Estudio y simulación numérica de las ecuaciones de aguas someras

Trabajo Fin de Grado
Estudio y simulación numérica de las
ecuaciones de aguas someras
Tipo de TFG: Trabajo de iniciación a la investigación
Autor: Carlos Perales González
2015-6-26

Índice general
Índice general 2
Índice de figuras 3
Resumen. Palabras clave 5
Abstract. Keywords 6
1. Introducción 7
1.1. Leyes de conservación. Ecuaciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Problema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Soluciones débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Modelo de aguas someras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1. Número de Froude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Fondo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3. Deducción de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Métodos 21
2.1. Curvas caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Solución exacta del problema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Ondas de choque y de rarefacción. Aplicacion a
Burguers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1. Onda de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2. Condición de Rankine-Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3. Onda de rarefacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.4. Condiciones de entrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Método de Volúmenes Finitos. Flujo de Godunov . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1. Condición CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Esquema de Lax-Friedichs y HLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1. Fondo no plano. Esquema de camino conservativo . . . . . . . . 29
pág. 1

3. Resultados y discusi´on 31
3.1. Tests para el esquema de Godunov. Ecuaci´on de Burgers . . . . . . . . . 31
3.1.1. Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2. Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. Simulacion de Shallow Water. Esquemas HLL y
Lax-Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1. Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2. Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.3. Test 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Conclusiones 43
Conclusions 44
Bibliograf´ıa 45

Índice de figuras
1.1. Relación entre las alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Onda de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Onda de choque no entrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Onda de rarefacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Método de Volúmenes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5. El flujo que se suma y resta a las celdas contiguas no será el mismo . . . 30
3.1. Propagación de un choque en la ecuación de Burgers mediante el esque-
ma de Godunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Propagación de un choque con 500 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Onda de rarefacción en la ecuación de Burgers mediante el esquema de
Godunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4. Estado intermedio de η en el test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5. Estado intermedio de q en el test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6. Estado intermedio de Fr en el test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7. Estado final de η en el test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.8. Estado final de q en el test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.9. Estado final de Fr en el test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.12. Estado intermedio de Fr en el test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.13. Estado final de η en el test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.14. Estado final de q en el test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.15. Estado final de Fr en el test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
pág. 3

Resumen
El objetivo de este Trabajo de Fin de Grado es deducir y estudiar el modelo de aguas
someras, una simplificación con muchas aplicaciones en el campo de los flujos geof´ısi-
cos. El punto de partida será el conjuto de ecuaciones de Navier-Stokes, a partir de las
cuales se obtienen las ecuaciones de aguas someras mediante la integración en altura
de las velocidades y la hipótesis de la presión hidrostática. Se introduce la noción de
solución débil referida a ecuaciones en derivadas parciales de leyes de conservación. Se
explican las ventajas e inconvenientes que éstas presentan poniendo como ejemplo la
ecuación de Burgers unidimensional. Finalmente, se resuelven las ecuaciones numéri-
camente para distintos tests. Los esquemas numéricos usados son los de Lax-Friedrichs
y HLL. Ambos han sido programados en Python.
Palabras clave: aguas someras; EDP hiperbólica; método de los volúmenes finitos;
numérico; leyes de conservación.
pág. 5

Abstract
The goal of this dissertation (TFG) is to deduce and study shallow water model, a
simplification with many applications in geophysics flows. The starting point will be
Navier-Stokes equations, which are used to obtain shallow water equations by ave-
rage equation in the vertical direction and using the hydrostatic pressure hypothesis.
Definition of weak solution is introduced for partial differential equations correspon-
ding to conservation laws. Advantages and disadvantages are shown by studying first
Burgers unidimensional equation. Finally, shallow water equations are solved nume-
rically for different tests. Numerical schemes used are Lax-Friedrichs and HLL. They
have been implemented using Python code.
Keywords: shallow water; hyperbolic PDE; finite volume method; numeric; conser-
vation laws.
pág. 6

CAPÍTULO 1
Introducción
1.1. LEYES DE CONSERVACI ÓN. ECUACIONES HIPERB ÓLICAS
Cuando se tratan sistemas f´ısicos aislados, ciertas magnitudes son conservadas. La
energ´ıa, el momento o la carga eléctrica son algunas de ellas [1]. Las ecuaciones que
explican como evolucionan en un sistema cerrado estas propiedades se denominan
ecuaciones o leyes de conservación. En general, una ley de conservación tiene la si-
guiente forma [2]:
∂tU + x · F(U) = 0, x ∈ Rn
, t > 0 (1.1)
Donde U(x, t) pertenece a Ω, un subconjunto abierto convexo de Rp y la función
flujo F : Ω → Rp×n. Matemáticamente, es una ecuación en derivadas parciales (o
EDP). Se supondrá que la ecuación es hiperbólica, esto es, que la matriz
A(u, ω) =
n
∑
j=1
ωjFj (u)
sea diagonalizable, con ω ∈ Rn y Fj las componentes por columna de F. En el caso
unidimensional, n = 1, como se puede ver en [3],
∂tu + ∂x f (u) = 0 (1.2)
Siendo u y f (u) vectores en los espacios antes definidos. Por notación, al tratarse
de una sola dimensión, U(x, t) → u(x, t), y lo mismo con F(U). Que sea hiperbólica
pág. 7

significa en este caso que el jacobiano del flujo, f (u), sea diagonalizable, con todos sus
autovalores reales.
Puesto que el momento se conserva en un sistema aislado, y en dinámica de fluidos
no relativista la masa se conserva, las EDPs hiperbólicas serán muy importantes para
el trabajo que se va a desarrollar. En las ecuaciones más adelante descritas no hay efec-
tos de difusión o viscosidad, que s´ı se muestran en ecuaciones parabólicas. Constituye,
por tanto, una simplicación del fenómeno a estudiar y será valido sólo cuando estos
efectos sean despreciables.
En el caso unidimensional escalar, n = 1, p = 1, u y f (u) en (1.2) son escalares
reales, y siempre es hiperbólica. Una ecuación de este tipo muy conocida es la ecuación
de Burgers no difusiva [3],
∂tu + u∂xu = 0
cuya deducción se verá en la subsección 1.4.3.
Para resolver (1.2) es necesario establecer condiciones iniciales u(x, 0) = u0(x),
serán necesarias también condiciones de contorno cuando el dominio espacial es un
intervalo acotado, como aparece en la subsección 2.4.
1.2. PROBLEMA DE RIEMANN
Un problema de Riemann [4], unidimensionalmente, consiste en la ecuación de con-
servación (1.2) con solución u(x, t) cuya condición inicial u(x, 0) = u0(x) es disconti-
nua,
u0(x) =



ul si x < 0
ur si x > 0
(1.3)
La discontinuidad no precisa estar en 0, aunque por simplicidad siempre se puede
hacer una traslación para que as´ı sea. La formulación de este problema, con n = 1 y p
cualquiera, puede generalizarse a más dimensiones, cumpliéndose lo anterior en una
o más dimensiones.
pág. 8

1.3. SOLUCIONES D ÉBILES
Las ecuaciones diferenciales parecen indicar que todas las soluciones posibles son
derivables. Sin embargo, no hay que olvidar las funciones no derivables y/o disconti-
nuas, que también tienen cabida en el estudio de ciertos problemas. Por ejemplo, si se
modela la densidad del aire en un recinto donde una ocurre una explosión, la función
será claramente discontinua.
Aquellas soluciones que satisfacen las ecuaciones de conservación en su forma di-
ferencial (1.1) se denominan soluciones suaves o clásicas. Las soluciones clásicas son
continuas y derivables; por eso cumplen sin problema esta ecuación.
Sin embargo, con esta formulación, no se podr´ıan resolver los problemas de Rie-
mann, puesto que las derivadas no están definidas en las discontinuidades. Para resol-
verlo, se reformula (1.1). Se puede ver el desarrollo unidimensional de (1.2), que es el
que se trata aqu´ı, en [3], aunque es aplicable a más dimensiones.
Sea la función test φ ∈ C1
0(R × R), donde C1
0 es el espacio de funciones diferen-
ciables y con derivada continua con soporte compacto. Esto significa que la función
φ(x, t) es nula fuera de un intervalo cerrado y acotado.
Se multiplica (1.2) con n = 1 (caso unidimensional) por φ y se integra en el dominio
[−∞, +∞] × [0, ∞]
∞
0
+∞
−∞
[φ∂tu + φ∂x f (u)]dxdt = 0
Integrando por partes, y gracias a la propiedad del soporte compacto, se obtiene la
formulación débil de la EDP (1.1)
∞
0
+∞
−∞
[∂tφu + ∂xφ f (u)]dxdt = −
+∞
−∞
φ(x, 0)u(x, 0)dx (1.4)
Entonces, se puede decir que u(x, t) es una solución débil de la ley de conservación
si cumple (1.4) para todas las funciones test φ ∈ C1
0. Una solución débil también verifica
la ecuación en sentido clásico (1.1) en las partes donde la u es regular. En los saltos,
pág. 9

verifica la condicion de Rankine-Hugoniot, que escalarmente es
f (ul) − f (ur) = s(ul − ur)
y está deducida en la subsección 2.3.2.
Mientras que en las ecuaciones parabólicas (por ejemplo, la ecuación del calor) las
soluciones siempre son suaves (continuas y con derivadas continuas) incluso partien-
do de u0(x) discontinua, este no es el caso de las ecuaciones hiperbólicas. De hecho,
aunque la condición inicial sea suave, la solución puede generar discontinuidades en
un tiempo finito, como se puede ver en [3].
1.4. MODELO DE AGUAS SOMERAS
Este modelo se introdujo por primera vez en 1871 por Adhémar-Jean-Claude Barré de
Saint-Venant [5]. En el presente trabajo, las ecuaciones de aguas someras serán dedu-
cidas partiendo de las ecuaciones de Navier-Stokes [6]. Se toman las siguientes simpli-
ficaciones:
El agua será un fluido apenas viscoso de densidad constante.
Esta no rozará con el suelo o con el viento.
Se despreciará la fuerza de Coriolis, por ser la distancia recorrida y la escala de
tiempo pequeñas.
Con estas suposiciones, las ecuaciones de Navier-Stokes quedan como:
∂tu + u · u +
1
ρ
p = −g ˆx3 (1.5)
· u = 0 (1.6)
Donde:
- u ≡ (u1, u2, u3) es la velocidad puntual del fluido.
- ρ es la densidad puntual del fluido, que en este modelo será constante en todo el
fluido.
pág. 10

- p es la presión del fluido en ese punto.
- g es la aceleración de la gravedad.
- ˆx3 es el vector unitario en la dirección del eje x3 y sentido positivo.
Las alturas estarán descritas por las siguientes ecuaciones,
η = b + h (1.7)
X
Y
z
h
b
Figura 1.1: Relación entre las alturas
Siendo b es la función que describe el fondo, η es la superficie del agua y h es el
espesor de la capa de agua. Las condiciones de contorno son
u3 = ∂tη + u1∂x1
η + u2∂x2 η en la superficie (1.8)
p = pa en la superficie (1.9)
u3 = u1∂x1
b + u2∂x2 b en el fondo (1.10)
u · n = 0 en el fondo (1.11)
siendo pa la presión en la superficie, y la condición inicial:
u(x, 0) = u0(x)
Todo esto en el dominio
pág. 11

D = {(x1, x2, x3, t); b(x1, x2) < x3 < η(x1, x2, t) y 0 ≤ t ≤ T} (1.12)
Siendo b(x1, x2) la función que define el fondo y η(x1, x2, t) la superficie del agua.
De (1.6), se deduce la siguiente igualdad matemática:
div (u ⊗ u) = u · u (1.13)
como se puede ver en [6], siendo el operador ⊗ como el producto tensorial. Desglo-
sando (1.5) y usando (1.13) queda:
∂tu1 + ∂x1
(u2
1) + ∂x2 (u1u2) + ∂x3 (u1u3) +
1
ρ
∂x1
p = 0 (1.14)
∂tu2 + ∂x1
(u1u2) + ∂x2 (u2
2) + ∂x3 (u2u3) +
1
ρ
∂x2 p = 0 (1.15)
∂tu3 + ∂x1
(u1u3) + ∂x2 (u2u3) + ∂x3 (u2
3) +
1
ρ
∂x3 p = −g (1.16)
En el caso de aguas poco profundas, la aceleración en la componente x3, ∂tu3, es
despreciable frente a la atracción gravitatoria g. Esto es lo que se conoce como hipóte-
sis de presión hidrostática.
Suprimiendo los términos con u3, se puede hallar una relación en la derivada de p,
que será útil más adelante,
1
ρ
∂x3 p = −g (1.17)
Se considerarán las velocidades medias en la columna de agua:
¯u1 =
1
h
b+h
b
u1, dx3 (1.18)
¯u2 =
1
h
b+h
b
u2, dx3 (1.19)
¯u3 = 0 (1.20)
Integrando la ecuación (1.6) en altura:
b+h
b
· udx3 =
3
∑
i=1
b+h
b
∂xi
uidx3 = 0
Utilizado la fórmula de Leibniz [6], los dos primeros sumandos son:
pág. 12

b+h
b
∂xi
uidx3 =
d
dxi
b+h
b
uidx3 − ui|x3=b+h∂xi
(b + h) + ui|x3=b∂xi
b, i = 1, 2
El tercero es trivial:
b+h
b
∂x3 u3dx3 = u3|x3=b+h − u3|x3=b
Con las condiciones de contorno (1.8) y (1.10), se obtiene:
0 = ∂tη +
2
∑
i=1
{ui|x3=b+h∂xi
(b + h) − ui|x3=b∂xi
b} (1.21)
El segundo término, siguiendo el mismo desarrollo de la fórmula de Leibniz, es
igual a:
2
∑
i=1
{
d
dxi
b+h
b
uidx3 +
b+h
b
∂xi
uidx3} (1.22)
Teniendo en cuenta (1.7), se deducen las siguientes relaciones:
∂xi
(b + h) = ∂xi
η (1.23)
∂tη = ∂th (1.24)
Con las ecuaciones (1.22) y (1.21), y las relaciones (1.23) y (1.24), se obtiene:
2
∑
i=1
d
dxi
b+h
b
uidx3 + ∂tη = 0
Con el operador divergencia, y siendo la integración en altura como definimos en
(1.18), (1.19) y (1.20), queda la primera ecuacion del modelo de aguas someras:
∂th + · q = 0 (1.25)
Donde:
- h es la altura de la columna de agua, medida desde el fondo
- q es el caudal de agua por area, q = h ¯u, ¯u ≡ ( ¯u1, ¯u2)
Falta la segunda ecuación del modelo. Se integra (1.17) en la componente vertical
entre x3 y b + h, obtenemos
pág. 13

b+h
x3
∂x3 pdx3 = pa − p = −ρg(b + h − x3)
Puesto que la variación de la presión en la superficie es despreciable en el modelo
que estamos estudiando, la presión en un punto es igual al peso de la columna de
agua que tiene encima. Con este consideración, y la relación entre los niveles, (1.7), la
ecuación de la presión hidrostática es:
p(r, t) = ρg(η(x1, x2, t) − x3) (1.26)
La ecuación diferencial de la presión proviene de la componente x3 de la ecuación
de Navier-Stokes (1.5). Faltan las otras dos componentes de dicha ecuación. La deduc-
ción de la componente x1, (1.14), es análoga para la componente x2, (1.15).
Integrando en altura:
b+h
b
{∂tu1 + ∂x1
(u2
1) + ∂x2 (u1u2) + ∂x3 (u1u3) +
1
ρ
∂x1
p}dx3 = 0 (1.27)
Cada sumando se trata independientemente, usando la fórmula de Leibniz. En este
modelo que aqu´ı se presenta, el fondo no depende del tiempo, ∂tb = 0,
b+h
b
∂tu1dx3 = ∂t( ¯u1h) − u1|x3=b+h∂th
b+h
b
∂x1
(u2
1)dx3 = ∂x1
b+h
b
u2
1dx3 − u2
1|x3=b+h∂x1
(b + h) + u2
1|x3=b∂x1
b
b+h
b
∂x2 (u1u2)dx3 = ∂x2
b+h
b
u1u2dx3 − u1|x3=b+hu2|x3=b+h∂x2 (b + h) + u1|x3=bu2|x3=b∂x2 b
b+h
b
∂x2 (u1u3)dx3 = u1|x3=b+hu3|x3=b+h0 − u1|x3=bu2|x3=b
Sumando estas ecuaciones, que corresponden a los primeros cuatro términos de la
ecuación (1.27),
pág. 14

{∂t( ¯u1h) + ∂x1
b+h
b u2
1dx3 + ∂x2
b+h
b u1u2dx3} + {−u1|x3=b+h∂tη
− u2
1|x3=b+h∂x1
(b + h) + u2
1|x3=b∂x1
b − u1|x3=b+hu2|x3=b+h∂x2 (b + h)
+ u1|x3=bu2|x3=b∂x2 b} + {u1|x3=b+hu3|x3=b+h − u1|x3=bu2|x3=b}
Se saca factor común en el segundo término de los tres agrupados. Comparando
con las condiciones de contorno (1.8) y (1.10)
u1(t, b){u1|x3=b∂x1
b + u2|x3=b∂x2 b}
− u1|x3=b+h{∂tη + u1|x3=b+h∂x1
η + u2|x3=b+h∂x2 η} =
u1|x3=bu3|x3=b − u1|x3=b+hu3|x3=b+h
Con lo cual, los cuatro primeros términos de la ecuación (1.27) son
∂t( ¯u1h) + ∂x1
b+h
b
u2
1dx3 + ∂x2
b+h
b
u1u2dx3
Por otra parte, el quinto término de la ecuación anteriormente mencionada, con
(1.26),
b+h
b
1
ρ
ρg∂x1
ηdx3 = g∂x1
η
b+h
b
dx3 = gh∂x1
η
Sumando todo, queda que (1.27) es igual a:
∂t( ¯u1h) + ∂x1
b+h
b
u2
1dx3 + ∂x2
b+h
b
u1u2dx3 + gh∂x1
η = 0 (1.28)
Estas integrales son resultado de sustituir los valores puntuales de las velocidades
ui por unos valores medios integrando en altura, ¯ui, para i = 1, 2, 3. La diferencia entre
el valor puntual y la integración en altura es
ûi = ui − ¯ui
Se eleva al cuadrado la ecuación con i = 1 y se multiplica entre s´ı las ecuaciones de
i = 1 y i = 2. Se integra posteriormente en altura:
pág. 15

b+h
b
û2
1dx3 = −h ¯u2
1 +
b+h
b
u2
1dx3 (1.29)
b+h
b
û1 û2dx3 = −h ¯u1 ¯u2 +
b+h
b
u1u2dx3 (1.30)
Sustituyendo (1.29) y (1.30) en (1.28), se obtiene:
∂t(h ¯u1) + ∂x1
(h ¯u2
1) + ∂x2 (h ¯u1 ¯u2) + gh∂x1
η =
−
b+h
b
û2
1dx3 −
b+h
b
û1 û2dx3
(1.31)
Los términos del segundo miembros representan las fuerzas de Reynolds, y expre-
san la desviación respecto de la velocidad media. Como ya se comentó, se ha consi-
derado que el agua es poco profunda y, por tanto, son despreciables las diferencias de
velocidad en el plano formado por las coordenadas x1 y x2 con respecto a sus integra-
ciones en altura. Se renombra u ≡ ¯u
Lo mismo que con la componente x1 se hace con la componente x2. La segunda
ecuación del modelo de aguas someras, usando el caudal q, queda:
∂tq + · (hu ⊗ u) + gh η = 0
Por la relación (1.23), la ecuación anterior se escribe como:
∂tq + · (hu ⊗ u +
1
2
gh2
I) + gh b = 0 (1.32)
Siendo esta la segunda ecuación del modelo de aguas someras, con I la matriz iden-
tidad. Las dos ecuaciones del modelo son (1.25) y (1.32).
En este trabajo se resolverán las ecuaciones unidimensionales, de manera que las
ecuaciones (1.25) y (1.32) quedan:
∂th + ∂x(hu) = 0 (1.33)
∂t(hu) + ∂x(hu2
+
1
2
gh2
) + gh∂xb = 0 (1.34)
Estas son las ecuaciones con las que se tratan. h es la altura que se indica en la figura
1.1, u =
q
h
es la velocidad media a la que se propaga el fluido.
pág. 16

Las ecuaciones de Shallow Water (1.33) - (1.34) con suelo no plano, no son un sis-
tema de leyes de conservación, sino un sistemas de leyes de conservación con término
fuente:
∂tU + ∂xF(U) = S(U)∂xb
∂tU + ∂xF(U) − S(U)∂xb = 0
(1.35)
Se puede reescribir el sistema de ecuaciones como un sistema hiperbólico no con-
servativo [7]:
∂tW + A(W)∂xW = 0 (1.36)
Con W =


U
b

 y
A(W) =


F (U) −S(U)
0 0


Esto se puedo hacer siempre que el suelo no dependa del tiempo, ∂tb = 0. Los
autovalores de A(W) [8, 9] son:
λ1 = u − gh
λ2 = u + gh
λ3 = 0
donde u es la velocidad del fluido, h es la altura y g la aceleración gravitatoria, cuyo
valor a nivel del mar es 9.81m
s2 en el Sistema Internacional. En el caso del fondo plano,
los autovalores serán λ1 y λ2.
1.4.1. N ÚMERO DE FROUDE
Será interesante conocer si un estado en el fluido es subcr´ıtico, cr´ıtico o supercr´ıtico,
que dependerá de si |Fr| < 1, |Fr| = 1 o |Fr| > 1, respectivamente. Fr es el número de
Froude [8],
Fr =
u
gh
(1.37)
pág. 17

con g la aceleración gravitatoria. A nivel del mar, 9.81m
s2 en el Sistema Internacional.
El número de Froude es el cociente de las fuerzas de inercia entre las fuerzas gravi-
tatorias. Si el régimen es subcr´ıtico, las fuerzas gravitatorias intervienen más que las
fuerzas inerciales, y la velocidad u del fluido es menor que la velocidad de una onda
en ese medio. En el régimen supercr´ıtico, ocurre lo contrario [10].
1.4.2. FONDO PLANO
En el caso del fondo plano, ∂xb = 0, el sistema de ecuaciones queda:
∂th + ∂x(hu) = 0 (1.38)
∂t(hu) + ∂x(hu2
+
1
2
gh2
) = 0 (1.39)
Este sistema de ecuaciones se puede, por tanto, escribir como un sistema de leyes
de conservación (1.1), donde la incógnita será entonces un vector, que llamaremos U,
y F(U) será una función de U.
∂tU + ∂xF(U) = 0 (1.40)
Con
U =


h
hu

 (1.41)
F(U) =


hu
hu2 + g
2 h2

 (1.42)
Un cálculo elemental permite comprobrar que, efectivamente, el sistema es hiperbóli-
co, con autovalores u + gh y u − gh. Si ocurre una de estas dos situaciones:
u − gh < u + gh < 0
u + gh > u − gh > 0
se dice que es una situación supercr´ıtica. En el caso u − gh < 0 < u + gh, es
subcr´ıtico. La demostración pasa por sacar factor común gh y aplicar la definición
del número de Froude vista en la subsección 1.4.1.
pág. 18

1.4.3. DEDUCCI ÓN DE BURGERS
Un modelo extremadamente sencillo de estudiar es la ecuación de Burgers. Dicha
ecuación proviene de simplificar la ecuación de Navier-Stokes (1.5) [11]. En una capa
poco profunda de agua, el gradiente de presión p no es significativo. Además, sólo
se tendrá en cuenta movimiento en la componente x1 ≡ x, no existiendo otras compo-
nentes. De manera que queda:
∂vx
∂t
+ vx
∂vx
∂x
= 0
Donde el segundo término se puede escribir como una función de la velocidad
f (v) = v2
x
2 . Se renombra esta velocidad vx como u. Esta es la ecuación de Burgers no
viscosa.
∂tu + ∂x
u2
2
= 0 (1.43)
pág. 19

CAPÍTULO 2
Métodos
2.1. CURVAS CARACTERÍSTICAS
Una curva caracter´ıstica es la trayectoria que seguir´ıa una part´ıcula sometida a la
acción del fluido. Matemáticamente, es una l´ınea en el plano x-t en las que la solución
u(x, t) de una EDP es constante. Sea la ecuación de transporte lineal
∂tu + a∂xu = 0 (2.1)
las curvas caracter´ısticas satisfacen x (t) = a, x(0) = x0.
x(t, x0) = at + x0 → t =
x
a
−
x0
a
(2.2)
Es notable destacar que en la ecuación de transporte lineal, la función f (u) = au es
proporcional a u. Si se diferencia u(x, t) a lo largo de estas curvas, se puede demostrar
que las curvas que mantienen u = cte.
d
dt
u(x(t), t) =
∂
∂t
u(x(t), t) +
∂
∂x
u(x(t), t)x (t)
= ∂tu + a∂xu
= 0
Para el caso general, con un flujo f (u),
pág. 21

∂tu + ∂x f (u) = 0
Se puede generalizar, teniendo x = f (u(x(t), t)) y u constante a lo largo de la curva
caracter´ıstica.
2.2. SOLUCI ÓN EXACTA DEL PROBLEMA DE RIEMANN
El problema de Riemann, como se menciona en la subsección 1.2, estriba en resolver
la ecuación ∂tu + ∂x f (u) = 0 con un función inicial que es discontinua (1.3). Para el
caso del transporte lineal (2.1), la solución al problema de Riemann es [4]:
u(x, t) = u0(x − at) =



ul si x < at
ur si x > at
Este tipo de solución es lo que se conoce como un choque. La discontinuidad se
propaga con velocidad a conforme el tiempo avanza. En el caso general no sólo se
encuentran estos choques, sino que, además, un nuevo tipo de soluciones débiles que
son las ondas de rarefacción.
2.3. ONDAS DE CHOQUE Y DE RAREFACCI ÓN. APLICACION A
BURGUERS
Se explicará en qué consisten las distintas soluciones del problema de Riemann, to-
mando como EDP de ejemplo la ecuación de Burgers (1.43). Todo lo dicho se puede
generalizar a otros casos.
Cuando la función f (u) que no es proporcional a u como en (2.1) puede aparecer
un choque o una onda de rarefacción. Esto vendrá en función de lo que pase con las
l´ıneas caracter´ısticas [3].
En el caso de la ecuación de Burgers, las l´ıneas caracter´ısticas satifacen que:
x (t) = u(x(t), t) (2.3)
pág. 22

Sobre cada curva caracter´ıstica, u es constante,
d
dt
u(x(t), t) = ∂tu(x(t), t) + ∂xu(x(t), t)x (t)
= ∂tu + u∂xu
= 0
Partiendo de la condición inicial (1.3), se tiene curvas con pendiente x (t) = ul y
x (t) = ur. Las l´ıneas caracter´ısticas de la ecuacion de Burgers son rectas determinadas
por la información inicial. Por la definición de l´ıneas caracter´ısticas, estas no se pueden
cruzar mientras u sea regular.
2.3.1. ONDA DE CHOQUE
Como las pendiente de las l´ıneas caracter´ısticas (2.3) no tendrán todas el mismo
valor, parece posible que las l´ıneas caracter´ıticas se crucen. Esto ocurrirá si ul > ur,
1
ur
> 1
ul
, como se ve en la figura 2.1b.
Cuando las caracter´ısticas se cruzan se genera un choque. En la ecuacion de Bur-
gers, ocurre cuando el valor de u a la izquierda de la discontinuidad es mayor que el
de la derecha.
0
ur
ul t
t = x/s
x0
1/ur
1/ul
Figura 2.1: Onda de choque
En este caso, obtenemos una solución débil de la forma
u(x, t) =



ul si x < st
ur si x > st
(2.4)
pág. 23

donde s es la velocidad de choque para la ecuación de Burgers, velocidad a la
cual viaja la discontinuidad. Esta velocidad puede determinarse por la condición de
Rankine-Hugoniot.
2.3.2. CONDICI ÓN DE RANKINE-HUGONIOT
Dado un problema de Riemann, integramos espacialmente la ecuación (1.2) en un
intervalo espacial 2M que incluya la discontinuidad, donde M es grande comparado
con st:
d
dt
M
−M
u(x, t) = f (ul) − f (ur) (2.5)
Por otro lado, por la solución (2.4),
M
−M
u(x, t) = (M + st)ul + (M − st)ur
Diferenciando,
d
dt
M
−M
u(x, t) = s(ul − ur) (2.6)
De (2.5) y (2.6) obtenemos una relación entre la velocidad de choque, el flujo f (u) y
los estados de u que se conoce como condición de salto Rankine-Hugoniot:
f (ul) − f (ur) = s(ul − ur) (2.7)
En el caso de la ecuación de Burgers, la velocidad de choque simplemente es:
s =
f (ul) − f (ur)
ul − ur
=
1
2(ul + ur)(ul − ur)
ul − ur
= s =
(ul + ur)
2
(2.8)
2.3.3. ONDA DE RAREFACCI ÓN
Puede ocurrir también que las l´ıneas caracter´ısticas no confluyan conforme aumen-
te el tiempo, sino que diverjan. Aunque esta situación podr´ıa explicarse con un choque,
este ser´ıa de entrop´ıa violada. No es f´ısicamente admisible, como se explicará más ade-
lante.
pág. 24

0
ur
ul
t
x = st
x0
Figura 2.2: Onda de choque no entrópico
0
ur
ul
t
x0
Figura 2.3: Onda de rarefacción
Lo que ocurre realmente es que se produce una onda de rarefacción. Ocurre para
Burgers cuando el valor de u a la izquierda de la discontinuidad es menor que el valor
a la derecha. Es decir, ul < ur:
u(x, t) =



ul si x < ult
x/t si ult ≤ x ≤ urt
ur si x > urt
(2.9)
2.3.4. CONDICIONES DE ENTROPÍA
Para Burgers con ul < ur se pueden construir dos soluciones: una onda de cho-
que del tipo (2.4) y una onda de rarefacción del tipo (2.9). Para seleccionar la solución
f´ısicamente correcta recurrirmos a la noción de entrop´ıa. La condición fundamenal que
define la solución débil entrópica es la solución l´ımite de la ecuación de Burgers viscosa
cuando → 0, siendo la ecuación de Burgers viscosa:
∂tu + u∂xu = ∂xxu
pág. 25

Sin embargo, esta definición no es fácil de aplicar. Por eso hay distintas versiones
de esta condición entrópica. Para flujos escalares convexos, se demuestra que esto es
equivalente a:
f (ul) > s > f (ur) (2.10)
Por tanto, para Burgers el choque será entrópico si ul > ul+ur
2 > ur.
2.4. MÉTODO DE VOL ÚMENES FINITOS. FLUJO DE GODUNOV
Para resolver numéricamente las leyes de conservación, utilizaremos el Método de
volúmenes Finitos o MVF. Este método discretiza el dominio en un número finito de
celdas, también llamadas volúmenes de control.
Las leyes de conservación se aplican a cada volumen de control, teniendo en cuen-
ta que el flujo puede añadirse o sustraerse a los volúmenes contiguos [4]. Trabajar
con promedios de las celdas implica definirlos formalmente. Se discretiza el domi-
nio espacial [0, L] en M celdas o volúmenes finitos Ii = [xi−1
2
, xi+1
2
] de tamaño ∆x =
xi+1
2
− xi−1
2
= L
M . Los puntos de los extremos de cada celda y de la intercelda serán:
xi−1
2
= (i − 1)∆x, xi+1
2
= i∆x, xi = (i −
1
2
)∆x (2.11)
El dominio temporal [0, T] se divide en pasos de tiempo variables, ∆t. Más tarde se
indicará su tamaño.
Figura 2.4: Método de Volúmenes Finitos
Una vez discretizado el dominio espacial y temporal, el valor promedio de la mag-
nitud U(x, t) en la celda Ii en el tiempo t = tn, con tn = t0 + n∆t en cada celda será:
pág. 26

Un
i =
1
∆x
x
i+ 1
2
x
i− 1
2
U(x, tn
)dx (2.12)
As´ı que, por la ecuación (2.12), se pasa de tener una solución U(x, t) a un conjunto
Un
i de estados, cada uno indicando el valor en una celda, como se ve en la figura 2.4.
Pueden almacenarse temporalmente como un vector Ui de M componentes.
La forma conservativa de escribir la resolución numérica por MVF es la siguiente:
Un+1
i = Un
i −
∆t
∆x
[Fi+1
2
− Fi−1
2
] (2.13)
El método de Godunov consiste en resolver los problemas de Riemann locales
RP(Un
i , Un
i+1), con Un
i la información a la izquierda en el tiempo tn y Un
i+1 la infor-
mación a la derecha en el mismo tiempo. Este método escoge el flujo de la solución
exacta del problema de Riemann en la intercelda.
Fi−1
2
= F(RP(Ui−1), Ui), Fi+1
2
= F(RP(Ui), Ui+1)
El método de Godunov tiene las desventaja de necesitar la solución exacta del pro-
blema de Riemann, por lo que no es siempre fácil de aplicar. Esto último no es complejo
para la ecuación de Burgers (1.43) en 1D, pero s´ı para las ecuaciones de Shallow Water
(1.33)-(1.34).
La ecuación (2.13) por s´ı sola está incompleta, pues en los extremos espaciales del
dominio no tenemos definido Fi−1
2
(extremo inicial) o Fi+1
2
(extremo final). Para ello, se
crea una celda adyacente a los extremos, que sólo sirva como condición de contorno,
sin representar su valor. Cuando las condiciones de contorno impuestas sean libres
(fronteras libres), lo que se hace es duplicar la celda que esté en el extremo (se crea una
celda fantasma).
2.4.1. CONDICI ÓN CFL
Se tiene que asegurar la estabilidad del esquema numérico. Para ello, ∆t no puede
ser tan grande como se quiera [4]. Debe satisfacer que los problemas de Riemann de
interceldas distintas no interfieran entre s´ı. Para esto es suficiente que
pág. 27

∆t ≤
∆x
Sn
max
(2.14)
Donde Sn
max es la máxima velocidad de la onda presente en el dominio en el tiempo
t, que viene determinada por los autovalores de F. En nuestro caso, el máximo autova-
lor de las ecuaciones de aguas someras es |u| + gh, tanto para el fondo plano como
para el no plano.
Como según (2.14), ∆t tiene que ser menor que ese valor, en la práctica se calcula
∆x
Sn
max
y lo multiplicamos por una constante positiva menor que 1, a la que llamaremos
CFL.
∆t = CFL
∆x
Sn
max
, CFL ∈ (0, 1] (2.15)
Esta condición se conoce como condición Courant-Friedrichs-Lewy, o condición
CFL.
2.5. ESQUEMA DE LAX-FRIEDICHS Y HLL
La idea es reemplazar la solución exacta del problema de Riemann por una aproxi-
mación más fácil de calcular. El esquema de Lax-Friedrichs se puede escribir en forma
de (2.13) como aparece en [4], donde el flujo Fi+1
2
y Fi−1
2
será calculado por
Fi+1
2
=
∆x
2∆t
(Ui − Ui+1) +
1
2
(F(Ui) + F(Ui+1)) (2.16)
Fi−1
2
=
∆x
2∆t
(Ui−1 − Ui) +
1
2
(F(Ui−1) + F(Ui)) (2.17)
Tal y como se verá este método es muy difusivo y se utilizará una mejora del mismo,
llamada método HLL. Según la forma conservativa (2.13), el flujo será
FHLL
i+1
2
=



F(Ui) si 0 ≤ SL
SRF(Ui)−SLF(Ui+1)+SRSL(Ui+1−Ui)
SR−SL si SL ≤ 0 ≤ SR
F(Ui+1) si SR ≤ 0
(2.18)
Donde SL y SR son las velocidades máximas de propagación de la onda a la izquier-
da y a la derecha, respectivamente. Este flujo puede ser reescrito en forma compacta a
través de los parámetros α0 y α1
pág. 28

α0 =
SR|SL| − SL|SR|
SR − SL
(2.19)
α1 =
|SR| − |SL|
SR − SL
(2.20)
De manera que (2.18) se puede escribir en una única expresión,
Fi+1
2
=
1 + α1
2
F(Ui) +
1 − α1
2
F(Ui+1) −
α0
2
(Ui+1 − Ui)
Este ser´ıa el flujo del esquema HLL. El esquema de Lax-Friedrichs puede verse co-
mo una particularización de este método, en el que α0 = ∆x
∆t , α1 = 0.
2.5.1. FONDO NO PLANO. ESQUEMA DE CAMINO CONSERVATIVO
Ahora no es igual el fujo numérico a la derecha que a la izquiera de una intercelda.
Cuando se tiene un término fuerte, es necesario descentrar el flujo. Para calcular el flujo
númerico, se usa el método path-conservative, o de camino conservativo [7]. En una
intercelda i + 1
2, se calcula dos flujos numéricos distintos: el que se suma a i y a i + 1.
El que se añade a la celda i es el de la onda regresiva, y denota el flujo por D−
i+1
2
. El
que se suma a la celda i + 1 corresponde a la onda progresiva, y el flujo será D+
i+1
2
. La
resolución numérica (2.13) queda ahora:
Un+1
i = Ui −
∆t
∆x
(D+
i−1
2
+ D−
i+1
2
) (2.21)
Intuitivamente es lógico pensar que el flujo para el suelo no plano no será el mismo
para la celda de la derecha que para la celda de la izquierda. Por ejemplo, si existe en el
suelo un desnivel, el flujo en 0 no será igual a la derecha y a la izquierda con el fondo
z1 que con z2.
z1(x) =



0 si x < 0
10 si x ≥ 0
z2(x) =



10 si x < 0
0 si x ≥ 0
pág. 29

z1
0
z2
0
Figura 2.5: El flujo que se suma y resta a las celdas contiguas no será el mismo
Siguiendo con la notación (1.35) y (1.36), la generalización del esquema HLL se
escribe formalmente [12]:
D±
i+1
2
=
±α0
2
(Ui+1 − Ui − A−1
i+1
2
Si+1
2
(bi+1 − bi))
1 ± α1
2
(F(Ui+1) − F(Ui) − Si+1
2
(bi+1 − bi)
Para las ecuaciones de Shallow Water (1.33)-(1.34), el esquema se escribe:
D±
i+1
2
=
±α0
2
(Ui+1 − Ui + (


bi+1
0

 −


bi
0

))+
1 ± α1
2
(F(Ui+1) − F(Ui) − g
hi + hi+1
2
(


0
bi+1

 −


0
bi

))
(2.22)
siendo hi la primera componente del vector U. Para el esquema de Lax-Friedrichs,
lo mismo con ∆x
∆t , α1 = 0, como ya se comentó.
Obsérvese que, si bi = bi+1, se obtiene el mismo esquema que antes.
pág. 30

CAPÍTULO 3
Resultados y discusión
Se reproducen algunos tests que muestren las caracter´ısticas de lo visto en las sec-
ciones 1 y 2. Primero con el esquema de Godunov se representa una onda de choque
y una onda de rarefacción para la ecuación de Burgers (1.43). Posteriormente, usando
tanto el esquema de Lax-Friedrichs (2.16) como el esquema HLL (2.18), se evaluarán
las ecuaciones de aguas someras unidimensionales (1.33)-(1.34) para tres tests distintos.
Es interesante destacar que en el desarrollo de las ecuaciones de Shallow Water no
se requieren las unidades; lo único que se pide es que las unidades concuerden entre
s´ı. Se usará el Sistema Internacional. La condición CFL usada es 0.9 en todos los casos,
asegurando as´ı el criterio de estabilidad numérica.
Para reproducir estos tests se ha usado Python 2.7. Python es un lenguaje interpre-
tado de alto nivel, versátil y con multitud de librer´ıas, que trabaja a mayor velocidad
que MATLAB.
3.1. TESTS PARA EL ESQUEMA DE GODUNOV. ECUACI ÓN DE BUR-
GERS
Según el apartado 2.4, el método de Godunov consiste en la resolución exacta de
problema de Riemann que ocurre en cada intercelda. La resolución de la ecuacion de
Burgers puede dar lugar a ondas de choque u ondas de rarefacción, dependiendo del
pág. 31

valor de u a la derecha y a la izquierda de la discontinuidad.
3.1.1. TEST 1
Para el primer test, el dominio espacial será [0 m, 20 m], hasta el tiempo t = 20 s. Se
han utilizado un mallado de 50 puntos. La condición inicial será:
u(x) =



2m
s si x ≤ 5
1
2
m
s en otro caso
Con condiciones de frontera libre.
El resultado es el siguiente:
(a) Choque en t=0 s (b) Choque en t=4.80 s
Figura 3.1: Propagación de un choque en la ecuación de Burgers mediante el esquema
de Godunov
La difusión que aparece es numérica, no es f´ısica. De hecho, si se refina el mallado
metiendo más puntos, ∆x → 0, la difusión disminuye. Con 500 puntos, el resultado es
el siguiente:
pág. 32

Figura 3.2: Propagación de un choque con 500 puntos
3.1.2. TEST 2
El segundo test, por contraposición, consiste en una onda de rarefacción. El valor
inicial a la izquierda de la continuidad es menor que el valor a la derecha. El dominio
espacial será [0 m, 20 m], hasta el tiempo t = 20 s. Se han utilizado un mallado de 500
puntos. La condición inicial será:
u(x) =



1
2
m
s si x ≤ 5
2m
s en otro caso
El resultado es el siguiente:
(a) Onda de rarefacción en t=0 s (b) Onda de rarefacción en t=4.80 s
Figura 3.3: Onda de rarefacción en la ecuación de Burgers mediante el esquema de
Godunov
En este caso, la solución no es derivable, pero s´ı continua, a diferencia del caso an-
terior que no era ni continua ni derivable. Los picos que se observan al conectar los
pág. 33

dos estados constantes aparecen más o menos redondeados. Esto es producto de la di-
fusión numérica. Cuando el mallado se refina, esto es ∆x → 0, aparece una l´ınea recta
uniendo los estados constantes.
3.2. SIMULACION DE SHALLOW WATER. ESQUEMAS HLL Y
LAX-FRIEDRICHS
Los tres tests aparecen en [13, Cap´ıtulo 6]. El último test prueba la robustez de los
dos esquemas numéricos.
3.2.1. TEST 1
Este primer test intenta representar cómo se comporta el agua cuando pasa sobre
un resalto en el fondo. Este resalto podr´ıa ser, por ejemplo, un piedra en un r´ıo. Lo
esperable será que, tras esa piedra, la altura del r´ıo baje. Las condiciones inciales son:
h0 = 4 m
q0 = 10
m2
s2
b(x) =



0.48(1 − (x−20
4 )2) m si 16 < x < 24
0 m en otro caso
Donde la función que modela el fondo, b(x), no varia con el tiempo. Las condicio-
nes de contorno son de frontera libre.
El dominio espacial es [0 m, 40 m], hasta el tiempo t = 10 s. Se ha utilizado un malla-
do de 200 puntos para los dos esquemas, el de HLL y el de Lax-Friedrichs. Las magni-
tudes usadas son la altura η según la figura 1.1, el caudal q = hu siendo u la velocidad
del fluido, y el número de Froude Fr.
Cuando dejamos pasar un tiempo t = 1.33 s, obtenemos las siguientes imágenes:
pág. 34

(a) Esquema de HLL (b) Esquema de Lax-Friedrichs
Figura 3.4: Estado intermedio de η en el test 1
(a) Esquema de HLL (b) esquema de Lax-Friedrichs
Figura 3.5: Estado intermedio de q en el test 1
Figura 3.6: Estado intermedio de Fr en el test 1
Finalmente, se alcanza un estado estacionario:
p´ag. 35

Figura 3.7: Estado final de η en el test 1
Figura 3.8: Estado final de q en el test 1
Figura 3.9: Estado final de Fr en el test 1
Comparando con la bibliograf´ıa [13, Cap´ıtulo 6], los resultados son los esperados.
No se alcanza el régimen supercr´ıtico, dado que el espesor de agua que fluye es alto.
En el siguiente test, el espesor será menor, por lo que se verá que el régimen subcr´ıtico
pág. 36

está ligado al fondo y al espesor del problema.
Este test pone de manifiesto que el esquema de Lax-Friedrichs es más difusivo que
el de HLL. Las l´ıneas son más suaves, por lo que no reproducirá exactamente las solu-
ciones débiles como los choques.
3.2.2. TEST 2
Este tests es parecido al anterior, con una diferencia: hay menos fluido moviéndose.
El espesor de agua será menor, por lo que se alcanza el régimen supercr´ıtico. Cuando
el fuido es suficientemente rápido, como consecuencia del fondo se produce un salto
hidráulico en forma de discontinuidad, tal y como se muestra en las imágenes. Es de-
cir, la solución es débil, aunque las condiciones iniciales sean suaves. Las condiciones
inciales son:
h0 = 0.33 m
q0 = 0.18
m2
s2
b(x) =



0.2 − 0.05(x − 10)2 m si 8 < x < 12
0 m en otro caso
Donde la función que modela el fondo, b(x), no varia con el tiempo. En este caso
s´ı tenemos condiciones de contorno marcadas: el caudal por la izquierda y la altura
por la derecha.
qizquierda = 0.18
m2
s2
hderecha = 0.33 m
El dominio espacial es [0 m, 25 m], hasta el tiempo t = 60 s. Se ha utilizado un malla-
do de 125 puntos. Las magnitudes usadas son la altura η según la figura 1.1, el caudal
q = hu siendo u la velocidad del fluido, y el número de Froude Fr.
Cuando dejamos pasar un tiempo t = 3.33 s, obtenemos estas imágenes.
pág. 37

Figura 3.12: Estado intermedio de Fr en el test 1
Finalmente, se alcanza un estado estacionario:
p´ag. 38

Figura 3.13: Estado final de η en el test 1
Figura 3.14: Estado final de q en el test 1
Figura 3.15: Estado final de Fr en el test 1
La principal diferencia entre los dos esquemas es la difusión: el esquema HLL tie-
ne menos difusión numérica que el de Lax-Friedrichs, se produce un pico mayor en
la gráfica 3.15a que en 3.15b. El efecto de la difusión numérica desaparece cuando
pág. 39

∆x → 0, es decir, se refina el mallado y la solución numérica converge a la solución
exacta.
El fluido, que está en régimen subcr´ıtico al principio y al final del recinto, pasa a
régimen cr´ıtico después de la perturbación en el fondo. Se acelera hasta una zona su-
percr´ıtica que luego produce el resalto hidráulico. Como el número de Froude depende
de 1√
h
, se alcanza un mayor valor según el esquema numérico de HLL.
Cuando ∆x → 0, ambos esquemas convergen hacia la solución exacta, que está muy
próxima a la mostrada por HLL, salvo que en este caso el salto hidráulico ser´ıa una
l´ınea recta.
3.2.3. TEST 3
El fin de este test es probar que el código se comporta bien en el vac´ıo. Para ello se
tiene que comprobar que no mostrará un valor NaN, es decir, que no mostrará ninguna
indeterminación. El tratamiento numérico tiene que ser cuidadoso.
También se conoce como test de la vara de Moisés o test del Mar Rojo, en referencia
al b´ıblico pasaje en el cual Moisés separara bruscamente el Mar Rojo. Se especif´ıca en
las condiciones iniciales que el caudal es discontinuo y en sentidos contrarios, de ma-
nera que el recinto que nosotros evaluamos se vac´ıe en poco tiempo.
La importancia de este test no radica en que represente una situación real y merezca
llevar a cabo su estudio. Se propone su desarrollo porque pone de manifiesto las de-
bilidades de los distintos flujos: muestra hasta dónde es capaz de representar el flujo.
Ninguno de los tests anteriores se daban casos en los que h se anulaba, ni en los que
los procesos eran tan rápidos.
Como condiciones inciales tenemos:
b(x) =



1 m si 25
3 < x < 12.5
0 m en otro caso
pág. 40

h0 + b(x) = 10 m
q(x) =



−350 m2
s2 si x < 50
3
350 m2
s2 en otro caso
El dominio espacial es [0 m, 25 m], hasta el tiempo t = 0.67 s. Se ha utilizado un
mallado de 300 puntos. Las magnitudes usadas son la altura η según la figura 1.1, el
caudal q = hu siendo u la velocidad del fluido, y el número de Froude Fr. Cuando
t = 0.23 s,
Los resultados obtenidos coincide con los esperados, mostrados en [13, Cap´ıtulo 6].
Esto demuestra que los esquemas están bien programados y el código es robusto.
pág. 41

Los efectos difusivos numéricos se reducen cuando ∆x → 0. Es por ello que se habla
de difusión numérica y no f´ısica. Otra forma de evitar estos efectos es usar esquemas
de alto orden, como en [14].
pág. 42

Conclusiones
En determinadas circunstancias, el tedioso cálculo y coste computacional de las
ecuaciones de Navier-Stokes se pueden simplificar usando las ecuaciones de aguas so-
meras. El rango de validez, discutido en la subsección 1.4, asume que la profundidad
tiene que ser menor que la extensión del fluido a estudiar. Una hipótesis importante
es considerar sólo velocidad media en una columna de agua. Por eso este modelo no
reproduce vórtices o turbulencias. Estas ecuaciones son apropiadas para el estudio de
r´ıos, zonas costeras y grandes extensiones de agua de poca profundidad. En la previ-
sión de desastres también tienen su utilidad, como en el de la rotura de una presa o
la propagación de un tsunami. Ayudar´ıa a saber si, bajo ciertas condiciones, las infra-
estructuras de las que se disponen son apropiadas o no, as´ı como elaborar planes de
prevención y/o evacuación.
De manera general, las EDPs son resueltas buscando soluciones suaves. Resultados
reales como la formación de olas indican que es necesario buscar también soluciones
débiles. De forma general, las EDPs no se pueden resolver anal´ıticamente, por lo que
nos apoyamos de ordenadores. Numéricamente, aparece difusión en ecuaciones hi-
perbólicas, pero este efecto se va cuando el mallado se refina.
El esquema de Godunov prueba ser la solución exacta de los problemas de Riemann
que se producen en las discontinuidades, pero su implementación es compleja y el
cálculo lento y pesado cuando se trata de más de una ecuación. En este trabajo se
presentan otros esquemas numéricos para resolverlas: el esquema de Lax-Friedrichs y
el de HLL. Ambos esquemas se pueden aplicar para el caso con y sin fondo. Los tests
de la subsección 3.2 muestran que el mejor es el HLL. La difusión numérica y el tiempo
de computación son menores, y el esquema numérico de HLL se comporta en el vac´ıo
mejor.
pág. 43

Conclusions
In certain circumstances, the tedious calculation and computational cost of Navier-
Stokes equations can be simplified by using the shallow water equations. The range of
validity of this model, discussed in subsection 1.4 assumes that depth is smaller than
the typical extension of the fluid to study. An important hypothesis is to consider that
the fluctuations of the speed with respect to the average are small. So this model does
not take into account vortices or turbulences. Shallow water equations are suitable for
studying rivers, coastal areas, and large water masses of small depth. They are also
useful in disaster preventions, such as floods or tsunami propagations. They will help
to know whether, under certain conditions, infrastructure are appropiate or not, or to
create pervention or evacuation plans.
Despite PDEs usually are solved by searching smooth solutions, reals physics exam-
ples such as wave propagation indicate that is necessary also to look for weak solu-
tions. Numerically, diffusion appears in hyperbolic equations, but this effect is gone
when mesh is refined.
Godunov scheme proves to be the exact solution of Riemann problems that ap-
pears in discontinuities, but its implementation is complex and the computation are
slow and heavy when more than one equation are treated. Thus, this scheme is not a
good solution to solve Shallow Water equations. We present in this work other alter-
natives: Lax-Friedrichs and HLL schemes. Tests in section 3.2 show that the best one is
HLL scheme. Numerical diffusion and time computation are lower, and HLL numeri-
cal scheme handles vacuum test better.
pág. 44

Bibliograf´ıa
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pág. 46

Estudio y simulación numérica de las ecuaciones de aguas someras

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