Problemas y ejercicios de mecánica cuántica - Luis de la Peña y Mirna Villavi...
Problema de Brinkman
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matem´tica
a
´
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCION
DEL PROBLEMA DE BRINKMAN.
´
SEMINARIO DE MATEMATICA PURA Y APLICADA II
Alumno: Soto Rivera, Joel Richard
C´digo: 20071155A
o Nota:
Asesor: Dra. Irla Mantilla N.
´
LIMA-PERU
2012
2. Agradecimientos
Agradezco de manera especial a mi asesora Dra. Irla Mantilla por el apoyo brindado
en la elaboraci´n de este trabajo y as´ tambi´n por permitirme hacer uso de las insta-
o ı e
laciones y equipos del Laboratorio de Simulaci´n e Investigaci´n Num´rica(LABOSIN-
o o e
FC) y as´ mismo por aceptar mi pertenencia en este grupo de investigaci´n.
ı o
3. Nomenclatura.
v: Velocidad del fluido.
p: Presi´n del fluido.
o
µef f : Viscosidad efectiva.
µef : Viscosidad externa din´mica.
a
k: Perneabilidad
Ω: Conjunto abierto.
∂Ω: Frontera del conjunto Ω.
2
4. Resumen
El prop´sito del presente trabajo, es el estudio de la existencia y unicidad de la
o
soluci´n en sentido d´bil del problema de contorno de Brinkman, bajo ciertas con-
o e
diciones tales como: dominio acotado (Ω) y con una condici´n de frontera Dirichlet
o
no homog´nea sobre un espacio bidimensional. Para ello utilizaremos propiedades
e
del an´lisis vectorial y funcional para determinar su formulaci´n variacional del
a o
problema en estudio. Luego aplicando el teorema de Lax-Milgram se demuestra la
existencia y unicidad del problema variacional generado. Finalmente se prueba de
modo equivalente que la soluci´n en sentido d´bil es soluci´n del problema en sentido
o e o
cl´sico .
a
Palabras claves: Formulaci´n variacional de Brinkman adimensional, Condici´n
o o
Dirichlet no hom´genea, Lax-Milgram, Existencia y Unicidad, Soluci´n Debil.
o o
2010 Mathematics Subject Classification:35A15-46Exx-35A01-35A02
5. ´
Indice general
Introducci´n
o 2
1. Marco Te´rico para el estudio del problema
o 3
1.1. Espacios de Banach y Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Espacio Dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Aplicaciones lineales y continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Representaci´n de Riesz. . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . 5
1.3. Formas Bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Propiedades del C´lculo . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . 12
1.4.1. Identidades del C´culo . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . 12
1.5. Espacios de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1. El espacio L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2. Espacio Sobolev de orden 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.3. Identidades de Green para espacios Sobolev. . . . . . . . . . . 15
2. Formulaci´n F´
o ısica-Matem´tica del Problema de Brinkman.
a 16
2.1. Adimensionalizaci´n de las ecuaciones de conservaci´n. . . . . . . . . 17
o o
2.2. Modificaci´n de la ecuaci´n adimensional de Brinkman. . . . . . . . . 17
o o
2.3. Formulaci´n Variacional del Problema de Brinkman-Stokes(PVBS). . 18
o
3. Existencia y Unicidad de la Soluci´n del Problema de Brinkman. 21
o
3.1. Estudio de la Existencia y Unicidad de la soluci´n del PVBS. . . . . . 21
o
3.2. Existencia y Unicidad de la soluci´n del Problema de Brinkman. . . . 25
o
Conclusiones 27
Bibliograf´
ıa 28
1
6. Introducci´n
o
El problema de Brinkman (1947) se origin´ al tratar de estimar la permeabilidad
o
de un medio poroso,la ecuaci´n de Brinkman sirve para modelar fluidos en medios
o
porosos, para el que el impulso debido a las tensiones de corte son de importancia
en el fluido.El principal objetivo de este trabajo mostrar que existe un par (v, p) que
satisface el problema de Brinkman. A pesar que la ecuaci´n DL-Brinkman ([8]) es un
o
refinamiento de la ecuaci´n de Brinkman en este trabajo veremos la importancia ya
o
que el otro modelo requiere un mayor n´ mero de condiciones para ser resuelta vemos
u
que existira un factor (v.∇)v que dificulta la linealidad de la ecuaci´n pero dada
o
que Brinkman no considero este t´rmino en su ecuaci´n esto posibilita la forma de
e o
intentar hallar una formulaci´n d´bil de ´sa ecuaci´n la cual nos dar´ la posibilidad
o e e o a
de probar la existencia de soluci´n del problema de Brinkman.
o
Ahora consideremos el problema de Brinkman dada por el siguiente sistema de
ecuaciones:
µef
−∇p + µef f ∇2 v − v = 0, en Ω
k
∇.v = 0 en Ω
Asociado a una condici´n Dirichlet no hom´genea, sobre un dominio acotado Ω,
o o
contenido en un espacio bidimensional. Asumiendo que este dominio cuya frontera
posee propiedades de regularidad, se prueba que el problema de Brinkman tiene
soluci´n unica en un espacio de Sobolev de orden uno. El desarrollo de este trabajo
o ´
se a organizado del siguiente modo:
En el primer cap´ ıtulo veremos todos los conceptos previos que se nesesitan
para abarcar el estudio del problema como resultados cl´sicos del an´lisis fun-
a a
cional,algunas propiedades del c´lculo vectorial y los espacios de sobolev.
a
En el segunda capitulo abarcaremos la formulaci´n del problema sobre que
o
dominios estamos trabajando y se aplicara ciertos m´todos para trabajar con
e
sistemas equivalentes el cual se podra hallar su formulaci´n d´bil del problema
o e
equivalente el cual se le llamar´ la ecuaci´n Brinkman-Stokes.
a o
En la tercer capitulo trabajaremos a partir de su formulaci´n variacional de
o
la ecuaci´n Brinkman-Stokes y se probar´ que esta posee solucion unica so-
o a ´
bre cierto espacio,luego probaremos que tambien existe solucion unica para la
´
ecuaci´n Brinkman.
o
Finalmente dar´ las conclusiones que nos deja este trabajo.
a
2
7. Cap´
ıtulo 1
Marco Te´rico para el estudio del
o
problema
Empezaremos dando los conceptos que se necesitan saber probar que la ecuaci´n
o
de Brinkman bajo ciertas condiciones posee soluci´n unica.
o
1.1. Espacios de Banach y Hilbert
Definici´n 1.1.1 (Espacio normado). Sea V un espacio vectorial real,
o
· : V → R una funci´n que satisface para todo u, v ∈ V y α ∈ R :
o
1. u ≥ 0 ; u =0 ⇔ v=0
2. αu = |α|. u
3. u + v ≤ u + v (Desigualdad Triangular)
Luego se define a · como una norma sobre V, y al par (V, . ) un espacio normado.
Definici´n 1.1.2 (Espacio de Banach). Un espacio normado (V, . ) es llamado
o
Espacio de Banach si V es completo con la m´trica inducida por la norma . .
e
Definici´n 1.1.3 (Espacio Prehilbert). Sea (H, ·, · ) un espacio vectorial provisto
o
con un producto escalar en H.Mas concretamente H un espacio vectorial sobre un
cuerpo K y ·, · es un producto escarlar en H, con las siguientes propiedades.
1. ∀x, y ∈ H, x, y = y, x
2. ∀x, y ∈ H, ∀a ∈ K, ax, y = a x, y
3. ∀x, y, z ∈ H, x, y + z = x, y + x, z
3
8. 4. ∀x ∈ H, x, x ≥ 0, Adem´s, el unico vector que al hacer el producto escalar
a ´
con ´l mismo es cero, es el vector nulo, es decir: x, x = 0 ↔ x = 0.
e
Obsevaci´n:Luego se define la norma inducida en el espacio H dada por el
o
producto interno como:
x H= x, x
Donde la norma inducida x H es un espacio Banach.
Notaci´n:Denotaremos al siguiente conjunto:
o
BX := {x ∈ X : x X ≤ 1}
Definici´n 1.1.4 (Espacio Hilbert). Sea (H, ·, · ) un espacio de prehilbert ,decimos
o
que este espacio es Hilbert si es completo con respecto a la norma inducida por
su producto interno. Completo en este contexto significa que cualquier sucesi´n de
o
Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio con respecto
a la norma inducida en H.
1.2. Espacio Dual.
1.2.1. Aplicaciones lineales y continuas.
Definici´n 1.2.1 (Aplicaci´n lineal.). Sean X e Y espacios vectoriales sobre el
o o
mismo cuerpo K, recordemos que una aplicaci´n T : X → Y es lineal si:
o
T (αx + y) = αT (x) + T (y), ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K
Proposici´n 1.2.1 (Continuidad de una aplicaci´n lineal.). Sea (X, ·, · X ), (Y, ·, · Y )
o o
espacios Hilbert y sea T : X → Y una aplicaci´n lineal entonces las siguientes afir-
o
maciones son equivalentes:
Existe una constante β > 0 tal que T (x) Y ≤β x X ; ∀x ∈X
T es continua en X.
T es acotada en BX .
Demostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia
o o e o
[2]
Definici´n 1.2.2 (funcional lineal). Una aplicaci´n lineal T se llamara funcional
o o
lineal si T : X → R .
Definici´n 1.2.3 (Funcional lineal acotada.). Sea (H, ·, · ) un espacio Hilbert,L :
o
H → R una funcional lineal es llamada lineal acotada si existe un C> 0 tal que:
|T (u)| ≤ C u H, ∀u ∈ H
4
9. Definici´n 1.2.4 (Espacio Dual). Sea (H, ·, · ) un espacio Hilbert se define H ∗ el
o
espacio dual de H como:
H ∗ = {f : H → R : f es lineal acotada.}
Definici´n 1.2.5 (Norma de una Funcional lineal acotada.). Sea T : H → R una
o
funcional lineal acotada,se define su norma como:
|T (u)|
T H∗ = sup
x=0 u H
Proposici´n 1.2.2. Sea (H, ·, · ) un espacio Hilbert se define en H ∗ la norma como
o
en (1.2.5) entonces (H ∗ , · H ∗ ) es un espacio Banach.
Demostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia
o o e o
[2].
1.2.2. Representaci´n de Riesz.
o
Antes de ello algunas definiciones previas antes de enunciar el teorema.
Definici´n 1.2.6 (Subespacio). Sea H un espacio de Hilbert y S ⊆ H un subcon-
o
junto tal que para todo u, v ∈ S y α ∈ R se tiene u + αv ∈ S, entonces S es llamado
Subespacio de H.
Definici´n 1.2.7 (Complemento ortogonal). Sea H un espacio de Hilbert y S ⊂ H
o
un subconjunto, se define
M ⊥ = {v ∈ H : v, x = 0 ∀ x ∈ M}
Proposici´n 1.2.3. Sea H un espacio de Hilbert, dado un subespacio M de H en-
o
tonces
H = M ⊕ M⊥
es decir H = M + M ⊥ y M ∩ M ⊥ = {0}
Demostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia
o o e o
[2].
En H espacio de Hilbert, veamos que dado un u ∈ H, podemos definir la funcional
lineal Lu definida en H como:
Lu (v) = u, v
Veamos ahora en el siguiente teorema que el rec´
ıproco tambi´n es verdadero.
e
Teorema 1.2.1 (Representaci´n de Riesz). Sea (H, ·, ·
o H) un espacio Hilbert,sea
∗
f ∈ H entonces existe un unico u tal que:
´
∀v ∈ H : f (v) = u, v H
m´s a´n se tiene:
a u
f H∗ = u H
5
10. Demostraci´n.
o Existencia.
Sea N u(f ) = M = {v ∈ H : f (v) = 0}; como se sabe M es un subespacio de
H,adem´s por ser una funcional lineal acotada N (L) es cerrado; entonces por la
a
proposici´n (1.2.3) tenemos que: H = M ⊕ M ⊥
o
(1) Caso: Si M ⊥ = {0}
Esto implica que M = H; por lo tanto L ≡ 0; entonces basta tomar u = 0 y el
teorema queda demostrado. ∀ v ∈ H : f (v) = u, v
(2) Caso: Si M ⊥ = {0}
Entonces sea z ∈ M ⊥ , z = 0, luego z ∈ M por lo tanto f (z) = 0.
/
Para cualquier v ∈ H consideremos: x = f (v)z − f (z)v
aplicando f obtenemos:
f (x) = f (v)f (z) − f (z)f (v) = 0
Esto muestra que x ∈ N (f ) = M y ya que z ∈ M ⊥ tenemos que:
0 = z, x = z, f (v)z − f (z)v
= f (v) z, z − f (z) z, v
2
Notando que z, z = z = 0, resulta que:
f (z)
f (v) = z, v
z 2
f (z)
Entonces escribiendo u = z 2
z tenemos demostrado el teorema:
∀v ∈H : f (v) = u, v
Unicidad.
Supongamos que existen u1, u2 ∈ H tales que:
∀v ∈ H : f (v) = u1 , v = u2 , v
Entonces ∀ v ∈ H : u1 − u2 , v = 0; tomando entonces en particular: v = u1 − u2 ,
se tiene que:
2
u1 − u2 , v = u1 − u2 , u1 − u2 = u1 − u2 =0
6
11. Por lo tanto u1 − u2 = 0, esto es u1 = u2 , que prueba la unicidad.
Igualdad de normas.
f (z)
De la definici´n de u =
o z 2
z, tomando norma tenemos:
|f (z)| |f (x)|
u H = ≤ sup = f H∗
z x∈H x
x=0
Tambi´n se tiene que:
e
|f (x)| | u, x |
f H∗ = sup ≤ sup ≤ u H
x∈H x x∈H x
x=0 x=0
Por lo tanto tenemos:
f H∗ = u H
Con esto queda demostrado el teorema.
1.3. Formas Bilineales.
Definici´n 1.3.1 (Forma bilineal). Sea V un espacio vectorial, una funci´n
o o
b : V ×V → R se le llama forma bilineal si cumple para todo u, v, w ∈ V y α, β ∈ R :
1. b(αu + βv, w) = αb(u, w) + βb(v, w)
2. b(u, αv + βw) = αb(u, v) + βb(u, w)
Si adem´s cumple que ∀u, v ∈ V : b(u, v) = b(v, u) se dice que es sim´trica.
a e
Definici´n 1.3.2. Una forma bilineal b(·, ·) en un espacio vectorial normado V, se
o
dice que es acotada (o continua); si ∃ C > 0 tal que:
|b(v, w)| ≤ C v V w V ; ∀ v, w ∈ V
Y se dice que es coerciva en U ⊂ V si ∃ α > 0 tal que:
2
b(v, v) ≥ α v V ; ∀v ∈ U
7
12. 1.3.1. Teorema de Lax-Milgram
Definici´n 1.3.3 (Contracci´n). Sea (V, · V ) un espacio de Banach. Una apli-
o o
caci´n T : V → V es llamada una contracci´n en V, si existe un real M < 1 tal
o o
que:
∀ v1 , v2 ∈ V : T v1 − T v2 ≤ M v1 − v2
Lema 1.3.1 (La aplicaci´n contractiva). Dado un espacio de Banach (V, · ) y
o
una contracci´n T : V → V ; entonces existe un unico v ∈ V tal que: T v = v (Punto
o ´
fijo)
Demostraci´n.
o Existencia.
Elegimos v0 ∈ V y definimos:
v1 = T v0 , v2 = T v1 , . . . , vk+1 = T vk , . . .
Notemos que ∀ k ∈ N : vk+1 − vk = T vk − T vk−1 ≤ M vk − vk−1 . Entonces por
inducci´n podemos afirmar que:
o
∀k ∈N : vk − vk−1 ≤ M k−1 v1 − v0
Por lo tanto, para ∀ m, n ∈ N : m > n tenemos:
m
vm − vn = vk − vk−1
k=n+1
m
≤ v1 − v0 M k−1
k=n+1
n
M
≤ v1 − v0
1−M
Dado que 0 < M < 1 y que el t´rmino v1 − v0 es fijo, el lado derecho de la
e
desigualdad puede hacerse tan peque˜ o como se desee, tomando a m suficientemente
n
grande. Esto demuestra que (vn )n∈N es una sucesi´n de Cauchy. Dado que V es un
o
espacio completo (por ser de Banach), la sucesi´n (vn )n∈N es convergente y sea
o
vn → v, con v ∈ V tenemos:
v − Tv ≤ v − vn + vn − T v
= v − vn + T vn−1 − T v
≤ v − vn + M vn−1 − v
Tomando n → ∞ tenemos que:
v − Tv = 0 ⇒ v = Tv
8
13. Esto demuestra la existencia de un punto fijo v ∈ V.
Unicidad.
Supongamos que tenemos T v1 = v1 y T v2 = v2 entonces:
v1 − v2 = T v1 − T v2 ≤ M v1 − v2
Entonces v1 − v2 = 0 ya que en otro caso se tendria que 1 ≤ M que es una
contradicci´n.
o
Por lo tanto v1 = v2 , el punto fijo es unico.
´
Teorema 1.3.1 (Lax-Milgram). Sea (H, ·, · H ) un espacio Hilbert, dada una forma
a : H ×H → Rbilineal coerciva y continua en H ×H y una funcional acotada f ∈ H ∗
entonces existe un unico u ∈ H tal que:
∀v ∈H : a(u, v) = f (v)
Demostraci´n. Para cualquier u ∈ H definimos la funcional Au ∈ H ∗ por ∀ v ∈ H :
o
Au(v) = a(u, v).
Veamos que Au es lineal:
Au(αv1 + βv2 ) = a(u, αv1 + βv2 )
= αa(u, v1 ) + βa(u, v2)
= αAu(v1 ) + βAu(v2 ) ∀ v1 , v2 ∈ H; ∀ α, β ∈ R
Veamos adem´s que Au es continua:
a
∀v ∈ H : |Au(v)| = |a(u, v)| ≤ C u v
Donde C es una constante por la definici´n de continuidad de a ·, · , por lo tanto
o
tenemos que:
|Au(v)|
Au H ∗ = sup ≤C u <∞
v=0 v
Esto muestra que Au ∈ H ∗ .
Adem´s sabemos que: ∀ φ ∈ H ∗ por (1.2.1) ∃ξφ ∈ H unico, tal que
a ´
φ(v) = ξφ , v ∀v ∈H
Luego definimos ξ : H ∗ → H como: ∀ φ ∈ H ∗ : ξ(φ) = ξφ.
Veamos que ξ es un operador lineal:
∀ L, T ∈ H ∗ : ξ(L+T ) = ξL+T
9
14. Sabemos que por la definici´n de ξ: ∀ v ∈ H
o (L + T )(v) = ξL+T , v
(L + T )(v) = ξL+T , v
L(v) + T (v) = ξL+T , v
Para L y T tambi´n existen ξL y ξT tales que: ∀ v ∈ H : L(v) = ξL , v y
e
T (v) = ξT , v .
Entonces:
ξL , v + ξT , v = ξL+T , v
ξL + ξT , v = ξL+T , v
(ξL + ξT − ξL+T ), v = 0
Por lo tanto: ξL + ξT = ξL+T ; es decir: ξ(L) + ξ(T ) = ξ(L + T ) es Lineal.
Por la unicidad de ξφ ∈ V se tiene que ξ es inyectiva.
Adem´s el mismo teorema asegura que: φ H ∗ = ξφ H = ξ(φ) H .
a
Ahora tomando ρ = 0, definimos T : H → H como:
∀v ∈H : T v = v − ρ(ξ(Av) − ξ(f ))
Veamos que condiciones debe tener ρ para que T sea una contracci´n:
o
Para cualquier v1 , v2 ∈ H; sea v = v1 − v2 :
2
T v1 − T v2 = v1 − v2 − ρ(ξ(Av1 ) − ξ(Av2 )) 2
= v − ρ(ξ(Av)) 2
= v 2 − 2ρ (Av), v + ρ2 ξ(Av) 2
= v 2 − 2ρAv(v) + ρ2 Av(ξ(Av))
= v 2 − 2ρa(v, v) + ρ2 a(v, ξ(Av))
≤ v 2 − 2ρα v 2 + ρ2 C v ξ(Av)
≤ (1 − 2ρα + ρ2 C 2 ) v 2
= (1 − 2ρα + ρ2 C 2 ) v1 − v2 2
= K 2 v1 − v2 2
Entonces debemos tomar ρ de tal forma que: K < 1 es decir (1 − 2ρα + ρ2 C 2 ) < 1
que es lo mismo que ρ(ρC 2 − 2α) < 0
Entonces basta tomar ρ ∈ 0, 2α/C 2
Con esta elecci´n de ρ se asegura que T es una contracci´n por lo tanto por el lema
o o
(...) aseguramos que T posee un unico punto fijo, es decir:
´
Existe un unico u ∈ H tal que: T u = u.
´
Entonces:
u − ρ(ξ(Au) − ξ(f )) = u
10
15. Por lo tanto:
ξ(Au) = ξ(f )
Y por ser ξ inyectiva tenemos que:
Au = F ⇒ Au(v) = f (v)
Por lo tanto: Existe un unico u ∈ H tal que:
´
∀v ∈H : a(u, v) = f (v)
Con lo que el Teorema queda demostrado.
Lema 1.3.2. Sea (H, ·, · )H un espacio Hilbert entonces (H × H, ·, · H2) es un
espacio Hilbert.
Donde ·, · H 2 = ·, · H + ·, · H
Demostraci´n. Facilmente se prueba que dado (x, y) ∈ H × H se tiene:
o
2 2 2
(x, y) H2 = x H + y H
Sea (xn , yn ) una sucesi´n de cauchy en H × H, dado ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que si
o
∀m, n ≥ n0 entonces (xn , yn ) − (xm , ym ) H 2 < ǫ
2 2 2
(xn , yn ) − (xm , ym ) H2 = xn − xm H + yn − ym H <ǫ
de esto se deduce que (xn ), (yn ) son sucesiones de cauchy en H al ser H un espacio
completo se tiene que existe (x, y) ∈ H × H tal que
xn → x, yn → y
Afirmo que (xn , yn ) converge a (x, y) en efecto:
ǫ ǫ
Dado √2 > 0 existe n1 ∈ N tal que ∀n ≥ n1 implica que xn − x H < √2
ǫ ǫ
Dado 2 > 0 existe n2 ∈ N tal que ∀n ≥ n2 implica que yn − y H < √2
Sea n0 = m´x{n1 , n2 } entonces ∀n ≥ n0 se tiene
a
2 2 2
(xn , yn ) − (x, y) H2 = xn − x H + yn − y H < ǫ2
dado ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 implica que (xn , yn ) − (x, y) H 2 < ǫ
(xn , yn ) una sucesi´n convergente en H × H, de aqui (H × H, ·, · H 2 ) es un espacio
o
Hilbert.
11
16. 1.4. Propiedades del C´lculo
a
Se dar´ un breve pero conciso resumen sobre los principales resultados del c´lculo
a a
vectorial.
Sea Ω ⊆ R2 , definimos el siguinte campo vectorial u ∈ C 2 (Ω) donde:
u:Ω → R2
u(x, y) = (u1 (x, y), u2(x, y))
Se define la divergencia de u como:
∂u1 ∂u2
div(u) = ∇ · u = +
∂x ∂y
Se define laplaciano de u como:
∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ∂ 2 u2 ∂ 2 u2
∆(u) = ∇2 u = ( + , + )
∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2
Dado una φ ∈ C 2 (Ω) un campo escalar definido como:
φ:Ω → R
φ(x, y) = φ
Se define el gradiente de φ como:
∂φ ∂φ ∂φ
∇φ = ( , , )
∂x ∂y ∂z
Se define laplaciano de φ como:
∂2φ ∂2φ
△φ = + 2
∂x2 ∂y
1.4.1. Identidades del C´culo
a
Se cumplen las siguientes identidades:
∇ · (u + v) = ∇ · u + ∇ · v
∇ · (uφ) = φ∇ · u + u · ∇φ
∇2 φ = ∇ · (∇φ)
Teorema 1.4.1 (Identidades de Green.). Sea φ, ϕ ∈ C 2 (Ω) entonces se cumple:
φ△ϕdx = φ(∇ϕ · η)dS − ∇φ · ∇ϕdx
Ω ∂Ω Ω
∂ϕ ∂φ
(φ△ϕ − ϕ△φ)dx = (φ − ϕ )dx
Ω ∂Ω ∂η ∂η
12
17. Demostraci´n. La demostraci´n de ´ste teorema se encuentra en la referencia [6]
o o e
Teorema 1.4.2 (Teorema de la divergencia.). Sea u ∈ C 2 (Ω) un campo vectorial
entonces se cumple:
∇ · udx = u · ηdS
Ω ∂Ω
Demostraci´n. La demostraci´n de ´ste teorema se encuentra en la referencia [6]
o o e
1.5. Espacios de Sobolev.
1.5.1. El espacio L2 (Ω)
Considerando a Ω ⊂ R2 un conjunto abierto.
Definici´n 1.5.1 (Espacios L2 (Ω)).
o
L2 (Ω) := {[v]/v : Ω → R es una f uncion medible y |v(x)|2 dx < ∞}
Ω
donde: [v] = {u : Ω → R/u(x) = v(x) excepto en un conjunto de medida nula}
Observaci´n:
o
Asumiremos que v ∈ L2 (Ω) ≡ [v] ∈ L2 (Ω)
1
Proposici´n 1.5.1. Para v
o L2 (Ω) := ( Ω
|v(x)|2 dx) 2 se cumple:
1. | Ω
u(x)v(x)dx| ≤ u L2 (Ω) v L2 (Ω) (Desigualdad de Schwarz)
2. u + v L2 (Ω) ≤ u L2 (Ω) + v L2 (Ω) (Desigualdad Triangular)
3. (L2 (Ω), . L2 (Ω) ) es un espacio de Banach.
Demostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia
o o e o
[2]
Observaci´n
o
La norma mencionada es inducida por el producto interno u, v L2 (Ω) = Ω
u(x)v(x)
asi L2 (Ω) es tambien un espacio de Hilbert.
13
18. 1.5.2. Espacio Sobolev de orden 1.
Definici´n 1.5.2. Sea ϕ ∈ C ∞ (Ω) el soporte de ϕ esta definido por:
o
sop(ϕ) := {x ∈ Ω : ϕ(x) = 0}
Definici´n 1.5.3. Se define por D(Ω) o C0 (Ω) al conjunto de funciones C ∞ (Ω)
o ∞
con soporte compacto en Ω.
Dado f una funci´n localmente integrable,entonces f puede ser identificada con
o
la siguiente distribuci´n:
o
f, ϕ = f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω)
Ω
N
N
Sea α = (α1 , . . . , αN ) ∈ N donde |α| = αi
i=1
De aqui se define:
α ∂u|α|
∂ u = α1 α
∂x1 . . . ∂xNN
Para u ∈ D ∗ (Ω) se puede definir: ∂ α u ∈ D ∗ (Ω) como:
∂ α u, ϕ = (−1)|α| u, ∂ α ϕ ∀ϕ ∈ D(Ω)
Observaci´n:Si u es α-diferenciable entonces ∂ α u coincide con la derivada usual.A
o
partir de aqui podemos definir lo siguiente:
Definici´n 1.5.4. Se define al espacio Sobolev de orden 1 como:
o
H 1 (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : ∂ α v ∈ L2 (Ω) α ≤ 1}
1
Definici´n 1.5.5. Definimos el conjunto H0 (Ω) como la cerradura de D(Ω) en
o
1
H (Ω), es decir:
1
H0 (Ω) = D(Ω)
1
Definimos la siguiente norma en H0 (Ω) de la siguiente forma:
1
u H1 =( |∂ α u(x)|2 dx) 2
|α|≤1 Ω
Observaci´n
o
Asi definido se tiene que:(H 1 (Ω), · H 1 ) es un espacio banach. H0 (Ω) es un subes-
1
pacio cerrado de H 1 (Ω), definido con las misma norma es tambi´n es un espacio de
e
banach.
Teorema 1.5.1 (Desiguadad de Poincar´). Sea Ω ⊂ R2 un conjunto abierto y
e
acotado. Entonces existe C = C(Ω) > 0 tal que
∂v 2 ∂v 2
v 2 (x)dx ≤ C {( ) +( ) }dx, 1
∀v ∈ H0 (Ω)
Ω Ω ∂x1 ∂x2
Demostraci´n. La demostraci´n de ´ste teorema se encuentra en la referencia [7].
o o e
14
19. 1.5.3. Identidades de Green para espacios Sobolev.
Definici´n 1.5.6. Se define el espacio de Sobolev de orden 2 como:
o
H 2 (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : ∂ α v ∈ L2 (Ω) α ≤ 2}
Proposici´n 1.5.2. Sea u, v ∈ H 1 (Ω) donde u = u(x1 , x2 ) y v = v(x1 , x2 ) entonces
o
∂u ∂v
vdx = − u dx + uvηi dΓ ∀i = 1, 2
Ω ∂xi Ω ∂xi ∂Ω
Demostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia
o o e o
[3]
Proposici´n 1.5.3. Sea u ∈ H 2(Ω) y donde v ∈ H 1 (Ω) donde u = u(x1 , x2 ) y
o
v = v(x1 , x2 ) entonces
∂u
− ∆uvdx = ∇u · ∇vdx − vdΓ ∀i = 1, 2
Ω Ω ∂Ω ∂η
Demostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia
o o e o
[3].
15
20. Cap´
ıtulo 2
Formulaci´n F´
o ısica-Matem´tica
a
del Problema de Brinkman.
Consideremos un cuerpo poroso que ocupa un dominio bidimensional Ω ⊆ R2
acotado y abierto con frontera continua Lipschitz ∂Ω, asumiendo que existe un fluido
viscoso incomprensible que pasa a trav´s del cuerpo poroso hom´geneo con permea-
e o
bilidad k.Ahora sea el campo vectorial v en H 1 (Ω) × H 1 (Ω) y una funcion escalar p
en L2 (Ω) definidos de la siguiente forma:
v : Ω → R2
v(x, y) = (v1 (x, y), v2(x, y)).
p:Ω→R
p(x, y) = p(x, y).
Siendo estos el vector velocidad y la funci´n escalar presi´n respectivamente.
o o
Ahora consideremos la ecuaci´n brinkman y la ecuaci´n de continuidad asociadas a
o o
este fluido:
µef
−∇p + µef f ∇2 v − v = 0, en Ω (2.1)
k
∇.v = 0 en Ω (2.2)
Con una condici´n de contorno de la siguiente forma:
o
v = g, en ∂Ω (2.3)
Siendo g ∈ C 2 (Ω) con ∇ · g = 0. en x ∈ Ω
16
21. 2.1. Adimensionalizaci´n de las ecuaciones de con-
o
servaci´n.
o
Sea R0 la longitud caracteristica de la regi´n Ω y u∞ la magnitud de la velocidad
o
caracteristica,introducimos las cantidades adimensionales de la siguiente forma:
→
−∗ ∗
p∗
− = x ,v = v ,p =
→
x .
µef
.
R0 u ∞ µef u ∞ /R µ
0 ef f
De (2.1) reemplazando sus valores dimensionales se obtiene lo siguiente ecuaci´n
o
adimenisional:
1 µef f µef u∞ µef f ∞ 2 u∞ µef
− .( ). ∇p + 2 u ∇ v − v=0
R0 µef R0 R0 R0
Simplificando y factorizando se obtiene las siguiente ecuaci´n:
o
−∇p + ∇2 v − χ2 v = 0, en Ω (2.4)
R µef
Donde: χ = √0
k µef f
.
de manera similar para (2.2) se prueba que su forma adimensional coincide con su
forma dimensional.De aqui reformulamos nuestro problema de la siguiente forma:
∇.v = 0, en Ω (2.5)
∇p + (−∇2 + χ2 )v = 0, en Ω (2.6)
Para la condici´n de frontera de similar forma se prueba que:
o
v = g0 , en ∂Ω (2.7)
donde g0 (x, y) es la forma adimensional de g. Observar que estas ecuaciones son las
adimensionales a pesar que la primera ecuaci´n se ve exactamente igual a la ecuaci´n
o o
dimensional,adema´ de ello:
s
∂g(xR0 , yR0 ) ∂g(xR0 , yR0 ) 1
∇ · g(− , →) =
→ −
x y + =0= ∇ · g0
∂xR0 ∂yR0 R0
de aqui se deduce que: ∇ · g0 = 0.
2.2. Modificaci´n de la ecuaci´n adimensional de
o o
Brinkman.
Dado el anterior sistema consideremos el siguiente cambio de variable:
u(x, y) = v(x, y) − g0 (x, y) ; x ∈ Ω
17
22. Vamos redefinir el sistema en funci´n a este cambio de variable:
o
∇p + (−∇2 + χ2 )(u + g0 ) = 0, en Ω
∇p − ∇2 u + χ2 u − ∇2 g0 + χ2 g0 = 0, en Ω
observar que: ∇2 g0 = 0. ya que:
∇ · g0 = 0. (2.8)
derivando respecto de x a (2.8) y luego respecto de y a (2.8) sumas las ecuaciones y
se obtiene lo pedido.
reemplazando ∇2 g0 = 0. se obtiene:
∇p − ∇2 u + χ2 u = −χ2 g0 , en Ω (2.9)
Luego, considerando (2.8) se obtiene:
∇ · u = ∇ · (v − g0 ) = −∇ · g0 = 0. x ∈ Ω (2.10)
∇ · u = 0, x ∈ Ω. (2.11)
El sistema conformado por las ecuaciones (2.9) y (2.11) se le denominar´ ecuaciones
a
de Brinkman-Stokes, la misma que est´ asociada la condici´n de contorno del tipo
a o
Dirichlet hom´genea,
o
u = 0, x ∈ ∂Ω (2.12)
conformar´ el problema en estudio de este trabajo.
a
2.3. Formulaci´n Variacional del Problema de Brinkman-
o
Stokes(PVBS).
Comenzaremos hallando la formulaci´n variacional de (2.9) tomando producto
o
1 1
escalar a cada lado de la igualdad con una funci´n ϕ ∈ H0 (Ω) × H0 (Ω):
o
∇p.ϕ − ∇2 u.ϕ + χ2 u.ϕ = −χ2 g0 · ϕ
integrando sobre Ω se tiene:
∇p.ϕdx − ∇2 u.ϕdx + χ2 u.ϕdx = − χ2 g0 .ϕdx. (2.13)
Ω Ω Ω Ω
Veamos para ∇2 u = (∇2 u1 , ∇2 u2 ) y denotando ϕ(x, y) = (ϕ1 (x, y), ϕ2(x, y))
entonces ∇2 u.ϕ = ∇2 u1 .ϕ1 + ∇2 u2 .ϕ2 .Se sabe que
∇.((∇ui )ϕi ) = ∇ϕi .∇ui + ϕi ∇.(∇ui ), para i=1,2
= ∇ϕi .∇ui + ϕi ∇2 ui , para i=1,2
18
23. ϕi ∇2 ui dx = ∇.((∇ui )ϕi )dx − ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2
Ω Ω Ω
Pero por el teorema de Green se sabe:
∇.((∇ui )ϕi )dx = (ϕi ∇ui ).ˆd(Γ), para i=1,2
η
Ω ∂Ω
siendo η un vector normal unitario a la regi´n Ω entonces reemplazando en lo anterior
ˆ o
se tiene:
ϕi ∇2 ui dx = (ϕi ∇ui ).ˆd(Γ) −
η ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2
Ω ∂Ω Ω
De aqui se obtiene:
∂ui
ϕi ∇2 ui dx = ϕi d(Γ) − ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2 (2.14)
Ω ∂Ω ∂η Ω
Se tiene que u = 0 en ∂Ω entonces (2.14) se reduce a la siguiente expresi´n:
o
ϕi ∇2 ui dx = − ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2 (2.15)
Ω Ω
De (2.15) sumando los casos (i=1)+(i=2) usaremos la siguiente notaci´n:
o
∇ϕ·∇u = ∇ϕ1 · ∇u1 + ∇ϕ2 · ∇u2
ϕ.∇2 udx = − ∇ϕ·∇udx. (2.16)
Ω Ω
Ahora trabajemos con la presi´n:Del c´lculo vectorial se tiene:
o a
∇.(pϕ) = ∇p.ϕ + p∇.ϕ
− ∇p.ϕ = p∇.ϕ − ∇.(pϕ)
Ω Ω Ω
Realizando el mismo procedimiento anterior se obtiene:
− ∇p.ϕ = p∇.ϕ − pϕ.ηdΓ.
Ω Ω ∂Ω
1
Como ϕ ∈ H0 (Ω) entonces la expresi´n anterior se reduce:
o
− ∇p.ϕ = p∇.ϕ (2.17)
Ω Ω
De (2.16) y (2.17) en (2.13) se tiene:
− p∇.ϕdx + ∇ϕ·∇udx + χ2 uϕdx = 0, ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2
1
(2.18)
Ω Ω Ω
19
24. Se define :
a : (H0 (Ω))2 × (H0 (Ω))2 →
1 1
R
a(u, v) = Ω
∇v·∇udx + χ2 Ω
u · vdx
l : {ϕ ∈ [H0 (Ω)]2 /∇.ϕ = 0} →
1
R
l(ϕ) = − Ω
χ2 g0 .ϕdx.
L2 (Ω) = {q ∈ L2 (Ω)/
0 Ω
qdx = 0}
b : (H0 (Ω))2 × (L2 (Ω)) →
1
0 R
b(u, q) = − Ω
q∇.udx
De (2.5) resolver la ecuaci´n de Brinkman se reformula en:
o
1
encontrar u ∈ (H0 (Ω))2 , p ∈ L2 (Ω) :
0
(F V ) a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2
1
b(u, q) = 0, ∀q ∈ L2 (Ω)
0
A este nuevo sistema (FV) se llama la formulaci´n d´bil o variacional de la ecuaci´n
o e o
adimensional de Brinkman,la cual probaremos que admite soluci´n y adem´s es
o a
unica para ello utilizaremos resultados importantes del an´lisis funcional.
´ a
20
25. Cap´
ıtulo 3
Existencia y Unicidad de la
Soluci´n del Problema de
o
Brinkman.
En secci´n se probara que el sistema (FV) admite soluci´n y adem´s que esta
o o a
soluci´n es unica tambi´n probaremos que dado la soluci´n de (FV) est´ es solu-
o ´ e o a
ci´n del sistema de ecuaciones que involucra a (2.5) y (2.6).Antes de ello algunos
o
resultados importantes del an´lisis funcional.
a
3.1. Estudio de la Existencia y Unicidad de la so-
luci´n del PVBS.
o
Recordemos como estaba definido (FV):
encontrar v ∈ (H0 (Ω))2 , p ∈ L2 (Ω) :
1
0
a(v, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2
1
b(v, q) = 0, ∀q ∈ L2 (Ω)
0
Se define V = {v ∈ [H0 (Ω)]2 /∇.v = 0}, definido con el siguiente producto interno:
1
1 2
Siendo u, v ∈ [H0 (Ω)] , con u = (u1 , u2 ); v = (v1 , v2 )
u, v V = ∂ α u1(x).∂ α v1 (x)dx + ∂ α u2 (x).∂ α v2 (x)dx
|α|≤1 Ω |α|≤1 Ω
Dado que H0 (Ω) es un subespacio cerrado de H 1 (Ω) respecto al producto interno
1
·, · V y al ser H 1 (Ω) un espacio de Hilbert entonces H0 (Ω) es un espacio Hilbert.De
1
aqui en virtud del lema (1.3.2) se tiene que [H0 (Ω)]2 es un espacio Hilbert y dado
1
1 2
que V es un subespacio cerrado de [H0 (Ω)] esto es por [3] entonces (V, ·, · V ) es
un espacio Hilbert.
dado ese producto interno induce una norma de la siguiente manera:
∂u1 2 ∂u1 2 ∂u2 2 ∂u2 2
u 2 = (
V ) dx + ( ) dx + ( ) dx + ( ) dx
Ω ∂x Ω ∂y Ω ∂x Ω ∂y
21
26. de aqui claramente:
2 ∂u1 2 ∂u2 2 ∂u1 2 ∂u2 2
u V = L2 (Ω) + L2 (Ω) + L2 (Ω) + L2 (Ω) . (3.1)
∂x ∂y ∂y ∂x
Para fijar ideas probaremos que a(·, ·) es una forma bilineal coerciva y continua y
utilizaremos 1.3.1 para hallar nuestro candidato a soluci´n v y utilizando un lema
o
adicional probaremos la existencia y unicidad de p.
Teorema 3.1.1. Sea (V, ·, · V ) es un espacio Hilbert,definido a : V 2 × V 2 → R
como:
a(u, v) = ∇v·∇udx + χ2 u.vdx
Ω Ω
entonces a(·, ·) es una forma bilineal continua coerciva en V.
Demostraci´n. Sea u, v ∈ V con u = (u1 (x, y), u2(x, y)), v = (v1 (x, y), v2(x, y)) Para
o
empezar demostraremos que:
a(·, ·) es una forma bilineal. Solo demostraremos la linealidad en una componente
para demostrar en la otra es un proceso completamente an´logo.
a
Sea α ∈ R y w ∈ V con w = (w1 (x, y), w2(x, y)) entonces:
a(αu + v, w) = χ2 (αu + v) · wdx + ∇(αu + v)·∇wdx
Ω Ω
= αχ2 u · wdx + χ2 v · wdx
Ω Ω
+ {∇(αu1 + v1 ) · ∇w1 + ∇(αu2 + v2 ) · ∇w2 }dx
Ω
= αχ2 u · wdx + χ2 v · wdx
Ω Ω
+ {α∇u1 · ∇w1 + ∇v1 · ∇w1 + α∇u2 · ∇w2 + ∇v2 · ∇w2 }dx
Ω
= α{χ2 u · wdx + ∇u·∇wdx} + {χ2 v · wdx + ∇v·∇wdx}
Ω Ω Ω Ω
= αa(u, w) + a(v, w)
Con esto se probo la linealidad de la primera componente.
a(·, ·) es continua en V.
|a(u, v)| = |χ2 u · vdx + ∇u·∇vdx| ≤ χ2 |u · v|dx + |∇u·∇v|dx
Ω Ω Ω Ω
= χ2 |u1 v1 + u2v2 |dx + |∇u1 · ∇v1 + ∇u2 · ∇v2 |dx
Ω Ω
∂u1 ∂v1 ∂u1 ∂v1 ∂u2 ∂v2 ∂u2 ∂v2
≤ χ2 { |u1 v1 |dx + |u2 v2 |dx} + | + + + |dx
Ω Ω Ω ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
22
27. Ahora aplicando la desigualdad de chauchy-schwarz se tiene:
∂ui ∂vi ∂ui ∂vi
|ui vi |dx ≤ ui L2 (Ω) vi L2 (Ω) ; | |dx ≤ L2 (Ω) L2 (Ω)
Ω Ω ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj
siendo x1 = x; x2 = y. verificandose para i, j = 1, 2;entonces aplicando estas de-
sigualdades a la inecuaci´n anterior se tiene:
o
∂u1 ∂v1
|a(u, v)| ≤ χ2 ( u1 L2 (Ω) v1 L2 (Ω) + u2 L2 (Ω) v2 L2 (Ω) ) +( L2 (Ω) L2 (Ω)
∂x ∂x
∂u1 ∂v1 ∂u2 ∂v2 ∂u2 ∂v2
+ L2 (Ω) L2 (Ω) + L2 (Ω) L2 (Ω) + L2 (Ω) L2 (Ω) ) (3.2)
∂x2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
De (3.1) se tiene lo siguiente:
∂ui ∂vi ∂ui ∂vi
L2 (Ω) ≤ u V; L2 (Ω) ≤ v V de aqu´
ı L2 (Ω) L2 (Ω) ≤ u V v V
∂xj ∂xj ∂xj ∂xj
(3.3)
para i, j =, 2 Adem´s de la desigualdad de Poincar´ se tiene:
a e
2 ∂ui 2 ∂ui 2
ui L2 (Ω) = u2 dx ≤ C
i {( ) +( ) }dx (3.4)
Ω Ω ∂x ∂y
de (3.4) se deduce:
2 ∂ui 2 ∂ui 2 2
ui L2 (Ω) ≤ C( L2 (Ω) + L2 (Ω) ) ≤C u V (3.5)
∂x ∂y
,Ahora aplicando (3.3) y (3.5) a (3.2) se tiene:
|a(u, v)| ≤ χ2 (C u V v V +C u V v V )+( u V v V+ u V v V+ u V v V+ u V v V )
|a(u, v)| ≤ (2χ2 C + 4) u V v V
Con esto queda probado que a(·, ·) es continua en V.
a(·, ·) es coerciva en V.
se tiene:
a(u, u) = χ2 u · u + ∇u·∇u
Ω Ω
a(u, u) = χ2 u·u+ ∇u1 · ∇u1 + ∇u2 · ∇u2 = χ2 u·u+ u 2
V
Ω Ω Ω Ω
2
Pero como χ Ω
u · u ≥ 0 se tiene:
2
a(u, u) ≥ u V
Con esto queda probado que a(·, ·) es coerciva en V.
Con esto queda probado el teorema.
23
28. Teorema 3.1.2. dado l ∈ V ∗ definido como:
l(ϕ) = − χ2 g0 .ϕdx.
Ω
entonces l es lineal acotada.
1 2 i 1
Demostraci´n. Sea g0 (x, y) = (g0 (x, y), g0 (x, y)) siendo g0 (x, y) ∈ H0 (Ω) con i = 1, 2
o
entonces se tiene:
|l(ϕ)| = | − χ2 g0 .ϕdx.| = χ2 | (g0 ϕ1 + g0 ϕ2 )dx| ≤ χ2 (|
1 2 1
g0 ϕ1 dx| + | 2
g0 ϕ2 dx|)
Ω Ω Ω Ω
Por la desigualdad de cauchy-schwarz y luego aplicando la 3.5 se tiene:
√
≤ χ2 (|g0 |L2 (Ω) |ϕ1 |L2 (Ω) + |g0 |L2 (Ω) |ϕ2 |L2 (Ω) ) ≤ χ2 C(|g0 |L2 (Ω) |ϕ|V + |g0 |L2 (Ω) |ϕ|V )
1 2 1 2
Denotando como: √
M = χ2 C(|g0 |L2 (Ω) + |g0 |L2 (Ω) ) < ∞
1 2
De esto se obtiene l(ϕ) ≤ M|ϕ|V por lo tanto l es lineal acotado.
Dado el espacio (V, ·, · V ) Hilbert (3.1.1) nos garantiza que a(·, ·) es una for-
ma bilineal continua y coerciva y dado l ∈ V ∗ dado (3.1.2 nos garantiza que el
lineal)acotada entonces por (1.3.1) nos garantiza que ∃!u ∈ V tal que:
∀ϕ ∈ V : a(u, ϕ) = l(ϕ). (3.6)
Ahora veamos el siguiente lema:
Lema 3.1.1. ([3]) Sea Ω ⊂ R2 un conjunto abierto acotado con frontera continua
Lipschitz, y sea L ∈ ([H0 (Ω)]2 )∗ con L(v) = 0, ∀v ∈ V entonces existe una unica
1
´
2
funci´n p ∈ L0 (Ω) tal que
o
L(ϕ) = p ∇.ϕdx, ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2 .
1
Ω
Proposici´n 3.1.1. Asumiendo que: L : [H0 (Ω)]2 → R, y L(ϕ) = a(u, ϕ) − l(ϕ)
o 1
donde u es definido por (3.6), entonces existe un unico par (u, p) ∈ [H0 (Ω)]2 ×L2 (Ω)
´ 1
0
que es soluci´n del sistema del sistema (FV.)
o
Demostraci´n. A partir de su definici´n se observa que L es lineal y continua en
o o
[H0 (Ω)]2 ,adem´s L se anula en el espacio en V en virtud de (3.6) entonces 3.1.1 nos
1
a
garantiza que ∃!p ∈ L2 (Ω) tal que:
0
L(ϕ) = p ∇.ϕdx, ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2
1
Ω
24
29. de aqui reemplazando se tiene:
L(ϕ) = a(u, ϕ) − l(ϕ) = p ∇.ϕdx = −b(ϕ, p), ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2
1
Ω
a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2
1
Ahora como v ∈ V por su definici´n de V se tiene: ∇.u = 0 entonces:
o
b(u, q) = q∇.u = 0; ∀q ∈ L2 (Ω)
0
Ω
Hemos probado que dado el sistema (FV) existe un unico para (u, p) ∈ [H0 (Ω)]2 ×
´ 1
L2 (Ω) que es soluci´n de ese sistema.
0 o
3.2. Existencia y Unicidad de la soluci´n del Pro-
o
blema de Brinkman.
En la secci´n anterior hemos demostrado que dada la formulaci´n d´bil de la
o o e
ecuaci´n adimensional de Brinkman hemos probado que admite un unico par (v, p) ∈
o ´
[H0 (Ω)]2 × L2 (Ω) que es soluci´n de (FV).Ahora probaremos que ese mismo par es
1
0 o
soluci´n de la ecuaci´n Brinkman-Stokes.
o o
Sea (u, p) ∈ [H0 (Ω)]2 × L2 (Ω) la soluci´n del sistema (FV):
1
0 o
a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2
1
(F V )
b(u, q) = 0, ∀q ∈ L2 (Ω)
0
Llamemos al siguiente problema (FC):
∇.u(x) = 0, x∈Ω
2 2 2
(F C) ∇p − ∇ u + χ u = −χ g0 , x ∈ Ω
u=0 x ∈ ∂Ω
1
Dado que u ∈ V se tiene u ∈ H0 (Ω) de aqui se deduce que u = 0, x ∈ ∂Ωcon
∇.u = 0 entonces se deduce la primera y tercera ecuaci´n del sistema (FC). Para
o
deducir la segunda se obtiene de lo siguiente:
∇ · ((∇ui )ϕi ) = ∇ · (∇ui )ϕi + ∇ϕi · ∇ui = ∇2 ui .ϕi + ∇ϕi · ∇ui (3.7)
Primero se tiene que:
∇ · ((∇ui )ϕi )dx = (∇ui )ϕi dΓ = 0.
Ω ∂Ω
integrando 3.7 sobre el abierto Ω se tiene:
∇ · ((∇ui )ϕi )dx = ∇2 ui .ϕi dx + ∇ϕi · ∇ui dx = 0
Ω Ω Ω
25
30. de esto se deduce facilmente:
− ∇2 u.ϕdx = ∇ϕ·∇udx = 0
Ω Ω
Adem´s de ello de (2.17) se tiene:
a
− ∇p.ϕdx = p∇.ϕdx
Ω Ω
reemplazando estos en (FV) se tiene:
− ∇2 u · ϕdx + χ2 u · ϕdx + ∇p.ϕdx = − χ2 g0 · ϕdx
Ω Ω Ω Ω
(−∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 ) · ϕdx = 0, ϕ ∈ [H0 (Ω)]2
1
(3.8)
Ω
Ahora probaremos que −∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 ∈ [H0 (Ω)]2 en efecto:
1
2 2 2 1 2
claramente se tiene:∇ u, χ u, ∇p + χ g0 ∈ [H (Ω)] :
Solo falta mostrar que:
∇2 u(x) = 0, χ2 u(x) = 0, ∇p(x) = 0, χ2 g0 (x) = 0, cuando x ∈ ∂Ω
Probar que:∇2 u(x) = χ2 u(x) = 0 es claro ya que u=0, x ∈ ∂Ω;
Observaci´n:Se tiene que ∇p + χ2 g0 ∈ [H0 (Ω)]2 esto por [3].
o 1
Dado que [H0 (Ω)]2 es un espacio Hilbert ´ste posee estructura de espacio vecto-
1
e
rial entonces −∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 ∈ [H0 (Ω)]2 a partir de esto evaluando
1
ϕ = −∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 en (3.8) se tiene:
−∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 = 0, x∈Ω
2
y con esto (u, p) ∈ V × L0 (Ω) es soluci´n de las ecuaciones Brinkman-Stokes.
o
Como garantizamos la existencia y unicidad de ese u(x, y) entonces v(x, y) = u(x, y)+
g0 (x, y) claramente esta representaci´n existe y es unica de aqui (v, p) ∈ ([H 1 (Ω)]2 ×
o ´
L2 (Ω)) es soluci´n unica de la ecuaci´n adimensional de Brinkman y por tanto a
0 o ´ o
partir de las variables adimensionales regresando a las variables dimensionales se
obtendra soluci´n (v, p) dimensional que es soluci´n del sistema formado por las
o o
ecuaciones (2.1),(2.2) y (2.3).
A partir de aqu´ hemos probado que el problema de Brinkman admite soluci´n unica
ı o ´
bajo una condici´n Dirichlet no hom´genea lo cual era nuestro objetivo inicial.
o o
26
31. Conclusiones.
Del siguiente trabajo podemos concluir lo siguiente:
El proceso de adimiensionalizaci´n es una herramienta muy importante ya
o
que al momento de reemplazar por su equivalente adimensional te permite
simplificar t´rminos en la EDP lo cual reduce mucho el c´lculo.
e a
La formulaci´n variacional del problema es muy importante ya que te permite
o
ver desde otro punto de vista el problema,para este caso con herramientas del
an´lisis funcional se prob´ su existencia y unicidad.
a o
Se observa tambi´n que el subespacio de sobolev tomados para resolver pro-
e
blemas en su forma variacional dependen mucho de las condiciones de frontera
y la forma de su forma formulaci´n d´bil de ahi viene el principal problema
o e
de que forma puedo tomar mi espacio de tal manera de encontrar soluci´n a
o
la formulaci´n variacional.
o
Lo importante de este trabajo es que nos permite ver en su desarrollo , que su
formulaci´n variacional nos deja impl´
o ıcito la forma de hallar su aproximaci´n
o
num´rica y este se resolver´ utilizando el m´todo de Galerkin para elementos
e a e
finitos mixtos lo cual se realizar´ en un pr´ximo trabajo.
a o
27
32. Bibliograf´
ıa
[1] Brenner S., Scott R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods
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[2] Brezis H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equa-
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a e e
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e e
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[8] Mantilla I., Soto J. Estudio Anal´
ıtico de la Ecuaci´n de D-L-Brinkman 2012
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28