◦ g(x) = 1 − x2 → Dom f ◦ g = [−1, 1]
Función Inversa. Relación con la Composición de Funciones
Def. Dada una función f (x), se denomina función inversa, f −1 (x) a aquella función tal que
f ◦ f −1 (x) = f −1 ◦ f (x) = x
Nota: la composición de una función con su inversa es conmutativa.
Def. Dada una función y = f (x), se denomina función inversa, f −1 (x), a aquella función tal
que f ◦ f −1 (x) = f −1 ◦ f (x) = x



– Calculo de la función inversa de una dada.
Nota: Dada una función y = f (x), una imagen de f (x) puede tener más de un original, por
lo que en lugar de calcular la función inversa, determinaremos la correspondencia inversa,
que en general no es una función, pues a un valor f (x), le correspondería más de un valor
f −1 (f (x)).
Calculo de la correspondencia inversa de y = f (x).

1. Se busca la expresión que proporciona x en función de y.

2. Cambiamos y por x y x por y

Ej. Sea f (x) = x2 − 1, observar que para x = ±1 f (±1) = 0.
Llamamos y = x2 − 1, y despejamos x, nos quedará: x = ± y + 1. Si cambiamos y por x
√
y x por y, tendremos y = ± x + 1, que será la correspondencia inversa de f (x) = x2 − 1.
√ √
Podemos considerar función inversa de f (x), o bien f −1 (x) = + x + 1 ó f −1 (x) = − x + 1
1−x
Ej. Sea f (x) = , como es biyectiva en R − {−1, −2}.
2+x
1−x
Llamamos y = y despejamos x 2 y + x y = 1 − x ⇒ x y + x = 1 − 2 y ⇒ es la
2+x
1 − 2x
1−
1 − 2x x+1 =
función inversa de f (x), pues f ◦ f −1 (x) = f f −1 (x) = f =
1 − 2x
x+1
2+
x+1
x + 1 − 1 + 2x 3x
= = x.
2x + 2 + 1 − 2x 3
Nota: Se puede simpliﬁcar x + 1, pues −1 ∈ Img f
/
De forma idéntica se comprueba que f −1 ◦ f (x) = x, teniendo en cuenta que 2 + x, se
puede simpliﬁcar puesto que pues −2 ∈ Dom f .
/



Funciones Elementales



Funciones Que tienen Por Gráfica Una Recta
Tipos
Constante y = k, es || al eje OX y pasa por el punto P (0, k)
Lineal y = mx, pasa por el origen de coordenadas y tiene por pendiente m que es la tangente
de la inclinación.
Afín y = mx + n

Ecuaciones:

Explícita y = mx + n, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.
General Ax + By + C = 0
Pto-Pendiente y − y0 = m(x − x0 ), pasa por P (x0 , y0 ) y tiene por pendiente m.

Gráfica La gráfica es una línea recta que podemos dibujar si conocemos DOS puntos.
y1 − y0
Nota: Si P (x0 , y0 ) y Q(x1 , y1 ) son dos puntos de una recta r, su pendiente será: m =
x1 − x0
Funciones Cuadráticas: y = ax2 + bx + c
Gráfica La gráfica de las funciones cuadráticas es una Parábola.
Características
Si coef x2 > 0 y si coef x2 < 0
−b
xv = , yv = f (xv )
2a
Para dibujarla, calcularemos los cortes con los ejes coordenados o daremos valores a x
entorno a xv .
Observaciones
a abrirá o cerrará la parábola.
b la desplazará hacia la izda o dcha.
c la desplaza hacia arriba o hacia abajo.


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