Conferencia – taller solución de ecuaciones y desigualdades

Presenta: Prof. Fredes Rodríguez Galarza
Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas
Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División
de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la
Universidad de Puerto Rico, Recinto de Carolina.
Sufragado por fondos federales
de Título I -A.
1Prof. Fredes Rodríguez

1. Saludos
2. Aspectos preliminares
a. Estándares y expectativas que se atenderán en el taller.
b. ¿Qué es una ecuación?
c. ¿Cómo puede ser la solución de una ecuación lineal?
d. ¿Cómo puede ser la solución de una ecuación cuadrática?
e. Que significa modelar mediante ecuaciones?
f. Método para resolver un modelo de ecuaciones.
3. Modelos matemáticos de ecuaciones mas utilizados
a. Modelos lineales y de variación directa
b. Modelos lineales y de variación inversa.
c. Modelos de ecuaciones cuadráticas.
4. Post-prueba
5. Evaluación
2
Prof. Fredes Rodríguez

 A.MO. 7.7.1 Representa situaciones matemáticas y del
mundo real que utilicen ecuaciones lineales de la forma
ax + b = c, donde a, b, c son números racionales.
 A.RE.7.7.2 Resuelve ecuaciones lineales con coeficientes
numéricos racionales utilizando métodos gráficos y
simbólicos. Con y sin tecnología.
 A.PR.7.7.3 Establece conexiones entre las representaciones
graficas, tablas y símbolos a la solución única de una
ecuación lineal dada.
3
Recuerde
A.MO. = Algebra, Modelos matemáticos
A. RE. = Algebra. Representación
A. PR. = Algebra, Patrones, relaciones y funciones

4
Escriba lo que significa
para usted una ecuación.

5
Una ecuación es la igualdad de dos expresiones
algebraicas.
a) 2𝑥 + 3 = 𝑥 − 4
b) 5𝑥 + 𝑥2
= 6 − 𝑥
La letra en la ecuación se llama variable.
Las ecuaciones pueden ser de primer grado, segundo grado,
tercer grado….etc. El grado en las ecuaciones en una variable
está determinado por la variable de mayor potencia.
c) 𝑥4 + 2 = 7 𝑥 − 1
primer grado
segundo grado
grado 4
Ejemplos:

6
Conjunto solución de la ecuación
El conjunto solución de la ecuación es la colección de números
reales que puede asumir la variable para satisfacer la relación
de igualdad.
a) 2𝑥 + 3 = 𝑥 − 4
b) 5𝑥 + 𝑥2
= 6 − 𝑥
c) 𝑥4
+ 2 = 7 𝑥 − 1
primer grado
segundo grado
grado 4
Cantidad máxima de soluciones 1
Ejemplos:
Por esto es necesario conocer el grado de la ecuación dado
que el determina la cantidad máxima de soluciones que puede
tener la misma.
Aun así tenemos casos especiales donde la ecuación puede
tener ninguna solución, al cual llamamos conjunto solución nulo
(∅) o infinitas soluciones o decimos conjunto solución infinito
(∞).

De acuerdo al conjunto solución que tenga la ecuación las
mismas reciben nombre o categoría, veamos…
Categoría de las ecuaciones
Sí su conjunto solución es finito la ecuación es un
condicional.
Sí su conjunto solución es infinito la ecuación es una
identidad.
Sí su conjunto solución es nulo la ecuación es un
inconsistente.
Toda ecuación resuelta, a la luz de su conjunto solución la
podemos categorizar.

¿Cómo reconocer el tipo de ecuación en el
procedimiento?
I. Condicionales
Reconocemos este tipo de ecuación cuando logramos despejar
completamente para la variable.
Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 − 6 = 5 y clasifique la ecuación
de acuerdo a su conjunto solución
𝑥 − 6 = 5
𝑥 = 5 + 6
𝑥 = 11
Solución:
conjunto solución finito
∴ ecuación condicional
II. Identidad
Reconocemos que este tipo de ecuación cuando se eliminan todas las
variables y llegamos a algo cierto.
Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2 y
clasifique la ecuación de acuerdo a su conjunto solución
𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2
𝑥 + 2𝑥 − 2 = 3𝑥 − 2
3𝑥 − 3𝑥 = −2 + 2
0 = 0
Solución:
conjunto solución infinito
∴ ecuación identidad
Nota: Recuerde la importancia de trabajar todo proceso de acuerdo a
las reglas que correspondan para asegurarnos que la conclusión
es la adecuada.

III. Inconsistente
Reconocemos que este tipo de ecuación cuando se eliminan
todas las variables y llegamos a algo falso.
Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 + 5 y
clasifique la ecuación de acuerdo a su conjunto
solución.
𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 + 5
𝑥 + 2𝑥 − 2 = 3𝑥 +5
3𝑥 − 3𝑥 = 5 + 2
0 = 7
Solución:
conjunto solución nulo
∴ ecuación inconsistente
¿Cómo reconocer el tipo de ecuación en el procedimiento?
Nota: Recuerde la importancia de trabajar todo proceso de acuerdo a
las reglas que correspondan para asegurarnos que la conclusión es
la adecuada.
Cualquier ecuación que resolvamos caerá en una de las tres
categorías.

Prof. Fredes Rodríguez 10
Práctica
Manual de ejercicios página

Práctica
Halle el conjunto solución a las siguientes ecuaciones y clasifique la
misma como condicional, identidad o incondicional.
1) 3𝑥 − 2 = 𝑥 + 2 3) 4𝑥 − 3 = 3𝑥 − (2 − 𝑥)2) 𝑥 − 2 𝑥 − 6 = 12 − 𝑥

Modelando
Algebraicamente

USO DE MODELOS VERBALES
Una de las mayores dificultades en las
matemáticas hay una diferencia entre una
frase y una oración. Las frases se traducen a
expresiones; las oraciones se traducen a
ecuaciones o a desigualdades.
ExpresionesFrases
Ecuaciones o desigualdadesOraciones
13

MODELOS VERBALES
Escribir expresiones algebraicas, ecuaciones, o
desigualdades que representen situaciones de la vida
real se le llama modelar.
Las expresiones, las ecuaciones y las desigualdades
son modelos matemáticos.
14

MODELOS VERBALES
El modelar situaciones de la vida real en ecuaciones
en una sola variable le llamaremos modelos simples.
Y el modelar situaciones de la vida real en ecuaciones
en dos variables le llamaremos modelos en dos
variables.
15

Con el fin de modelar más adelante problemas reales con ecuaciones
en una variable, nos corresponde recordar palabras o frases comunes
que son asociadas con las operaciones básicas. Hagamos un recuento:
Suma (+): más, añadir, incrementar, total, sumar, aumentar, más
que, … etcétera.
Resta (-): menos, diferencia, quitar, disminuir, sustraer, menos
que, reducir,… etcétera.
Multiplicación (∙): multiplicar, veces, producto, doble, triple,
mitad, …parte de… etcétera.
Resta (-): menos, diferencia, quitar, disminuir, sustraer, menos
que, reducir,… etcétera.
Operaciones básicas en una frase
División (/,÷): dividir, entre, cociente, … etcétera.
Potencias (-): elevado, exponente, cuadrado, cubo, … etcétera.
Patrones reconocidos: números enteros consecutivos 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, …
números enteros pares o impares consecutivos 𝑛, 𝑛 + 2, 𝑛 + 4, …

Operaciones básicas en una frase u oración
Ejemplo: Traduzca algebraicamente
1. El cuadrado de, siete menos el doble de un número
3. Cinco menos que un tercio de la suma de dos números es igual
catorce.
2. El cociente de la diferencia de dos números y el opuesto de
tres
7 − 2𝑥 2
1
3
𝑥 + 𝑦 − 5 = 14
𝑥 − 𝑦
−3
4. El producto de dos números enteros impares consecutivos
más una décima es igual a dos más el numeral menor.
𝑥)(𝑥 + 2 +
1
10
= 𝑥 + 2

Práctica

Práctica: Traduzca la frase a la expresión algebraica que
corresponda
1. La diferencia de dos cubos de dos números
3. Trece menos que dos quintas partes del cuadrado de la suma
de tres números es igual a un tercio del tercer número.
2. La mitad del producto de dos números enteros consecutivos
𝑥3
− 𝑦3
2
5
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2
− 13 =
1
3
𝑧
𝑥(𝑥 + 1)
2
Operaciones básicas en una frase u oración

Solución de ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas en una variable
Una ecuación lineal en una variable es de la forma:
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℜ 𝑦 𝑎 ≠ 0
Todas las ecuaciones de los ejemplos anteriores discutidas y
clasificadas eran ecuaciones lineales en una variable.
Una ecuación cuadrática en una variable es de la forma:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℜ 𝑦 𝑎 ≠ 0
Ejemplos:
1) 2𝑥2 − 𝑥 = 3
2) 4𝑥2 = 5𝑥
3) 𝑥2 = 1
Hay distintos métodos
para resolver ecuaciones
cuadráticas, depende de
su estructura es el
método que se puede
utilizar.
El único método que puede
aplicarse a cualquier cuadrática
es la fórmula cuadrática. Dado
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 se
sustituyen en 𝑥 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
y
simplificamos.
Métodos para resolver
ecuaciones cuadráticas:
1.factorizaciones
2.raíz cuadrada
3.completar el cuadrado
4.fórmula cuadrática
El discriminante
determina la
cantidad de
soluciones reales
que tiene la
ecuación, sí
𝑏2
− 4𝑎𝑐 > 0 → 2 𝑠. 𝑟
𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0 → 1 𝑠. 𝑟
𝑏2
− 4𝑎𝑐 < 0 → 0 𝑠. 𝑟
20

Ejemplo: Resolver x2 - 7x + 12 = 0
Métodos más comunes factorización y
fórmula cuadrática
Solución: x2 7x + 12 = 0
Método de factorización
x
x
(x  3)(x  4) = 0
factorizando:
Entonces:
3x
4x
= 7x
Luego: x – 3 = 0 ó x – 4 = 0
De donde: x = 3 ó x = 4
∴ C.S. = 3; 4
3
4

Ejemplo N°2: Resolver 3x2 = 5x
Resolución:
Escribimos la ecuación de
la forma:
3x2  5x = 0
Factorizamos “x”: x( 3x  5 ) = 0
Luego: x = 0 ó 3x  5 = 0
De donde: x = 0 ó x = 5/3
Por tanto: C.S. = 0; 5/3
OBSERVACIÓN IMPORTANTE: No simplifique una variable
en la ecuación original porque se pierde una solución

Ejemplo N°3: Resolver (3x – 4)(x + 1) = – 2
Resolución:
Debemos expresar la ecuación en la forma: ax2 + bx + c = 0
(3x – 4)(x + 1) = – 2
Para ello efectuamos las operaciones de
multiplicación en el primer miembro
Obtenemos: 3x2 + 3x – 4x – 4 = – 2
Reduciendo: 3x2 – x – 2 = 0
Entonces: (3x + 2)(x – 1) = 0
Luego: 3x + 2 = 0 ó x – 1 = 0
De donde: x = – 2/3 ó x = 1 C.S. =  –2/3; 1 
3x
x
2
– 1
2x
3x
= x
Factorizando:

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA (de Carnot)
a2
ac4bb
x
2


Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces
pueden calcularse mediante la fórmula
A la cantidad subradical: b2 – 4ac se le
llama discriminante y se representa por 
Es decir:  = b2 – 4ac

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE
1. Si  > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes
Ejemplo: Resolver 2x2 – 3x – 1 = 0
Resolución:
Identificamos los valores
de los coeficientes:
a = 2; b = – 3; c = –1 a2
ac4bb
x
2


Reemplazamos en:
)2(2
)1)(2(4)3()3(
x
2


Obtenemos:
4
173
x
4
173
x 21









 

4
173
;
4
173
.S.C
4
173
x


De donde:

2. Si  = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales
Ejemplo: Resolver 4x2 – 12x + 9 = 0
Resolución:
a = 4; b = – 12; c = 9 a2
ac4bb
x
2


Reemplazamos en:
)4(2
)9)(4(4)12()12(
x
2


Obtenemos:
8
012
x
8
012
x 21











2
3
.S.C
8
012
x


De donde:

3. Si  < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias
Ejemplo: Resolver x2 + x + 1 = 0
Resolución:
a = 1; b = 1; c = 1 a2
ac4bb
x
2


Reemplazamos en:
)1(2
)1)(1(4)1()1(
x
2


Obtenemos:
2
31
x


Por tanto: La ecuación no tiene solución en el conjunto de los
números reales ( sus soluciones son imaginarias )

APLICACIONES
Equilibrio de mercado
Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que
un fabricante suministrará 3p2 – 4p unidades del producto al mercado y
que los consumidores demandarán 24 – p2 unidades. Determine el valor
de p para que el mercado esté en equilibrio (oferta = demanda)
Resolución
Oferta = 3p2 – 4p
Demanda = 24 – p2
3p2 – 4p = 24 – p2
Luego: 4p2 – 4p – 24 = 0
Simplificando: p2 – p – 6 = 0
Factorizando: (p – 3)(p + 2) = 0
Luego: p = 3 ó p = –2
Respuesta: Cuando el precio del producto sea de $3, el mercado
estará en equilibrio (no se toma en cuenta el otro valor pues no podemos
hablar de precio negativo)

APLICACIONES
Negocios
Una compañía determina que si se produce y vende q unidades de un producto,
el ingreso total por las ventas será de 100q. Si el costo variable por unidad es
de $ 2 y el costo fijo de $ 1200, determine los valores de q para los que:
Ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo (Esto es, utilidad cero)
Resolución
Datos: q100totalIngreso 
Costo variable = 2q
Costo fijo = 1200
1200q2q100 
Elevando al cuadrado:
10000q = 4q2 + 4800q + 1440000
Reduciendo: q2 – 1300q + 360000 = 0
Factorizando: (q – 900)(q – 400) = 0
Luego: q = 900 ó q = 400
Respuesta: Si se producen y venden 400 ó 900 unidades, la utilidad será cero

Solución de ecuaciones cuadráticas por diferentes métodos
1) 𝑥2
− 𝑥 = 12, por factorización 2) 1 = 𝑥2
, por raíz cuadrada
3) 2𝑥2
− 𝑥 = 3, completando el cuadrado 4) 3𝑥2
− 2𝑥 =1, fórmula cuadrática
𝑥2
− 𝑥 − 12 = 0
𝑥 − 4 𝑥 + 3 = 0
𝑥 − 4 = 0 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = 4 𝑥 = −3
𝑥2
= 1
𝑥2 = 1
𝑥 = 1
𝑥 = −1 𝑥 = 1
𝑥2
−
𝑥
2
=
3
2
𝑥2
−
𝑥
2
+
1
16
=
3
2
+
1
16
𝑥 −
1
4
2
=
25
16
𝑥 −
1
4
2
=
25
16
𝑥 −
1
4
=
5
4
𝑥 −
1
4
= −
5
4
𝑥 −
1
4
=
5
4
𝑥 = −1 𝑥 =
3
2
𝑥 =
− −2 ± −2 2 − 4(3)(−1)
2(3)
𝑥 =
2 ± 4 + 12
6
𝑥 =
2 ± 16
6
𝑥 =
2 − 4
6
= −
1
3
𝑥 =
2 + 4
6
= 1
𝑥 = −
1
3
𝑥 = 1

31
MÉTODO PARA RESOLVER UN PROBLEMA USANDO MODELOS
Preguntese lo que necesita saber para resolver el
problema. Escriba un modelo verbal de lo que
debe saber.
Asigne variables a las incógnitas del ejercicio .
Use las variables para escribir el modelo algebraico
(ecuación o inecuación) basado en su odelo.
Resuelva el model algrebraico que contesta la
pregunta original.
MODELO
VERBAL
Pregúntese lo que necesita saber para resolver el
problema. Escriba un modelo verbal de lo que
debe saber.
Asigne variables a las incógnitas del ejercicio.
Use las variables para escribir el modelo algebraico
(ecuación o desigualdad) basado en su modelo.
Resuelva el modelo algebraico que contesta la
pregunta original.
Verifique su respuesta, asegúrese que es
razonable.
MODELO
ALGEBRAICO
VARIABLES
RESUELVE
VERIFICA

Modelo Algebraico
Usted y tres amigos están almorzando en un restaurante
chino que cobra $2 por el plato. Usted pide varios platos. El
camarero le da una cuenta de $25.20, que incluye el impuesto
de $1.20. ¿Cuántas platos pidió su grupo?
Lea cuidadosamente el ejercicio.
Entienda la situación del
problema antes de comenzar.
Por ejemplo, note que el
impuesto está agregado después
de que el costo total de los
platos se calcula.
OBSERVACIÓN
32

Variables
MODELO
VERBAL
Escribe el Modelo Algebraico
Costo por
plato •
Numbero de
platos = Cuenta Tax–
Costo por plato = 2
Número de platos = p
Cantidad de la cuenta =
25.20
Impuestos =
1.20
(dólares)
(dólares)
(dólares)
(platos)
25.20 1.20–2 =p
2p = 24.00
p = 12
∴ Su grupo ordenó 12
platos de comida con un
costo de $24.00
MODEL
ALGEBRAICO
Estrategia de
solución
RESUELVE
VERIFICA
𝟐𝒑 = 𝟐𝟓. 𝟐𝟎 − 𝟏. 𝟐𝟎
𝟐 𝟏𝟐 = 𝟐𝟒
𝟐𝟒 = 𝟐𝟒 33

34
Modelos simples
Traducir la información, dada en una situación real, a una ecuación y
resolverla es uno de los modelos matemáticos más simples. Dada su
estructura utilizamos cualquiera de los métodos de solución de
ecuaciones discutidos.
Ejemplo: Modelo Lineal
La suma de las edades de tres amigos es 57 años. Pedro es el
mayor y tiene 2 años más que Juan y Carlos, el menor, tiene 4
años menos que Pedro. Determine la edad de cada uno.
Pedro: 𝑥
Juan: 𝑥 − 2
Carlos: 𝑥 −4
Siempre leemos
detalladamente el problema
para determinar la relación
entre los datos y con ello la
representación algebraica.
𝑥 + 𝑥 − 2 + 𝑥 − 4 = 57
3𝑥 − 6 = 57
3𝑥 = 63
𝑥 = 21
Pedro: 21
Juan: 21 − 2 = 19
Carlos: 21 − 4 = 17
Verificación: 21+19+17=57
Variables
RESUELVE
MODELO
VERBAL
VERIFICA
MODELO
ALGEBRAICO

Modelos simples
Ejemplo: Modelo cuadrático
Un número positivo sumado al cuadrado del número que
le precede es igual a 73. ¿Cuál es el número?
Variables: si 𝑥 es tal número el que le precede será 𝑥 − 1.
Ecuación: 𝑥 − 1 2
+ 𝑥 = 73
𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑥 = 73
𝑥2
− 𝑥 − 72 = 0
𝑥 − 9 𝑥 + 8 = 0
𝑥 − 9 = 0 𝑥 + 8 = 0
𝑥 = 9 𝑥 = −8
como el número dice que es positivo
entonces descartamos −8.
∴ tal número es 9
Verificación:
𝑥 − 1 2
+ 𝑥 = 73
9 − 1 2
+9 = 73
8 2
+ 9 = 73
64 + 9 = 73
73 = 73
Variables
MODELO
VERBAL
MODEL
ALGEBRAICO
RESUELVE
VERIFICA

Práctica

Modelos Algebraicos
Un piloto de jet está volando de Los Ángeles, CA a Chicago, IL con una
rapidez de 500 millas por hora. Cuando el avión esta a 600 millas de
Chicago, un controlador de tráfico aéreo le indica que hasta 2 horas no
habrá oportunidad de aterrizar. El piloto sabe que la rapidez del avión debe
ser de más de 322 millas por hora o el avión puede caer.
a. A que rapidez debe volar el avión para llegar a Chicago en 2 horas?
b. Es razonable para el piloto volar
directamente a Chicago a la velocidad de
300 millas por hora o debe tomar otra
acción?
37

VARIABLES
MODELO
VERBAL
Usando el modelo algebraico
Rapidez
del jet • Tiempo =
Distancia
a viajar
Rapidez del jet = x
Tiempo = 2
Distancia = 600
(millas por hora)
(millas)
(horas)
600=
x = 300
MODELO
ALGEBRAICO
a. A qué rapidez debe volar el avión para llegar a Chicago en 2 horas?
2 x
Para llegar en 2 horas, el piloto debe volar el jet a 300 millas por hora.
Usted puede usar la fórmula
(rapidez)(tiempo) = (distancia) para escribir el modelo verbal.
Estrategia de
solución
Estrategia de
solución
38

Modelos Algebraicos
No es razonable para el piloto
volar a 300 millas por hora,
porque el avión se puede
estrellar. El piloto debe tomar
otra acción, como por ejemplo
volar en círculo para gastar
tiempo y poder mantenerse
sobre la velocidad mínima.
Es razonable para el piloto volar directamente a
Chicago a la velocidad de 300 millas por hora o debe
tomar otra acción?
b.
39

40
Verificación: 13 + 7𝑛 = 55
13 + 7(6) = 55
13 + 42 = 55
55 = 55
Modelo Simple lineal
Modelos algebraicos
Una reproductora portátil cuesta $55, con impuesto incluido.
Tú ya tienes $13 y puedes ahorrar $7 por semana. ¿Cuántas
semanas necesitas para comprarla? Clasifique como el
modelo utilizado lineal o cuadrático.
Solución:
Variables: 𝑛 = ⋕ semanas
Ahorros: 13 + 7𝑛
Ecuación: 13 + 7𝑛 = 55
Proceso: 7𝑛 = 55 − 13
7𝑛 = 42
𝑛 = 6
Variables
MODELO
VERBAL
MODEL
ALGEBRAICO
RESUELVE
VERIFICA

41
El ancho de un piso rectangular es 3 pies menos que su largo.
Si el área del piso es 108 pies cuadrados, determina las
dimensiones del piso.
Modelo Simple cuadrático
Modelos algebraicos
Verificación: 𝑤 ∙ 𝑙 = 108
(9)(12) = 108
108 = 108
Solución:
Variables: 𝑤 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑦 𝑙 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜
Datos: 𝑤 = 𝑙 − 3
Diagrama: ver fígura
Fórmula de área: 𝑤 ∙ 𝑙 = 108
Proceso: (𝑙 − 3) ∙ 𝑙 = 108
𝑙2 − 3𝑙 − 108 = 0
𝑙 − 12 𝑙 + 9 = 0
𝑙 − 12 = 0 𝑙 + 9 = 0
𝑙 = 12 𝑙 = −9
𝑙
𝑤 = 𝑙 − 3
como el largo tiene que ser un número positivo
entonces descartamos −9.
𝑤 = 9
𝑙 = 12
Variables
MODELO
VERBAL
MODEL
ALGEBRAICO
RESUELVE
VERIFICA

Modelos en dos
variables

43
Modelo cuadrático
10 𝑝𝑖𝑒𝑠
Dos regiones circulares son tangentes una con otra (ver fígura). La
distancia entre los centros es de 10pies.
a) Encuentre el radio de cada círculo si sus áreas combinadas son de 52𝜋
pies cuadrados.
b) Suponga que la distancia entre los centros permanece igual pero que
los radios son ahora iguales. ¿Aumentaría o disminuiría el área
combinada?
Fórmula de área del círculo: 𝒜 = 𝜋𝓇2
notación: 𝓇: 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠
10 − 𝓇: 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝒜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋 𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2
𝜋 𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2 = 52𝜋
𝓇 2
+ 10 − 𝓇 2
= 52
𝓇 2 + 100 − 20 𝓇 + 𝓇2 = 52
2𝓇2 − 20 𝓇 + 48 = 0
𝓇2 − 10 𝓇 + 24 = 0
(𝓇 − 6)(𝓇 − 4) = 0
𝓇 = 6 ó 𝓇 = 4
∴ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑎𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 4 𝑦 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 6
𝒜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2 𝜋 = 50𝜋
𝒜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2 𝜋 = 50𝜋

44
Modelo cuadrático (continuación)
10 𝑝𝑖𝑒𝑠
b) Suponga que la distancia entre los centros permanece igual pero que
los radios son ahora iguales. ¿Aumentaría o disminuiría el área
combinada?
𝜋 𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2 = 𝒜
𝜋 𝓇2
+ 𝜋 𝓇2
− 20 𝓇 + 100 = 𝒜
𝜋 𝓇2
+ 𝜋 𝓇2
− 20𝜋 𝓇 + 100𝜋 = 𝒜
2𝜋 𝓇2
− 20𝜋 𝓇 = 𝒜 − 100𝜋
𝓇2
− 10 𝓇 +
10
2
2
=
𝒜 − 100𝜋
2𝜋
+
−5
2
2
𝓇 − 5 2 = 𝑘,
∴ 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑢
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑒𝑛 5, 𝒜 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
∴ 𝑠𝑢 á𝑟𝑒𝑎 𝑚í𝑛𝑚𝑎 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 5.
𝒜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2 𝜋 = 50𝜋
𝒜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2 𝜋 = 50𝜋
𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒
𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝑣𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠 …

45
Modelo lineal en dos variables
La ecuación lineal en dos variables es de la forma:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑦 𝑐 ∈ ℛ 𝑦 𝑎 ≠ 0 ó 𝑏 ≠ 0
El exponente máximo de
sus variables es uno, 1.
Ejemplos:
1) 3𝑥 + 𝑦 − 1 = 5
2) 𝑥 + 𝑦 = 9

La ecuación lineal en dos puede ser reescrita de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
donde m denota la inclinación de la línea recta en el plano cartesiano
(expresa como cambia la variable dependiente y en la medida
aumentamos el valor de la variable independiente x) y b es el
intercepto de la gráfica de la línea recta en el eje de y.
Para calcular la m partiendo de dos 𝑥1, 𝑦1 𝑦 𝑥2, 𝑦2 puntos contenidos
en la línea recta sustituimos en 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
y luego se sustituyen los
datos en la fórmula 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 .
Ejemplo: Halle la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos
2, −3 𝑦 4, −6 .
Interpretación de la m: por cada 2 unidades aumentadas en la
variable independiente x, la variable dependiente y disminuye
3 unidades.
𝑚 =
−6 − −3
4 − 2
=
−3
2
Ecuación de la línea: 𝑦 − −3 = −
3
2
𝑥 − 2
𝑦 + 3 = −
3
2
𝑥 + 3
∴ 𝑦 = −
3
2
𝑥 es la ecuación de la línea recta

47
Costos de transporte
La compañía de mudanzas Colinas cobra $70 por transportar una máquina
15 millas y $100 por transportarla 25 millas. Determine la relación entre
la tarifa total y la distancia recorrida , suponiendo que es lineal. Cuál es
la tarifa mínima por transportar esta máquina? Cuál es la cuota por cada
milla que la máquina es transportada?
Solución:
15,70 𝑦 25,100 son los pares ordenados dados
𝑚 =
100 − 70
25 − 15
= 3
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 70 = 3 𝑥 − 15
𝑦 = 3𝑥 + 25
∴ la tarifa mínima es de $25 y la cuota por milla adicional es de $3

Práctica
48
Trabajar los ejercicios de la página 11-12

Torre inclinada de Pisa
Cuando fue construida, la torre inclinada de Pisa, en Italia, tenía 180
pies de alto. Desde entonces, uno de los lados de la base se ha
hundido, causando que la parte superior de la torre se incline 16 pies
del centro (véase la fígura). Calcule la pendiente de ese lado de la
torre.
49
Solución: Destacar los detalles de la situación
permite organizar los datos y determinar la
estrategia a seguir
16 pies
180 pies
16,180
0, 0
Los puntos 0, 0 𝑦 16,180 están contenidos
en ese lado de la torre y están contenidos
en la inclinación de la torre,
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
180 − 0
16 − 0
=
45
4
= 11.25
∴ 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑠 11.25
Interpretación de la pendiente: por cada pie de
desplazamiento horizontal, 11.25’ de la parte superior de la
torre se inclinaban con respecto a su centro.

La gráfica de la ecuación cuadrática es una parábola,
la orientación de sus extremos esta determinada por
el término principal 𝑎𝑥2
veamos,
y
x
y
x
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, parábola
a) Sí 𝑎 > 0
b) Sí 𝑎 < 0
Características:
Dominio: −∞, ∞
Alcance: 𝑘, ∞)
Vértice o Punto mínimo: ℎ, 𝑘
Interceptos(máxima cantidad en x, 2;
en y 0, 𝑦 )
Eje de simetría: 𝑥 = ℎ
h
k
h
k
Características:
Dominio: −∞, ∞
Alcance:(−∞, 𝑘
Vértice o Punto máximo: ℎ, 𝑘
Interceptos(máxima cantidad en x, 2;
en y 0, 𝑦 )
Eje de simetría: 𝑥 = ℎ
Modelo cuadrático en dos variables
5

51
La ecuación cuadrática es mayormente utilizada para modelar
problemas de optimización. Problemas donde se busca el valor máximo o
mínimo. El vértice ℎ, 𝑘 de la parábola representa el punto máximo o
mínimo que alcanza la función, este siempre será k y h quien lo
provoca.
Siempre hay una forma más conveniente para reescribir una función
para poder obtener datos de su gráfica más fácilmente. En la función
cuadrática se completa el cuadrado, de ser necesario, para reescribirla
de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘 o en sustitución del método, podemos
utilizar las fórmulas ℎ = −
𝑏
2𝑎
𝑦 𝑘 =
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
= 𝑓(ℎ).
Ejemplo: Reescribir 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 −5 y trace su gráfica
𝑓 𝑥 = (𝑥2
−4𝑥 + 4) − 4 − 5
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2
− 9 ∴ 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 2, −9 𝑦
Abre hacia arriba, 𝐼 𝑥: −1,0 𝑦 5,0 , 𝐼 𝑦 : 0, −5
Punto mínimo
Nota: El vértice, ℎ, 𝑘 es el par ordenado que recoge
ambas traslaciones, la del eje de x y eje de y, del
vértice original 0,0 .

Trayectoria de un proyectil
La trayectoria de un proyectil disparado desde el suelo es una parábola
abierta hacia abajo. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil es de
120 metros y su alcance horizontal es de 1000 metros entonces…
b) Determine la función que describe su traslación.
a) A qué distancia de la base del disparo alcanzó su altura máxima.
c) ¿Cuál es la distancia horizontal del punto de disparo al punto
donde el proyectil alcanza por primera vez una altura de 80
metros? Buscamos el punto 𝑥, 80
Nota: Recuerde la función cuadrática puede reescribirse
de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, donde ℎ, 𝑘 es su vértice.
∴ 𝑦 = −
3
6250
𝑥 − 500 2
+ 120
52
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 ℎ, 𝑘 = 500,120 y contiene los puntos 0,0 𝑦 1000,0
Como su alcance es 1000 metros y ella es simétrica entonces
alcanza su máximo en la mitad de su trayectoria 500 metros
y
x
1000
120
80
x
80 = −
3
6250
𝑥 − 500 2
+ 120 𝑦 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑥 ≅ 500 ± 289
∴ 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 1𝑒𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑧 80 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ≅ 500 − 289 ≅ 211𝑚

Práctica
53
Trabajar los ejercicios de la página 7-8

54
Altura máxima de una caja
Una puerta en forma de arco parabólico, ver fígura, tiene 3 metros
de altura en el centro y 2 metros de ancho en la base. Una caja
rectangular de 1.5 metros de ancho tiene que ser deslizada a través
de la puerta. ¿Cuál es la máxima altura que puede tener la caja?
El vértice de la parábola es 1, 3 , contiene los puntos
0,0 𝑦 2,0 abre hacia abajo ∴ 𝑓 𝑥 = −3 𝑥 − 1 2
+3
Solución:
Como la caja tiene una base de 1.5m y queda
debajo del arco o vértice de la parábola
entonces los extremos de su base distan 0.25m
de la base de la puerta, si queremos saber la
altura en este punto lo sustituimos en 𝑓 𝑥 .
∴ 𝑓 0.25 = −3 0.25 − 1 2
+ 3
𝑓 0.25 ≅ 1.31𝑚
∴ 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 1.31𝑚
1.5m
2m
3m
y

Capacidad de desagüe
De una plancha de aluminio de 6 pies de largo por 16 pulgadas
de ancho, se desea construir un desagüe doblando hacia arriba
dos lados perpendiculares a la base del desagüe, ver fígura. Si x
pulgadas son dobladas hacia arriba, busque el valor de x que
maximiza la capacidad del desagüe.
Solución: En la fígura se muestran las dimensiones
𝐴 = 𝑥 16 − 2𝑥 = 16𝑥 − 2𝑥2
ℎ = −
𝑏
2𝑎
= −
16
2 −2
= 4
∴ 𝑥 = 4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠, 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜,
así las dimensiones que maximizan su capacidad son
8 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑝𝑜𝑟 4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑜.
x
72 pulg.
Nota: Hay que hacer conversión de
unidades 55

Problemas
adicionales

58
El producto de dos números enteros pares consecutivos es 10
más 7 veces el mayor de los dos enteros. Encuentre los
enteros.
Resuelva con el modelo adecuado

59
Dos personas se encuentran a las 8:45 a.m., la primera camina a
1.5 m/s hacia el oeste y la segunda camina hacia el este a 0.5
m/s, ¿a qué hora la distancia entre ellos es de 360m?

60
Área
La suma de las áreas de la base en que está montada la foto y el área
de la foto es 58 pulgadas cuadradas. Halle las dimensiones de la foto
si sabemos que el largo de la base es 3 pulgadas más que su ancho y
la franja que bordea la foto tiene ancho uniforme de 1 pulgada.
Solución:
La suma de las áreas es 58 → 𝐴 𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴 𝑓𝑜𝑡𝑜 = 58
𝐴 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑤 𝑤 + 3
𝐴 𝑓𝑜𝑡𝑜 = 𝑙 𝑏𝑎𝑠𝑒 − 2 𝑤 𝑏𝑎𝑠𝑒 − 2
= 𝑤 + 3 − 2 𝑤 − 2 = 𝑤 + 1 𝑤 − 2
𝐴 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑤 + 1 𝑤 − 2 + 𝑤 𝑤 + 3
𝑤 + 1 𝑤 − 2 + 𝑤 𝑤 + 3 = 58
𝑤2
− 𝑤 − 2 + 𝑤2
+ 3𝑤 = 58
2𝑤2 + 2𝑤 = 60
𝑤2 + 𝑤 = 30
𝑤2 + 𝑤 − 30 = 0
𝑤 + 6 𝑤 − 5 = 0
1’’
1’’
𝑙 = 𝑤 + 3
𝑤
𝑤−2
𝑤 + 1
5−2=3′′
5 + 1 = 6′′
𝑤 = −6 ó 𝑤 = 5, descartamos el valor negativo, así 𝑤 = 5′′

Primer tren transcontinental
En 1862 el Congreso de los EE.UU otorgó los derechos de construcción a dos
compañías ferroviarias para construir las vías que unen Nebraska con California.
Las vías totales hacen cerca de 1590 millas de longitud. La compañía A empezó
la construcción en dirección este (a una razón de 8.75 millas de vías por mes)
desde Sacramento, California en 1863. Veinticuatro meses después la compañía
B empezó a construir la vía hacia el oeste (a una razón de 20 millas de vías por
mes), desde Nebraska. ¿Cuándo se terminaron las vías? ¿Cuántas millas de vías
construyó cada compañía?
61
Solución:
La compañía A durante los primeros 24 meses (2 años) a razón de 8.75mi por
mes construyeron un total de 210 mi. La compañía B construye 20 mi por mes
(m) y simultáneamente, la A a su razón de trabajo. Esto provoca la ecuación:
20𝑚 + 8.75𝑚 + 24 8.75 = 1590
28.75𝑚 + 210 = 1590
28.75𝑚 = 1380
𝑚 = 48 (4 𝑎ñ𝑜𝑠)
∴ La construcción total
de las vías duro 6 años a
partir del 1863 así que
fueron terminadas en el
1869.
La compañía A construyó∶ 72 8.75 = 630 𝑚𝑖
La compañía B construyó: 48 20 = 960 𝑚𝑖

Cuando un sube y baja está balanceado, el peso de cada persona
varía en forma inversa con la distancia desde el centro de apoyo. Si
una persona que pesa 90 lb se sienta en uno de los extremos de un
sube y baja de 12 pies. ¿Cuán lejos del punto de apoyo deberá estar
una persona de 120 lb para que se establezca un balance?

63
Distancia recorrida
Una camioneta comienza un viaje a una velocidad promedio de 45 millas
por hora. Tres horas después, un automóvil empieza el mismo viaje a una
velocidad de 60 millas por hora (ver fígura)
a) Encuentre las distancias 𝑑1 𝑦 𝑑2 que cada vehículo ha recorrido cuando el
automóvil viajó un tiempo de 𝑡 horas.
Dado 𝑣1 = 45 𝑚𝑝ℎ 𝑦 𝑣2 = 60 𝑚𝑝ℎ y sustituyendo en la fórmula 𝑑 = 𝑣𝑡
obtenemos…
𝑑1= 45 𝑡 + 3 y 𝑑2 = 60𝑡
b) Use el resultado anterior para determinar la relación entre la distancia que
ha viajado el automóvil y el que ha recorrido la camioneta.
𝑑2 = 60𝑡
𝑡 =
𝑑2
60
𝑑1 = 45 𝑡 + 3
𝑑1 = 45
𝑑2
60
+ 3
𝑑1 = 3
4 𝑑2 + 135
Debemos reescribir una ecuación en términos de la otra:

64
Pitágoras
Halle tres números enteros consecutivos que satisfagan el Teorema
de Pitágoras.
Solución: El patrón algebraico que siguen los números enteros
consecutivos es 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 𝑥 + 3, …
Si los tres números son 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, el lado mayor 𝑥 + 2 tiene que
representar lo que en un triángulo rectangular es la hipotenusa, los
otros los catetos, así…
𝑥
𝑥 + 1
𝑥 + 2 2 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 2
𝑥2
+ 4𝑥 + 4 = 𝑥2
+ 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
−𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0
𝑥2
− 2𝑥 − 3 = 0
𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0
∴ 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −1 son los posibles valores para el lado menor
𝑥 = −1 se descarta por ser negativo, por lo tanto 𝑥 = 3
Al sustituir x tenemos que los otros lados del triángulo son 4 y 5.
Concluimos que los tres números enteros consecutivos que satisfacen
el Teorema de Pitágoras son: 3, 4 y 5.

Proyecto de construcción
En un proyecto de construcción hay un carpintero dedicado a los techos
inclinados de madera, los cuales miden 30 pies de largo en su base. La parte
inclinada de cada techo se eleva 4 pulgadas por cada pie horizontal. Su tarea
consiste en colocar soportes verticales cada 16 pulgadas, lo cual lo obliga a
subir la escalera, medir 16 pulgadas horizontalmente y medir la altura vertical
en ese punto. Luego baja la escalera, corta el soporte y sube para colocarlo en
su lugar. El proceso se repite por cada soporte. Cómo puede determinar las
longitudes de los soportes de antemano y evitar subir y bajar.
𝑚 =
4
12
=
1
3
& 0,0 → 𝑦 =
1
3
𝑥
Solución:
Podemos determinar una ecuación lineal (para el techo) en función de x
pulgadas horizontales (en múltiplos de 16)
x 16’’ 32’’ 48’’ 64’’ 80’’ …
y 16
3 ′′ 32
3 ′′ 16’’ 64
3 ′′
80
3’’ …
12′′
4′′
16′′
soporte
0,0
𝑦 =
1
3
𝑥
Nota: cuidado con las unidades de
medida.
360’’

Un estudiante de ingeniería consigue un trabajo de verano como
ayudante de ingeniero. El cobra $12 por hora si trabaja menos de 40
horas semanales y tiempo y medio si trabaja 40 horas o más. Si
suponemos que 𝑆 denota su ingreso total durante una semana en que
trabajo t horas…
b) Dibuje la gráfica de la función ingreso 𝑆
a) Halle la ecuación definida por intervalos 𝑆.
𝑆 =
12𝑡 𝑡 < 40
18𝑡 𝑡 ≥ 40
Solución:
20 40 60
480
720
t
S

Post-prueba

Fin

Conferencia – taller solución de ecuaciones y desigualdades

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