1. Tema: L´
ımites y continuidad de funciones de una variable
1 Generalidades sobre funciones
2 L´
ımite de una funci´n en un punto
o
3 Funciones continuas en un punto
4 Funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado
2. 1. Generalidades sobre funciones
Funci´n. Dominio y recorrido
o
Trabajaremos con funciones de tipo f : A → B, donde A, B ⊂ R.
f : A −→ B
Notaci´n:
o Otra: y = f (x)
x f (x)
Terminolog´ funciones reales de variable real
ıa:
Para una funci´n f : A → B, se llama dominio de f a A y lo
o
representaremos por Dom (f ).
Si una funci´n viene dada mediante una expresi´n anal´
o o ıtica o
f´rmula, entenderemos por dominio de f al mayor subconjunto de
o
R donde dicha expresi´n tiene sentido como funci´n real.
o o
Ejemplo
log x
Dominio de f (x) = √ .
x2 − 1
3. Otros conceptos
Funci´n definida a trozos
o
Gr´fica de una funci´n.
a o
Recorrido o imagen de una funci´n (proyecci´n de la gr´fica
o o a
sobre el eje de ordenadas).
Tipos generales de funciones: inyectiva, sobreyectiva y
biyectiva.
Composici´n de funciones.
o
Inversa de una funci´n. Interpretaci´n geom´trica.
o o e
4. 2 L´
ımite de una funci´n en un punto
o
Entornos de un punto
Definici´n
o
Dado un n´mero a ∈ R, se llama entorno de a con radio r > 0 al
u
subconjunto de R
E (a, r ) = { x ∈ R : |x − a| < r } .
Llamamos entorno reducido de a con radio r > 0 al conjunto:
E ∗ (a, r ) = { x ∈ R : 0 < |x − a| < r } .
Se cumple E ∗ (a, r ) = E (a, r ) − {a} .
Si no nos interesa el radio concreto del entorno, escribiremos
simplemente E (a) y E ∗ (a).
5. Definici´n
o
Sea f : A → R una funci´n y a ∈ R tal que existe E ∗ (a) ⊂ A.
o
Diremos que el l´
ımite de la funci´n f en el punto a es ∈ R, (se
o
representa l´ f (x) = ) si se cumple:
ım
x→a
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − | < ε
Utilizando la terminolog´ de entornos, la condici´n anterior puede
ıa o
expresarse como sigue:
∀ε > 0, existe E ∗ (a, δ) tal que
x ∈ E ∗ (a, δ) ⇒ f (x) ∈ E ( , ε) .
Interpretaci´n gr´fica
o a
Para cualquier franja horizontal comprendida entre las rectas
y = + ε e y = − ε, existe un entorno reducido E ∗ (a) tal que los
puntos de la gr´fica { (x, f (x)) : x ∈ E ∗ (a) } se encuentran dentro
a
de la franja anterior.
6. L´
ımites laterales
L´
ımite por la izquierda de la funci´n f en el punto a: se
o
representa l´ f (x) = . En la definici´n de l´
ım o ımite se cambia
x→a−
0 < |x − a| < δ por 0<a−x <δ
L´
ımite por la derecha de la funci´n f en el punto a: se
o
representa l´ + f (x) = . En la definici´n de l´
ım o ımite se cambia
x→a
0 < |x − a| < δ por 0<x −a<δ
Proposici´n
o
Existe l´ f (x) =
ım si, y s´lo si, existen l´ f (x) y l´ + f (x) y
o ım ım
x→a x→a− x→a
ambos son iguales a .
Ejemplos
√ |x|
l´ + x = 0 ;
ım l´ e
ım x ; la funci´n parte entera.
o
x→0 x→0
7. L´
ımites infinitos y l´
ımites en el infinito
L´
ımites infinitos
1. l´ f (x) = ±∞.
ım
x→a
2. l´ + f (x) = ±∞ y l´ f (x) = ±∞.
ım ım
x→a x→a−
Si se cumple cualquiera de las condiciones anteriores, se dice que la
recta x = a es una as´
ıntota vertical.
Ejemplos
1. f (x) = e −1/x en x = 0.
(x − 1)2
2. f (x) = 2 en x = ±2.
x −4
3. f (x) = x12 en x = 0.
8. L´
ımites en el infinito
l´ f (x)
ım l´ f (x) .
ım
x→+∞ x→−∞
Estos l´ımites pueden valer tanto un n´mero real , como infinito
u
±∞.
En el caso en que uno de estos l´ ımites sea finito, y valga , se dice
que la recta y = es una as´ ıntota horizontal. A lo sumo existen
dos as´ıntotas horizontales.
Ejemplos
1
f (x) = en ±∞.
1 + e −x
1
f (x) = .
1 + x2
9. As´
ıntotas oblicuas Si la recta y = mx + n, con m = 0 verifica que
f (x)
l´
ım = m; l´ (f (x) − mx) = n
ım
x→+∞ x x→+∞
entonces se dice que dicha recta es una as´
ıntota oblicua de la
funci´n para x → +∞.
o
An´logamente para el caso x → −∞.
a
x2
Ejemplo As´ ıntotas oblicuas de f (x) = √ .
2 x2 − 1
10. Propiedades de las funciones con l´
ımite
Proposici´n
o
Si existe el l´
ımite de una funci´n en un punto, este es unico.
o ´
Definici´n
o
Sea f : A → R una funci´n. Se dice que f est´ acotada en A si
o a
existen m1 , m2 ∈ R tales que:
∀x ∈ A m1 ≤ f (x) ≤ m2
Si f est´ acotada en A se llama supremo, ´
a ınfimo, m´ximo y
a
m´ınimo de f en A al supremo, ´ ınfimo, m´ximo y m´
a ınimo
respectivos del conjunto { f (x) : x ∈ A } .
Alternativamente, una funci´n f est´ acotada en A si existe una
o a
constante M ∈ R tal que ∀x ∈ A se cumple:
|f (x)| ≤ M .
11. Proposici´n (Acotaci´n local)
o o
Sea f una funci´n tal que existe l´ f (x) = (en R). Entonces
o ım
x→a
existe un entorno reducido de a donde la funci´n f est´ acotada.
o a
Proposici´n (Conservaci´n local de signo)
o o
Sea f una funci´n tal que l´ f (x) = > 0. Entonces existe un
o ım
x→a
entorno reducido de a en el que la funci´n f toma s´lo valores
o o
positivos.
Existe una proposici´n an´loga a la anterior en el caso en que el
o a
l´
ımite es negativo.
12. Proposici´n (Propiedades algebraicas)
o
Sean f y g dos funciones tales que existen los l´
ımites
l´ f (x) = 1 y l´ g (x) = 2 . Entonces se cumple:
ım ım
x→a x→a
l´ f (x) ± g (x) =
ım 1 ± 2.
x→a
l´ f (x) · g (x) =
ım 1 2.
x→a
En particular, l´ α · f (x) = α 1 , si α es un n´mero real.
ım u
x→a
f (x) 1
Si 2 = 0, entonces l´
ım = .
x→a g (x) 2
Indeterminaciones: al igual que en el caso de las sucesiones los
l´
ımites del siguiente tipo son indeterminados:
0 ∞
∞−∞ ∞·0 1∞ 00 ∞0
0 ∞
13. Proposici´n (Funci´n intermedia)
o o
Sean f , g , h tres funciones definidas en el entorno reducido de un
punto a, E ∗ (a). Supongamos que se cumple:
f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) ∀x ∈ E ∗ (a)
Si adem´s l´ f (x) = l´ h(x) = , entonces
a ım ım
x→a x→a
l´ g (x) = .
ım
x→a
La proposici´n anterior es tambi´n v´lida, con cambios adecuados
o e a
en las condiciones, para l´
ımites laterales y para l´
ımites en ±∞.
Tambi´n es v´lida si = ±∞
e a
Ejemplo
x 2 x
l´
ım ; l´
ım x+ · sen x
x→0 3 x x→+∞ 2
14. Proposici´n
o
Sea f una funci´n tal que
o
l´ f (x) = 0
ım
x→a
y g una funci´n que est´ acotada en un entorno reducido de a.
o a
Entonces se cumple:
l´ f (x) · g (x) = 0
ım
x→a
1
Ejemplo l´ x 2 · sen
ım = 0.
x→0 x
15. 3. Funciones continuas
Definici´n (Continuidad en un punto)
o
Sea f : A → R una funci´n definida en un entorno de un punto a.
o
Diremos que f es continua en a cuando se cumpla:
l´ f (x) = f (a)
ım
x→a
Si A es un intervalo abierto, diremos que f es continua en A
cuando sea continua en cada uno de los puntos de A.
Ejemplo
Las funciones polin´micas, las de tipo exponencial ax y el seno
o
y coseno son continuas en R. La funci´n logaritmo loga (x) es
o
continua en (0, +∞).
16. Definici´n (Continuidad lateral)
o
Si una funci´n f est´ definida en un intervalo de la forma [a, a + δ]
o a
con δ > 0, se dice que f es continua por la derecha en a si se
cumple:
l´ + f (x) = f (a)
ım
x→a
De la misma forma, si una funci´n f est´ definida en un intervalo
o a
de la forma [a − δ, a] con δ > 0 diremos que f es continua por la
izquierda en a si se cumple:
l´ f (x) = f (a)
ım
x→a−
Una funci´n f : [a, b] → R se dice continua en [a, b] si es continua
o
por la derecha en a, por la izquierda en b y es adem´s continua en
a
(a, b).
17. Ejemplo
√
Las ra´
ıces con ´
ındice par f (x) = m x est´n definidas en [0, +∞).
a
Estas funciones son continuas por la derecha en 0, y en el
sentido usual en (0, +∞). Nosotros diremos simplemente que
son continuas en [0, +∞).
Proposici´n
o
Una funci´n f es continua en un punto a si, y s´lo si, es continua
o o
por la derecha y por la izquierda en el punto a.
Ejemplo
La funci´n parte entera f (x) = [x], definida en R es continua en
o
cada punto x ∈ R − Z. En cada punto de Z es continua s´lo por
o
la derecha.
18. Tipos de discontinuidades
Evitable
Inevitable: de primera especie (salto finito o infinito) y de
segunda especie.
Ejemplo
sen x
x si x = 0
La funci´n f (x) =
o es continua cada punto de
0 si x = 0
R − {0} y tiene una discontinuidad evitable en 0.
Ejemplo
La funci´n parte entera f (x) = [x] es continua en cada punto de
o
R − Z, y en cada punto entero tiene una discontinuidad
inevitable de salto 1.
Ejemplo
1
La funci´n dada por f (x) = sen x si x = 0 y f (0) = 0 tiene en 0
o
una discontinuidad inevitable de segunda especie.
19. Son continuas en todos los puntos de su dominio las funciones
polin´micas, las trigonom´tricas (seno y coseno), las exponenciales
o e
(ax ), las logar´
ıtmicas (loga x) y las ra´ de ´
ıces ındice natural.
Tambi´n se supone conocido que la funci´n valor absoluto
e o
f (x) = |x| es continua en R.
20. Propiedades de las funciones continuas
Muchas propiedades de las funciones continuas se deducen
directamente de las de l´
ımites.
Proposici´n (Acotaci´n local)
o o
Toda funci´n continua en un punto a est´ acotada en alg´n
o a u
entorno del punto a.
Proposici´n (Conservaci´n local del signo)
o o
Si una funci´n f es continua en un punto a y f (a) es positivo,
o
entonces existe un entorno del punto a donde la funci´n f toma
o
s´lo valores positivos. Existe una propiedad an´loga para valores
o a
negativos.
Proposici´n (Propiedades algebraicas)
o
Dadas dos funciones continuas f y g , son continuas las funciones
f
f ± g , f · g y el cociente (en este ultimo caso, en cualquier
´
g
punto en el que g no se anule).
21. Proposici´n (Continuidad de la composici´n)
o o
Sean A, B, C subconjuntos de R y f : A → B, g : B → C dos
funciones. Supongamos que f es continua en un punto a ∈ A y g
es continua en el punto b = f (a). Entonces la funci´n compuesta
o
h = g ◦ f : A → C es continua en el punto a. En consecuencia se
tiene:
l´ g (f (x)) = g (f (a)) = g ( l´ f (x)) .
ım ım
x→a x→a
Ejemplo
La funci´n f (x) = sen(1/x) es continua en R − {0}.
o
La funci´n f (x) = 5sen x es continua en R.
o
2
La funci´n f (x) = 2sen
o x es continua en R.
22. 4. Funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado
En esta secci´n estudiaremos funciones continuas f : [a, b] → R
o
definidas en un intervalo cerrado y acotado.
Diferencia entre resultados locales y globales. Importancia del
axioma de supremo en los resultados de esta secci´no
El teorema de los valores intermedios. Teorema de Bolzano
Teorema (Teorema de Bolzano.)
Sea f : [a, b] → R una funci´n continua tal que f (a) · f (b) < 0.
o
Entonces existe alg´n punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
u
Notas:
Es posible que el punto cuya existencia asegura el teorema no
sea unico.
´
M´todo de bisecci´n.
e o
23. Ejemplos:
Demostrar que la ecuaci´n
o
1
| sen x| + = x2
2
tiene alguna soluci´n real en el intervalo (0, π).
o
Sea f (x) = a0 + a1 · x + · · · + an · x n un polinomio con
coeficientes reales tal que a0 · an < 0. Probar que f tiene
alguna ra´ positiva.
ız
Todo polinomio con coeficientes reales y grado impar tiene
alguna ra´ real. El resultado no es cierto, en general, para
ız
polinomios de grado par.
(Teorema del punto fijo)
Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funci´n continua. Demostrar que
o
existe alg´n punto c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. ¿Es
u
necesariamente unico este punto c?
´
24. Teorema (de los valores intermedios)
Sea f : [a, b] → R una funci´n continua, y sea ξ un valor
o
comprendido estrictamente entre f (a) y f (b). Entonces existe un
punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = ξ.
El teorema anterior es una consecuencia directa del teorema de
Bolzano, aunque su enunciado incluye como caso particular el de
Bolzano.
Ejemplo: Sea f : [0, 1] → R una funci´n continua que s´lo toma
o o
valores racionales. Probar que f es constante.
25. Extremos absolutos
Definici´n
o
Sea f : A → R una funci´n. Se dice que f alcanza en a1 ∈ A un
o
m´ximo absoluto si
a
f (a1 ) ≥ f (x) ∀x ∈ A .
Se dice que f alcanza en a2 ∈ A un m´
ınimo absoluto si
f (a2 ) ≤ f (x) ∀x ∈ A .
Notas:
Importancia pr´ctica de los extremos absolutos.
a
Toda funci´n que alcanza el m´ximo (m´
o a ınimo) absoluto
est´ acotada superiormente (inferiormente).
a
El rec´
ıproco no es cierto. No toda funci´n acotada alcanza sus
o
extremos absolutos. Por ejemplo f (x) = arc tg x, definida en
R est´ acotada superior e inferiormente, pero no tiene
a
extremos absolutos.
26. Teorema (Weierstrass)
Sea f : [a, b] → R una funci´n continua. Entonces se cumple:
o
1. La funci´n f est´ acotada.
o a
2. f alcanza sus valores m´ximo y m´
a ınimo absolutos en [a, b].
Notas:
El teorema de Weierstrass es un resultado te´rico muy
o
importante, pero no da un m´todo para encontrar los
e
extremos absolutos.
En la pr´ctica, la derivada y su utilidad en el estudio del
a
crecimiento y decrecimiento de una funci´n, es lo que se
o
utiliza para hallar los extremos absolutos (y relativos) de una
funci´n.
o
