1. MATEMÁTICAS IV MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez

2. ECUACIÓN DE BERNOULLI Daniel Bernoulli (8/2/1700- 17/3/1782) Fue un matemático, estadístico, físico y médico neerlandés-suizo. Destacó no sólo en matemática pura, sino también en las aplicadas. Hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad. Definición: Una ecuación diferencial de primer orden se puede escribir de la forma: Ec. 1 Donde P(x) y Q(x)son funciones reales y continuas en un intervalo [a, b] y n es un constante real diferente de 0 y 1 se conoce como Ecuación de Bernoulli. Observación: Cuando n=0 la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando n=1 se trata de una ecuación lineal. MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez

3. TEOREMA La ecuación de Bernoulli Ec. 2 se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución Demostración: Al dividir la ecuación 2 por resulta: Ec. 3 Usando la regla de la cadena, calculemos a partir de la sustitución Ec. 4 MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez

4. TEOREMA Sustituyendo en la Ec. 4 esta se transforma en: Ec. 5 La cuál es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería. MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez

5. Ejercicio Resuelva la ecuación: Esta es una ecuación de Bernoulli con n=3, P(x)= -5 y Q(x)= - (5x)/2. Para resolverlo primero dividimos entre Ahora efectuamos la transformación . Puesto que la ecuación se transforma en: Simplificando obtenemos la ecuación lineal Cuya solución es: y al sustituir se obtiene la ecuación original MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez

6. Ejercicios Propuestos Resuelva las siguientes ecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez