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CIRCUITO R en C. A.El primer circuito que se analizará es una resistencia R conectada a una fuente de CA,como el mostrado ...
CIRCUITO R en C. A.Por otra parte aplicando la ley de Ohm, se puede obtener la corriente del circuito.                    ...
CIRCUITO R en C. A.La potencia disipada en el circuito por efecto Joule (calor), varia con el tiempo debido aque la corrie...
VALORES EFICACES en C. A.Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendría una corriente continuaque pr...
CIRCUITO L en C. A.El segundo circuito que se analizará es una inductancia L conectada a una fuente de CA,como el mostrado...
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Fasores en un circuito LRC de C. A.Si representamos la diferencia de potencial aplicada al circuito V f (=Vf,max cos (ωt+δ...
CIRCUITO LRC en C. A. Por su parte la potencia que disipa un circuito RLC se debe a la presencia de las resistencia conect...
Resonancia en un circuito LRC de C. A.Si se conecta un condensador C inicialmente cargado a una inductancia L, (circuito L...
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Resonancia en un circuito LRC de C. A.Una situación que merece especial atención es cuando un circuito LRC serie de frecue...
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Corriente alterna (1)

  1. 1. CORRIENTE ALTERNAEn la vida cotidiana el uso de la energía eléctrica es cada día másindispensable, siendo una de las razones su forma limpia, encomparación con otras formas de energía, sobre todo la provenientede combustibles fósiles. Este hecho provocó que en algún momentode la historia tuviese que decidirse si se utilizaba la corrientecontinua (CC), estudiada anteriormente o la corriente alterna (CA),objeto de este capítulo, para el suministro domestico, industrial ycomercial.Está discusión como es de conocimiento general, cedió la razón a lacorriente alterna, una de las razones es el fácil transporte de grandescantidades de energía entre puntos distantes, a grandes diferencias depotencial y bajas corrientes, lo que lleva consigo el hecho de unabaja pérdida energética por efecto Joule, lo que no ocurre con lacorriente continua.La CA una vez generada y distribuida a grandes distancias, esdisminuida en su diferencia de potencial y aumentada su corriente, loque permite su uso doméstico, comercial e industrial. Esteprocedimiento es posible gracias a la existencia de una grandiversidad de transformadores que se encuentran instalados en lasredes eléctricas de las ciudades.
  2. 2. GENERADORES CORRIENTE ALTERNALos generadores de corriente alterna tal como su nombre lo indica, son aquellos en que lacorriente en el circuito no es constante, y su forma variable es de tipo alternada, es decir enun sentido y en otro, repetidamente. La figura muestra un esquema de generador decorriente alterna.Al observar la figura se aprecia una espira de área A y N vueltas, donde los extremos estánunidos a dos anillos separados y conectados por contacto con el circuito externo.Esta espira gira en un campo magnético uniforme B, lo que indica que el área proyectadaperpendicular al campo varía, provocando que el flujo magnético correspondiente seavariable y cambie alternadamente dado el giro sobre el eje.Este efecto de acuerdo a la ley de Faraday Lenz, produce una fem inducida en la espira, esdecir, una fem alterna
  3. 3. GENERADORES CORRIENTE ALTERNAEn primer lugar el flujo magnético sobre la espira es: Φ = A B cos θEn segundo lugar el flujo magnético sobre las N espiras es variable dado que el ángulovaría periódicamente y la espira gira con MCU, es decir θ = ωt + δdonde ω es la rapidez angular y δ es el ángulo en t=0 (desfase)Derivando el flujo respecto del tiempo y aplicando la Ley de Faraday Lenz se obtiene dΦ ⇒ Φ = N A B cos(ω t + δ) ⇒ = − N A B ωsen(ω t + δ) dt ∴ ε = N A B ω sen( ω t + δ )La expresión muestra que la fem inducida es función del tiempo y ésta dependencia esademás alterna, propiedad dada por la función senoLinks de interéshttp://www.walter-fendt.de/ph14s/http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/
  4. 4. GENERADORES CORRIENTE ALTERNA ε = N A B ω sen( ω t + δ )Analizando la expresión de la fem inducida y teniendo presente las características de lafunción seno se observa que su amplitud es constante NABω, valor que corresponde a lafem máxima y su período T=2π/ω ó equivalentemente de frecuencia f=ω/2π.De lo que se deduce que la diferencia de potencial pico-pico es 2εmáx , siendo εmáx=NABω,por lo que podemos escribir la expresión de la fem inducida alterna como: t ε = ε max sen( 2π f t + δ ) Ecuación y Gráfico del generador de CA T ε max 0 ε δ
  5. 5. CIRCUITO R en C. A.El primer circuito que se analizará es una resistencia R conectada a una fuente de CA,como el mostrado en la figura.Suponiendo que la fuente es ideal, que la resistencia estáconectada directamente a la fem de ella y que el ángulo dedesfase inicial es π/2, se tiene: ε = ε max sen( ω t + π / 2 ) ε R VR = ε = ε max sen( 2π f t + π / 2 ) = VR max cos( 2π f t ) VR = VR max cos( ω t)donde ω es la frecuencia angular de la fuente, TVRmax= εmax y la fase de la fem es la misma en laresistencia y la fuente. 0 t VRmax VR
  6. 6. CIRCUITO R en C. A.Por otra parte aplicando la ley de Ohm, se puede obtener la corriente del circuito. VR max VR max IR = VR = VR max cos( ω t ) ⇒ I = cos( ω t ) donde: I max = ⇒ R R I = I max cos( 2π f t ) T t 0 Ecuación y Gráfico de la corriente en un circuito alimentado por un generador de CA Imax INota: La corriente y la diferencia de potencial en una resistencia conectada a un circuito de CA están en fase
  7. 7. CIRCUITO R en C. A.La potencia disipada en el circuito por efecto Joule (calor), varia con el tiempo debido aque la corriente es variable en el tiempo t P = RI 2 = R(I max cos( ω t )) 2 0 P = RI 2 cos 2 ( 2π f t ) max 2 I max R 1 2La gráfica muestra la potencia en función deltiempo, donde se observa que varía desde 0 a I max Rsu valor máximo I2maxR: 2 PEl valor que se utiliza en la práctica de la potencia instantánea, es su valor promedio P m,por lo que utilizando el valor promedio de la función coseno, se obtiene: 1 2 Pm = I max R 2
  8. 8. VALORES EFICACES en C. A.Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendría una corriente continuaque produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicarla sobre una mismaresistencia. Este valor corresponde a la raíz cuadrada de los cuadrados de los promedios(rms sigla en ingles) de la función seno o coseno.Valor eficaz de una corriente alterna Ief 1 1 [ Imax cos(ωt) ] m Ief = 2 Ief = I 2 = m = (I 2 cos 2 (ωt)) m = I 2 max max ⇒ I max 2 2Valor eficaz de una diferencia de potencial alterna V ef 1 1 [ Vmax cos(ωt) ] m Vef = 2 Vef = V = 2 m = (V2 max cos (ωt)) m = V 2 2 max ⇒ Vmax 2 2Valor eficaz de la potencia alterna Pef 1 Pef = (VI) m = [ (Vmax cos(ωt))(I max cos( ωt)) ] m = Vmax I max (cos 2 ( ωt)) m ⇒ Pef = Vmax I max 2
  9. 9. CIRCUITO L en C. A.El segundo circuito que se analizará es una inductancia L conectada a una fuente de CA,como el mostrado en la figura.Suponiendo que la fuente y la inductancia son ideales, esto esno tienen resistencia propia, que la inductancia está conectada ε Ldirectamente a la fem y que el ángulo de desfase inicial es π/2,se tiene: ε = ε max sen( ω t + π / 2 ) = ε max cos(ωt) dIPor su parte la diferencia de potencial en un inductor V L esta dada por: VL = L dtAplicando la Ley de las mayas al circuito se tiene: VL − ε = 0 ⇒ VL = ε = ε max cos(ωt) = VL,max cos(ωt) donde: ε max = VL,max dIreemplazando en la ecuación de VL queda: VL,max cos(ωt) = L dt
  10. 10. CIRCUITO L en C. A.reordenando los términos se puede obtener la expresión de la corriente en el circuito dI VL,max VL,maxVL,max cos(ωt) = L dt ⇒ LdI = VL,max cos(ωt)dt : ∫ dI = ∫ L cos(ωt)dt ⇒ I = Lω sen(ωt) + CteEl valor de la constante de integración, debe ser tal que cumpla con la condición de laley de las mayas, donde resulta que para este caso es cero.Por lo tanto, la diferencia de potencial y la corriente en el inductor son, respectivamente: T  πVL = VL,max cos(ωt) Dado que: sen  ωt + ÷ = cos(ωt)  2 t 0  π VL,max VL = VL,max sen  ωt + ÷ I= sen(ωt) Imax  2 Lω εmaxNótese la diferencia de potencial en la inductancia está desfasadaen π/2 (adelantada) respecto de la corriente en el circuito
  11. 11. CIRCUITO L en C. A. VL,maxPor otra parte el valor máximo de la corriente en el circuito es: Imax = LωDonde se define la reactancia o impedancia inductiva, por: X L = LωNota: A diferencia de la resistencia la impedancia inductiva depende de la frecuencia dela fuente, y la unidad de medida es el Ohm.La potencia instantánea en la inductancia del circuito es P L=VLI es decir:  π 1PL = VL I = VL,max sen  ωt + ÷I L,max sen(ωt) = VL,max I L,max cos(ωt) sen( ωt) = VL,max I L,max sen(2ωt) ⇒  2 2 PL = PL,max sen(2ωt)de donde se deduce que para un ciclo de oscilación de la corriente, la potencia oscila dosveces, siendo además la potencia media nula, hecho que indica que la inducción no disipaenergía, por lo menos para una inductancia ideal donde la resistencia de ella sea cero
  12. 12. CIRCUITO C en C. A.El tercer circuito que se analizará es una capacitancia C conectada a una fuente de CA,como el mostrado en la figura.Suponiendo que la fuente y la capacitancia son ideales, esto es Cno tienen resistencia propia, que la capacitancia está conectadadirectamente a la fem y que el ángulo de desfase inicial es π/2,se tiene: ε = ε max sen( ω t + π / 2 ) = ε max cos(ωt) Q εPor su parte la diferencia de potencial en la capacitancia V C esta dada por: VC = CAplicando la Ley de las mayas al circuito se tiene: VC − ε = 0 ⇒ VC = ε = ε max cos(ωt) = VC,max cos(ωt) donde: ε max = VC,maxreemplazando en la ecuación de VC queda: Q = CVC,max cos(ωt)
  13. 13. CIRCUITO C en C. A.reordenando los términos se puede obtener la expresión de la corriente en el circuito dQ I= = −ωCVC,max sen(ωt) siendo: Imax = ωCVC,max I = −I max sen(ωt) dtPor lo tanto, la diferencia de potencial y la corriente en la capacitancia son,respectivamente:   π VC = VC,max cos(ωt) Dado que: sen  ωt − ÷ = − cos(ωt) 2   π VC = − VC,max sen  ωt − ÷ I = − I max sen(ωt) ε max  2 ImaxNótese la diferencia de potencial en la reactancia esta 0 tdesfasada en -π/2 (retrasada) respecto de la corrienteen el circuito T
  14. 14. CIRCUITO C en C. A. VC,maxPor otra parte el valor máximo de la corriente en el circuito es: Imax = ωCVC,max = 1/ ωC 1Donde se define la reactancia o impedancia capacitiva, por: X C = ωCNota: Análogamente al caso anterior la impedancia capacitiva depende de la frecuenciade la fuente, y la unidad de medida es el Ohm.La potencia instantánea en la capacitancia del circuito es P C=VCI es decir: 1PC = VC I = VC,max cos(ωt)( −I max sen(ωt)) = −VC,max I max cos(ωt) sen(ωt) = − VC,max I maxsen(2ωt) ⇒ 2 PC = −PC,max sen(2ωt)de donde se deduce que para un ciclo de oscilación de la corriente, la potencia oscila dosveces, siendo además la potencia media nula, hecho que indica que la capacitancia nodisipa energía, por lo menos para una capacitancia ideal donde la resistencia de ella seacero
  15. 15. CIRCUITO LRC en C. A.En cuarto lugar se analizará un circuito serie compuesto por una inductancia L, unaresistencia R y una capacitancia C, conectados a una fuente de CA, como se muestra en lafigura.Suponiendo que la fuente entrega una diferencia de potencial: R ε = ε max cos(ωt) L Cal aplicar la ley de las mayas al circuito se obtiene: dI Qε − VL − VR − VC = 0 ⇒ ε max cos(ωt) − L − IR − = 0 dt C ε d 2 Q dQ Q d 2Q dQ Qε max cos(ωt) − L 2 − R − = 0 ⇒ ε max cos(ωt) = L 2 + R+ ec. del circuito dt dt C dt dt Cal resolver la ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden, se obtiene lacorriente del circuito, siendo ésta: I = I max cos(ωt − δ)
  16. 16. CIRCUITO LRC en C. A. XL − XCdonde el ángulo de desfase queda dado por : tan δ = R constante de fase de un circuito LRC seriePor su parte la corriente máxima del circuito queda dada por: ε max ε max I max = = Z R 2 + (X L − X C ) 2El valor XL-XC se le llama comúnmente reactancia total y al valor Z se le llamaimpedancia del circuito serie LRC, por lo que se puede escribir: ε max I= cos(ωt − δ) ZLinks de Interéshttp://www.walter-fendt.de/ph14s/accircuit_s.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph14s/osccirc_s.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/alterna/alterna.htmhttp://es-sun2.fernuni-hagen.de/JAVA/RLCircuit/rlcircuit.htmlhttp://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/21-5/index.html
  17. 17. Fasores en un circuito LRC de C. A.Si representamos la diferencia de potencial aplicada al circuito V f (=Vf,max cos (ωt+δ)) enun diagrama de fasores, se pueden obtener la corriente en el circuito, el ángulo de fase, lareactancia total y la impedancia de manera más sencilla: r r r r Por la ley de las mayas, se tiene: Vf = VR + VL + VC VL Vf expresando a través de los módulos de los fasores, queda: VR r r r δ Vf = VR + VL + VC = VR,max + (VL,max − VC,max ) 2 2 VL-VC ωt ωt-δ además se sabe que los valores máximos son: VR,max = I max R ; VL,max = Imax X L ; VC,max = I max X C VC reemplazando: Vf = (I max R) 2 + (I max X L − I max X C ) 2 = I max R 2 + (X L − X C ) 2 = I max ZTambién de la figura se puede obtener el ángulo de fase: r r VL − VC I X − I X X − XC tan δ = r = max L max C = L VR I max R R
  18. 18. CIRCUITO LRC en C. A. Por su parte la potencia que disipa un circuito RLC se debe a la presencia de las resistencia conectada en él y su valor es P=I2R ó 1 2 P = R(I max cos(ωt − δ)) 2 = RI max cos 2 (ωt − δ) ⇒ Pm = RI max 2 2 = I ef R 2XL Z R A partir del diagrama fasorial se puede obtener que: cos(δ) = XL-XC Z y como Imax=Vf,max/Z queda: δ R 1 ωt-δ Pm = Vf ,max I max cos(δ) = Vf ,ef I ef cos(δ) ωt 2 el término cos δ, se llama factor de potencia del circuito XC
  19. 19. Resonancia en un circuito LRC de C. A.Si se conecta un condensador C inicialmente cargado a una inductancia L, (circuito LC) seestablecerá una corriente en el circuito producto de la energía almacenada en elcondensador (energía eléctrica) y por efecto de la corriente se irá generando un campomagnético variable en la inductancia que almacenará una energía magnética en el campode inducción creado de está forma. Si se deja conectado el circuito, la corriente en elcrecerá hasta un valor máximo y la carga en el condensador disminuirá hasta cero,momento en el cual la corriente en el circuito empezará a disminuir y la carga en elcondensador empezará a crecer, este proceso se repetirá indefinidamente (con frecuenciaω0=1/√LC), si la inductancia y el condensador son ideales, es decir no tienen resistencia.Si la inducción y el condensador se conectan con una resistencia formando un circuitoserie, el proceso oscilatorio será semejante al del circuito LC, con la diferencia que laenergía electromagnética ya no permanecerá constante, dado que la resistencia disipaenergía al medio por efecto Joule. Lo que sí es importante observar es que la frecuencia deloscilador (ω0=1/√LC) no cambia por la inclusión de la resistencia en el circuito.En el primer caso se ha obtenido un oscilador armónico simple y en el segundo caso unoscilador armónico amortiguado. La pregunta es ¿De qué manera se podrá mantener laoscilación del circuito si en la realidad todos los circuitos tienen resistencia?
  20. 20. Resonancia en un circuito LRC de C. A.La respuesta a la pregunta anterior se puede resolver agregando al circuito un dispositivoque entregue al circuito una cantidad de energía a la misma tasa que el circuito la estádisipando. Este dispositivo capaz de entregar energía a una determinada frecuencia es ungenerador de corriente alterna.Es de hacer notar que el oscilador posee una frecuencia de oscilación que es propia de él,llamada frecuencia natural del oscilador (ω0=1/√LC), dado que, depende sólo de lascaracterísticas de fabricación del condensador y la inducción. Por su parte la fuente escapaz de generar C.A. con frecuencia (ωf) que depende de su construcción. De tal forma setienen dos componentes independientes en el proceso de mantener un circuito LRCoscilando con energía electromagnética constante, uno el circuito LRC serie y otro lafuente de C.A. que se conecta al circuito. ωf 1 ω0 = LC Generador C.A. Circuito LRC
  21. 21. Resonancia en un circuito LRC de C. A.Una situación que merece especial atención es cuando un circuito LRC serie de frecuencianatural ω0 se conecta a una fuente de CA con frecuencia ω0, en tal caso el circuito entra enresonancia con la fuente, por lo que la corriente del circuito será máxima.Para que la corriente sea máxima en el circuito se debe cumplir que la impedancia seamínima, reactancia capacitiva sea igual a la reactancia inductiva, o equivalentemente laimpedancia sea mínima, matemáticamente: Z = R 2 + (X L − X C ) 2   1  Si X L = X C ⇒ Zmin ⇒ I max Iµ  Z En tal condición de funcionamiento del circuito se puede comprobar que: 1 1 1i) Si X L = X C ⇒ ωf L = ⇒ ωf2 = ⇒ ωf = = ω0 ωf C LC LC XL − XCii) Si X L = X C ⇒ tan(δ) = =0 ⇒ δ=0 Riii) Si X L = X C ⇒ δ = 0 ⇒ cos(δ) = 1

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