1. Cálculo diferencial e integral de una variable
Funciones
Reales de
Varias
Variables
1

2. Cálculo diferencial e integral de una variable
Contenidos
• Habilidades ir
• Función de dos variables. ir
• Gráfica de una función real de dos variables. ir
• Curvas de nivel. ir
• Límite.
ir
• Continuidad. ir
• Derivadas Parciales.
ir
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3. Cálculo diferencial e integral de una variable
Habilidades
• Define el concepto de función real de dos y tres
variables.
• Determina el dominio de una función real y lo
representa gráficamente.
• Traza la gráfica de una función real de dos variables
reales.
• Relaciona la regla de correspondencia de una
función con su gráfica.
• Determina las curvas (superficies) de nivel de una
función real de dos (tres) variables.
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4. Cálculo diferencial e integral de una variable
Habilidades
• Calcula el límite de una función.
• Determina la no existencia del límite de una función real de dos
variables reales.
• Establece la continuidad de una función real en un punto.
• Define el concepto de derivada parcial.
• Calcula derivadas parciales.
• Interpreta geométricamente el concepto de derivada parcial.
• Calcula derivadas parciales de segundo orden.
• Verifica que una función dada es solución de una ecuación en
derivadas parciales.
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inicio

5. Cálculo diferencial e integral de una variable
Funciones de Varias Variables.
Definición: Una función f de dos variables es una regla
que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un
conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de
valores que toma f, es decir { f ( x, y ) /( x, y ) ∈ D}
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6. Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos.
1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos.
a) f ( x , y ) = y2 − x
(
b) f ( x , y ) = ln x 2 + y 2 − 4 )
Ln(1 − x − y )
c) f (x,y) =
y−x
2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso
sea posible. Justifique su respuesta.
6
inicio

7. Cálculo diferencial e integral de una variable
Gráfica de una función de dos variables.
Definición: Si f es una función de dos variables con dominio
D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z)
de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.
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8. Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo
2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la
imagen.
a) f ( x , y ) = 4 − y 2 − x2
(
b) z = 9 − x 2 − y 2 )
8
inicio

9. Cálculo diferencial e integral de una variable
Curvas de nivel.
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10. Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos
variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es
una constante (que pertenece a la imagen de f).
O
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11. Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
3. Trace la gráfica y las curvas de nivel de:
a) f ( x , y ) = x2 + y 2
b) f ( x , y ) = x 2 − y 2
4. Una lamina de metal plana está situada en un plano XY y la temperatura
T (en grados centígrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcional
a la distancia del punto (x, y) al origen.
a) Describa las isotermas
b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados
centígrados, encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a
la temperatura de 20 grados centígrados.
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12. Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
5. Describa y trace las superficies de nivel de la función:
2 2
f ( x , y , z ) = 2x + y + z
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inicio

13. Cálculo diferencial e integral de una variable
Límites
TABLA1 Valores de f(x,y)
-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1
-1 0,455 0,759 0,829 0,842 0,829 0,759 0,455
-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759 (
sen x 2 + y 2 )
-0,2 0,829 0,989 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829 ( 1) f ( x , y ) =
0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841 x2 + y 2
0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829
0,5 0,876 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759
1 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455
TABLA 2 Valores de f (x ,y )
-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1
-1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
-0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600
x2 − y2
( 2) g( x , y ) = 2 -0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923
x + y2 0 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000
0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923
0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600
1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
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14. Cálculo diferencial e integral de una variable
Límites
Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio
D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces
decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b)
es L y escribimos
lim f ( x,y) = L
( x ,y ) →( a,b )
∀ε > 0, ∃δ ε > 0 tal que f ( x , y ) − L < ε siempre que
( x,y) ∈ D y 0 < ( x − a) + ( y − b )
2 2
<δ
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15. Cálculo diferencial e integral de una variable
Interpretación geométrica de los límites
Z
L+ε
L
L−ε
X
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16. Cálculo diferencial e integral de una variable
Determina la no existencia del límite de una función real.
Definición: Si f ( x , y ) → L1 cuando ( x , y ) → ( a, b ) por
una trayectoria C1 y f ( x , y ) → L2 cuando ( x , y ) → ( a, b ) por
otra trayectoria C2,, donde L1 ≠ L2, entonces
lim f ( x , y ) no existe.
( x ,y ) →( a,b )
y
b
a
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17. Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
x2 − y 2
5. Muestre que lim no existe
( x ,y ) →( 0 ,0) x2 + y2
xy
6. Muestre que lim no existe
( x ,y ) →( 0 ,0) x2 + y 4
xy
7. Muestre que lim no existe
( x ,y ) →( 0 ,0 ) x2 + y 2
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inicio

18. Cálculo diferencial e integral de una variable
Continuidad
Definición: Una función f de dos variables, se denomina
continua en (a,b) si
lim f ( x, y ) = ( a, b )
( x , y ) → ( a ,b )
Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto
(a,b) de D
Nota:
Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio
lim  x 2 + xy + y 2 
 
( x ,y ) →( 1 ,2)
x2 − y 2
lim
( x ,y ) →( 1 ,0) x2 + y2
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inicio

19. Cálculo diferencial e integral de una variable
Derivadas parciales.
Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea
(x0 ,y0) un punto de D. La función f(x, y0) depende
solamente de x y está definida alrededor de x0.
Si la derivada existe, el valor
de la derivada es llamado
derivada parcial de f(x,y),con
respecto a x en el punto
(x0,y0) y se denota por
∂f
( x0 , y0 ) ó ∂z
∂x ∂x ( x0 , y0 )
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20. Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición de derivada parcial con respecto a x.
∂f f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 )
( x0 , y0 ) = ∆lim
∂x x →0 ∆x
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21. Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición de derivada parcial con respecto a y.
Del mismo modo, la derivada de f con respecto a
y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene
dejando x fija (x=x0).
∂f f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 )
fy ( x0 , y0 ) = ( x0 , y0 ) = ∆lim0
∂y y→ ∆y
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22. Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e
interprete estos números como pendientes.
2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f
a) f ( x , y ) = ( x 3 − y 2 )2
b) f ( x , y ) = xe y −2 + ysenx
c ) f ( x , y , z ) = xe3 x z + xz 2 − ln(yz )
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23. Cálculo diferencial e integral de una variable
Derivadas parciales respecto a x y a y.
23
Fin