Trabajo de Investigación de la Universidad Nacional de Ingeniería, basado en Modelos Matemáticos en el tema de Funciones y Valores Propios, aplicado al tema de la construcción como Deflexión de una Viga Uniforme

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIER´
IA
FACULTAD DE INGENIER´ INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
IA
´
´
AREA DE CIENCIAS BASICAS
´
MODELO MATEMATICO
´
DEFLEXION DE UNA VIGA UNIFORME
ASIGNATURA: Matem´tica Aplicada (CB-143)
a
DOCENTE: TOCTO INGA, Paul Miller
INTEGRANTES:
HIDALGO ALTA, Hans Marlon
MORENO LOPEZ, Victor Daniel
TRUCIOS LUGLIO, Diego Andre´
e
VILELA CUBAS, John Henry
2013 - II

2. VALORES EN LA FRONTERA Y
VALORES PROPIOS
Deflexi´n de una viga uniforme
o

3. ´
Indice
´
1. INTRODUCCION
2
2. CONCEPTOS PREVIOS
3
2.1. Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2. Valor Propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4. Condiciones de Frontera de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5. Condiciones de Frontera de Neumann . . . . . . . . . . . . . .
7
2.6. Condiciones de Frontera de Robin . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.7. Funci´n Homog´nea
o
e
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Funci´n No Homog´nea
o
e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
´
3. EXPANSION DE FUNCIONES PROPIAS
12
3.1. Aplicaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
o
3.1.1. La Cuerda Giratoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.2. Deflexi´n de una Viga Uniforme . . . . . . . . . . . . . 15
o
4. CONCLUSIONES
21
5. BIBLIOGRAF´
IA
22
1

4. 1.
´
INTRODUCCION
El contacto de la realidad con las idealizaciones matem´ticas ha inducido a
a
lo largo del tiempo a resolver problemas, satisfacer necesidades, mejorar la
calidad de vida, minimizar riesgos, entre otras cosas. Desde tiempos remotos,
el an´lisis ha estado presente en cada acci´n realizada por el hombre, desde el
a
o
cuestionamiento a uno mismo del c´mo y el porqu´ suceden ciertos sucesos, la
o
e
intenci´n de explicar circunstancias fenomenol´gicas, y el deseo de modelar,
o
o
predecir, y poder manejar hechos reales, con variables definidas. Sentir que
es posible controlar, o lo maravilloso que ha de ser, acercarse a la incre´
ıble
naturaleza.
El mejor recurso que posee la humanidad, el raciocinio, se consolida con
la formulaci´n de Modelos Matem´ticos y la inserci´n de funciones, como en
o
a
o
el presente trabajo de investigaci´n, funciones propias.
o
De esta manera, buscando la correcta relaci´n entre lo concreto y las
o
aproximaciones num´ricas, se busca orientar el objetivo problema a la conse
trucci´n con el simple e indispensable fen´meno de la deflexi´n de una viga
o
o
o
uniforme.
2

5. 2.
2.1.
CONCEPTOS PREVIOS
Frontera
La frontera o las condiciones de contorno de una ecuaci´n diferencial son
o
los valores restringidos que toma la funci´n para determinados valores partio
culares de la variable independiente. Por ejemplo, si la ecuaci´n implica a la
o
velocidad, la condici´n de contorno podr´ ser la velocidad inicial, la velocio
ıa
dad al tiempo t = 0.Con objeto de tener una soluci´n completa, debe haber
o
una condici´n de contorno para cada orden de la ecuaci´n -dos condiciones
o
o
de contorno para una ecuaci´n de segundo orden, una sola soluci´n para una
o
o
ecuaci´n diferencial de primer orden, etc.-. Si se encuentra una soluci´n de la
o
o
ecuaci´n diferencial que satisfaga todas las condiciones de contorno, entonces
o
esa es la unica soluci´n a esa ecuaci´n -es lo que se llama el teorema de la
´
o
o
singularidad-. Por lo tanto, un enfoque razonable para la b´squeda de soluu
ciones a las ecuaciones diferenciales en los problemas f´
ısicos, es utilizar una
soluci´n de prueba y tratar de forzarla para que se ajuste a las condiciones
o
de contorno. Si tiene ´xito este enfoque, es que se trata de la unica soluci´n.
e
´
o
En las ecuaciones diferenciales aplicables a problemas f´
ısicos, a menudo
es posible comenzar con una forma general de soluci´n y luego forzarla para
o
adaptarse a las condiciones f´
ısicas de contorno del problema.
df
= f (x, y)
dx
donde y(x0 ) = y0
cumple la condici´n tal que f (x, y)y la derivada de y es continua en
o
un rect´ngulo de valores determinados (x, y), entonces hay una y solo una
a
3

6. soluci´n a la ecuaci´n que satisfaga las condiciones de contorno.
o
o
2.2.
Valor Propio
Los vectores propios o autovectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a
un m´ltiplo escalar de s´ mismos, con lo que no cambian su direcci´n. Este
u
ı
o
escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor caracter´
ıstico o eigenvalor. A menudo, una transformaci´n queda completamente determinada
o
por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio λes el conjunto
de vectores propios con un valor propio com´n.
u
Definici´n: Dada una matriz A Rn×n se dice que el n´mero complejo
o
u
λ C es un valor propio de A si existe un vectorv = 0 tal que Av = λv. A este
vector, v, se le llama vector propio de  asociado al valor propio λ.
A

 1 




Ejemplo: Compru´bese que v =  −1 .
e




1


A=






0
−1 −3 
2
3
3
−2
1
1





Se debe comprobar que hay un n´mero λ (real o complejo) tal que Av =.
u
Para ello multiplicamos A por v:

Av =










−1 −3   1   −2 








2
3
3   −1  =  2 








−2 1
1
1
−2
0
Por lo tanto se tiene que:
4

7. Av = (−2)v
de modo que λ = −2 hace que Av = λv, siendo este el valor propio.
2.3.
Series de Fourier
Las serie de Fourier surgieron hist´ricamente al resolver por el m´todo de
o
e
separaci´n de variables un problema de contorno de ecuaciones en derivadas
o
parciales. Cuando estas f´rmulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en
o
1.753, muchos matem´ticos pensaron que era imposible expresar una funci´n
a
o
f (x) cualquiera como suma de senos y cosenos.
Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg´ de recopilar datos
o
para convencer al mundo cient´
ıfico de tal posibilidad.
Definici´n: Se llama serie de Fourier de una funci´n f (x) en el intervalo
o
o
[−L, L] a:
f (X) =
∞
a0
nπ
nπ
(an cos
+
x + bn sin
x)
2
L
L
n=1
Donde:
a0 =
1
L
L
f (x)dx
−L
an =
1
L
L
f (x) cos
−L
nπ
xdx
L
bn =
1
L
L
f (x) sin
−L
Este hecho se basa en que el sistema de vectores
{1, sin
2πx
πx
2πx
πx
, sin
, . . . , cos
, cos
, . . .}
L
L
L
L
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
L
(f (x), g(x)) =
f (x)g(x)dx
−L
5
nπ
xdx
L

8. ´
Analogamente se puede definir la serie de Fourier de una funci´n f (x)
o
definida en un intervalo [a, b] haciendo una traslaci´n del punto medio
o
a+b
2
al
origen.
Teorema: (Teorema de convergencia puntual para series de Fourier)
Si f (x) y f (x) son continuas a trozos en [−L, L] ,entonces ∀x ∈ (−L, L)
se verifica:
∞
nπ
nπ
1
a0
+
(an cos
x + bn sin
x) =
f (x+ ) + f (x− )
2
L
L
2
n=1
Para x = ±L la serie de Fourier converge a
1
2
[f (−L+ ) + f (L− )].
Teorema: (Teorema de convergencia de series de Fourier)
Sea f (x) una funci´n continua en (−∞, ∞) y con periodo 2L. Si f es
o
continua a trozos en [−L, L], entonces la serie de Fourier de f (x) converge
uniformemente a f (x) en [−L, L] y por consiguiente en cualquier intervalo.
Teorema: Sea f (x) una funci´n continua en (−∞, ∞) y con periodo
o
2L. Si f es continua por segmentos en [−L, L]. Entonces la serie de Fourier
de f se puede obtener de la serie de Fourier f (x) mediante la difrenciaci´n
o
t´rmino a t´rmino. En particular, si
e
e
f (X) =
∞
a0
nπ
nπ
(an cos
+
x + bn sin
x)
2
L
L
n=1
entonces
∞
f (X) =
n=1
nπ
nπ
nπ
(−an sin
x + bn cos
x)
L
L
L
Teorema: Sea f (x) continua a trozos en [−L, L] con serie de Fourier
f (X) =
∞
a0
nπ
nπ
+
(an cos
x + bn sin
x)
2
L
L
n=1
entonces ∀ x ∈ [−L, L] se verifica:
x
x
f (t)dt =
−L
−L
∞
a0
+
2
n=1
x
−L
6
(an cos
nπ
nπ
t + bn sin
t)dt
L
L

9. 2.4.
Condiciones de Frontera de Dirichlet
En matem´ticas, la condici´n de frontera de Dirichlet (o de primer tipo)
a
o
es un tipo de condici´n de frontera o contorno, denominado as´ en honor a
o
ı
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). Cuando en una ecuaci´n
o
diferencial ordinaria o una en derivadas parciales, se le especifican los valores
de la soluci´n que necesita la frontera del dominio. La cuesti´n de hallar las
o
o
soluciones a esas ecuaciones con esta condici´n se le conoce como problema
o
de Dirichlet.
As´ dada la ecuaci´n:
ı,
o
−
. (p
u) + qu = λwu, x Ω
Donde:
w = w(x) > 0,
p = p(x) > 0,
q = q(x),
Sabiendo que: p, q y w son continuos sobre Ω, y p tiene su primera derivada
parcial sobre Ω. La condici´n de frontera de Dirichlet ser´
o
ıa:
u = 0 sobre ∂Ω
2.5.
Condiciones de Frontera de Neumann
En matem´ticas, la condici´n de frontera de Neumann (o de segundo
a
o
tipo) es un tipo de condici´n de frontera o contorno, llamada as´ en alusi´n
o
ı
o
a Carl Neumann. Se presenta cuando a una ecuaci´n diferencial ordinaria
o
o en derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una
soluci´n tomada sobre la frontera o contorno del dominio.
o
As´ dada la ecuaci´n:
ı,
o
7

10. −
(p
u) + qu = λwu, x Ω
Donde:
w = w(x) > 0, p = p(x) > 0, q = q(x),
Sabiendo que: p, q y w son continuos sobre Ω, y p tiene su primera derivada
parcial sobre Ω. La condici´n de frontera de Neumann ser´
o
ıa:
∂u
∂n
2.6.
= 0 sobre ∂Ω
Condiciones de Frontera de Robin
En matem´ticas, la condici´n de frontera de Robin (o de tercer tipo) es un
a
o
tipo de condici´n de frontera o contorno, denominado as´ en honor a Victor
o
ı
Gustave Robin (1855-1897), cuando en una ecuaci´n diferencial ordinaria
o
o en una derivadas parciales, se le especifica una combinaci´n lineal de los
o
valores de una funci´n y y los valores de su derivada sobre la frontera del
o
dominio.
Las condiciones de frontera de Robin son una combinaci´n ponderada
o
de las condiciones de Dirichlet y Neumann. Es el contraste de la condiciones de frontera mixtas, las cuales son condiciones de frontera de diferentes
tipos especificadas en diferentes subconjuntos de la frontera. Las condiciones de frontera de Robin tambi´n se denominan condiciones de frontera de
e
impedancia, por su aplicaci´n en problemas electromagn´ticos.
o
e
As´ dada la ecuaci´n:
ı,
o
−
. (p
u) + qu = λwu, x Ω
Donde:
8

11. w = w(x) > 0, p = p(x) > 0, q = q(x),
Sabiendo que: p, q y w son continuos sobre Ω, y p tiene su primera derivada
parcial sobre Ω. La condici´n de frontera de Robin ser´
o
ıa:
∂u
∂n
2.7.
+ a(x)u = 0 sobre ∂Ω
Funci´n Homog´nea
o
e
Una funci´n homog´nea es una funci´n que presenta un comportamiento
o
e
o
multiplicativo de escala: si todos los argumentos se multiplican por un factor
constante, entonces el valor de la funci´n resulta ser un cierto n´mero de
o
u
veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el
grado de la funci´n homog´nea.
o
e
Definici´n: Si se tiene una funci´n cuya definici´n es f : V → W entre
o
o
o
dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo F . Entonces se dice que f es
homog´nea de grado k si:
e
f (αv) = αk f (v),
∀α ∈ F = 0, ,
∀v ∈ V
Teorema de Euler: Si se tiene una funci´n f : Rn → R es infinitamente
o
diferenciable. Entonces f es homog´nea de grado k si y s´lo si:
e
o
x. f (x) = kf (x)
Suponiendo que f : Rn → R es diferenciable y homog´nea de grado k.
e
Entonces sus derivadas parciales de primer orden ∂f /∂xi son funciones de
grado k − 1.
Este resultado prueba de la misma manera el teorema de Euler. Escribiendo f = f (x1 , . . . , xn ) y diferenciado la ecuaci´n
o
9

12. f (αy) = αk f (y)
Definiendo xi = αyi y derivando con respecto a yi , encontramos por la
regla de la cadena que:
∂
d
∂
d
f (αyi ) (αyi ) = αk
f (y) (yi )
∂xi
dyi
∂xi
dyi
Y por lo tanto:
α
∂
∂
f (αy) = αk
f (y)
∂xi
∂xi
Y finalmente:
∂
∂
f (αy) = αk−1
f (y)
∂xi
∂xi
La sustituci´n v = y/x convierte la ecuaci´n diferencial ordinaria
o
o
I(x, y)
dy
+ J(x, y) = 0
dx
Donde I y J son funciones homog´neas del mismo grado, en la ecuaci´n
e
o
diferencial separable:
x
2.8.
dv
J(1, v)
=−
−v
dx
I(1, v)
Funci´n No Homog´nea
o
e
En ecuaciones diferenciales se refiere cuando tiene un coeficiente que es
t´rmino aislado, es decir, no contiene a y o alguna derivada de y.
e
Consideremos, la ecuaci´n diferencia:
o
an (x)y n + an−1 (x)y n−1 +, . . . + a1 (x)y + a0 (x)y = f (x)
10

13. con a0 (x), . . . , an , f (x), son funciones continuas en un intervalo abierto.
Definici´n: Se llama soluci´n particular de la ecuaci´n no homog´nea
o
o
o
e
a cualquier funci´n yp que no contiene par´metros arbitrarios.
o
a
Definici´n: Sea yp una soluci´n dada de la ecuaci´n lineal no homog´nea
o
o
o
e
de orden n en un intervalo I y sean y1 , . . . , yn un conjunto fundamental de
soluciones de la ecuaci´n lineal homog´nea asociada en I, y si y(x) es una
o
e
soluci´n de la ecuaci´n en I, entonces
o
o
y(x) = c1 y1 + . . . + cn yn + yp (x)
para algunas constantes, c1 , . . . , cn
Definici´n: Sea yp una soluci´n particular de la ecuaci´n lineal no hoo
o
o
mog´nea de orden n, en I y sea yc la soluci´n general de la ecuaci´n lineal
e
o
o
homog´nea, entonces yp se llama parte o funci´n complementaria de la ecuae
o
ci´n lineal no homog´nea y la soluci´n general de la ecuaci´n diferencial no
o
e
o
o
homog´nea es:
e
y = yc (x) + yp (x)
11

14. 3.
´
EXPANSION DE FUNCIONES
PROPIAS
3.1.
3.1.1.
Aplicaci´n
o
La Cuerda Giratoria
¿Qui´n de nosotros no se ha maravillado con la forma que adquiere una
e
cuerda para saltar cuando gira rapidamente? Ahora consideraremos la forma
que toma una cuerda flexible estirada firmemente, con longitud L y que tiene
densidad lineal constante ρ(masa por unidad de longitud) si se le hace girar
o dar vueltas (igual que una cuerda para saltar) con velocidad angular ω (en
radianes por segundo) alrededor de su posici´n de equilibrio a lo largo del eje
o
x. Supongamos que la porci´n de la cuerda que est´ a un lado de alg´n punto
o
a
u
ejerce una fuerza de tensi´n constante T sobre la porci´n de la cuerda que
o
o
est´ al otro lado de ese punto, con la direcci´n de T tangencial a la cuerda
a
o
en ese punto. Adem´s supondremos que como la cuerda gira alrededor del
a
eje x, cada punto se mueve en en un c´
ırculo con centro en su posici´n de
o
equilibrio ubicada en el eje x. De modo que la cuerda esl´stica, y cuando gira
a
se alarga tomando una forma curva. Den´tese por y(x) el desplazamiento de
o
la cuerda del punto x sobre el eje de rotaci´n. Por ultimo, suponemos que la
o
´
desviaci´n de la cuerda es tan peque˜a que sin θ ≈ tan θ = y (x).
o
n
Planeamos deducir una ecuaci´n diferencial para y(x) por medio de la
o
aplicaci´n de la ley de Newton F = ma a la porci´n de la cuerda de masa
o
o
ρ∆x que corresponde al intervalo [x, x + ∆x]. Las unicas fuerzas que act´an
´
u
en esta porci´n son las fuerzas de tensi´n en sus dos extremos. De la Figura
o
o
1 vemos que la fuerza vertical neta en la direcci´n positiva del eje y es
o
12

15. Figura 1: Fuerzas sobre un peque˜o segmento de la cuerda que gira
n
F = T sin(θ + ∆θ) − T sin θ ≈ T tan(θ + ∆θ) − T tan θ
de modo que
F ≈ T y (x + ∆x) − T y (x).
(1)
Ahora, recordemos de f´
ısica o c´lculo elementales la f´rmula a = rω 2 para
a
o
la aceleraci´n centr´
o
ıpeta (hacia adentro) de un cuerpo en movimiento circular
uniforme (r es el radio del c´
ıculo y ω es la velocidad angular del cuerpo).
Aqu´ tenemos r = y, de modo que la aceleraci´n vertical de nuestra porci´n
ı
o
o
de cuerda es a = −ω 2 y, el signo es menos a causa de que la direcci´n hacia
o
adentro es la direcci´n negativa del eje y. Como m = ρ∆x, la sustituci´n de
o
o
esto y la ecuaci´n 1 en F = ma produce
o
T y (x + ∆x) − T y (x) ≈ −ρω 2 y∆ x,
de modo que
T
y (x + ∆x) − y
≈ −ρω 2 y
∆x
13

16. Ahora tomamos el l´
ımite cuando ∆x → 0 para obtener la ecuaci´n difeo
rencial del movimiento de la cuerda:
T y + ρω 2 y = 0.
(2)
si escribimos
λ=
ρω 2
T
(3)
e imponemos la condici´n que los extremos de la cuerda est´n fijos, finalo
a
mente obtenemos el problema de valor propio
y + λy = 0;
y(0) = 0;
y(L) = 0
(4)
Aqu´ encontramos que los valores propios del problema en la ecuaci´n 4
ı
o
son
λn =
n2 π 2
,
L2
n = 1, 2, 3, ...,
(5)
con la funci´n propia yn (x) = sen(nπx/L) asociada con λn . Pero,¿qu´ sigo
e
nifica esto en t´rminos de la cuerda que gira? significa que a menos que λ
e
en (3) sea uno de los valores propios en (5), la unica soluci´n del problema
´
o
en 4 es la soluci´n trivial y(x) = 0. En este caso la cuerda permanece en
o
su posici´n de equilibrio con desviaci´n cero. Pero, si igualamos (3) y (5) y
o
o
resolvemos para el valor ωn correspondiente a λn ,
ωn =
λn T
nπ T
=
ρ
L ρ
(6)
para n = 1, 2, 3, ..., obtenemos una sucesi´n de Velocidades cr´
o
ıticas de
la rotaci´n angular. S´lo a estas velocidades angulares cr´
o
o
ıticas la cuerda puede
girar fuera de su posici´n de equilibrio. A la velocidad angular ωn suponemos
o
14

17. Figura 2: Distorsi´n de una viga horizontal
o
que adopta la forma yn = cn sen(nπx/L); nuestro modelo matem´tico no es
a
lo suficientemente completo para determinar los coeficientes cn .
supongamos que iniciamos la rotaci´n de la cuerda a una velocidad
o
ω < ω1 =
π
L
T
,
ρ
y entonces gradualmente aumenta su velocidad de rotaci´n. Mientras ω <
o
ω1 , la cuerda se mantiene en su posici´n de deflexi´n y = 0. Pero cuando
o
o
ω = ω1 la cuerda pasar´ a una posici´n giratoria y = c1 sen(πx/L). Y cuando
a
o
ω aumenta a´n m´s,¡la cuerda regresar´ a su posici´n no deformada a lo
u
a
a
o
largo del eje de rotaci´n!
o
3.1.2.
Deflexi´n de una Viga Uniforme
o
Considere una viga horizontal como se muestra en la figura 2, uniforme
tanto en su secci´n horizontal transversal como en el material. Si s´lo est´ soso
o
a
tenida en sus extremos, entonces la fuerza de su propio peso distorsiona su
eje de simetr´ longitudinal en la curva mostrada en l´
ıa
ınea discontinua en la
figura. Queremos investigar la forma y = y(x) de esta curva, la curva de
deflexi´n de la viga. Utilizaremos el sistema de coordenadas indicado en la
o
figura 3, con la parte positiva del eje dirigido hacia abajo.
Una consecuencia de la teor´ de la elasticidad es que para defleciones
ıa
relativamente peque˜as de una viga como esa (tan peque˜a que [y (x)]2 es
n
n
15

18. Figura 3: La curva de deflexi´n
o
Figura 4: Viga Voladiza
despreciable en comparaci´n con la unidad),un modelo matem´tico adecuado
o
a
de la curva de deflexi´n es la ecuaci´n diferencial de cuarto orden
o
o
EIy (4) = F (x),
(7)
en donde
E denota el m´dulo de Young del material de la viga,
o
I denota el momento de inercia de la secci´n transversal de la viga
o
alrededor de una l´
ınea horizontal que pasa por el centroide de la secci´n
o
transversal
F (x) denota la densidad de la fuerza hacia abajo que act´a verticalu
mente sobre la viga en el punto x.
16

19. ¿Densidad de la fuerza? S´ esto significa que la fuerza act´a hacia abajo
ı;
u
en un segmento muy peque˜o [x, x + ∆x] de la viga es aproximadamente
n
F (x)∆x. Las unidades de F (x) son las fuerzas por unidad de longitud, tales
como libras por pie. Aqu´ consideraremos el caso en el que la unica fuerza
ı
´
distribuida a lo largo de la viga es su propio peso, ω libras por pie, de modo
que F (x) = ω. Entonces la ecuaci´n 7 toma la forma
o
EIy (4) = ω,
(8)
en la que E, I y ω son constantes.
Es importante poder comenzar con una ecuaci´n diferencial que surja en
o
una disciplina aplicada y luego analizar sus implicaciones; por lo que desarrollaremos la comprenci´n de la ecuaci´n mediante el an´lisis de sus soluciones.
o
o
a
Observe que, en esencia, la ecuaci´n implica que la cuarta derivada y (4) es
o
proporcional a la densidad el peso ω. Sin embargo esta proporcionalidad incluye dos constantes:E, que s´lo depende del material de la viga, e I , que
o
solo depende de la forma de la secci´n transversal de la viga. Los valores del
o
m´dulo de Young E para diferentes materiales pueden encontrarse en mao
1
nuales de constantes f´
ısicas; I = 4 πa4 para una secci´n circular transversal
o
de radio a.
Aunque la ecuaci´n (8) es una ecuaci´n diferencial de cuarto orden, su
o
o
soluci´n s´lo incluye la soluci´n de sencillas ecuaciones de primer orden por
o o
o
medio de integraciones sucesivas. Una integraci´n de la ecuaci´n (8) da
o
o
EIy (3) = ωx + C1
una segunda integraci´n produce
o
1
EIy = ωx2 + C1 x + C2
2
17

20. Figura 5: Dos formas de sostener una viga
una m´s da
a
1 2
1
EIy = ωx3 + C1 x + C2 x + C3
6
2
y una ultima integraci´n da
´
o
EIy =
1
1
1
ωx4 + C1 x3 + C2 x2 + C3 x + C4 ,
24
6
2
Donde C1 , C2 , C3 y C4 son constantes arbitrarias. As´ obtenemos una
ı
soluci´n de la ecuaci´n (8) de la forma
o
o
y(x) =
ω
x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + D,
24EI
(9)
Donde A, B, C y D son constantes que resultan de las cuatro integraciones. Estas ultimas cuatro constantes est´n determinadas por el modo en que
´
a
la viga se sostiene en sus extremos, donde x = 0 y L = 0. La figura 5 muestra
dos tipos comunes de soporte.
Tambien una viga puede sostenerse de una manera en un extremo y de
otra manera en el otro extremo. Por ejemplo, la figura 6 muestra una viga
18

21. Figura 6: Viga Voladiza
Soporte
Condici´n en los extremos
o
Sostenida Simplemente
y=y =0
Empotrada o fija en un extremo
y=y =0
Extremo Libre
y = y (3) = 0
Cuadro 1: Casos seg´n la condici´n en los extremos
u
o
voladiza, es decir, una viga sujetada firmemente en x = 0 pero libre(sin
apoyo) en x = L. El cuadro 3.1.2 muestra las Condiciones de Frontera
o en los extremos correspondiente alos tres casos m´s comunes. Veremos
a
que estas condiciones se aplican con facilidad en problemas de vigas.
Por ejemplo, la curva de deflexi´n de la viga voladiza de la figura 6 estar´
o
ıa
dada por la ecuaci´n (9), con los coeficientes A, B, C y D determinados por
o
las condiciones
y(0) = y (0) = 0
y (L) = y (3) (L) = 0,
y
(10)
correspondientes al extremo fijo en x = 0 y al extremo libre en x = L.
Las condiciones en 10 junto con la ecuaci´n diferencial en 9 constituyen un
o
problema con valores en la frontera o en los extremos.
19

22. Ejemplo Aplicativo
Se desea determinar la curva de deflexi´n de una viga horizontal uniforme
o
de longitud L y peso ω por unidad de longitud y que se encuentra apoyada
de manera simple en cada extremo.
tenemos las condiciones de los extremos
y(0) = y (0) = 0 = y(L) = y (L).
En lugar de imponerlas directamente en la ecuaci´n 9, empezamos con la
o
ecuaci´n diferencial EIy (4) = ω y determinamos las constantes como proceo
dimos con las cuartro integraciones sucesivas. Las primera dos integraciones
dan
EIy (3) = ωx + A;
1
EIy = ωx2 + Ax + B.
2
ya que y (0) = 0 implica que B = 0, y entonces y (L) = 0 da
1
0 = ωL2 + AL.
2
se sigue que A = −ωL/2 y por tanto
1
1
EIy = x2 − ωLx.
2
2
Luego dos integraciones m´s dan
a
1
1
EIy = ωx3 − ωLx2 + C
6
4
y por ultimo,
´
EIy(x) =
1
1
ωL4 − ωL4 + Cx + D.
24
12
Ahora y(0) = 0 implica que D = 0; entonces, como y(L) = 0,
20
(11)

23. 0=
1
1
ωL4 − ωL4 + CL
24
12
se sigue que C = ωL3 /24. Por lo que de la ecuaci´n obtenemos
o
y(x) =
ω
(x4 − 2L3 + L3 x)
24EI
(12)
como la forma de la viga soportada de manera simple. De la simetr´ es
ıa,
aparente que la deflexi´n m´xima ym´x de la viga ocurre en su punto medio
o
a
a
x = L/2 y tiene el valor
L
ω
1
2
1
ym´x = y( ) =
( L4 − L4 + L4 );
a
2
24EI 16
8
2
esto es,
ym´x =
a
5ωL4
384EI
(13)
Por ejemplo, Suponga que queremos calcular la defelxi´n m´xima de una
o
a
barra de acero sostenida simplemente, con secci´n transversal circular de
o
1 pulg de di´metro. En un manual encontramos que el acero com´n tiene
a
u
δ = 7,75g/cm3 y que su m´dulo de Young es E = 2 × 102 g/cm.s2 , de modo
o
que ser´ m´s conveniente trabajar con unidades del sistema cgs. As´ nuestra
a a
ı,
barra tiene
longitud :
y
radio :
cm
) = 6009,60cm
pie
1
cm
a = ( pulg)(2,54
) = 1,27cm
2
pulg
L = (20pies)(30,48
si densidad lineal de masa(esto es, su masa por unidad de longitud) es
ρ = πa2 δ = π(1,27)2 (7,75) ≈ 39,27
21
g
,
cm

24. de modo que
ω = ρg = (39,27
g
cm
dinas
)(980 2 ) =≈ 38484,6
cm
s
cm
El momento de inercia del ´rea de un disco circular de radio a con respecto
a
a un diametro es I = 1 π(1,27)4 ≈ 2,04cm4 .
4
por la ecuaci´n (13) da
o
ym´x ≈
a
(5)(38484,6)(609,6)4
≈ 16,96cm
(384)(2 × 1012 )(2,04)
alrededor de 6.68 pulg, como la deflexi´n m´xima de la barra en su punto
o
a
medio. Es interesante notar que ym´x es proporcional a L4 , de modo que si la
a
barra fuera de s´lo 10 pies de largo, su deflexi´n m´xima ser´ de a lo m´s un
o
o
a
ıa
a
1
dieciseisavo de la anterior. Puesto que I = 4 πa4 , de la ecuaci´n 13 vemos que
o
la misma reducci´n en la deflexi´n m´xima se podr´ alcanzar duplicando el
o
o
a
ıa
radio a de la barra.
22

25. 4.
CONCLUSIONES
Es posible concluir que las funciones propias, severamente empleadas
´
en el Algebra, se pueden extrapolar a una actividad casi rutinaria en el
pa´ la construcci´n. Permitiendo poder aplicar el Modelo Matem´tico
ıs:
o
a
basado en dichas funciones.
En adici´n, las funciones propias se pueden expandir a la particular
o
forma que adapta una cuerda al girar r´pidamente. Efectivamente, es
a
posible modelar dicho fen´meno, a trav´s del modelo matem´tico estuo
e
a
diado.
El Modelo Matem´tico brinda la ventaja de resolver, a partir de cona
diciones de frontera relativamente sencillos, fen´menos f´
o
ısicos complicados.
Tener presente las condiciones de frontera, u homogeneidad de funciones, puede favorecer al mejor entendimiento de la obtenci´n del modelo.
o
Adem´s, es indispensable alcanzar ciertos conocimientos en derivadas,
a
o derivadas parciales. No obstante, el resultado final del Modelo Matem´tico basado en funciones propias no es muy dif´ de aplicar.
a
ıcil
23

26. 5.
BIBLIOGRAF´
IA
2000,Henry E.,Ecuaciones diferenciales,Prentice Hall
24