El documento analiza las propiedades locales de funciones derivables, incluyendo su crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, y puntos de inflexión. Explica cómo determinar si una función es creciente o decreciente en un intervalo usando la derivada, y cómo identificar máximos y mínimos relativos usando la derivada primera o segunda. También define la concavidad y los puntos de inflexión de una función.

1. Tema: Análisis de Funciones
4. PROPIEDADES LOCALES DE FUNCIONES
DERIVABLES

2. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Sea y = f(x) una función continua cuya gráfica es la de la figura.
f es creciente en a, b, c.
f es decreciente en e, g, h.
f presenta máximos relativos en d, j.
f presenta mínimos relativos en i, k.

3. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Definiciones

4. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

5. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

6. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Resultados o propiedades que utilizaremos:

7. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

8. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

9. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Reglas prácticas:
Y Y
α
α
[ ] X [ ] X
a x b a x b
Sea f(x) derivable en (a , b)
Si f’(x) > 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es creciente en (a , b)
Si f’(x) < 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es decreciente en (a , b)
Si f’(x) = 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es constante en (a , b)

10. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Reglas prácticas:
Sea f(x) derivable en (a , b)
Si f’(c) = 0 , entonces en x = c hay un punto crítico, que puede ser o no
un extremo relativo (máximo o mínimo).
Por ejemplo: en la gráfica hay puntos críticos en b, d, e, i
pero de ellos sólo hay extremos relativos en d, i

11. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Reglas prácticas:
Sea f(x) derivable en (a , b). Una vez localizados los puntos críticos x = c
donde f’(c) = 0, se estudian los posibles extremos relativos por uno de
estos dos métodos.
- Criterio de la derivada primera:
Si f’(x) cambia de signo en x = c, hay un extremo relativo
si pasa de + a - , la función pasa de creciente a decreciente, hay
máximo
(razonamiento análogo para mínimo)
- Criterio de la derivada segunda:
Si f”(c) > 0 , hay mínimo (porque entonces f’(x) es creciente en c,
pasará de – a +; luego f(x) cambiará de decreciente a creciente)
Si f”(c) < 0 , hay máximo (razonamiento análogo)
f '(c) = 0
f '(c) = 0

12. Curvatura: concavidad hacia Y+
Cuando la curva está por encima de la tangente, se dice que es cóncava hacia Y+
Y Y
α1
α2
α2
α1
[ ] X [ ] X
a x1 x2 b a x1 x2 b
tg α1 < tg α 2 ⇒ f '(x1) < f '(x2)
Las pendientes de las tangentes aumentan, f ' es creciente
f " > 0 ⇒ función cóncava hacia Y+

13. Curvatura: concavidad hacia Y-
Cuando la curva está por debajo de la tangente, se dice que es cóncava hacia Y-
Y Y
α2 α1
α1 α2
[ ] X [ ] X
a x1 x2 b a x1 x2 b
tg α1 > tg α2 ⇒ f '(x1) > f '(x2)
Las pendientes de las tangentes disminuyen, f ' es decreciente
f " < 0 ⇒ función cóncava hacia Y-

14. Puntos de inflexión
Cuando la curva en un punto cambia de posición respecto a la tangente, es
decir cambia el sentido de la concavidad, se dice que tiene un punto de
inflexión en ese punto.
Y
f" < 0
P(a, f(a))
f" > 0
X
f"(a) = 0
en este caso, como f” decrece, f’’’ < 0
Si f”(a) = 0 y además f’’’ (a) ≠ 0 ⇒ hay un punto de inflexión en x = a